Page 1
คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร
เรอง
ตรโกณมต (เนอหาตอนท 8)
ฟงกชนตรโกณมตผกผน
โดย
รองศาสตราจารย จตรจวบ เปาอนทร
สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ
ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ
Page 2
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
1
สอการสอน เรอง ตรโกณมต สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย
1. บทน า เรอง ตรโกณมต 2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต
- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส - อตราสวนตรโกณมต - อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60
3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย - เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมมและหนวยของมม
4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1 - ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม - คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60
5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2 - ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ
6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3 - คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม - สตรผลคณ ผลบวกและผลตางของฟงกชนตรโกณมต
7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและกฎของโคไซน - กฎของไซน - กฎของโคไซน
8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต
Page 3
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2
9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน
- ฟงกชนตรโกณมตผกผน - สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน
8. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 11. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 12. แบบฝกหด (ขนสง) 13. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย 14. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน 15. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน
คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน
Page 4
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
3
เรอง ตรโกณมต (ฟงกชนตรโกณมตผกผน) หมวด เนอหา ตอนท 8 (8 / 8) หวขอยอย 1. ฟงกชนตรโกณมตผกผน 2. สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน 1. เขาใจในมโนทศนของตวผกผนของฟงกชนตรโกณมตและเงอนไขทท าใหตวผกผนของ
ฟงกชนตรโกณมตเปนฟงกชนได 2. หาคาฟงกชนตรโกณมตผกผนได 3. วาดกราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผนได 4. เขาใจสมบตตาง ๆ ของฟงกชนตรโกณมตผกผนโดยพจารณาจากกราฟ ผลการเรยนร ผเรยนสามารถ 1. บอกเงอนไขทท าใหตวผกผนของฟงกนตรโกณมตทง 6 แบบ เปนฟงกชนได 2. หาคาฟงกชนตรโกณมตผกผนได 3. วาดกราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผนได 4. น าความรเกยวกบสมบตตาง ๆ ของฟงกชนตรโกณมตผกผนมาประยกตในการแกปญหาได
Page 5
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
4
เนอหาในสอการสอน
Page 6
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
5
เนอหาทงหมด
Page 7
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
6
1. ฟงกชนตรโกณมตผกผน
Page 8
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
7
1. ฟงกชนตรโกณมตผกผน ในตอนท 8 น นกเรยนจะไดศกษาเรองของฟงกชนผกผนของฟงกชนตรโกณมต แตตองท า ความเขาใจกนกอนวา โดยทว ๆ ไปแลว ตวผกผนของฟงกชนใด ๆ อาจไมเปนฟงกชน เชน ถา f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (b, 3)} เปนฟงกชนจาก {a, b, c, d} ไปยง {1, 2, 3}
แตตวผกผนของ f คอ f –1 = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, b)} ไมเปนฟงกชน เนองจาก (1, a) และ (1, b) f
–1 แต a b
จากตอนท 7 นกเรยนไดเหนสมบตหนงของฟงกชนตรโกณมตทงหลายทกลาววา ฟงกชนตรโกณมตเปนฟงกชนทมคาบ กลาวคอ
Page 9
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
8
เราอยากจะศกษาตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต และตองการใหตวผกผนเหลานเปนฟงกชนดวย ดงนนเราตองจ ากดโดเมนของฟงกชนตรโกณมตตาง ๆ เสยกอน ซงกคอการก าหนดเงอนไขใหกบฟงกชนตรโกณมต เพอใหตวผกผนเปนฟงกชน และเราจะเรยกฟงกชนผกผนนวา ฟงกชนตรโกณมตผกผน
ฟงกชนไซน
ฟงกชนโคไซน
Page 10
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
9
Page 11
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
10
ฟงกชนแทนเจนต
ฟงกชนโคซแคนต
Page 12
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
11
ฟงกชนซแคนต
ฟงกชนโคแทนเจนต
Page 13
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
12
Page 14
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
13
ส าหรบตวอยางสดทาย เราสามารถใชอกวธในการแสดงวา
sin (arctan x) = 2
x
1 x เมอ x
ให x และ y = arctan x แลว tan y = x , y2 2
ใชเอกลกษณตรโกณมต sec2 y = 1 + tan
2 y
แลว sec2 y = 1 + x
2
แต sec y > 0 ดงนน sec y = 21 x
แลว sin (arctan x) = sin y = 1
tan ysec y
= 2 2
1 xx
1 x 1 x
ตอไปนกเรยนสามารถใชวธท านองเดยวกนน พสจนขอความตอไปน
1. cos (arcsin x) = sin (arccos x) = 21 x , x [–1, 1]
2. tan (arccot x) = cot (arctan x) = 1
x , x – {0}
3. cos (arctan x) = sin (arccot x) = 2
1
1 x , x
4. sin (arctan x) = cos (arccot x) = 2
x
1 x , x
Page 15
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
14
แบบฝกหดเพมเตม เรอง
ฟงกชนตรโกณมตผกผน 1. จงหาคาตอไปน
1.1 arcsin (– 1) 1.2 arccos 3
2
1.3 arctan 3
3
1.4 arccsc 2
1.5 arcsec (– 2) 1.6 arccot (– 1)
1.7 arcsin 1
2
1.8 arccos 2
2
2. จงหาคาตอไปนโดยใชตารางคาฟงกชนตรโกณมต
2.1 arcsin 0.2784 2.2 arccos 0.3118
2.3 arctan 0.1944 2.4 arccot 1.9626
2.5 arcsin (– 0.6561) 2.6 arccos (– 0.5736) 3. จงหาคาตอไปน
3.1 cos 1
arcsin2
3.2 tan 1
arcsin3
3.3 sin (arctan (– 3)) 3.4 cot 3
arccos3
3.5 sec 2 5
arcsin5
3.6 tan 1
arccos3
3.7 cosec 1
arccos3
3.8 sin (arctan (– 2))
Page 16
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
15
4. จงแสดงวา
4.1 cos (arcsin x) = 21 x , x [– 1, 1]
4.2 sin (arccos x) = 21 x , x [– 1, 1]
4.3 tan (arccot x) = 1
x , x – {0}
4.4 cot (arctan x) = 1
x , x – {0}
4.5 cos (arctan x) = 2
1
1 x , x
4.6 sin (arccot x) = 2
1
1 x , x
4.7 cos (arccot x) = 2
x
1 x , x
5. จงใชขอ 4. ในการหาคาตอไปน
5.1 cos 3
arcsin2
5.2 sin 1
arccos2
5.3 tan (arccot 5) 5.4 cos 1
arccot3
5.5 sin 1 1
arccot cos arctan13 13
Page 17
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
16
2. สมบตและความสมพนธของ
ฟงกชนตรโกณมตผกผน
Page 18
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
17
2. สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน เราสามารถพสจนสมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผนไดจากบทนยาม แตเพอให
นกเรยนไดคนเคยกบกราฟของฟงกชนตรโกณมตผกผน เราจะใชกราฟของฟงกชนเหลานหาสมบตบางประการ ฟงกชน arcsin
สรปไดวา เมอ x [– 1, 1]
และถาจะใชบทนยามเพอพสจนขอความขางตน ท าไดดงน
สมมต y = arcsin (– x) เมอ y , 2 2
แลว sin y = – x ดงนน x = – sin (y) = sin (– y)
จะไดวา – y = arcsin x หรอ y = – arcsin x นนเอง
สรปไดวา arcsin (– x) = arcsin x
arcsin (– x) = – arcsin x
Page 19
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
18
ฟงกชน arccos
สรปไดวา เมอ x [– 1, 1]
และถาจะใชบทนยามเพอพสจนขอความขางตน ท าไดดงน
สมมต y = arccos (– x) เมอ y [0, ]
แลว cos y = – x
เรามวา cos ( – y) = – cos y
ดงนน cos ( – y) = – ( –x) = x
จงไดวา – y = arccos x หรอ y = – arccos x นนเอง
สรปไดวา arccos (– x) = – arccos x
arccos (– x) = – arccos x
Page 20
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
19
ฟงกชน arctan
สรปไดวา เมอ x
xlim arctan x
2
และ
xlim arctan x
= 2
และถาจะใชบทนยามเพอพสจนขอความขางตน ท าไดดงน
สมมต y = arctan (– x) เมอ y , 2 2
แลว tan y = – x ดงนน x = – tan (y) = tan (– y) จงไดวา – y = arctan x หรอ y = – arctan x นนเอง สรปไดวา arctan (– x) = – arctan x
นอกจากสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผน 3 ฟงกชนคอ 1. arcsin (– x) = – arcsin x , x [– 1, 1]
2. arccos (– x) = – arccos x , x [– 1, 1]
3. arctan (– x) = – arctan x , x
arctan (– x) = – arctan x
Page 21
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
20
เรายงหาสมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผนทเหลอไดดงน
ขอพสจน ให y = arccsc (– x) เมอ y , 2 2
– {0}
แลว cosec y = – x ดงนน x = – cosec y = cosec (– y)
จงไดวา – y = arccsc x หรอ y = – arccsc x
สรปไดวา arccsc (– x) = – arccsc x
ขอพสจน ให y = arcsec (– x) เมอ y [0, ] – 2
แลว sec y = – x แต sec ( – y) = – sec y = – (– x) = x
จงไดวา – y = arcsec x หรอ y = – arcsec x
สรปไดวา arcsec (– x) = – arcsec x
ขอพสจน ให y = arccot (– x) เมอ y (0, )
แลว cot y = – x ดงนน cot ( – y) = – cot y = – (– x) = x
จงไดวา – y = arccot x หรอ y = – arccot x
สรปไดวา arccot (– x) = – arccot x
arccsc (– x) = – arccsc x
arcsec (– x) = – arcsec x
arccot (– x) = – arccot x
Page 22
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
21
และจากบทนยามเรากสามารถพสจนความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผนมากมายดงน
สรปเปน
Page 23
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
22
ตวอยางเพมเตม
ตวอยาง จงหาคาของ arctan 1
2 + arctan 1
3
วธท า สมมต x = arctan 1
2 และ y = arctan 1
3
ดงนน tan x = 1
2 , x 0,
2
และ tan y = 1
3 , y 0,
2
เราตองการหาคา x + y โดยท x + y (0, )
เนองจากเรามคา tan x และ tan y เราจะใชสตร
tan (x + y) = tan x tan y
1 tan x tan y
เมอแทนคา tan x และ tan y จะได
tan (x + y) =
1 1 5
2 3 6 1 1 5
12 3 6
= 1
แต tan 4
= 1 ดงนน x + y =
4
ฉะนน arctan 1
2 + arctan
1
3 =
4
Page 24
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
23
นกเรยนไดเหนวธการพสจนขอความทเกยวกบฟงกชนตรโกณมตผกผน หรอหาคาของนพจน ทประกอบดวยฟงกชนตรโกณมตผกผนกนแลว ซงกคอเรมตนดวยการก าหนดตวแปรตวใหมใหเทากบฟงกชนตรโกณมตผกผนทปรากฏในขอความ ซงอาจจะมตวแปรใหมหลายตวได แลวจงใชบทนยามของฟงกชน ตรโกณมตผกผนนน ๆ เพอพสจนและหาคาทตองการตอไป และนอกจากนนเราอาจตองใชสตรทเกยวกบฟงกชนตรโกณมตประกอบดวย ดงตวอยาง 2 ตวอยางตอไปน
ตวอยาง จงหาคาของ sin 1 52arctan arctan
5 12
วธท า สมมต x = arctan 1
5 และ y = arctan
5
12
ดงนน tan x = 1
5 , x 0,
2
และ tan y = 5
12 , y 0,
2
เราตองการหาคา sin (2x – y)
เรามสตร sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
ถาแทน A ดวย 2x และแทน B ดวย y แลวเราตองหาคา sin 2x , cos 2x , sin y และ cos y ดงน
จาก tan x = 1
5 และ tan y =
5
12 จะไดรปสามเหลยมมมฉากตอไปน
ดงนน sin (2x) = 2 sin x cos x = 1 5 10 5
2 26 1326 26
cos (2x) = cos2 x – sin
2 x =
25 1 24 12
26 26 26 13
sin y = 5
13 และ cos y =
12
13
ฉะนน sin (2x – y) = sin (2x) cos y – cos (2x) sin y = 5 12 12 5
013 13 13 13
จะไดวา sin 1 5
2arctan arctan 05 12
26
x
5
1
y
5
12
13
Page 25
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
24
ตวอยาง จงพสจนวา ถา x > 1 แลว 2 arctan x + arcsin 2
2x
1 x
=
วธท า ให x > 1 และให y = arctan x และ z = arcsin2
2x
1 x
แลว tan y = x , y 0,2
และ sin z = 2
2x
1 x , z 0,
2
เราตองแสดงวา 2y + z =
จะใชสตรของฟงกชนตรโกณมต (เลอกใช sin หรอ tan กได)
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
แทน A ดวย 2y และแทน B ดวย z
จาก tan y = x และ sin z = 2
2x
1 x จะไดรปสามเหลยมมมฉากตอไปน
แลว sin (2y + z) = sin (2y) cos z + cos (2y) sin z
= 2 sin y cos y cos z + (cos2 y – sin
2 y) sin z
= 2 2
2 2 2 22 2
x 1 x 1 1 x 2x2
1 x 1 x 1 x 1 x1 x 1 x
= 0
เรามวา sin (n) = 0 ทก n
แต 2y + z 3
0,2
ดงนน 2y + z = เทานน
จงสรปไดวา 2 arctan x + arcsin2
2x
1 x
=
21 x
y
1
x
z
2x
2 2 2 2 2(1 x ) 4x |1 x | x 1
1+x2
Page 26
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
25
ตอไปเปนการประยกตฟงกชนตรโกณมตผกผน
Page 27
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
26
Page 28
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
27
แบบฝกหดเพมเตม เรอง
สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน 1. จงหาคาตอไปน
1.1 arcsin 1
7
+ arccos1
7
1.2 3 arccsc (5) – 3 arcsin 1
5
1.3 arcsin 2 2cos sin12 12
1.4 arctan 1 + arctan 2 + arctan 3
1.4 arctan1
3 + arctan
1
5 + arctan
1
7 + arctan
1
8 1.6 4 arctan
1
5 – arctan
1
239
2. จงหาผลเฉลยของสมการ
2.1 arctan 2x + arctan 3x = 4
2.2 arctan x 1
x 2
+ arctan x 1
x 2 4
2.3 arcsin 2arccos x2
= 0 2.4 2 arcsin x + arcsin 22x 1 x
3
3. จงแสดงวา 3.1 arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 =
3.2 ถา x > 0 แลว arctan x + arctan1
x 2
3.3 ถา x < 0 แลว arctan x + arctan1
x 2
3.4 sin 2x x
2arccos 12 2 2
ทก x [–2, 2]
3.5 ถา x = arctan1
7 และ y = arctan
1
3 แลว cos 2x = sin 4y
4. ใหนกเรยนไปวดสวนตาง ๆ ของสนามฟตบอลในโรงเรยนของนกเรยน แลวจงหาวานกเรยนจะตอง
เตะบอลในต าแหนงจดโทษ ดวยมมเตะไมเกนเทาใด ถงจะท าใหลกบอลไมเลยคานประต เมอ
4.1 ยงบรเวณกลาง ๆ ประต 4.2 ยงบรเวณรม ๆ ประต
Page 29
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
28
สรปสาระส าคญประจ าตอน
Page 30
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
29
สรปสาระส าคญประจ าตอน
Page 31
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
30
เอกสารอางอง
1. ด ารงค ทพยโยธา, เสรมความรมงสโอลมปกคณตศาสตรโลกตรโกณมต,
โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2550.
Page 32
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
31
ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด / เนอหาเพมเตม
Page 33
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
32
แบบฝกหดระคน
1. จงหาคาของ sin 1 5arcsin arccos
2 13
ก. 5 3 12
26
ข. 5 3 12
26
ค. 5 12 3
26
ง. 5 12 3
26
2. จงหาคาของ arctan 1 3
1 3
+ arctan 1 3
1 3
ก. 2
ข. 2
ค.
4
ง. 4
3. จงหาคาของ arccos (0.3) + arccos (– 0.3)
ก. 4
ข. 3
ค. 2
ง.
4. ถา arcsin (5x) + arcsin x = 2
จงหาคาของ tan (arcsin x)
ก. 1
5 ข. 1
2 ค. 1 ง. 5
5. จงหาคาของ cos (arctan 2) – sin (arctan (– 2))
ก. 1
5 ข. 3
5 ค. 3
5 ง. 1
5
6. จงหาจ านวนจรงบวก x ซง tan (arcos x) = sin (arctan 3 )
ก. 2
5 ข. 2
7 ค. 1
3 ง. 1
2
7. จงหาคาของ sin120
arctan119
ก. 120
169 ข. 120
121 ค. 119
120 ง. 120
159
8. จงหาคาของ cos1 1
2arctan sin arctan13 13
ก. 84
85 ข. 1
170 ค. 84 1
85 170 ง. 84 1
85 170
Page 34
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
33
9. จงพจารณาวาขอใดตอไปนถกตอง
ก. arccos (– x) = – arccos x , x [– 1, 1]
ข. arccsc x = arcsin 1
x
, x [– 1, 1] – {0}
ค. arcsec 1
x
= arccos x , x [– 1, 1] – {0}
ง. arctan x + arccot x = , x
10. จงพจารณาวาขอใดตอไปนผด
ก. cos (arcsin x) = sin (arccos x) , x [– 1, 1]
ข. tan (arccot x) = cot (arctan x) , x 0
ค. cos (arccot x) = x sin (arccot x) , x
ง. sin (arctan x) = – cos (arctan x) , x
Page 35
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
34
ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด
Page 36
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
35
เฉลยแบบฝกหด เรองฟงกชนตรโกณมตผกผน
1. 1.1 2
1.2
6
1.3 6
1.4
4
1.5 2
3
1.6 4
1.7
6
1.8 3
4
2. 2.1 0.2822 2.2 1.2537 2.3 0.1920
2.4 0.4712 2.5 – 0.7156 2.6 2.1817
3. 3.1 3
2 3.2 2
4 3.3 3 10
10 3.4 2
2
3.5 5 3.6 2 2 3.7 3 2
4 3.8 2 5
5
5. 5.1 1
2 5.2 3
2 5.3 1
5 5.4 10
10 5.5 26
170
เฉลยแบบฝกหด เรองสมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน
1. 1.1 2
1.2 0 1.3 3
1.4 1.5 4
1.6 4
2. 2.1 1
6 2.2 2
2 2.3 2
2 2.4 3 1
2 2
เฉลยแบบฝกหดระคน 1. ง 2. ข 3. ง 4. ก 5. ข
6. ข 7. ก 8. ค 9. ค 10. ง
Page 37
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
36
รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน
Page 38
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
37
รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน
เรอง ตอน
เซต บทน า เรอง เซต
ความหมายของเซต
เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต
เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร
การใหเหตผล
ประพจนและการสมมล
สจนรนดรและการอางเหตผล
ประโยคเปดและวลบงปรมาณ
สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย
สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง
จ านวนจรง
บทน า เรอง จ านวนจรง
สมบตของจ านวนจรง
การแยกตวประกอบ
ทฤษฏบทตวประกอบ
สมการพหนาม
อสมการ
เทคนคการแกอสมการ
คาสมบรณ
การแกอสมการคาสมบรณ
กราฟคาสมบรณ
สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน
สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม
สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ
ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน
การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย
ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน
ความสมพนธ
Page 39
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
38
เรอง ตอน
ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ
อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน
ฟงกชนเบองตน
พชคณตของฟงกชน
อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส
ฟงกชนประกอบ
ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
เลขยกก าลง
ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
ลอการทม
อสมการเลขชก าลง
อสมการลอการทม
ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต
อตราสวนตรโกณมต
เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย
ฟงกชนตรโกณมต 1
ฟงกชนตรโกณมต 2
ฟงกชนตรโกณมต 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชนตรโกณมต
ฟงกชนตรโกณมตผกผน
สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย
สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต
สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน
ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน
การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร
การหาคาสดขด
ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม
ล าดบ
การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต
ลมตของล าดบ
ผลบวกยอย
อนกรม
ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม
Page 40
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
39
เรอง ตอน
การนบและความนาจะเปน .
บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน
การนบเบองตน
การเรยงสบเปลยน
การจดหม
ทฤษฎบททวนาม
การทดลองสม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถตและการวเคราะหขอมล
บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล
บทน า เนอหา
แนวโนมเขาสสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสสวนกลาง 3
การกระจายของขอมล
การกระจายสมบรณ 1
การกระจายสมบรณ 2
การกระจายสมบรณ 3
การกระจายสมพทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสมพนธระหวางขอมล 1
ความสมพนธระหวางขอมล 2
โปรแกรมการค านวณทางสถต 1
โปรแกรมการค านวณทางสถต 2
โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย
ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส
การถอดรากทสาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบองทยดหดได