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MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
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Transcript
Page 1: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 2: Coordenadas Polares

Analizamos de la siguiente manera:

)(t

)(re

)( re

1

)( e

e

e

eee rr

Por definición de límite:

...(1)

MECÁNICA DINÁMICA 2

Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 3: Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

θ(t)

P

o x

Línea radial

Línea o eje fijo

La posición de la partícula P, en coordenadas polares respecto del origen O , sería:

Vp

Nos fijamos en este término,

¿Qué es?

MECÁNICA DINÁMICA 3

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 4: Coordenadas Polares

)(t

)(re

)( re

1

)( e

e

e

eee rr

Por ser un arco muy pequeño

Magnitud:

Por otro lado: (Por suma de vectores)

Reemplazando en (I):

L = r x Δθ

Por tanto:

MECÁNICA DINÁMICA 4

Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 5: Coordenadas Polares

)(t

)(re

)( re

1

)( e

e

e

eee rr

MECÁNICA DINÁMICA 5

Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 6: Coordenadas Polares

Inscribiendo las coordenadas polares dentro de los ejes cartesianos fijos:

re

e y

xcos

sen

sen

cos 11

MECÁNICA DINÁMICA 6

Método alternativo para obtener las derivadas de los vectores unitarios polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 7: Coordenadas Polares

re

e

y

xcos

sen

sen

cos 11

De modo que:

Si derivamos el vector er:

MECÁNICA DINÁMICA 7

Método alternativo para obtener las derivadas de los vectores unitarios polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 8: Coordenadas Polares

re

e

y

xcos

sen

sen

cos 11 De igual forma para el otro vector:

MECÁNICA DINÁMICA 8

Método alternativo para obtener las derivadas de los vectores unitarios polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 9: Coordenadas Polares

)(t

)(re

)( re

1

)( e

e

e

eee rr

MECÁNICA DINÁMICA 9

Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 10: Coordenadas Polares

Entonces:

MECÁNICA DINÁMICA 10

Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 11: Coordenadas Polares

En el caso especial de Movimiento Circular: r = cte

O

P

MECÁNICA DINÁMICA 11

Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 12: Coordenadas Polares

Coordenadas Rectangulares

v

Δr

vy

vx ax

ay a

rp(t + Δt)

rp(t)

x

y

Coordenadas Normales y

Tangenciales

v Δs

a

x

y

Coordenadas Polares

v

Δr

a

rp(θ + Δ θ)

rp(θ)

x

y

θ

Comparación de los diferentes sistemas coordenados :

MECÁNICA DINÁMICA 12

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 13: Coordenadas Polares

En el caso especial de Movimiento Circular: r = cte

O

P

MECÁNICA DINÁMICA 13

Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 14: Coordenadas Polares

Problema 1: Un mecanismo que consiste en un brazo ranurado, está fijado en un pivote O . El pivote O se encuentra a 0.4 m a la izquierda del centro C, sobre el diámetro horizontal de un anillo de radio igual a 0.5 m . El brazo rota a velocidad angular constante de 4 rad/s en sentido antihorario y arrastra una esferita P, dentro de la ranura, sobre el borde circular del anillo . Analizar la cinemática de la esfera P para la posición de θ = 37o

θ (t)

C O

0.4m

MECÁNICA DINÁMICA 14

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 15: Coordenadas Polares

Solución:

0.5

0.4

MECÁNICA DINÁMICA 15

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 16: Coordenadas Polares

Solución:

Entonces, reemplazando datos:

MECÁNICA DINÁMICA 16

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 17: Coordenadas Polares

O

r

θ

B

A

Problema 2: La rotación del brazo OA de 0.9 m alrededor de O puede definirse como θ = 0.15 t2, donde θ se expresa en radianes y t en segundos. El collarín B desliza a lo largo del brazo, de tal modo que su distancia desde O es r = 0.9 – 0.12 t2 , donde r está metros. Determine la magnitud de la velocidad y aceleración del collarín cuando el brazo OA ha girado 30º.

MECÁNICA DINÁMICA 17

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 18: Coordenadas Polares

Solución:

θ r

B

O

er eθ

Podemos hallar el tiempo para el cual θ = 30º = 0.524 rad, de la expresión:

Reemplazamos dicho valor en las expresiones:

Entonces, la velocidad del collarín B es:

MECÁNICA DINÁMICA 18

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 19: Coordenadas Polares

Solución:

θ r

B

O

er eθ Luego, la aceleración del collarín B, será:

MECÁNICA DINÁMICA 19

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 20: Coordenadas Polares

Problema 3: En el mecanismo mostrado, la distancia d mide 150 pulg; la barra AB tiene 0.7 rad/s de velocidad angular en sentido antihorario y 0.3 rad/s2 de aceleración angular en sentido horario. Utilizando coordenadas polares encontrar la velocidad y la aceleración del punto A en cuando Ө =60° .

B

A

O

d

θ

r

MECÁNICA DINÁMICA 20

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 21: Coordenadas Polares

Solución: Datos:

Del gráfico tenemos que:

Para θ = 60°:

Luego:

Además tenemos:

Por tanto:

ar

60° 30°

MECÁNICA DINÁMICA 21

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 22: Coordenadas Polares

Problema 4: La partícula P se mueve en una trayectoria como la señalada en la figura. Determine el vector aceleración, magnitud y dirección, además dibuje dicho vector con su correspondiente dirección en el punto correspondiente de la trayectoria cuando Ө = 30° (v0 = constante ).

b

y

O A

x θ

R P

R = b cos 3θ v0

MECÁNICA DINÁMICA 22

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 23: Coordenadas Polares

Solución:

y

O A x P

v0

30°

30°

Datos:

Para θ = 30° :

Luego:

Por otro lado:

Reemplazando:

MECÁNICA DINÁMICA 23

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 24: Coordenadas Polares

Problema 5: El cable AB, conectado a un motor que va enrollándolo sobre un eje-cilindro de acero (“winche”), arrastra ( tracciona) al vagón de la figura mostrada, a quien le imprime una velocidad de 5 pies/s. Para la posición de Ө = 60°, se pide: a) La velocidad de B y la velocidad angular del cable de tracción. b) La aceleración de B y la aceleración angular del cable AB.

A

12 pies

B

R

θ

MECÁNICA DINÁMICA 24

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 25: Coordenadas Polares

Solución:

60°

5 pies/s B

Entonces:

Del gráfico, tenemos que:

Por tanto:

Luego:

Del gráfico vectorial:

Entonces:

MECÁNICA DINÁMICA 25

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 26: Coordenadas Polares

Problema 6: La manivela OA de 15 cm, de un mecanismo oscilante de retroceso rápido gira en sentido antihorario, con una velocidad constante de 10 rad/s. Para las posiciones indicadas, hallar la aceleración angular del brazo BD.

D

A

B

O

32.5 cm

15 cm

ω = 10 rad/s θ

MECÁNICA DINÁMICA 26

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 27: Coordenadas Polares

**Gráfica de todas las posiciones del seguidor A y de la barra AD:

MECÁNICA DINÁMICA 27

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 28: Coordenadas Polares

Videos demostrativos de dos prototipos desarrollados en MDI:

Prototipo 1 Prototipo 2

MECÁNICA DINÁMICA 28

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 29: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 29

Antes de resolver debemos analizar el movimiento del mecanismo:

D

B

A

O

Page 30: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 30

Antes de resolver debemos analizar el movimiento del mecanismo:

D

B

A

Podemos darnos cuenta que la barra BD está subiendo y bajando en un movimiento oscilante. La distancia BD no cambia en el tiempo.

Debido al movimiento del pin A (hacia adentro y hacia afuera), la distancia BA sí cambia.

Page 31: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 31

Antes de resolver debemos analizar el movimiento del mecanismo:

El movimiento de la barra OA es MCU, por lo tanto la distancia OA no cambia en el tiempo, es constante e igual a 15 cm.

Debido al acoplamiento del pin A con la barra OA, el movimiento del pin sobre la barra AD está limitado por la barra OA y no al revés.

O

A

Page 32: Coordenadas Polares

Primero debemos completar nuestros datos. Del gráfico tenemos que:

Para θ (AOC )= 60º

Podemos hallar ф por su tangente:

En el triángulo ABC, aplicamos ley de senos:

º18

cm5.32

º42

º6015sen

º60cos15

º60θ

15sradθ /10

B

D

O C

A

ф

MECÁNICA DINÁMICA 32

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 33: Coordenadas Polares

Aislamos la barra OA de nuestro sistema y la analizamos:

Para θ (AOC )= 60º

La barra OA se mueve con MCU, con radio cte = 15cm

Hallamos la velocidad del punto A:

º48

º42

cm15

sradθ /10

D

O C

A

º60ф ree

MECÁNICA DINÁMICA 33

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 34: Coordenadas Polares

Aislamos la barra OA de nuestro sistema y la analizamos:

Para θ (AOC )= 60º

- Ahora hallamos las aceleraciones del pin A:

Recordemos:

En el 1º término, como el radio no cambia en el tiempo, = 0 ; lo que nos deja:

La cual tiene dirección radial hacia adentro.

º42

º48

º42

cm15

srad/10

D

O C

A

º60ф

ree

MECÁNICA DINÁMICA 34

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 35: Coordenadas Polares

Aislamos la barra OA de nuestro sistema y la analizamos:

Para θ (AOC )= 60º

Entonces, la aceleración del pin A (en el sistema de la barra OA) es:

º48

º42

cm15

srad/10

D

O C

A

º60ф

º42

ree

MECÁNICA DINÁMICA 35

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 36: Coordenadas Polares

Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA):

Para θ (AOC )= 60º

Escribimos los nuevos datos calculados

cm5.32

º48

º42

15

srad/10

D

O C

A

º60Ф =18º

º42

B

º60cos15

º6015sen

re

e

MECÁNICA DINÁMICA 36

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 37: Coordenadas Polares

cm5.32

º48

º42

15

srad/10

D

O C

A

º60Ф =18º

º42

B

º60cos15

º6015sen

re

e

Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA):

Para θ (AOC )= 60º

Nos fijamos en la velocidad del pin A. Descomponiendo:

Rpta

MECÁNICA DINÁMICA 37

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 38: Coordenadas Polares

cm5.32

º48

º42

15

srad/10

D

O C

A

º60Ф =18º

º42

B

º60cos15

º6015sen

re

e

Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA):

Para θ (AOC )= 60º

Podemos también descomponer la aceleración:

a

ra

MECÁNICA DINÁMICA 38

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 39: Coordenadas Polares

Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA):

Para θ (AOC )= 60º

Reemplazando datos en (I):

Rpta

cm5.32

º48

º42

15

srad/10

D

O C

A

º60Ф =18º

º42

B

º60cos15

º6015sen

re

e

a

ra

MECÁNICA DINÁMICA 39

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 40: Coordenadas Polares

Para θ = 180º

Primero completamos nuestros datos: Al girar en sentido antihorario, la distancia BA será de: 32.5 – 15 = 17.5 cm

A B

O

θ

Esta posición corresponde a:

O

cm15

A 0 º180

B s

rad10

ree

ree

cm5.17

MECÁNICA DINÁMICA 40

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 41: Coordenadas Polares

Para θ = 180º

Analizamos la barra OA: OA se sigue moviendo en MCU , por lo tanto su velocidad tangencial es la misma del caso anterior. Lo mismo para su aceleración, que sólo es normal.

Esta posición corresponde a:

A B

O

θ

cm5.17

O

cm15

A 0 º180

B s

rad10

ree

ree

MECÁNICA DINÁMICA 41

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 42: Coordenadas Polares

Para θ = 180º

Ahora analizamos la barra BA En la barra BA, la velocidad:

En cuanto a la aceleración, hemos dicho que no hay aceleración tangencial respecto a OA, por lo tanto aθ es igual cero.

Rpta

Rpta

cm5.17

O

cm15

A 0 º180

B s

rad10

ree

ree

MECÁNICA DINÁMICA 42

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 43: Coordenadas Polares

Para θ = 90º

Completamos nuestros datos: El brazo AB, ahora mide:

D

A

B O θ Esta posición corresponde a:

Luego, aplicamos ley de senos en BOA:

B O

A

cm5.32

º90

cm15

srad10

º8.24

MECÁNICA DINÁMICA 43

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 44: Coordenadas Polares

D

A

B O θ

Para θ = 90º

Analizamos la barra OA:

En A, tenemos los mismos valores de aceleración (no hay componente tangencial) y velocidad.

scmv /150

2/1500 scma

º8.24

re

eB O

A

cm5.32

º90

cm15

srad10

º8.24

MECÁNICA DINÁMICA 44

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 45: Coordenadas Polares

B O

A

cm5.32

º90

cm15

srad10

º8.24

scmv /150

2/1500 scma

ree

º8.24

Para θ = 90º

Ahora analizamos la barra BA: Podemos descomponer la velocidad:

Además, sabemos que:

Luego, la otra componente será:

Rpta

rv

v

MECÁNICA DINÁMICA 45

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 46: Coordenadas Polares

Para θ = 90º

Ahora analizamos la barra BA:

Descomponemos la aceleración:

Despejando:

Rpta B O

A

cm5.32

º90

cm15

srad10

º8.24

scmv /150

2/1500 scma

ree

rv

v

º8.24

a

ra

º8.24

MECÁNICA DINÁMICA 46

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 47: Coordenadas Polares

Problema 4 (Software): En el mecanismo mostrado, la barra OA mide 15cm y rota en sentido antihorario a razón de 10 rad/s de modo constante. El seguidor A, como se ha observado y explicado en clase se desliza sobre la barra AD.

MECÁNICA DINÁMICA 47

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 48: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 48

a) Graficar la variación de la velocidad relativa del seguidor A con respecto al brazo BD versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 90o para β de cero a 360o

Page 49: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 49

b) Graficar la variación de la velocidad angular de la barra BD versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 90o para β de cero a 360o

Page 50: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 50

c) Graficar la variación de la aceleración de Coriolis versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 30o para β de cero a 90o

Page 51: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 51

d) Graficar la variación de la aceleración angular de la barra BD versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 45o para β de cero a 360o

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

Page 52: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 52

Page 53: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 53

Page 54: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 54

Page 55: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 55

Page 56: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 56

Page 57: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 57

Page 58: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 58

Page 59: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 59

Page 60: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 60

Page 61: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 61

Page 62: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 62

Page 63: Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares

MECÁNICA DINÁMICA 63