Transcript
8/18/2019 3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
1/13
TURUNAN
3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
Garis Singgung
Anggaplah P adalah sebuah titik tetap pada suatu kurva dan andaikan Q adalah sebuah titik
berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan pada kurva tersebut. Pandang garis yang melalui P dan
Q , garis itu disebut garis tali busur / secant line . Garis singgung / tanget line di P adalah posisi
pe batas (jika ada) dari tali busur itu bila Q bergerak ke arah P sepanjang kurva. Perhatikan
Gambar 1.
Gambar 1
Anggaplah kurva tersebut adalah grafik dengan persamaan y= f ( x) . Maka P mempunyai
koordinat (c , f (c ) ) , titik Q di dekatnya mempunyai koordinat (c + h , f (c + h )) , dan tali busur
yang melalui P dan Q mempunyai kemiringan msec yang diberikan oleh Gambar .
Pada saat tertentu, suatu kurva pada titik tertentu tidakterdapat garis singgung.
!itik Q bergerak
menuju titik P , tetapi
titik Q tidak boleh
menempati posisi titik
P . "ah, garis
singgung merupakan
Anggaplah kurvaini adalah
y= f ( x) .
"ah, garis ini (garis singgung)
yang membatasi agar titik Q
tidak menempati titik P
8/18/2019 3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
2/13
Ga bar !
#emiringan dari garis tali busur diberikan
msec = f (c+
h)−
f (c )h
$engan menggunakan konsep limit, berikut diberikan definisi garis singgung.
"e#inisi Garis Singgung
Garis singgung kurva y= f ( x) pada titik P(c , f (c) ) adalah garis yang melalui P dengan
kemiringan
mtan = limh → 0
msec = limh→ 0
f (c+ h)− f (c )h
Menunjukkan bah%a limit ini ada dan bukan ∞ atau− ∞ .
&e%aktu &$, kalian mungkintelah mengetahui rumuskemiringan ' gradient, yakni
y2 − y1 x2 − x1
arak dari titik c ke titik
c + h sebesar h , yakni
(c + h)− c= h . ila h
Pada saat h → 0 ,
nilai limit akan tidakada'gagal ketikasemakin menuju
0 nilai limitnya
"ilai h ! $A# *+- / tapi M-"$-#A! '+ M ! /
*+- . #arena jika nol,bilangan
0 ! $A# $APA!
8/18/2019 3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
3/13
$%NT% 1
2arilah kemiringan garis singgung pada kurva y= f ( x)= x2
di titik (2,4 ) .
Penyelesaian
Garis yang kemiringannya kita 3ari diperlihatkan pada Gambar 4.
Ga bar 3
Perhatikan bah%a garis singgung pada kurva y= x2
di titik(2,4 )
mempunyai kemiringan positif (kemiringan positif maksudnya ketika nilai peubah bebas atau variabel x naik, maka nilai peubah tak
bebas atau f ( x) juga ikut meningkat).
m tan = limh → 0
msec = limh→ 0
f (c+ h)− f (c )h
$iketahui c= 2 sehingga
mtan = limh→ 0
f (2 + h)− f (2 )h
¿ limh→ 0
(2 + h)2− 22
h
Akan kita 3ari kemiringan garis
singgung pada kurva y= x2
PA$A ! ! #(2,4 )
.erdasarkan penglihatan, nilai
kemiringannya sudah pastiP*& ! 5. #arena pada garissinggung tersebut, semakin
x meningkat, maka nilai
$iketahui
f ( x)= x2 , maka2
8/18/2019 3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
4/13
¿ limh→ 0
4 + 4 h+ h2− 4h
¿ limh→ 0
4 h+ h2
h
¿ limh→ 0
4 + h
4 + ¿ limh → 0
h
¿ limh→ 0
¿
¿ 4 + 0= 4
garis singgung pada kurva y= x2
di titik (2,4 ) mempunyai kemiringan positif bernilai 4 .
Apa artinya jika kemiringan dari garis singgung bernilai 4 6 Artinya adalah #A nilai x naik
sebesar satu (bergerak ke kanan sebesar 1) maka nilai y akan naik sebesar 7.
Persamaan garis singgungnya adalah
y− y1= m( x− x1 )
y− 4 = 4 ( x− 2 )
y− 4 = 4 x− 8
y= 4 x− 4
ika nilai x= 1 maka y
= 0
ika x= 2 maka y= 4
Perhatikan888 !itik x= 1 bergerak ke kanan &A!0 +A"G#A #- #A"A" menjadi x
= 2 , nilai
y M-" "G#A!'"A # sebesar 7.
$%NT% !
8/18/2019 3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
5/13
2arilah kemiringan garis singgung pada kurva y= f ( x)=− x2 + 2 x+ 2 pada titik9titik dengan
koordinat x pada− 1,
12
, 2, dan 3 .
Penyelesaian
mtan = limh→ 0
f (c + h)− f (c )h
¿ limh→ 0
− (c+ h)2+ 2 (c+ h )+ 2− (− c 2+ 2 c+ 2 )h
¿ limh→ 0
− (c2
+ 2 ch + h2
)+ 2 (c+ h)+ 2− (− c2
+ 2 c + 2 )h
¿ limh→ 0
− c 2− 2 ch− h2+ 2 c + 2 h+ 2 + c 2− 2 c− 2h
¿ limh→ 0
− 2 ch − h2 + 2 hh
¿ limh→ 0
(− 2 c− h+ 2 )
− 2 c− ¿ limh → 0
h+ limh → 0
2
¿ limh → 0
¿
¿ − 2 c + 0 + 2= 2− 2 c
adi kemiringan garis singgung pada kurva y= f ( x)=− x2 + 2 x+ 2 pada
:a; titik− 1 adalah 2
− 2 c= 2 − 2 (− 1 )= 4
:b; titik12 adalah
2− 2 c= 2 − 2(12)= 1
8/18/2019 3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
6/13
:3; titik 2 adalah 2− 2 c= 2 − 2 (2 )=− 2
:d; titik 3 adalah 2− 2 c= 2 − 2 (3 )=− 4
Grafiknya diperlihatkan pada gambar 7.
Ga bar '
$%NT% 3
2arilah persamaan garis singgung pada kurva y= 1 / x di titik (2, 12) . Perhatikan Gambar
8/18/2019 3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
7/13
mtan = limh → 0
msec = limh→ 0
f (c+ h)− f (c )h
$iketahui c= 2 sehingga
mtan = limh→ 0
f (2 + h)− f (2 )h
¿ limh→ 0
1(2 + h)
− 12
h
¿ limh→ 0
2 − 2− h
(2 + h) (2 )h
¿ limh→ 0
− h(2 + h) (2 ) (h )
¿ limh→ 0
− 1(2 + h) (2 )
¿ − 14
adi, kemiringan garis singgung pada kurva y= f ( x)= 1
x di t itik (2, 12) adalah − 14 .Persamaan garis singgungnya adalah
y− y1= m( x− x1 )
y−12
=− 1
4 ( x− 2 )
y=− 1
4 x+
12
+ 12
8/18/2019 3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
8/13
y=− 1
4 x+ 1
Kecepatan Rata)rata dan Kecepatan Sesaat
ika kita mengendari mobil dari sebuah kota ke kota lain yang berjarak =/ km selama jam, makake3epatan rata9rata kita adalah 7/ km'jam. Kecepatan rata-rata adalah jarak dari posisi perta a keposisi kedua dibagi dengan *aktu te pu+ .
!etapi selama perjalanan speedometer sering tidak menunjukkan angka 7/ (bisa 7 meter dalam detik pertama dan >7 ( 16∗t 2= 16∗22= 64
) meter selama detik. PerhatikanGambar >.
Ga bar -
Pada saat detik nol (benda belum dijatuhkan) t = 0 maka nilai jarak tempuh
16 t 2 = 16 (0 )2= 0 meter
Perhatikan bah%a nilaikemiringan pada suatutitik (#-2-PA!A"&-AA!) juga semakin
tinggi ketika nilai x
#e3epatan MA# "-?!AM A seiring
%aktu'detik berlalu. &ehingga jarak tempuh per9detik pun&-MA# " M-" "G#A!dari detik pertama, detikkedua, dan seterusnya
8/18/2019 3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
9/13
8/18/2019 3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
10/13
vrata − rata =64 − 16
2− 1 = 48 meter / detik
&elama selang %aktu t = 1 sampai t = 1,5 benda jatuh sejauh 16 (1,5 )2− 16 = 20 meter.
#e3epatan rata9ratanya adalah
vrata − rata =16 (1,5 )2− 16
1,5 − 1 = 40 meter / detik
$emikian pula pada selang %aktu t = 1 sampai t
= 1,1 dan t = 1 sampai t
= 1,01 , kita
hitung ke3epatan rata9rata masing9masing adalah
vrata − rata =16 (1,1 )2 − 16
1,01−
1
= 33,6 meter / detik
vrata − rata =16 (1,01 )2 − 16
1,01 − 1 = 32,16 meter / detik
Apa yang telah dilakukan adalah menghitung ke3epatan rata9rata selama selang *aktu (interval %aktu)
yang semakin ke3il'diperke3il, masing9masing mulai pada t = 1 , semakin pendek selang %aktu,
semakin baik kita eng+a piri kecepatan sesaat pada t = 1 . $engan memperlihatkan bilangan9
bilangan48 ; 40 ; 33,6
dan32,16
, kita mungkin akan menerka bah%a32
meter per detik adalah kecepatan sesaatn a .
!etapi marilah kita menghitung lebih teliti. Andaikan bah%a sebuah benda P bergerak sepanjang garis
koordinat sehingga posisinya pada saat t diberikan oleh s= f (t ) . Pada saat c , benda berada dif (c ) @ pada saat yang berdekatan c + h , benda berada di f (c + h ) (Perhatikan Gambar ) .
Pada saat c posisi
bendanya s= f (c ) .
Pada saatc + h
8/18/2019 3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
11/13
Ga bar
jadi kecepatan rata)rata pada selang ini adalah
vrata − rata =f (c + h)− f (c )
h
erikut definisi dari kecepatan sesaat .
"e#inisi Kecepatan sesaat
ika sebuah benda bergerak sepanjang sebuah garis koordinat dengan fungsi kedudukan f (t ) , maka
kecepatan sesaatn a pada %aktu c adalah
v = limh→ 0
vrata − rata = limh→ 0
f (c + h)− f (c )h
Menunjukkan bah%a limitnya ada dan bukan ∞ atau − ∞ .
$alam kasus f (t )= 16 t 2
, ke3epatan sesaat pada t = 1 adalah
v sesaat = limh→ 0
f (1+
h)−
f (1 )h
¿ limh→ 0
16 (1+ h )2− 16 (1 )2
h
#edudukan ' posisi suatu benda dipengaruhi %aktu atau
t .
8/18/2019 3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
12/13
¿ limh→ 0
16 + 32 h+ h2 − 16h
¿ limh→ 0
32 h+ h2
h
¿ limh → 0
32 + h
¿ limh → 0
32 + limh → 0
h= 32 + 0= 32
adi ke3epatan sesaat pada saat %aktu atau t = 1 adalah 4 meter'detik.
$%NT% '
itunglah ke3epatan sesaat suatu benda ,atu+ beranjak dari posisi diam pada t = 3,8 detik dan pada
t = 5,4 detik.
Penyelesaian
v sesaat = limh→ 0
f (c + h)− f (c )h
¿ limh→ 0
16 (c + h )2− 16 c 2
h
¿ limh→ 0
16 c 2+ 32 ch + 16 h2− 16 c 2
h
¿ limh→ 0
32 ch + 16 h2
h
¿ limh→ 0
(32 c + 16 h)= 32 c
8/18/2019 3.1 Garis Singgung & Kecepatan Sesaat
13/13
adi ke3epatan sesaat pada saat %aktu atau t = 3,8 detik adalah 32 (3,8 )= 121,6 meter'detik dan
ke3epatan sesaat pada t = 5,4 detik adalah 32 (5,4 )= 172,8 meter'detik.
top related