51 ตรีโกณมิติ ตอนที่8_ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ตรโกณมต (เนอหาตอนท 8)

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

โดย

รองศาสตราจารย จตรจวบ เปาอนทร

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

สอการสอน เรอง ตรโกณมต สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต 2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส - อตราสวนตรโกณมต - อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย - เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมมและหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1 - ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม - คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2 - ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ

6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3 - คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม - สตรผลคณ ผลบวกและผลตางของฟงกชนตรโกณมต

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและกฎของโคไซน - กฎของไซน - กฎของโคไซน

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- ฟงกชนตรโกณมตผกผน - สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

8. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 11. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 12. แบบฝกหด (ขนสง) 13. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย 14. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน 15. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

เรอง ตรโกณมต (ฟงกชนตรโกณมตผกผน) หมวด เนอหา ตอนท 8 (8 / 8) หวขอยอย 1. ฟงกชนตรโกณมตผกผน 2. สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน 1. เขาใจในมโนทศนของตวผกผนของฟงกชนตรโกณมตและเงอนไขทท าใหตวผกผนของ

ฟงกชนตรโกณมตเปนฟงกชนได 2. หาคาฟงกชนตรโกณมตผกผนได 3. วาดกราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผนได 4. เขาใจสมบตตาง ๆ ของฟงกชนตรโกณมตผกผนโดยพจารณาจากกราฟ ผลการเรยนร ผเรยนสามารถ 1. บอกเงอนไขทท าใหตวผกผนของฟงกนตรโกณมตทง 6 แบบ เปนฟงกชนได 2. หาคาฟงกชนตรโกณมตผกผนได 3. วาดกราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผนได 4. น าความรเกยวกบสมบตตาง ๆ ของฟงกชนตรโกณมตผกผนมาประยกตในการแกปญหาได

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด

1. ฟงกชนตรโกณมตผกผน

1. ฟงกชนตรโกณมตผกผน ในตอนท 8 น นกเรยนจะไดศกษาเรองของฟงกชนผกผนของฟงกชนตรโกณมต แตตองท า ความเขาใจกนกอนวา โดยทว ๆ ไปแลว ตวผกผนของฟงกชนใด ๆ อาจไมเปนฟงกชน เชน ถา f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (b, 3)} เปนฟงกชนจาก {a, b, c, d} ไปยง {1, 2, 3}

แตตวผกผนของ f คอ f –1 = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, b)} ไมเปนฟงกชน เนองจาก (1, a) และ (1, b) f

–1 แต a b

จากตอนท 7 นกเรยนไดเหนสมบตหนงของฟงกชนตรโกณมตทงหลายทกลาววา ฟงกชนตรโกณมตเปนฟงกชนทมคาบ กลาวคอ

เราอยากจะศกษาตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต และตองการใหตวผกผนเหลานเปนฟงกชนดวย ดงนนเราตองจ ากดโดเมนของฟงกชนตรโกณมตตาง ๆ เสยกอน ซงกคอการก าหนดเงอนไขใหกบฟงกชนตรโกณมต เพอใหตวผกผนเปนฟงกชน และเราจะเรยกฟงกชนผกผนนวา ฟงกชนตรโกณมตผกผน

ฟงกชนไซน

ฟงกชนโคไซน

ฟงกชนแทนเจนต

ฟงกชนโคซแคนต

ฟงกชนซแคนต

ฟงกชนโคแทนเจนต

ส าหรบตวอยางสดทาย เราสามารถใชอกวธในการแสดงวา

sin (arctan x) = 2

1 x เมอ x

ให x และ y = arctan x แลว tan y = x , y2 2

ใชเอกลกษณตรโกณมต sec2 y = 1 + tan

แลว sec2 y = 1 + x

แต sec y > 0 ดงนน sec y = 21 x

แลว sin (arctan x) = sin y = 1

tan ysec y

1 x 1 x

ตอไปนกเรยนสามารถใชวธท านองเดยวกนน พสจนขอความตอไปน

1. cos (arcsin x) = sin (arccos x) = 21 x , x [–1, 1]

2. tan (arccot x) = cot (arctan x) = 1

x , x – {0}

3. cos (arctan x) = sin (arccot x) = 2

1 x , x

4. sin (arctan x) = cos (arccot x) = 2

1 x , x

แบบฝกหดเพมเตม เรอง

ฟงกชนตรโกณมตผกผน 1. จงหาคาตอไปน

1.1 arcsin (– 1) 1.2 arccos 3

1.3 arctan 3

1.4 arccsc 2

1.5 arcsec (– 2) 1.6 arccot (– 1)

1.7 arcsin 1

1.8 arccos 2

2. จงหาคาตอไปนโดยใชตารางคาฟงกชนตรโกณมต

2.1 arcsin 0.2784 2.2 arccos 0.3118

2.3 arctan 0.1944 2.4 arccot 1.9626

2.5 arcsin (– 0.6561) 2.6 arccos (– 0.5736) 3. จงหาคาตอไปน

3.1 cos 1

arcsin2

3.2 tan 1

arcsin3

3.3 sin (arctan (– 3)) 3.4 cot 3

arccos3

3.5 sec 2 5

arcsin5

3.6 tan 1

arccos3

3.7 cosec 1

arccos3

3.8 sin (arctan (– 2))

4. จงแสดงวา

4.1 cos (arcsin x) = 21 x , x [– 1, 1]

4.2 sin (arccos x) = 21 x , x [– 1, 1]

4.3 tan (arccot x) = 1

x , x – {0}

4.4 cot (arctan x) = 1

x , x – {0}

4.5 cos (arctan x) = 2

1 x , x

4.6 sin (arccot x) = 2

1 x , x

4.7 cos (arccot x) = 2

1 x , x

5. จงใชขอ 4. ในการหาคาตอไปน

5.1 cos 3

arcsin2

5.2 sin 1

arccos2

5.3 tan (arccot 5) 5.4 cos 1

arccot3

5.5 sin 1 1

arccot cos arctan13 13

2. สมบตและความสมพนธของ

2. สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน เราสามารถพสจนสมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผนไดจากบทนยาม แตเพอให

นกเรยนไดคนเคยกบกราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน เราจะใชกราฟของฟงกชนเหลานหาสมบตบางประการ ฟงกชน arcsin

สรปไดวา เมอ x [– 1, 1]

และถาจะใชบทนยามเพอพสจนขอความขางตน ท าไดดงน

สมมต y = arcsin (– x) เมอ y , 2 2

แลว sin y = – x ดงนน x = – sin (y) = sin (– y)

จะไดวา – y = arcsin x หรอ y = – arcsin x นนเอง

สรปไดวา arcsin (– x) = arcsin x

arcsin (– x) = – arcsin x

ฟงกชน arccos

สรปไดวา เมอ x [– 1, 1]

สมมต y = arccos (– x) เมอ y [0, ]

แลว cos y = – x

เรามวา cos ( – y) = – cos y

ดงนน cos ( – y) = – ( –x) = x

จงไดวา – y = arccos x หรอ y = – arccos x นนเอง

สรปไดวา arccos (– x) = – arccos x

arccos (– x) = – arccos x

ฟงกชน arctan

สรปไดวา เมอ x

xlim arctan x

และ

xlim arctan x

สมมต y = arctan (– x) เมอ y , 2 2

แลว tan y = – x ดงนน x = – tan (y) = tan (– y) จงไดวา – y = arctan x หรอ y = – arctan x นนเอง สรปไดวา arctan (– x) = – arctan x

นอกจากสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผน 3 ฟงกชนคอ 1. arcsin (– x) = – arcsin x , x [– 1, 1]

2. arccos (– x) = – arccos x , x [– 1, 1]

3. arctan (– x) = – arctan x , x

arctan (– x) = – arctan x

เรายงหาสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผนทเหลอไดดงน

ขอพสจน ให y = arccsc (– x) เมอ y , 2 2

– {0}

แลว cosec y = – x ดงนน x = – cosec y = cosec (– y)

จงไดวา – y = arccsc x หรอ y = – arccsc x

สรปไดวา arccsc (– x) = – arccsc x

ขอพสจน ให y = arcsec (– x) เมอ y [0, ] – 2

แลว sec y = – x แต sec ( – y) = – sec y = – (– x) = x

จงไดวา – y = arcsec x หรอ y = – arcsec x

สรปไดวา arcsec (– x) = – arcsec x

ขอพสจน ให y = arccot (– x) เมอ y (0, )

แลว cot y = – x ดงนน cot ( – y) = – cot y = – (– x) = x

จงไดวา – y = arccot x หรอ y = – arccot x

สรปไดวา arccot (– x) = – arccot x

arccsc (– x) = – arccsc x

arcsec (– x) = – arcsec x

arccot (– x) = – arccot x

และจากบทนยามเรากสามารถพสจนความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผนมากมายดงน

สรปเปน

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง จงหาคาของ arctan 1

2 + arctan 1

วธท า สมมต x = arctan 1

2 และ y = arctan 1

ดงนน tan x = 1

2 , x 0,

และ tan y = 1

3 , y 0,

เราตองการหาคา x + y โดยท x + y (0, )

เนองจากเรามคา tan x และ tan y เราจะใชสตร

tan (x + y) = tan x tan y

1 tan x tan y

เมอแทนคา tan x และ tan y จะได

tan (x + y) =

2 3 6 1 1 5

12 3 6

แต tan 4

= 1 ดงนน x + y =

ฉะนน arctan 1

2 + arctan

นกเรยนไดเหนวธการพสจนขอความทเกยวกบฟงกชนตรโกณมตผกผน หรอหาคาของนพจน ทประกอบดวยฟงกชนตรโกณมตผกผนกนแลว ซงกคอเรมตนดวยการก าหนดตวแปรตวใหมใหเทากบฟงกชนตรโกณมตผกผนทปรากฏในขอความ ซงอาจจะมตวแปรใหมหลายตวได แลวจงใชบทนยามของฟงกชน ตรโกณมตผกผนนน ๆ เพอพสจนและหาคาทตองการตอไป และนอกจากนนเราอาจตองใชสตรทเกยวกบฟงกชนตรโกณมตประกอบดวย ดงตวอยาง 2 ตวอยางตอไปน

ตวอยาง จงหาคาของ sin 1 52arctan arctan

วธท า สมมต x = arctan 1

5 และ y = arctan

ดงนน tan x = 1

5 , x 0,

และ tan y = 5

12 , y 0,

เราตองการหาคา sin (2x – y)

เรามสตร sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

ถาแทน A ดวย 2x และแทน B ดวย y แลวเราตองหาคา sin 2x , cos 2x , sin y และ cos y ดงน

จาก tan x = 1

5 และ tan y =

12 จะไดรปสามเหลยมมมฉากตอไปน

ดงนน sin (2x) = 2 sin x cos x = 1 5 10 5

2 26 1326 26

cos (2x) = cos2 x – sin

25 1 24 12

26 26 26 13

sin y = 5

13 และ cos y =

ฉะนน sin (2x – y) = sin (2x) cos y – cos (2x) sin y = 5 12 12 5

013 13 13 13

จะไดวา sin 1 5

2arctan arctan 05 12

ตวอยาง จงพสจนวา ถา x > 1 แลว 2 arctan x + arcsin 2

วธท า ให x > 1 และให y = arctan x และ z = arcsin2

แลว tan y = x , y 0,2

และ sin z = 2

1 x , z 0,

เราตองแสดงวา 2y + z =

จะใชสตรของฟงกชนตรโกณมต (เลอกใช sin หรอ tan กได)

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

แทน A ดวย 2y และแทน B ดวย z

จาก tan y = x และ sin z = 2

1 x จะไดรปสามเหลยมมมฉากตอไปน

แลว sin (2y + z) = sin (2y) cos z + cos (2y) sin z

= 2 sin y cos y cos z + (cos2 y – sin

2 y) sin z

2 2 2 22 2

x 1 x 1 1 x 2x2

1 x 1 x 1 x 1 x1 x 1 x

เรามวา sin (n) = 0 ทก n

แต 2y + z 3

ดงนน 2y + z = เทานน

จงสรปไดวา 2 arctan x + arcsin2

2 2 2 2 2(1 x ) 4x |1 x | x 1

ตอไปเปนการประยกตฟงกชนตรโกณมตผกผน

แบบฝกหดเพมเตม เรอง

สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน 1. จงหาคาตอไปน

1.1 arcsin 1

+ arccos1

1.2 3 arccsc (5) – 3 arcsin 1

1.3 arcsin 2 2cos sin12 12

1.4 arctan 1 + arctan 2 + arctan 3

1.4 arctan1

3 + arctan

5 + arctan

7 + arctan

8 1.6 4 arctan

5 – arctan

2. จงหาผลเฉลยของสมการ

2.1 arctan 2x + arctan 3x = 4

2.2 arctan x 1

+ arctan x 1

2.3 arcsin 2arccos x2

= 0 2.4 2 arcsin x + arcsin 22x 1 x

3. จงแสดงวา 3.1 arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 =

3.2 ถา x > 0 แลว arctan x + arctan1

3.3 ถา x < 0 แลว arctan x + arctan1

3.4 sin 2x x

2arccos 12 2 2

ทก x [–2, 2]

3.5 ถา x = arctan1

7 และ y = arctan

3 แลว cos 2x = sin 4y

4. ใหนกเรยนไปวดสวนตาง ๆ ของสนามฟตบอลในโรงเรยนของนกเรยน แลวจงหาวานกเรยนจะตอง

เตะบอลในต าแหนงจดโทษ ดวยมมเตะไมเกนเทาใด ถงจะท าใหลกบอลไมเลยคานประต เมอ

4.1 ยงบรเวณกลาง ๆ ประต 4.2 ยงบรเวณรม ๆ ประต

สรปสาระส าคญประจ าตอน

เอกสารอางอง

1. ด ารงค ทพยโยธา, เสรมความรมงสโอลมปกคณตศาสตรโลกตรโกณมต,

โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2550.

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด / เนอหาเพมเตม

แบบฝกหดระคน

1. จงหาคาของ sin 1 5arcsin arccos

ก. 5 3 12

ข. 5 3 12

ค. 5 12 3

ง. 5 12 3

2. จงหาคาของ arctan 1 3

+ arctan 1 3

ก. 2

ข. 2

ง. 4

3. จงหาคาของ arccos (0.3) + arccos (– 0.3)

ก. 4

ข. 3

ค. 2

4. ถา arcsin (5x) + arcsin x = 2

จงหาคาของ tan (arcsin x)

ก. 1

5 ข. 1

2 ค. 1 ง. 5

5. จงหาคาของ cos (arctan 2) – sin (arctan (– 2))

ก. 1

5 ข. 3

5 ค. 3

5 ง. 1

6. จงหาจ านวนจรงบวก x ซง tan (arcos x) = sin (arctan 3 )

ก. 2

5 ข. 2

7 ค. 1

3 ง. 1

7. จงหาคาของ sin120

arctan119

ก. 120

169 ข. 120

121 ค. 119

120 ง. 120

8. จงหาคาของ cos1 1

2arctan sin arctan13 13

ก. 84

85 ข. 1

170 ค. 84 1

85 170 ง. 84 1

85 170

9. จงพจารณาวาขอใดตอไปนถกตอง

ก. arccos (– x) = – arccos x , x [– 1, 1]

ข. arccsc x = arcsin 1

, x [– 1, 1] – {0}

ค. arcsec 1

= arccos x , x [– 1, 1] – {0}

ง. arctan x + arccot x = , x

10. จงพจารณาวาขอใดตอไปนผด

ก. cos (arcsin x) = sin (arccos x) , x [– 1, 1]

ข. tan (arccot x) = cot (arctan x) , x 0

ค. cos (arccot x) = x sin (arccot x) , x

ง. sin (arctan x) = – cos (arctan x) , x

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด

เฉลยแบบฝกหด เรองฟงกชนตรโกณมตผกผน

1. 1.1 2

2. 2.1 0.2822 2.2 1.2537 2.3 0.1920

2.4 0.4712 2.5 – 0.7156 2.6 2.1817

3. 3.1 3

2 3.2 2

4 3.3 3 10

10 3.4 2

3.5 5 3.6 2 2 3.7 3 2

4 3.8 2 5

5. 5.1 1

2 5.2 3

2 5.3 1

5 5.4 10

10 5.5 26

เฉลยแบบฝกหด เรองสมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

1. 1.1 2

1.2 0 1.3 3

1.4 1.5 4

2. 2.1 1

6 2.2 2

2 2.3 2

2 2.4 3 1

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. ง 2. ข 3. ง 4. ก 5. ข

6. ข 7. ก 8. ค 9. ค 10. ง

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

51 ตรีโกณมิติ ตอนที่8_ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

Documents

44 ตรีโกณมิติ...

ตอนที่ 01 -...

ตอนที่ 1...

43 ตรีโกณมิติ บทนำ

clpt 8_ (2)

Chapter -8_-_organizing_the_business1.0

21 จำนวนจริง...

ตอนที่ 01 · 2019-04-09 · ~ ยอนิม ~...

บทที่ 5 ตรีโกณมิติ ·...

ตอนที่ -...

KAMATSU PC138US-8_

ตอนที่ 2 - thaischool.in.th · 63...

8_ภาคที่ 4

KAMATSU PC220_220LC-8_

8_ Auto_Ingles_para_Viajar_por_el_Mundo.pdf

46 ตรีโกณมิติ...