Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
Dipoldeki elektrik alan
dx
(x2 + r2)3/2=
x = r tan udx = r ddu
( sin ucos u
)= r cos u cos usin u( sin u)cos2 u dudx = rducos2 u
x = u pi2x = u pi2
=
pi/2pi/2
rducos2 u(
r2 sin2 u
cos2 u + r2)3/2
=
pi/2pi/2
rducos2 u(
r2 sin2 u+cos2 ucos2 u
)3/2=
pi/2pi/2
rducos2 u(r2
cos2 u
)3/2
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
=
pi/2pi/2
rducos2 ur3
cos3 u
=
pi/2pi/2
1r2
cos udu
=1r2
sin upi/2pi/2
=1r2(sin
pi
2 sin
(pi2
))=
1r2
(1 (1)) = 2r2
pek tablodan olmuyor. :-(
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 1
1C ykl olabilmesi iin ka elektron gerekli? Bu elektronsays ka mol eder?
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zmBildiiniz gibi 1 elektron yk 1e = 1.6 1019 C o haldeelektron says
N =1C
1.6 1019 C = 6.25 1018
olarak bulunabilir. Dier yandan 1mol Avogadro says kadarelektron ierir NAvo = 6.02 1023 olduuna gre
n =N
NAvo=
6.25 10186.02 1023 = 1.0382 10
5mol
mol bulunabilir.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 2
Metalden yaplan bir boncuk +8.0 C luk ykldr. 6.0 1013elektron ilave edildikten sonra boncuun yk ne olur?
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zm6.0 1013 elektronlarn yapld yk
Qel = (6.0 1013)(e) = (6.0 1013)(1.60 1019 C )= 9.6 106 C = 9.6 C
Bu yk boncua ilave etildiinden sonra
Qboncuk = +8.0 C 9.6 C = 1.6 C
olarak bulunur.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 3
4.5 109 C luk ykten 3.2 m mesafede olan 2.8 109 Cluk yk ile oluturan elektrostatik kuvvetin iddetini bulunuz.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zm
F =k |q1q2|
r2
=9 109 4.8 109 (2.8 109)
3.22N
= 11.812 109 N
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 4
Bir parack (yk +2.0e) altn ekirdee (yk +79e)doru yksek hzla frlatlr. Bu iki ykl paracklar2.0 1014 m arasnda mesafe olduunda oluturan kuvvetibulunuz.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zmHer iki ykl parack ayn iaretten olduundan dolay, bu ikiparack arasnda bir itme kuvveti oluacak ve iddeti Coulombyasasna gre bulunabilir:
F =k |q1q2|
r2
=8.99 109
2 79 (1.6 1019)2(2.0 1014)2 N
= 90.907 N
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
dev 1
Hidrojen atomda yaklak olarak 5.3 1011 m proton ileelektron arasndaki mesafedir. Elektrik ve yerekim kuvvetleriniddetlerin oran bulunuz. 1e = 1.6 1019 C veme = 9.11 1031 kg , mp = 1.67 1027 kg . Ayrca G sabitiG = 6.67 1011 N m2/kg2 olarak verilir.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 5
ki zde metal kreler birbirinden 0.30 m uzaklnda bulunur.Birincinin yk 12 109 C , dierin 18 109 C yk isea) arasnda oluan elektrostatik kuvveti bulunuz.b) Bu iki kre metalden oluan bir tel ile dokunurlarsa, ykn
eitliinde kreler arasnda oluan elektrostatik kuvvetinihesaplaynz.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zm
a) Coulomb yasasna gre
F =k |q1q2|
r2=
8.99 109 12 109 18 1090.32
N
= 2.16 105 N
b) ince tel ile kreler dokunulduunda toplam yk
qt = q1 + q2 = 12 109 18 109 = 6 109 C
olacak, ve bu yk kreler arasnda blecek, o halde kuvvet
F =k(q2
)2r2
=8.99 109 9 1018
0.32N
= 8.99 107 N
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 6
Aralarnda 3 cm uzaklk bulunan iki kk iletken kreden biri+12 C yk, dier zerinde 6 C yk bulunmaktadr.a) Krelerden birine etkiyen kuvvet ne kadardr?b) Kreler iletken bir telle birbirine temas ettiriliyor. Yeni
kuvvet ne kadar olur?
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zmq1 = +12C , q2 = 6C , r = 3 cma)
F = k|q1q2|r2
= 9 109 12 106 6 106(
3 102)2 N= 109+4 72 1012 N = 720N
b)
F = kq2
r2= 9 109
(3 106)2(3 102)2 N = 90N
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 7
ekilde gsterildii gibi, yk yerletirilmitir. Orijindebulunan yke etkileyen elektrostatik kuvvetinin iddetini veyn bulunuz.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zmOrijinde bulunan yke etkileyen net kuvvet aadaki ekildegsterilmektedir.
~F1 = kq1Qr21 = 8.99 10
9 6 109 5 1090.32
N
= 3.0 106 N
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
~F2 = kq2Qr21 = 8.99 10
9 3 109 5 1090.12
N
= 1.35 105 N
Buna gre ~Fnet = ~F1 + ~F2 olduundan, elektrostatik kuvvetiniddeti
Fnet =F 21 + F
22
=
(3.0 106)2 + (1.35 105)2 N
= 1.38 105 N
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
Yn ise,
= arctan(F2F1
)= arctan
(1.35 1053.0 106
)= 77.5 180 = 102.5
olarak bulunur.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
dev 2
ki zde metal kre, her biri 0.2 g arlanda ok ince iplesarka oluturacak ekilde aslmtr (ekilde gsterildii gibi).Kreler ayn yke sahip iseler, denge durumda iken dikey ekseniile 5.0 yaparlar. Eer iplerin uzunluu 30.0 cm ise her kredekiyk bykl nedir?
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 8
a = 2 cm kenar uzunluu olan dikdrtgenin kelerindeq = 2 nC noktasal ykler yerletirilmitir. Ykler havadabulunuyorsa her bir yke etkileyen Coulomb kuvvetini bulunuz.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zmVerilere gre u ekli izilebilir:
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
F24 =kq2q4d2
=kq2
2a2=
9 109 (2 109)22 (2 102)2 = 4.49 10
5 N
F14 = F34 =kq2
a2= 2F24 = 8.99 105 N
~Ftop = ~F14 + ~F24 + ~F34
Ftop =F 214 + F
234 + F24 =
2F 214 + F24
=
2 (8.99 105)2 + 4.49 105 N
Ftop = 1.72 104 N
Bu kuvvet her birinde etkiler yalnzca etkiledikleri alardeiir. (1 : 135, 2 : 225, 3 : 45, 4 : 45)
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
dev 3
a = 10 cm uzunluuna sahip ekenar genin kelerindeq1 = 6.7 109 C , q2 = 108 C , q3 = 13.3 109 Cykler yerletirilmitir (ekil). q3 ykne etkileyen kuvvetinibulunuz.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 9
Bir cisim 24 C yke sahiptir. Bu cisim yukarya doru olan
dzgn (homojen) bir 610NC
luk alann iinde yarletirilmitir.Eer cisim olduu yerde havada kaliyorsa, cismin arl nedir?
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zmSistem ekilde gibi gsterebilir:
Bu durumda
Felec = Fg qE = mg
m =qEg
=24 106 610
9.81kg = 1.5 103 kg = 1.5 g
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 10
Dzgn (homojen) elektrik alann iddeti 2.0 104NC
kadardr.Yer ekimi ihmal ederek, bu elektrik alannn iinde konulanelektronun ivmesi ne olur.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zmElektrone etkileyen kuvvetF = qeE = 1.602 1019 2 104 N = 3.2 1015 Nolacaktr. Dier yandan F = ma eitlii kullanarak ivmesibulunabilir:
a =Fm
=3.2 10159.11 1031
ms2
= 3.51 1015 m/s2
Elektronun yk negatif olduundan ivmesi ve etkileyen kuvvetelektrik alann ynne zt olacaktr.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 11
1 m uzaklnda 1NC
oluturmas iin noktasal ykn deeri neolmas gerektiini bulunuz.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zmElektrik alann iddeti
E =k |q|r2 |q| = Er
2
k=
1 128.99 109 C
|q| = 1.11 1010 C
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 12
ekilde gsterilen dikdrtgenin merkezindeki elektik alanniddeti, ve yn bulunuz. ekilde q = 1.0 108 C vea = 5.0 cm olarak verilir.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zmekile baklrsa, merkez ile uzaklk
r =12
a2 + a2 =
5 1022
m = 3.55 102 m
olarak yazlabilir. q olan yklerin oluturduu alann iddeti
Eq =kqr2
=8.99 109 1.0 108 2
(5.0 102)2 = 7.13 104 NC
Benzer olarak 2q yklerin getirdikleri elektrik alannn iddeti
E2q = 2Eq = 1.43 105 NC
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
imdi geometrik olarak her ykn oluturduu elektrikalannna bakalm:
ekilde steki yklerin oluturduu elektrik alangstermektedir.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
ekilde altaki yklerin oluturduu elektrik alangstermektedir.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
Toplam elektrik alan vektrlerin toplam olarak elde edilebilir:
~Etoplam = ~Eusol + ~Eusag + ~Easol + ~Easag= Eq (cos (45) + sin (45) )+ E2q (cos (45) + sin (45) )+ Eq (cos (225) + sin (225) )+ E2q (cos (135) + sin (135) )
= 0.0+(1.02 105 N
C
)
Buna gre, Etoplam = 1.02 105 N/C genlii olan, ve +yynnde elektrik alan oluturur.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
dev 4
ekilde verilen sistemde P noktasndaki alann iddetini ve ynbulunuz.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 13
ki zde noktasal yk, 1 C luk bolukta bir ekenar geninkelerinde bulunmakta. genin kenar 0.5 m uzunluundadr.genin nc kede elektrik alann iddeti ne olur.(0 = 8.854 1012 C 2N1m2)
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zm
q = q1 = q2 = 1 C = 106 Cr = a = 0.5 m
0 = 8.854 1012 C 2N1m2
k =1
4pi0= 9 109 Nm2C2
E1 =kqr2
=9 109 106
0.52= 3.6 104 CN1
E2 = E1 = 3.6 104 CN1E = E1 = E2 = 3.6 104 CN1
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
imdi zm kolaylatracak ekli izelim.
~Et = ~E1 + ~E2 = E1 (cos 60+ sin 60) + E2 (cos 120+ sin 120)
= E (sin 60 + sin 120) =3E
Et =3 3.6 104 CN1 = 6.24 104 C
N
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 14
ki noktasal Q1 = Q ve Q2 = 4Q yk birbirine d mesafedebulunmaktadr. Birinci yknden x noktasnda nc birQ3 = 3Q yerletirilir, yle ki etkileyen toplam kuvveti 0 N olur.x in deeri bulunuz.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zmVerilere gre, problemi ekilde gibi gsterebilir.
Q3 zerindeki toplam kuvvet sfr olabilmesi iin:
kQ1Q3x2
=kQ3Q2
(d x)21x2
=4
(d x)2d2 2xd + x2 = 4x2
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
3x2 + 2xd d2 = 0
x1,2 =2d 4d2 4 3 (d2)
6
=2d
16d2
6=
d (1 2)3
x > 0 olmas gerektiinden zm
x =d3
olarak bulunur.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
dev 5
ki ykl kre 6 m mesafede bulunmaktadr. Krelerinin ykleriQ1 = 125 108 C ve Q2 = 5 108 C olarak verilir. Bukreler arasnda nc bir Q3 = 2 108 C hareketli krekonulur. Q1 ykten nerede Q3 yk konulmal, yle Q3 ykeetkileyen toplam kuvvet 0 olur?
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
dev 6
Kenar uzunluu 10 cm. olan ekenar genin A ve Ckelerinde A da () ve C de (+) olmak zere 108Coulombluk ykler bulunmaktadr.B kesinde elektrikselalann yn ve bykl nedir?
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 15
ekilde gsterildii gibi bir noktadan d uzaklnda 3 yklnokta yerlitirilmitir. q1 = 2Q, q2 = 2Q, q3 = 4Qyklerin deerler olarak verilmitir. Orijinde elektrik alanbulunuz.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zm
~E =~FQ0
= kQr2
~E = ~E1 + ~E2 + ~E3
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
E1 =k |q1|d2
=2kQd2
E2 =k |q2|d2
=2kQd2
E3 =k |q3|d2
=4kQd2
y dorultusunda E nin bileenleri birbirlerini gtrler(E3y = E1y + E2y ). x bileenler:
Ex = E1x + E2x + E3x = (E1 + E2 + E3) cos 30
=8kQd2
32
=43Qd2
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
dev 7
kiz kenarlar 10 cm, taban 12 cm olan bir ikizkenar genintaban kelerine 2 108 ve 2 108 C luk tepeye ise6.4 108 C luk ykler konuluyor. genin tabannn tamortasndaki elektrik alan ka N/C dur.(k = 9 109 N M2C2)
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
dev 8
ekilde gsterildii gibi, pozitif noktasal Q1 ve negatif noktasalQ2 ykler r1 = r2 mesafede Q0 pozitif noktasal ykndenbulunur. Q0 ykne etkileyen toplam kuvveti bulunuz ve iziniz(a bulunuz).
Q1 = 106 C
Q2 = 2 106 CQ0 = 106 Cr1 = r2 = 3 cm
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 16
Pozitif bir q noktasal ykhomojen E elektrik alan xekseni dorultusunda konulur(ekil). Hareket denklemleribulunuz.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zmalan ve kuvvet ilikisi ~F = q~E ve ~F = m~a eitliklerden gerekliolan ykl paracn dinamii hesaplayabiliriz.
x = x0 + v0t +12at2 v = v0 + at
v2 = v20 + 2a (x x0)
eer v0 = 0 m/s, ve x0 = 0 m kabul edersek
x =12qEm
t2 v =qEm
t
v2 =2qExm
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
Kinetik enerji
K =12mv2 = qEx
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 17
Zt iaretli ykl aralarndaki uzaklk 1 cm olan iletken paraleliki plaka arasndaki elektrik alan dey yukar ynl ve iddeti104 N/C dur. Plakalar yatay konumda bulunmaktadrlar.a) Bir elektron plakalar arasndaki 1 cm yolu aldnda hz,
kinetik enerjisi ne olur ve bu yolu ne kadar zamanda alr.b) Elektron alan iersine yatay vo hz ile atlrsa yrngesinin
denklemi ne olur.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zm
a) Kuvvet sabit olduundan elektron
a =Fm
=1.6 1019 104
9.1 1031 = 1.8 1015 m/s2
deerindeki sabit ivmeyle hareket edecektir. 1 cm veya102 m gittikten sonraki hz
x = x0 + v0t +12at2
v = v0 + atx0 = 0 m, v0 = 0 m/s
t =va, x =
12at2 =
12v2
av =2ax =
2 1.8 1015 102 = 6 106 m
s
olur.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
Kinetik enerjisi
12mv2 =
12 9.1 1031 (6 106)2 = 16 1018 J
dr. Geen zaman da
t =va
=6 106
1.8 1015 = 3.3 109 s
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
b) Elektron alan iersine yatay bir hzla atlmtr.Alann ynyukar doru olduundan elektrona etkiyen elektrikselkuvvetin yn aa doru olacaktr (ekil). Bu durumda yekseni dorultusunda ivmenin deeri eE/m dir. O haldebir t zaman sonra
x = v0t y = 12eEm
t2
y = 12eEmv20
x2
olarak bulunur.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
dev 9
Homojen elektrik alan iinde ekilde gsterildii gibi elektrongirer. Elektronun balang hz vi = 3.00 106 m/s, elektrikalannn iddeti E = 200 N/C ve plakalarn uzunluu` = 0.100 m olarak verilir.
a) Elektrik alan iinde ikenelektronun ivmesi nedir?
b) Elektron alan iine t = 0 s degiriliyorsa, alan terk etmek iingerekli zaman bulunuz.
c) Elektron alan iinde girdiindedikey bileeni yi = 0 m ise,elektronun knda yksekliinedir?
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 18
Dzgn ` yk younluu olan bir izgi (dorusal) yk xy dzlemin st yarsnda, b yarapl bir yarm emberoluturmaktadr. Yar emberin merkezindeki elektrik alaniddetinin genliini ve ynn belirleyiniz.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zm
x ekseni bilekeni simetriyznden sfrdr.
(~Ex = 0
)~E =
14pi0
LaR
`R2
d`
= ay 14pi0
pi0
`b2
sin (bd)
= ay `4pi0b pi0
sind
= ay`
4pi0bcos
=pi=0
= ay`
4pi0b(cospi cos 0)
= ay `2pi0b
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
rnek 19
q yk, uzunl 2a olan (0, a) ile (0,a) arasna yerletirilmibir iletken ubua homojen olarak datlmtr.a) Dzlemde ubuktan farkl herhangi bir noktada bulunan Q
yk zerine etkiyen net elektriksel kuvveti bulunuz.b) x a limitini inceleyiniz.
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
zm
a) y {a, a} deerler iin dorusal yk younluu
(y) =q2a
d (y)dy
=q2a
dy
(0, y) noktasnda bulunan bir kk ykten farkl herhangibir (x , y) noktasnda bulunan Q ykn vektr olarak
~r = (x 0) + (y y) = x + (y y) |~r | =
x2 + (y y)2 r = x + (y y)
x2 + (y y)2
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
Kk (diferansiyel) kuvvet
dF =
Q4pi0
q2a
dyx2 + (y y)2
x + (y y) x2 + (y y)2
=Q
4pi0q2a
x + (y y) [x2 + (y y)2
]32
dy
~Fnet (x , y) =Q
4pi0q2a
aa
x + (y y) [x2 + (y y)2
]3/2 dy
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
b) (x , 0) noktasnda toplam kuvvet
~Fnet (x , 0) =Q
4pi0q2a
aa
x y [x2 + y2]3/2
dy
=Q
4pi0qx2a
aa
dy
[x2 + y2]3/2
Q4pi0
q2a
aa
yd y
[x2 + y2]3/2
aadaki integrallerden faydalanarakdt
[a2 + t2]3/2=
1a2
ta2 + t2
+ Ctdt
[a2 + t2]3/2= 1
a2 + t2+ C
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
aa
dy
[x2 + y2]3/2=
1x2
yx2 + y2
aa
=1x2
2ax2 + a2 a
ayd y
[x2 + y2]3/2= 1
x2 + y2
aa
= 0
O halde
~Fnet (x , 0) =Q
4pi0qx2a
1x2
2ax2 + a2
=Q
4pi0qx
1x2 + a2
=Q
4pi0qx2
11 +
(ax
)2
Yk ve Coulomb Yasas Elektrik Alan
x a iin 11 +
(ax
)2 = 1 olduundan~Fnet (x , 0) =
Q4pi0
qx2
olarak ifade edilebilir.
Yk ve Coulomb YasasElektrik Alan