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8/3/2019 Coordenadas Polares Www.gratis2

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GEOMETRA ANALTICA

11.COORDENADAS POLARESAUTOR:PROFESOR JESS INFANTE MURILLOEDICIN PARA INTERNET:PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

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COORDENADAS POLARES

CONTENIDO

1. Coordenadas polares de un punto

2. Coordenadas polares geralizadas

2.1 Relacin entre coordenadas polares y rectangulares de un punto

3. Cambio de sistema de coordenadas cartesianas a polares y viceversa

3.1 Ejercicios

4. Trazado de una curva dada su ecuacin polar

5. Ecuacin de las curvas de segundo grado en coordenadas polares

Este sistema consiste en sealar unpuntoque es el origende las coordenadas y apartir de l se seala un segmento de rectahorizontal denominado lnea inicial o eje polar,en el cual se marca la escala que se desee,para medir distancias. Una vez hecho esto, paraindicar la posicin de un punto cualquiera delplano, trazamos la recta desde el punto encuestin hasta el origendel sistema y se mide

el ngulopor el eje polary la recta. La medidadel ngulo y de la distancia del punto alorigen son las coordenadas polares delpunto.

Lo especificado lo representamos en lafiguraadjunta.

1. Coordenadas polares de un punto

Consideremos sobre un plano, un rayo(0x) con origenen el punto 0. Llamaremos ejepolar al rayo; polo al punto 0, El eje polarserepresentara por0x.

Sea M un punto arbitrario del plano, comose observa en la figuraadjunta. La longituddelsegmento 0M, se llamar longitud del radiopolar del punto M y se representar por r. Elngulo que deba rotarse el eje polar, en el


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sentido opuestoa las manecillas del reloj, para hacerlo coincidir con el radio polar, 0M se llamarngulo polardel punto M y se representar por. Si el punto M coincide con el polo, r= 0 y elngulo no tendr un valor determinado.

El par de nmeros ry reciben elnombre de coordenadas polares delpunto M. Lo denotamos como:

M ( r, )

El radio vectores positivo.

EJEMPLO 1. Construirlos puntos cuyascoordenadas polaresson:

4

7,2Cy

4

-,3B;

2

3,4A

SOLUCIN

Por lo expuesto, los datos losllevamos a la figuraadjunta.

EJEMPLO 2. Determinarlas coordenadaspolares de las vrtices deun hexgonoregularA, B, C,D, E, y F, tomando comopolo al punto 0, centro delhexgonoy como eje polaral rayo OC , segn la figura.

SOLUCINTomando 1=CO

C(1,0), D(1,/3), E(1,2/3), F(1,), A(1,4/3)y B(1,5/3)

2. Coordenadas polares generalizadas

En la situacin de ciertos problemas es conveniente considerar sobre una rectaque pasapor el polo, dos puntos M y N que se encuentran en diferentes semi-rectas con relacin al punto 0.

Como se observa en la figurasiguiente:

En este caso se toma porngulo polarde los puntos M y N el mismo ngulo, y r, para elpunto M, se considerara positivoy para el punto N ser negativo.

Las coordenadas y r< 0 se llaman coordenadas polaresgeneralizadas del punto N.


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EJEMPLO 3. Determinar lascoordenadas polaresde los puntos que seindican en la figuraadjunta:

SOLUCIN

Como el radio vector r espositivocuando se mide sobreel lado terminal del ngulo ynegativocuando se mide sobrela prolongacin de este,tendremos que:

De acuerdo a la figura, para lospuntos M, N, P y Q puedentomarse como coordenadas polares.

4,2-Qy

4,4P,

4,4-N;

2,3M

2.1. Relacin entre coordenadas polares y rectangulares de un punto

Para transformar las coordenadasde un punto de un sistema decoordenadas rectangularesa un sistemade coordenadas polares o viceversa,hacemos coincidir los orgenes de los dossistemas y el eje polarcon el eje positivode las abscisaso de las x, como se ve enla figuraadjunta en la cual consideramosun punto P, cualquiera.

Las coordenadas en ambossistemas del punto P son:

P (x, y) yP (r, )

3. Cambio de sistema de coordenadas cartesianas a polares y viceversa.

Para la solucin de ciertos problemas es necesario saber como pasar de un sistema decoordenadas a otro. Por ello deduciremos las relaciones necesarias.

De la figuraanterior, se tiene el tringulo rectngulo 0PD y de acuerdo a la definicin de lasfunciones trigonomtricas, obtenemos:

senr=yr

y=sen ................................................................................................. (1)


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cosr=xr

x=cos ................................................................................................. (2)

Que son las ecuaciones de cambio, para cambiar las coordenadas de un punto o de unaecuacin cartesianaen polary viceversa.

Ahora, de acuerdo al teorema de Pitgorassegn la misma figuranos queda:

y+x=r222 y+x=r

22 .......................................................................................... (3)

Las expresiones anteriores (1), (2) y (3) son vlidas para todos los puntos del plano, esdecir, podemos convertir con facilidad las ecuaciones rectangularesde las curvas en el plano a suforma polaro viceversa.

3.1 Ejercicios

1. Dadas las coordenadascartesianasdel punto )3-,1(P , determinarlas coordenadas

polaresdel mismo.

SOLUCIN

Se sabe que r y+x=22 , sustituyendo las coordenadas conocidas del punto tenemos:

( ) 2=r2=4=3+1=3-+1=r 22

Por otra parte se tiene que:

23-=

ry=sen

3

5=

3

5=300=

2

3-senang= 0

Por lo que las coordenadas polaresde P son:

3

5,2P

2. Dada la ecuacin polar 2=)cos2-3(r . Obtenerla ecuacin cartesianade la curva.

SOLUCIN

De la ecuacin dada se tiene:

2=cosr2-r3

Aplicando las ecuaciones de cambio: cosr=x y y+x=r22 .


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Sustituyendo queda:

2+x2=y+x3

2=x2-y+x3

22

22

Elevando al cuadrado ambos miembros y desarrollando:

4+x8+x4=y9+x9 222

Simplificando y ordenando:

0=4-x8-y9+x522

La ecuacin representa a una elipse.

3. Obtenerla ecuacin polarde la curva cuya ecuacin es: 0=1+y4+x3 .

SOLUCIN

Se sabe que senr=y,cosr=x

Sustituyendo en la ecuacin dada:

1-=)sen4+cos3(r

1-=senr4+cosr3

1-=)senr(4+)cosr(3

Despejando a r:

sen4+cos3

1-=r

4. Obtenerla ecuacin rectangularde la curva cuya ecuacin es:1+cos

4=r .

SOLUCIN

Rearreglando la ecuacin dada:

4=r+cosr

4=)1+cos(r

Pero:

cosr=x

y+x=r22


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Sustituyendo:

x-4=y+x

4=y+x+x

22

22

Elevando al cuadrado y simplificando:

x+x8-16=)x-4(=y+x2222

Despejando:

)x-2(8=x8-16=y2

Por tanto:

)x-2(8=y2

La ecuacin representa a la curva de una parbola.

5. Obtenerla ecuacin cartesianade la lnea: 6=)sen3+cos5(r .

SOLUCIN

Haciendo las operaciones:

6=senr3+cosr5

Haciendo el cambio sabiendo que:

cosr=x y senr=y

Sustituyendo queda:

6=y3+x5

La ecuacin representa a una lnea recta.

6. Obtenerla ecuacin polarde la parbola, cuya ecuacin es: xp2=y 2

SOLUCINEn la ecuacin dada sustituimos las ecuaciones:

x = rcosy = rsen

Por lo que:

cosrp2=senr22


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Simplificando:

cosp2=senr2

Despejando:

sen

cos

sen

1

p2=sen

cos

p2=r 2

Pero:

cot=sen

cosycsc=

sen

1

Sustituyendo queda:

cotcscp2=r

7. Determinarla nueva ecuacin polarde la curva 8=sencosr 2 , referida al mismo polo,pero cuando el eje polargira un ngulode 45.

SOLUCIN

Previamente, tenemos que pasar al sistema cartesianola ecuacin dada para poder hacerel giro.

La ecuacin dada puede expresarse como:

8=senrcosr

Sustituyendo: cosr=x y senr=y :

La ecuacin dada tiene la forma:

8=yx ............................................................................................................................... (1)

Las ecuaciones de giroen este caso son, sabiendo que:

2

1=45cosy

2

1=45sen

00

2

y+x=45cosy+45senx=y

2

y'x'=45seny-45cosx=x


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Sustituyendo en (1) queda:

8=2

yx

2

y-x

+

Haciendo operaciones:

16=yx -22

8=2

yx22 -

Esta es la ecuacin transformada, pero en sistema cartesiano; habr que regresarnuevamente a polarespara obtener la solucin definitiva. Al aplicar las correspondientesecuaciones de cambio, resulta:

16=senr-cosr2222 16sen-cos(r 222 = }

Pero se sabe que: 2cos=sen-cos22 . Por tanto:

16=2cosr2

2sec16=2cos

116=r

2

Sabiendo que: 2sec=2cos

1

Extrayendo raz cuadrada a ambos miembros se tiene:

2sec4=r

Que es la nueva ecuacin polar.

4. Trazado de una curva dada suecuacin polar.

Para localizar puntos o parabosquejar las grficas, se hace en papel

coordenado polar, que se construye de lasiguiente forma:

A partir de un punto que es el polo,se trazan crculos concntricosigualmente espaciados. Los puntossituados sobre el lado terminal del ngulocorresponden a valores positivosde lasdistanciasy los puntos situados sobre laprolongacin del lado terminal del ngulo


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sern para los valores negativosde las distancias, como se muestra en la figuraanterior.

Para graficar una ecuacin polar, procedemos igualmente que con las ecuacionescartesianas, dando valores al ngulo entre 0 y 360, haciendo uso de preferencia del papelcoordenado polar.

EJEMPLO 1. Trazarla curva cuya ecuacin polares: cos8=r .

SOLUCIN

Se hacen las operaciones para cada valor de segn la ecuacin. Para obtener lascorrespondientes ar, obtenindose la siguiente tabla de tabulacin

La figurasiguiente muestra los resultados grficos obtenidos.

EJEMPLO 2. Trazarla curva llamada cardiode, cuya ecuacin polares: )cos+1(a=r .

SOLUCIN

Para la efectuar las operaciones haremos a = 4.

Procediendo en forma ordenada, asignando los valores al ngulo , partiendo de 00 yaumentando de 300 en 300. Efectuando las operaciones indicadas por la ecuacin dadapara cada uno de los valores del ngulo.

De esta manera se tiene la siguiente tabla de tabulacin.

r

00 = 00 8

/6 = 300 6.9=34

/3 = 600 4

/2 = 900 0

2/3 = 1200 -4

5/6 = 1500 6.9-=34-

= 1800 -8


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La siguiente figuramuestra los resultados grficosobtenidos.

EJEMPLO 3. Un segmento de longitud constante a se desplaza con sus extremos sobre los ladosde un ngulo recto. Del vrticede este ngulo se traza la perpendicular delsegmento dado. Encontrar el lugar geomtrico de las bases de estas

perpendiculares.

SOLUCIN

Segn el enunciadotenemos la figuraadjunta:

La ecuacin del lugargeomtrico dado puedeestablecerse fcilmente enun sistema de coordenadaspolarescomo se puede ver

en la figuraadjunta.

Sea la longitud, a2=AB yM en un punto cualquieradel lugar geomtrico.

Del triangulo 0MA se tiene:

cos0A=r (1)

r

00 8=)2(4=)1+1(a

/6 = 300 7=)1.86(4=2

3+1a

/3 = 600 6=2

34=

2

1+1a

/2 = 900 4=)1(4=)0+1(a

2/3 = 1200 2=2

14=

2

1-1a

5/6 = 1500 0.5=)0.13(4=2

3-1a

= 1800 0=)0(4=)1-1(a

3/2 = 2700 4=)1(4=)0+1(a

2 = 3600 8=)2(4=)1+1(a


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Del triangulo 0AB se tiene:

sena2=senAB=0A

Por lo tanto, sustituyendo en(1):

cossena2=r

Luego:

2sena=r

Estudiando la dependenciade rcon respecto a puedeafirmarse que la curvabuscada tiene la forma que semuestra en la figuraadjunta.

Esta curva se llama rosa de cuatro ptalos.

5. Ecuacin de las curvas de segundo grado en coordenadas polares

Hemos visto que la elipse, lahiprbola y la parbola tienen unapropiedad comn. Son el lugargeomtrico de los puntos para loscuales la relacin entre su distancia aun punto F (foco) y su distancia auna recta dada (directriz) es igual a

la excentricidadde la curva como seve en la figuraadjunta:

Dicha propiedad comnpermite deducir, para las tres curvasuna ecuacin general en el sistemade coordenadas polares.

Segn la figura:

ELIPSE1e=NM

MF

33

3

Considerando, segn la figuraanterior, que F es el focode la izquierda de la elipse, o el


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Sustituyendo este valor en (3).

cosr+e

P=NM

Sustituyendo los valores de MF y NM en la primera igualdad (1) tenemos:

e=

cosr+e

pr

Despejando a r:

cosre+P=cosr+e

Pe=r

( ) P=cose-1r

De donde:

cose-1

P=r ...................................................................................................................... I

1. Si e < 1, la ecuacin define una elipse. Mediante ella se obtienen todos los puntos de laelipsehaciendo variar de 0 a 2.

2. Si e = 1, la ecuacin nos define una parbola, haciendo variar de 0 a 23. Si e > 1, la ecuacin nos define una hiprbolapara los ngulos que cumplan:

0 < < 2 - 0

Donde 20 es el ngulo entre las asntotas, o sea,a

b=tan 0 adquiere valores positivos

para rya que no es difcil demostrar que para todos estos ngulos 1 - ecos > 0. A estos valoresde y r correspondern puntos de larama derecha de la hiprbola.

Para ngulos tales que:

- 0 < < 0

La ecuacin I dar valores

negativosde r.Demostraremos que, si en este

caso se emplean coordenadas polaresse obtienen los puntos de la ramaizquierda de la hiprbola.

Deduciremos la ecuacin de larama izquierda de la hiprbola,considerando r> 0, y la figura adjunta:


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De acuerdo a la propiedad se tiene la relacin:

e=NM

MF............................................................................................................................. (1)

Donde, observando la figuraanterior:

r=MF ............................................................................................................................... (2)

LN-LM=NM ................................................................................................................... (3)

Segn el triangulo rectngulo FML.

cosr-LMr

LM=cos- .......................................................................................... (4)

Por la propiedad de las directricesde la hiprbolaque dice:

La relacin entre la distancia de un punto cualquiera de la hiprbola a un foco y ladistancia de ese punto a la directriz correspondiente es una cantidad constante igual a laexcentricidad, aplicada en este caso se tiene que:

e

P=LNe=

LN

P........................................................................................................... (5)

Sustituyendo (4) y (5) en (3) queda:

e

P-cosr-=NM ............................................................................................................. (6)

Segn (1), sustituyendo (2) y (6) se tiene:

e=

e

P-cosr-

r

Despejando:

P-cosre-=e

P-cosr-e=r

P=cosre+r ( ) P=cose+1r

cose+1

P=r .................................................................................................................... II


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Para poder obtener que r> 0 es necesario que:

+


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Sustituyendo valores en I, la ecuacin de la hiprbolaen coordenadas polaresser:

4

cos5-44

9

=

cos4

5-1

4

9

=r

Por tanto:

cos5-4

9=r


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Nombre de archivo: coordenadas polaresDirectorio: C:\Geometria_analiticaPlantilla: C:\WINDOWS\Application Data\Microsoft\Plantillas\Normal.dotTtulo: XIAsunto:Autor: Pablo Fuentes RamosPalabras clave:Comentarios:

Fecha de creacin: 11/04/02 12:12 P.M.Cambio nmero: 61Guardado el: 19/06/02 10:21 A.M.Guardado por: Pablo Fuentes RamosTiempo de edicin: 1,416 minutosImpreso el: 19/06/02 10:22 A.M.ltima impresin completa

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