APLIKASI TURUNANagus_kurniawan.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pembahasan : •Garis singgung dan garis normal •Panjang garis singgung dan garis normal •Panjang sub normal
Post on 10-Feb-2020
372 Views
Preview:
Transcript
APLIKASI TURUNAN
Pembahasan :
• Garis singgung dan garis normal• Panjang garis singgung dan garis normal• Panjang sub normal dan sub tangen• Sudut perpotongan antara dua kurva• Maksima dan minima• Kelengkungan• Kecepatan dan percepatan• Bentuk tak tentu dan aturan L’Hospital pada limit
Garis Singgung dan Garis Normal
Garis Singgung dan Garis Normal
Contoh 1:
42.42.3)6,2('43' 22 yxxy
24 xy
)2(46 xy
2
1
4
16)2(
4
16 xyxy
.2
13
4
1 xy
Jawab :
Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :
Persamaan garis normal dititik (2,6) :
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal fungsi di (2,6)?62 23 xxy
Contoh 2:
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (1,6) padakurva : y = 3x2 – 2x + 5 ?
Contoh 3:
• Jika diketahui persamaan parameter 𝑥 =𝑡
1−𝑡dan y= 3𝑡2, tentukan persamaan garis singgung, garis
normal dan titik singgung pada t = 2?
Jawab:
• Titik singgung untuk t = 2 adalah (-2,12)
•𝑑𝑥
𝑑𝑡=
𝑡
1−𝑡=
1
(1−𝑡)2
•𝑑𝑦
𝑑𝑡= 3𝑡2 = 6𝑡
• ൗ𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑑𝑦
𝑑𝑥= ൗ6𝑡
1
(1−𝑡)2= 6𝑡(1 − 𝑡)2
• m1 = 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 6𝑡(1 − 𝑡)2= 6(2)(1 − 2)2 = 12 m2 = −
1
12
Contoh 4:
• Tentukan persamaan garis singgung kurva x2– 2xy + y2– x + 3y + 2 = 0 di titik (0,-2)?
Jawab:
• (2x – 2y – 1) + (-2x + 2y + 3)y’ = 0
• y’ = 3
• Jadi persamaan garis singgung : y + 2 = 3(x-0) atau y = 3x – 2
Contoh 5:
Contoh 5:
22 2')2( xyyyxyx xyx
xyyy
2
2
2
2'
Di titik (1,3)
35
15
13.1.2
9.1.23|' )3,1(
y
Persamaan garis singgung
33)1(33 xxy
63 yx
Persamaan garis normal
3
1
3
1)1(
3
13 xxy
83 yx
Di titik (1,-2)
25
10
1)2.(1.2
4.1.22|' )2,1(
y
Persamaan garis singgung22)1(22 xxy
42 yx
Persamaan garis normal
2
1
2
1)1(
2
12 xxy
32 yx
Soal :
1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari kurva :
a) y =1
2x2 + 1 di titik (1,
1
2)
b) x2 − xy2 + 3y2 = 13 di titik P(2,3)
2. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari fungsi parameter :
a) ቊx = 4t − 3y = t2
, di t = 2
b) ൞x =
t2
t+1
y =t−1
t+1
, di t = 1
Contoh 6:
Soal :
• Tentukan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal yang melalui T :
a) Persamaan 𝑧 = 𝑥3 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 dan titik T (1, -1, 4) terletak pada permukaan tersebut.
b) Persamaan 𝑧 =𝑥
𝑦2−
𝑦
𝑥2dan titik T (1, – 1, 2) terletak pada
permukaan tersebut.
Panjang Garis Singgung, Garis Normal, Sub Normal Dan Panjang Sub Tangen
• Panjang Subtangen
QR = 𝒚𝟎
𝒎
• Panjang Subnormal
RS = 𝒚𝟎.𝒎
• Panjang Garis Singgunng (Tangen)
PQ = 𝑸𝑹𝟐 + 𝑹𝑷𝟐
• Tangen Garis Normal
QS = 𝑹𝑺𝟐 + 𝑹𝑷𝟐
• Gradien
𝒎 = 𝒕𝒈𝜽 =𝑷𝑹
𝑸𝑹
Contoh 7:
Tentukan panjang sub tangen ; panjang subnormal; panjang garis normal danpanjang garis normal dari xy + 2x – y = 5 pada titik (2 , 1)?
Jawab:
• xy + 2x – y = 5 (y +2) + (x – 1) y’ = 0 y’ = −𝑦+2
𝑥−1= -3
• Panjang subtangen = 𝒚𝟎
𝒎= −
𝟏
𝟑= −
𝟏
𝟑
• Panjang subtangen = 𝒚𝟎.𝒎 = 1 (−3) = −3
• Panjang garis singgung = −1
3
2+ 12 =
10
9
• Panjang garis normal = −3 2 + 12 = 10
Soal :
Tentukan panjang sub tangen ; panjang subnormal; panjang garis normal dan panjang garis normal dari :
a. x2 + y2 – 4x - 21 = 0 pada titik (5 , 4)
b. xy2 = 18 pada titik (2,3)
Maksima dan Minima
Contoh:
Tentukan nilai stasioner serta macamnya untuk fungsi f(x) = -x2 + 4x +10
Jawab:
f‘(x) = -2x + 4
Nilai stasioner jika f’(x) = 0
-2x + 4 = 0
x = 2
f < 2 = naik
f > 2 = turun
Contoh:
Contoh:
Contoh:
Contoh:
Nilai Maksimum dan Minimum dari Turunan Kedua
Pada fungsi y = f(x)
• yII > 0 maka kurva cekung ke atas (titik ekstrim = minimum)
• yII < 0 maka kurva cekung ke bawah (titik ekstrim = maksimum)
Contoh:
• Tentukan titik ekstrim fungsi berikut:
• y = -x2 + 6x -2
• y = x2 – 4x + 8
Contoh:
Titik Balik / Titik Belok
Cekung bawah
Cekung atas
Monoto naik
Monoto turun
Syarat titik belok :y‘’ = 0
Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b)) disebut titik belok dari kurva f(x) jika :• terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah kiri
dari x =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah kanan dari x =b fungsi f cekung ke bawah atau sebaliknya
• x = b adalah absis titik belok, jika atau tidak ada.
f b"( ) 0 )(" bf
c
f(c)
(c,f(c)) titik belok
c
f(c)
(c,f(c)) titik belok
Karena disebelah kiri c cekungkeatas dan disebelah kanan c cekung kebawah
Karena disebelah kiri c cekungkebawah dan disebelah kanan c cekung keatas
c
f(c)
(c,f(c)) bukan titik belokKarena disekitar c tidakTerjadi perubahan kecekungan
c
Walaupun di sekitar cTerjadi perubahan Kecekungan tapi tidak adaTitik belok karena f tidak terdefinisi di c
Contoh:
12)(.1 3 xxf
4)(.2 xxf
Tentukan titik belok (jika ada) dari
26)(' xxf xxf 12)('',
●0
+++++++-------------
Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1)merupakan titik belok
212)('' xxf
●0
++++++++++++++
Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahankecekungan
f”(x)
x
0
f”(x)
x
0
2
42)(.3
2
x
xxxf
3)2(
8)(''
xxf
●2
+++++--------------
Walaupun di x = 2, terjadi perubahan kecekungan, tidak adatitik belok karena fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2
f”(x)
x
Tidak ada
Contoh:
Tentukan titik ekstrim dan titik belok fungsi y = 1/3x3 – 3x2 + 8x -3 ?
Jawab:
y‘ = x2 – 6x + 8 (x – 2)(x – 4) = 0 x1 = 2, x2 = 4
• Untuk x = 2y = 1/3(2)3 – 3(2)2 + 8(2) -3 = 3,67 (2, 3.67)
y’’ = 2x – 6 y = 2(2) – 6 y = -2 (y’’<0 = titik maksimum)
• Untuk x = 4y = 1/3(4)3 – 3(4)2 + 8(4) -3 = 2,33 (4, 2.33)
y’’ = 2x – 6 y = 2(4) – 6 y = 2 (y’’> 0 = titik minimum)
Titik belok :
• y’’ = 2x – 6 y’’ = 0
• 2x – 6 = 0 x = 3
• y = 1/3(3)3 – 3(3)2 + 8(3) -3 = 3 titik balik (3,3)
Soal:
• Tentukan titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik :a. y = -3x3 + 15x2 – 48x
b. y = x3 + 27x2
Kecepatan dan Percepatan
Contoh:
Contoh:
Posisi partikel ditunjukkan oleh pers. s=f(t)=t3-6t2+9t (t dlm detik dan s dlm meter).a. Cari kecepatan pada waktu tb. Cari kecepatan setelah 2 detikc. Kapan partikel berhentid. kapan partikel bergerak maju ?
• Jawab:
L’Hospital pada Limit
Contoh:
• Tentukan nilai limit dari lim𝑥→2
=𝑥2−4
𝑥−2...
Jawab:
Contoh:
• Tentukan nilai limit dari lim𝑥→1
=ln 𝑥
𝑥−1...
• Jawab:
top related