44 ตรีโกณมิติ ตอนที่1_อัตราส่วนตรีโกณมิติ

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ตรโกณมต (เนอหาตอนท 1)

อตราสวนตรโกณมต

โดย

รองศาสตราจารย จตรจวบ เปาอนทร

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ตรโกณมต สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต 2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส - อตราสวนตรโกณมต - อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย - เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมม และหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1 - ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม - คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2 - ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ

6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3 - คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวก และผลตางของมม - สตรผลคณ ผลบวก และผลตางของฟงกชนตรโกณมต

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและโคไซน - กฎของไซน - กฎของโคไซน

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต


2

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- ฟงกชนตรโกณมตผกผน - สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

8. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 11. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 12. แบบฝกหด (ขนสง) 13. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย 14. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน 15. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอน ๆ ทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ตรโกณมต (อตราสวนตรโกณมต) หมวด เนอหา ตอนท 1 (1 / 8) หวขอยอย 1. สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส 2. อตราสวนตรโกณมต 3. อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60 จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน 1. เขาใจในทฤษฎบทพทาโกรสและบทกลบ พรอมทงน าไปใชในการแกปญหาได 2. เขาใจความหมายของอตราสวนตรโกณมตทง 6 แบบ 3. สามารถหาอตราสวนตรโกณมตของมมแหลมในรปสามเหลยมมมฉาก เมอก าหนดความยาว ดานบางดานของรปสามเหลยมมาให 4. รวธการหาอตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60 และน าคาตาง ๆ ทไดไปใชแกปญหาได ผลการเรยนร ผเรยนสามารถ 1. ใชทฤษฎบทพทาโกรส ในการแกปญหาเกยวกบความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉากได 2. ตรวจสอบไดวารปสามเหลยมทก าหนดเปนรปสามเหลยมมมฉากหรอไม 3. หาอตราสวนตรโกณมตของมมแหลมในรปสามเหลยมมมฉาก เมอก าหนดความยาวดาน บางดานของรปสามเหลยมมาให 4. ใชความรเรองอตราสวนตรโกณมต ในการหาความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉากได


4


5

1. สมบตของรปสามเหลยมมมฉาก และทฤษฎบทพทาโกรส


6

1. สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส

เราเรมดวยการทบทวนสมบตของรปสามเหลยมมมฉากกนกอน

อธบายเพมเตมจากสอการสอนวา

ดานตรงขามมมทใหญกวาของรปสามเหลยมใด ๆ ยอมยาวกวา ดานตรงขามมมทเลกกวา เสมอ ดงนน ดานตรงขามมมฉากของรปสามเหลยมมมฉาก ยอมยาวกวา ดานทเหลอ กลาวคอ ส าหรบรปสามเหลยมมมฉาก ABC ทม C เปนมมฉาก

A

c b

B a C

c a และ c b


7

ตอไปเราจะศกษา ความสมพนธของความยาวดานตาง ๆ ของรปสามเหลยมมมฉาก


8

อธบายเพมเตมจากสอการสอนวา ทฤษฎบทพทาโกรส อาจกลาวไดอกแบบหนงวา และบทแยงสลบทของทฤษฎบทพทาโกรส ซงกคอ

จะเปนจรงตามทฤษฎบทพทาโกรส ดวย

ในตอนแรก จะน าทฤษฎบทพทาโกรส ไปใชกบรปสามเหลยมมมฉาก และหาความยาวดานใดดานหนง เมอก าหนดความยาวอก 2 ดานมาให

ถารปสามเหลยมใด เปนรปสามเหลยมมมฉาก แลว ก าลงสองของความยาวดานทยาวสด จะเทากบ ผลบวกของก าลงสองของความยาวดานทเหลอ

ส าหรบรปสามเหลยมใด ๆ ถาก าลงสองของความยาวดานทยาวสด ไมเทากบ ผลบวกของก าลงสองของความยาวดานทเหลอ

แลว รปสามเหลยมนน ยอมไมเปนรปสามเหลยมมมฉาก


9

หลงจากนกเรยนไดเหนตวอยางการใชทฤษฎบทพทาโกรส 4 ตวอยาง แลว

ตอไปจะใหนกเรยนไดเหนตวอยางการแกปญหาในโลกจรง

ตวอยาง ในการเลนวาวนน ถาตองการหาวาวลอยอยสงจากพนดนเทาไร เราสามารถหาค าตอบ จากการใชทฤษฎบทพทาโกรสไดดงน

แลว 2 2 2AB AC BC จะได 2 2AC AB BC เราจะไดความสงของวาว มคาประมาณ AC + ความสงของผเลน

ก าหนด A เปนต าแหนงของวาวบนทองฟา

B เปนต าแหนงของปลายสายปานทมอผเลน C เปนต าแหนงเหนอพนดนแนวเดยวกบทวาวลอยอย


10

จากทกลาวมาแลววา บทแยงสลบทของทฤษฎบทพทาโกรสเปนจรง กลาวคอ ขอความตอไปนเปนจรงนนเอง

ซงในตอนตอไป เราจะน าไปใชในการตรวจสอบวา

กลาวคอ ส าหรบรปสามเหลยม ABC ใด ๆ A ถา a มคามากสด และ 2 2 2a b c แลว ABC ไมเปนรปสามเหลยมมมฉาก

แตถา a มคามากสด และ 2 2 2a b c แลว ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก หรอไม

หรอกลาวงาย ๆ วา บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรส เปนจรงหรอไมนนเอง

ส าหรบรปสามเหลยมใด ๆ ถาก าลงสองของความยาวดานทยาวสด ไมเทากบ ผลบวกของก าลงสองของความยาวดานทเหลอ

แลวรปสามเหลยมนนจะไมเปนรปสามเหลยมมมฉาก

รปสามเหลยมใด ไมเปนรปสามเหลยมมมฉาก

c b

C B a


11

ตอไปเราจะใชทฤษฎบทพทาโกรส และบทกลบในการตรวจสอบวา

โดยค านวณวา ก าลงสองของความยาวดานยาวทสด ผลบวกของก าลงสองของความยาวดานทเหลอ ถาเทากน สรปไดวา เปนรปสามเหลยมมมฉาก ถาไมเทากน สรปไดวา ไมเปนรปสามเหลยมมมฉาก ตอไปเปนตวอยางทตรวจสอบวารปสามเหลยมทก าหนดความยาวดาน 3 ดานมาให เปนรปสามเหลยมมมฉากหรอไม

เหตผลทตองมการตรวจสอบกอนวารปสามเหลยมทก าหนดให เปนรปสามเหลยมมมฉาก หรอไม เนองจาก ตอไปจะมการนยาม อตราสวนตรโกณมต ของมมแหลมในรปสามเหลยมมมฉาก เทานน ถารปสามเหลยมใด ไมเปนรปสามเหลยมมมฉาก (ตรวจสอบได) กจะตองสรางความสมพนธ กบรปสามเหลยมมมฉากใหไดเสยกอน แลวคอยใชสมบตของรปสามเหลยมมมฉากกนตอไป

รปสามเหลยมทก าหนดความยาวดานทงสามมาให จะเปนรปสามเหลยมมมฉากหรอไม

?


12

แบบฝกหดเพมเตม เรอง

สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส 1. ส าหรบรปสามเหลยมมมฉาก ABC ซงม C เปนมมฉาก ถาก าหนดความยาวดานทงสามของรปสามเหลยมดงน จงหาความยาวดานทเหลอ A

1.1 a = 7 , b = 11 , c = ?

1.2 a = 5.5 , c = 14.3 , b = ? c c b

1.3 b = 4 3 , c = 5 3 , a = ? B a C

2. ก าหนดความยาวดานทงสามของรปสามเหลยม ABC มาใหดงน จงตรวจสอบวา ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากหรอไม

2.1 a = 1.5 , b = 2 และ c = 2.5 A

2.2 a = 6 , b = 9 และ c = 12

2.3 a = 7 , b = 10 และ c = 13 2.4 a = 2 , b = 3 และ c = 5 c b 2.5 a = 3.5 , b = 8.4 และ c = 9.1 2.6 a = 2 , b = 5 และ c = 3

2.7 a = 5 , b = 7 และ c = 3 6 B a C

2.8 a = 3 , b = 6 และ c = 5


13

3. อะตอมอยากปนก าแพงซงสง 2 เมตรครง เพอเปลยนหลอดไฟ แตฐานของก าแพงมรางปลกตนไม

ขวางอย โดยรางมความกวาง 120 เซนตเมตร ดงนนเขาจงตองใชบนไดพาดกบก าแพง โดยปลายลาง

ของบนไดหางจากก าแพง 130 เซนตเมตร อยากทราบวาเขาตองหาบนไดยาวอยางนอยเทาใด

4. แมวตวหนงขนไปตดอยบนตนไม มนลงเองไมได อลฟาอยากชวยแมว แตกอนจะปนขนไปชวยมน

เธออยากรวามนอยสงจากพนดนเทาไร เธอจงน าบนไดซงยาว 3 เมตร มาพาดกบตนไม โดยปลายบนของ

บนไดอยทแมวพอด ปลายลางของบนไดหางจากโคนตนไมในแนวเดยวกบทแมวอยเทากบ 1.5 เมตร

จงหาวาแมวสงจากพนดนเทาไร


14

2. อตราสวนตรโกณมต


15

2. อตราสวนตรโกณมต ในหวขอนจะนยามอตราสวนของดานตาง ๆ ของรปสามเหลยมมมฉาก และกอนทจะมการนยาม

จะทบทวนเรอง ความคลายของรปสามเหลยมกนกอน

สมบตของความคลาย

ถารปสามเหลยม 2 รป ABC และ DEF คลายกน

D e

A b

C F

c f d

a

B E

กลาวคอ ˆˆ ˆ ˆABC DEF , BCA EFD และ ˆ ˆCAB FDE

แลวจะได

หรอกลาววา อตราสวนของดานตรงขามมมทเทากน ยอมมคาเทากน นนเอง

หมายเหต ถาทราบวารปสามเหลยมคใดมมมเทากน 2 มม จะไดวามมทเหลอยอมเทากนดวย

นนคอ มมเทากนทกมม ฉะนนรปสามเหลยมคนนยอมคลายกน

ถารปสามเหลยมคใด ๆ มมมเทากนทกมม จะกลาววา รปสามเหลยมคนน คลายกน

c a b

f d e


16

ตอไปเราจะพจารณาเฉพาะรปสามเหลยมมมฉากกนกอน พรอมทงใชสมบตคลายกนของรปสามเหลยม

มมฉาก และใชทฤษฎบทพทาโกรส

จะนยามอตราสวนตรโกณมต ซงขนอยกบมมแหลมมมหนงของรปสามเหลยมมมฉากดงน

และในสอการสอน มมมมนนคอ มม A

เนองจาก ดานตรงขามมมฉาก ยาวกวาดานตรงขามมม A ดงนน 0 < sin A < 1

และ เนองจาก ดานตรงขามมมฉาก ยาวกวาดานประชดมม A ดงนน 0 < cos A < 1


17

เนองจาก 0 < sin A < 1 ดงนน cosec A > 1

และ เนองจาก 0 < cos A < 1 ดงนน sec A > 1

หลงจากการนยามอตราสวนตรโกณมตทง 6 แบบไปแลว จะหาความสมพนธของ

อตราสวนตรโกณมต โดยเรมจากการหาความสมพนธของไซน กบ โคไซน กนกอน


18

ตอไปนเปนตวอยางการหาอตราสวนตรโกณมต

เพมเตมตวอยางการหาความยาวของรปสามเหลยมมมฉาก เมอก าหนดอตราสวนตรโกณมตมาให ตวอยาง ก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC ทม C เปนมมฉาก

1. ถาดาน AC ยาว 5 หนวย และ sin B = 1

3 จงหาความยาวดาน AB

วธท า A เราม sin B = AC

AB

5 ดงนน AB = AC 5

1sin B

3

= 15 หนวย

B C

2. ถาดาน AB ยาว 5 หนวย และ cos B = 2

5 จงหาความยาวดาน AC และ BC

วธท า A เราม cos B = BC

AB

5 ดงนน BC = AB cos B = 25

5 = 2 หนวย

และ AC = 2 2 2 2AB BC 5 2 21 หนวย

B C


19

ตวอยางตอไปจะใชความรเรองทฤษฎบทพทาโกรส และความสมพนธของไซนกบโคไซน

ตวอยาง ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทม A เปนมมฉาก และ AD ตงฉากกบ BC

ถา AB ยาว 6 หนวย และ sin B = 2

3 จงหาความยาวของ BD, AC และ DC

วธท า เขยนรป ABC อยางคราว ๆ

A

6 B D C

เนองจาก AB เปนดานตรงขามมมฉาก และ sin B = AD

AB ดงนนเราจะหาความยาวของ AD

ได AD = AB sin B = 26

3 = 4 หนวย

หา BD จากทฤษฎบทพทาโกรส , BD = 2 2 2 2AB AD 6 4 36 16 20 2 5 หนวย

จากความสมพนธของไซนกบโคไซน sin C = cos(90 – C) = cos B = BD 2 5 5

AB 6 3

แต sin C = AD

AC เราได AC =

AD 4 12

sin C 55

3

หนวย

หา DC จากทฤษฎบทพทาโกรส , DC = 2 2 144 8AC AD 16

5 5 หนวย

หมายเหต เราสามารถใชสมบตคลายของรปสามเหลยมหาค าตอบไดเชนกน

โดยหา AD = 4 หนวย และ BD = 2 5 หนวย ไดกอน แลวหาความยาว AC และ DC ดงน

พจารณา ABC กบ ABD , AD BD

AC AB แทนคาได 4 2 5

AC 6

แลว AC = 24 12

2 5 5 หนวย

พจารณา ADC กบ ABD , ˆ ˆCAD ABD ได DC AC

AD AB

ฉะนน DC 12

4 5 6

ได DC = 48 8

5 6 5

หนวย


20

ทผานมาจะเหนวา เราหาอตราสวนตรโกณมตจากการก าหนดความยาวของดานมาใหอยางนอย 2 ดาน

1) ถาก าหนดความยาวของดาน 3 ดาน เราหาอตราสวนตรโกณมตไดเลย

2) ถาก าหนดความยาวของดาน 2 ดาน เราใชทฤษฎบทพทาโกรส ชวยกอน

แตถาไมก าหนดความยาวดานมาให เพยงก าหนดอตราสวนตรโกณมตบางคามาให

แลวเราจะสามารถหาอตราสวนตรโกณมตทเหลอไดหรอไม เชน

ก าหนด sin A หรอ cos A หรอ tanA แลวใหหาอตราสวนตรโกณมตทเหลอ


21

ถาก าหนดความยาวดานตาง ๆ ของรปสามเหลยมมาให โดยรปสามเหลยมนนไมใชรปสามเหลยม

มมฉาก เราจะหาอตราสวนตรโกณมตของมมตาง ๆ ของรปสามเหลยมเหลานน อยางไร ?

จากบทนยามของอตราสวนตรโกณมต มมทพจารณาตองเปนมมแหลม (เพราะมมทนอกจากมมฉากของ

รปสามเหลยมมมฉาก ตองเปนมมแหลมเทานน) เราจงตองหาความสมพนธของรปสามเหลยมทไมใชรป

สามเหลยมมมฉากกบรปสามเหลยมมมฉากเสยกอน


22

เพมเตมตวอยาง

ตวอยาง จงพจารณา ABC ซง sin A = 1

3 ดานประชดมม A ยาว 4 และ 7 หนวย

จงหาพนทของ ABC

วธท า เขยนรป ABC อยางคราว ๆ โจทยไมระบวา ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก

AC ยาว 4 หนวย C จากจด C ลากเสนตงฉากไปพบ AB ทจด D

AB ยาว 7 หนวย ดงนน CD เปนสวนสงของ ABC

จาก sin A = CD

AC ดงนน CD = AC sin A =

4

3 หนวย

A D B ฉะนน พนท = 1

AB CD2

= 1 4 147

2 3 3 ตารางหนวย


23


อตราสวนตรโกณมต 1. ก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC ตอไปน จงหาอตราสวนตรโกณมตทง 6 แบบของมม A และมม B

1.1 A 1.2 A

8 5

1.3 1.4 C C A

7 6 8 9 B

1.5 1.6 A C 5 11 10

B

C 4 A

2 5

B

B 39 C B 1 C

A B


24

2. ก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC ทม C เปนมมฉาก และ a, b, c เปนความยาวดานตรงขาม

มม A, B, C ตามล าดบ

2.1 sin A = 1

4 a = 3 จงหา c

2.2 cos A = 5

7 c = 21 จงหา a

2.3 tan B = 5 b = 2 5 จงหา c

2.4 cosec A = 2 c = 4 3 จงหา tan B

3. พจารณารปสามเหลยมมมฉาก 3 รปตอไปน A 3.1 ถา AG = 12 , AE = 15 และ FG = 8 จงหา DE

3.3 ถา sin A = 3

5 และ DE = 9 จงหา AE

3.4 ถา cos C = 3

5 และ AC = 6 จงหา AB

4. จงหาอตราสวนตรโกณมตอก 5 แบบของมม A เมอก าหนด

4.1 sin A = 2

3

4.2 cos A = 12

13

4.3 tan A = 7

4.4 cosec A = 5

2

4.5 sec A = 6

2

4.6 cot A = 1

3

B C

3.2 ถา BC = 9 , DE = 6 และ AB = 15 จงหา BD F G

D E


25

3. อตราสวนตรโกณมตของมม

30 40 และ 60


26

3. อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

ในการหาอตราสวนตรโกณมตของมม 30 จะเลอกใชรปสามเหลยมมมฉากทมมมหนงมขนาดเทากบ 30 จะเหนวามมทเหลอมขนาด 180 – 90 – 30 = 60 ดงนนรปสามเหลยมมมฉากทเลอกใช จะมมมแหลมเทากบ 30 และ 60 แตเนองจากรปสามเหลยมดานเทามมมเทากนทกมม ดงนนมมหนงมขนาด

18060

3 ถาเราแบงครงมม 60 จะไดมม 30 ดงนนเราจงพจารณารปสามเหลยมดานเทา และลากเสน

แบงครงมมนนยอมตงฉากและแบงครงดานตรงขามดวย จงไดรปสามเหลยมมมฉาก 2 รป ซงมมมแหลมเทากบ 30 และ 60 ตามตองการ ตอไปเราก าหนดความยาวดานของรปสามเหลยมดานเทานนดวยคาทเปนจ านวนเตมนอย ๆ โดยเลอกเปน 2 หนวยจะไดอกดานยาว 1 หนวย (ดงรป) และใชทฤษฎบทพทาโกรส เพอหาความยาวดานทเหลอ และเมอไดความยาวดานครบทง 3 ดาน ท าใหเราหาอตราสวนตรโกณมตทง 6 แบบได


27

เขยนตารางแสดงคาอตราสวนตรโกณมตของมม 30 และ 60 ดงน

หมายเหต นกเรยนสามารถจ าขนาดของรปสามเหลยมมมฉากนไปใชในการหาอตราสวนตรโกณมต ทง 6 แบบ ของมม 30 และ 60 ไดโดยงาย

ตวอยาง ก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC ดงรป จงหาความยาวดานตรงขามมม A

วธท า เนองจาก sin 30 = BC BC

AC 10

? ดงนน BC = 10 sin 30 = 10 × 1

2 = 5 หนวย

ตวอยาง ก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC ดงรป จงหาความยาวดาน AC และ BC

วธท า เนองจาก tan 60 = BC BC

AB 7

ดงนน BC = 7 tan 60 = 7 3 หนวย

? ? และเนองจาก cos 60 = AB 7

AC AC

ดงนน AC = 7 sec 60 = 7 × 2 = 14 หนวย

30

60

BC

C

B A 7

C

A B

10


28

ตอไปเราจะเลอกรปสามเหลยมมมฉากทมมมแหลมมมหนงมขนาด 45 จะเหนวามมทเหลอมขนาด 180 – 90 – 45 = 45 ดงนนรปสามเหลยมมมฉากทเลอกใชจะมมมเทากน 2 มม นนคอรปสามเหลยม หนาจวนนเอง และเนองจากรปสามเหลยมหนาจว จะมดานเทากน 2 ดานดวย ดงนนเราจะก าหนดความยาวดานทเทากนนดวยคาทเปนจ านวนเตมนอย ๆ โดยเลอกเปน 1 หนวย ดงนนเราสามารถหาความยาวดานทเหลอ ไดจากทฤษฎบทพทาโกรส แลวจงคอยหาอตราสวนตรโกณมตทง 6 แบบ สรปเปนตารางตอไปน

ตวอยาง ก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC ดงรป จงหาความยาวดาน AB และ BC

A วธท า เนองจาก sin 45 = AC 3

AB AB

ดงนน AB = 3cosec 45 = 3 2 หนวย

3 และ เนองจาก tan 45 = AC 3

BC BC

ดงนน BC = 7 cot 45 = 3 × 1 = 3 หนวย B C

45


29

สรปเปนตารางแสดงคาอตราสวนตรโกณมตทง 6 แบบของมม 30 45 และ 60 ดงน

ตวอยาง ก าหนดรปสามเหลยม ABC ดงรป จงหาความยาวดาน BC และ AC

วธท า พจารณารปสามเหลยมมมฉาก ABD กอน หาความยาว BD และ AD

เนองจาก cos 60 = BD BD

AB 3

ดงนน BD = 3 cos 60 = 3

2 หนวย

เนองจาก sin 60 = AD AD

AB 3 ดงนน AD = 3 sin 60 =

3 3

2 หนวย

พจารณารปสามเหลยมมมฉาก ADC เพอหาความยาว DC และ AC

เนองจาก tan 45 = AD 3 3

DC 2 DC ดงนน DC = 3 3

2cot 45 = 3 3

2 หนวย

และเนองจาก sin 45 = AD 3 3

AC 2 AC ดงนน AC = 3 3

2cosec 45 = 3 3 2

2 = 3 6

2 หนวย

จะได BC = BD + DC = 3 3 3

2 2 =

3(1 3)

2

หนวย

60 45 C D B

A

3


30

สอการสอนตอนท 1 ยงไมไดกลาวถงการประยกตของอตราสวนตรโกณมต เนองจากตอนน

เราไดทราบแตเพยงคาอตราสวนตรโกณมตของมมบางมมเทานน (มม 30 45 และ 60)

ส าหรบคมอประกอบสอการสอนน จะกลาวถง การประยกตของอตราสวนตรโกณมตพอสงเขป

เพอใหนกเรยนไดเหนประโยชนของอตราสวนตรโกณมตในการแกปญหาในชวตจรง โดยจะจ ากด

ตวอยางและโจทยตาง ๆ ใหใชเพยงมมบางมมเทานน

การแกปญหาเกยวกบ การหาระยะทางและความสง ทไมสามารถวดจรงได เชน การวด

ความกวางของแมน า การวดความสงของตก หรอของภเขา เราจะอาศยความรเรองอตราสวนตรโกณมต

ชวยในการแกปญหาดงกลาว

กอนอนมาท าความรจก มมกม (angle of depression) และมมเงย (angle of elevation)

ทงมมกมและมมเงยตางเปนมมทเกดจากแนวเสนระดบสายตา และแนวเสนจากตาไปยงวตถ โดยท

ถาวตถอยใตแนวเสนระดบสายตา มมนนเรยกวา มมกม

ถาวตถอยเหนอแนวเสนระดบสายตา มมนนเรยกวา มมเงย

วตถ

วตถ

มมกม

มมเงย

แนวระดบ

แนวระดบ ตา

ตา


31

ตวอยาง น าฝนอยากทราบวาบานทเธอก าลงยนมองอย มความสงเทาไรโดยจะใชความรเรองอตราสวน

ตรโกณมตชวย แตมขอจ ากดวา อตราสวนตรโกณมตททราบ ในตอนนเปนอตราสวนตรโกณมตของ

มม 30 45 และ 60 เทานน น าฝนจงเดนหางออกจากตวบานนไประยะหนง แลวหนกลบไปมองขนไป บนหลงคาบาน ถาเธอเดนหางจากตวบานไป 11 เมตร แลวมมเงยทมองหลงคาบานเทากบ 60 จากขอมลทงสองน ท าใหเธอหาความสงของบานหลงนไดดงน

ให A เปนต าแหนงหลงคาบานทน าฝนมองอย

B เปนต าแหนงตวบานแนวเดยวกบระดบสายตาของน าฝน

C เปนต าแหนงทน าฝนหยดมองหลงคาบาน

แลว BC = 11 เมตร และ B C A

= 60

จากความรเรองอตราสวนตรโกณมต ไดวา tan 60 = AB

BC

นนคอ AB = BC tan 60 = 11 3 เมตร

จงสรปไดวาบานนสงประมาณ 11 3 + ความสงของน าฝน = 19.05 + 1.62 เมตร

= 20.67 เมตร


32

ตวอยาง พราวยนอยบนหนาผาแหงหนง เธอมองไปยงทะเลขางลาง เหนเรอล าหนงก าลงแลนเขาใกล

หนาผาในแนวตงฉากกบหนาผา ตอนแรกมมกมของเธอทมองเรอล านเทากบ 30 แตพอเรอแลนตอไปอก

40 เมตร เธอจะมองเหนเรอล านเปนมมกมเทากบ 45

จงหาวาหนาผาสงจากระดบน าทะเลเทาไร (เนองจากหนาผาสงมาก เราจะไมคดความสงของพราว)

วธท า ให A เปนต าแหนงบนหนาผาทพราวยนอย

B เปนต าแหนงทหนาผาตรงระดบน าทะเล

C เปนต าแหนงของเรอทเธอมองเหนในครงแรก

D เปนต าแหนงของเรอทเธอมองเหนในครงหลง

แลว ˆBCA = 30 และ ˆBDA = 45 และ DC = 40 เมตร

แลวพจารณา ABD , tan 45 = AB

BD แลว BD = AB

แลวพจารณา ABC , tan 30 = AB

BD 40 แลว BD + 40 = AB 3

ดงนน AB + 40 = AB 3 แลว AB = 40 40

0.7323 1

54.65 เมตร

นนคอ หนาผาสงกวาระดบน าทะเล ประมาณ 54.65 เมตร


33


อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

1. จงหาคา a และ b จากรปสามเหลยมมมฉาก ABC ตอไปน

1.1 1.2 1.3

2

2. จงหาคาของ 2.1 2 sin 30 – cos 45

2.2 cosec 45 + tan 60

2.3 4 sec 30 + 3 cot 45

3. พจารณารป หนดให AB ยาว 4 หนวย จงหาความยาว AC

4. พจารณารป ก าหนดให CD ยาว 3 หนวย จงหาความยาว BC

60 30 45

60

45

30

B

b

A

C

b a

A 3 B B a C

5

A

C b A

a 2

A

B C D

D

B C


34

5. เกอยนอยบนฝงแมน าแหงหนง เขาอยากทราบความกวางของแมน าชวงนน เขาจะใชตนไมทอยบนฝง

ตรงขามของแมน าเปนจดสงเกต แลวเดนเปนเสนตรงตามแนวฝงแมน าไประยะหนง แลวหนกลบไปมอง

ตนไมนน ถามมมองตนไมทท ากบแนวฝงแมน าเทากบ 60 เมอเขาเดนไป 5 เมตร จงหาความกวาง

ของแมน าชวงนน

6. อะตอมอยากปนก าแพงขนไปเปลยนหลอดไฟ แตฐานของก าแพงมรางปลกตนไมขวางอย โดยราง

มความกวาง 120 เซนตเมตร ดงนนเราจงตองใชบนไดพาดก าแพง แลวปนบนไดขนไป ถาปลายลางของ

บนไดท ามม 60 กบพนดน และอยหางจากก าแพงเทากบ 130 เซนตเมตร จงหาวาก าแพงสงเทาใด

(ดรปในหนา 13)

7. กอลฟยนมองเสาธงของโรงเรยนแหงหนง ถาเขายนอยหางเสาธงเปนระยะทาง 10 เมตร มมเงยไปยง

ยอดเสาธงเทากบ 30 จงหาวายอดเสาธงสงกวาเขาเทาไร


35

สรปสาระส าคญประจ าตอน


36


37

ส าหรบรปสามเหลยมมมฉาก ABC ซงมมม B เปนมมฉาก อตราสวนตรโกณมตของมม A ทง 6 แบบมดงน

sin A = a

b cosec A = b

a

cos A = c

b sec A = b

c

tan A = a

c cot A = a

c

อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

A c B

b a

C


38

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด / เนอหาเพมเตม


39

แบบฝกหดระคน 1. ก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC ดงน จงหาความยาวดาน BC

C ก. 5

2

ข. 5

2

ค. 5

A D B ง. 5 2 2. จากรป AB เปนเสนผานศนยกลางของวงกลมซงมรศม 3 หนวย จงหาพนทของรปสามเหลยม ABC

ก. 9 3 ข. 3 3

2

A B ค. 3 3 ง. 9 3

2

3. ถารปสามเหลยม ABC มพนท 2 3 ตารางนว จงหาความยาวดาน AC

ก. 4 นว ข. 2 นว ค. 3 นว A B ง. 1 นว 4. ก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC ดงน จงหาความยาวดาน AC

ก. 10 3

ข. 10 3

3

ค. 5 3 A D B ง. 5

30

3

E 4

C

3 60

30

75

15 5

C

C


40

5. ก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC ดงน จงหาความยาวดาน CD

ก. 5 3 ข. 5 2

ค. 5 3

2

ง. 5

2

6. พจารณารปสามเหลยมมมฉาก ABC ซงมพนทเทากบ 18 ตารางหนวย

จงหาความยาวดาน AB

ก. 12 ข. 6 ค. 2 3 ง. 3

7. ถาก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC ดงน จงหาคาของ 3 cosec A – 2 sec A

ก. 13

30

ข. 169

30

ค. 1

ง. 1

2

8. ถาก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC ดงน จงหาคาของ cos (B – A)

ก. 4

5

ข. 3

5

ค. 1

2

ง. 3

2

D

20 10 3

A 3

B

5

C

45

A B

C

13

B C

A B

C

A

12


41

9. ก าหนดรปสามเหลยม ABC ดงน จงหาพนทของ ABC

ก. 2 3

10 ถา sin A – cos A = 1

5 จงหา sin A cos A

ก. 1

5 ข. 24

25

ค. 12

25 ง. 4

25

30 45

2

ง. 3 1

ค. 2 3 2

ข. 2 3 1

C D B

A


42

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


43

เฉลยแบบฝกหด เรอง สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส

1. 1.1 170 1.2 13.2 1.3 3 3 2. 2.1 เปน 2.2 ไมเปน 2.3 ไมเปน 2.4 เปน 2.5 เปน 2.6 เปน 2.7 เปน 2.8 ไมเปน 3. 2.8178 เมตร 4. 2.5981 เมตร

เฉลยแบบฝกหด เรอง อตราสวนตรโกณมต

1. ขอ 1.1 1.2 1.3

มม A B A B A B

sin 39

8

5

8 1

5 2

5 6

85 7

85

cos 5

8 39

8

2

5 1

5 7

85 6

85

tan 39

5

5

39 1

2 2 6

7 7

6

cosec 8

39 8

5 5 5

2 85

6 85

7

sec 8

5 8

39 5

2 5 85

7 85

6

cot 5

39 39

5 2 1

2 7

6 6

7


44

ขอ 1.4 1.5 1.6

มม A B A B A B

sin 8

9 17

9

5

41 4

41 10

11 21

11

cos 17

9

8

9 4

41 5

41 21

11

10

11

tan 8

17 17

8

5

4 4

5 10

21 21

10

cosec 9

8 9

17 41

5 41

4

11

10 11

21

sec 9

17 9

8 41

4 41

5

11

21 11

10

cot 17

8

8

17 4

5 5

4 21

10

10

21

2. 2.1 12 2.2 15 2.3 2 6 2.4 3 3. 3.1 10 3.2 10 3.3 15 3.4 2 5

4.

ขอ 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

sin A 2

3 5

13 7

5 2 2

5 1

3 3

10

cos A 5

3

12

13 1

5 2 1

5 2

6 1

10

tan A 2

5 5

12 7 2 1

2 3

cosec A 3

2 13

5 5 2

7 5

2 3 10

3

sec A 3

5 13

12 5 2 5 6

2 10

cot A 5

2

12

5 1

7 1

2 2 1

3


45

เฉลยแบบฝกหด เรอง อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

1. 1.1 a = 6 , b = 3 3 1.2 5 3 5a , b

2 2 1.3 a 2, b 2

2. 2.1 2 2

2

2.2 2 3 2.3 83

3

3. 2 6 4. 2 3

5. 5 3 เมตร 6. 1.3 3 เมตร 7. 10

3 เมตร

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. ค 2. ง 3. ก 4. ข 5. ก 6. ข 7. ข 8. ก 9. ง 10. ค

44 ตรีโกณมิติ ตอนที่1_อัตราส่วนตรีโกณมิติ

Documents