Ekponencijalne funkcije – osobine i grafik (urađeni zadaci)
1. Domen funkcije Df – skup vrijednosti nezavisno promjenljive x za koje se može odrediti vrijednost funkcije y;
2. Kodomen funkcije Cf – skup vrijednosti koje može imati zavisno promjenljiva y;3. Parnost/Neparnost funkcije: 10 f–ja je parna ako je f (−x )=f ( x )
, grafik funkcije je simetričan u odnosu na y–osu; 20 f–ja je neparna ako je f (−x )=−f ( x )
, grafik funkcije je simetričan u odnosu na koordinatni početak;
30 f–ja je ni parna ni neparna (ni p. ni n.) ako je f (−x )≠f ( x ) i f (−x )≠−f ( x ) . 4. Nula funkcije y=0 , tačka u kojoj grafik funkcije siječe x–osu, tj. važi f ( x0 )=0 .
Nula funkcije ima koordinate N (x0 , 0 ) .5. Presjek sa y–osom, f (0 )= y0 . Tačka u kojoj grafik funkcije siječe y–osu P (0 , y0) .6. Grafik funkcije
7. Znak funkcije: D+= {x|x∈Df∧ f ( x )>0} (vrijednosti funkcije su veće od nule ako
se grafik funkcije nalazi iznad x–ose) i D−={x|x∈D f∧f ( x )<0} (vrijednosti
funkcije su manje od nule ako se grafik funkcije nalazi ispod x–ose).
8. Monotonost funkcije (x1 , x2∈D f , x1<x2) : funkcija raste ako je f ( x1 )< f ( x2 ) ; funkcija opada ako je f ( x1 )> f ( x2 ) .
9. Konveksnost/konkavnost funkcije na nekom intervalu koji je podskup Df: funkcija je konveksna na intervalu ako se grafik funkcije nalazi ispod tetive određene tačkama koje pripadaju intervalu; funkcija je konkavna na intervalu ako se grafik funkcije nalazi iznad tetive određene tačkama koje pripadaju intervalu.
10. Asimptota – prava kojoj se grafik funkcije približava (ali je ne siječe) u beskonačno dalekim tačkama (tj. rastojanje između prave i grafika funkcije se smanjuje kada x→−∞ ili x→+∞ ).
11.1. Odrediti osobine i skicirati grafike sljedećih funkcija:
a) y=2x+1 ; b) y=2x−1 ; c) y=2x+1; d) y=2x−1
.
2. Odrediti osobine i skicirati grafike sljedećih funkcija:
a) y=2−x+1 ; b) y=2−x−1 ; c) y=2−x+1; d) y=2−x−1
.
3. Odrediti osobine i skicirati grafike sljedećih funkcija:
a) y=−2x+1 ; b) y=−2x−1 ; c) y=−2x+1; d) y=−2x−1
.
4. Odrediti osobine i skicirati grafike sljedećih funkcija:
a) y=−2−x+1; b) y=−2−x−1 ; c) y=−2−x+1; d) y=−2−x−1
.
************* moguće štamparske greške**************
1. a) y=2x+1
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y 1 18
1 14
1 12
2 3 5 9
1. Df =R
2. C f=(1 , +∞ )
3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0=∅ .
5. Funkcija siječe y−osu
u tački y=2
, tj. P (0 , 2 )
.
6. Grafik
7. Znak funkcije: D+=R , D
−=∅
8. Funkcija je rastuća
9. Funkcija je konveksna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi ispod grafika)
10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu
1. b) y=2x−1
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y −78
−34
−12
0 1 3 7
1. Df =R
2. C f=(−1 , +∞ )
3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0= {0 }
, . N (0 , 0 )
5. Funkcija siječe y−osu
u tački y=0
, tj. P (0 , 0 )
.
6. Grafik
7. Znak funkcije: D+=(0 , +∞ )
, D−=(−∞. 0 )
8. Funkcija je rastuća
9. Funkcija je konveksna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi ispod grafika)
y=1 kada x→−∞
Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=2x+1 pomjera na više za 1 u odnosu
na grafik funkcije f 1 ( x )=2x.
10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=1
kada x→−∞
Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=2x−1 pomjera na niže za 1 u odnosu
na grafik funkcije f 1 ( x )=2x
1. c) y=2x+1
x –3 –2 –1 0 1 2
y14
12
1 2 4 8
1. Df =R
2. C f=(0 , +∞ )
3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0=∅
5. Funkcija siječe y−osu u tački y=2 , tj. P (0 , 2 ) .6. Grafik
7. Znak funkcije: D+=R , D
−=∅
8. Funkcija je rastuća
1. d) y=2x−1
x –2 –1 0 1 2 3
y18
14
12
1 2 4
1. Df =R
2. C f=(0 , +∞ )3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0=∅
5. Funkcija siječe y−osu u tački y=1
2 , tj.
P(0 , 12 )
.6. Grafik
7. Znak funkcije: D+=R , D
−=∅
8. Funkcija je rastuća
9. Funkcija je konveksna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi ispod grafika)
10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0 kada x→−∞
Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=2x+1 pomjera u lijevo za 1 u odnosu
na grafik funkcije f 1 ( x )=2x
9. Funkcija je konveksna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi ispod grafika)10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0 kada x→−∞
Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=2x−1 pomjera u desno za 1 u odnosu
na grafik funkcije f 1 ( x )=2x
2. a) y=2−x+1
x –3 –2 –1 0 1 2
y 9 5 3 2 1 12
1 14
1. Df =R
2. C f=(1 , +∞ )
3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0=∅
5. Funkcija siječe y−osu
u tački y=2
, tj. P (0 , 2 )
.
6. Grafik
7. Znak funkcije: D+=R , D
−=∅
8. Funkcija je opadajuća
9. Funkcija je konveksna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi ispod grafika)
10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=1
kada x→+∞
Primjećujemo da se grafik funkcije
2. b) y=2−x−1
x –3 –2 –1 0 1 2
y 7 3 1 0 −12
−34
1. Df =R
2. C f=(−1 , +∞ )
3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0= {0 }
, tj. N (0 , 0 )
.
5. Funkcija siječe y−osu
u tački y=0
, tj. P (0 , 0 )
.
6. Grafik
7. Znak funkcije: D+=(−∞ , 0 )
, D−=(0 , ∞ )
8. Funkcija je opadajuća
9. Funkcija je konveksna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi ispod grafika)
10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=−1
kada x→+∞
Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=2−x−1 pomjera na niže za 1 u odnosu
f ( x )=2−x+1 pomjera na više za 1 u odnosu
na grafik funkcije f 1 ( x )=2− x
na grafik funkcije f 1 ( x )=2− x
2. c) y=2−x+1
x 3 2 1 0 –1 –2
y14
12
1 2 4 8
1. Df =R
2. C f=(0 , +∞ )
3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0=∅
5. Funkcija siječe y−osu u tački y=2 , tj. P (0 , 2 ) .6. Grafik
7. Znak funkcije: D+=R , D
−=∅8. Funkcija je opadajuća9. Funkcija je konveksna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi ispod grafika)10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0 kada x→+∞
Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=2−x+1 pomjera u lijevo za 1 u
odnosu na grafik funkcije f 1 ( x )=2− x
2. d) y=2−x−1
x 2 1 0 –1 –2 –3
y18
14
12
1 2 8
1. Df =R
2. C f=(0 , +∞ )
3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0=∅
5. Funkcija siječe y−osu u tački y=2 , tj. P (0 , 2 ) .6. Grafik
7. Znak funkcije: D+=R , D
−=∅
8. Funkcija je opadajuća
9. Funkcija je konveksna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi ispod grafika)
10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0 kada x→+∞
Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=2−x+1 pomjera u lijevo za 1 u
odnosu na grafik funkcije f 1 ( x )=2− x
3. a) y=−2x+1
x 3 2 1 0 –1 –2 –3
y −7 −3 −1 012
34
78
1. Df =R
2. C f=(−∞ , +1 )
3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0= {0 }
, tj. N (0 , 0 )
5. Funkcija siječe y−osu
u tački y=0
, tj. P (0 , 0 )
.
6. Grafik
7. Znak funkcije: D+=(−∞ , 0 )
, D−=(0 , ∞ )
8. Funkcija je opadajuća
9. Funkcija je konkavna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi iznad grafika)
10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=1
kada x→−∞
Primjećujemo da se grafik funkcije
3. b) y=−2x−1
x 3 2 1 0 –1 –2
y −9 −5 −3 −2 −1 12
−1 14
1. Df =R
2. C f=(−∞ , −1 )
3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0=∅
, tj. funkcija nema nula.
5. Funkcija siječe y−osu
u tački y=−2
, tj. P (0 , −2 )
.
6. Grafik
7. Znak funkcije: D+=∅ , D
−=R
8. Funkcija je opadajuća
9. Funkcija je konkavna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi iznad grafika)
10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=−1
kada x→−∞
Primjećujemo da se grafik funkcije
f ( x )=2−x+1 pomjera na više za 1 u odnosu
na grafik funkcije f 1 ( x )=2− x
f ( x )=2−x−1 pomjera na niže za 1 u odnosu
na grafik funkcije f 1 ( x )=2− x
3. c) y=−2x+1
x 2 1 0 –1 –2 –3
y −8 −4 −2 −1 −12
−14
1. Df =R
2. C f=(−∞ , 0 )
3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0=∅
, tj. nema presjeka sa x−osom
5. Funkcija siječe y−osu
u tački y=−2
, tj. P (0 , −2 )
.
6. Grafik
7. Znak funkcije: D+=∅ ,
D−=(−∞ , ∞ )
8. Funkcija je opadajuća
9. Funkcija je konkavna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi iznad grafika)
3. d) y=−2x−1
x 2 1 0 –1 –2
y −8 −4 −2 −1 −12
−14
−18
1. Df =R
2. C f=(−∞ , 0 )3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0=∅ , tj. nema presjeka sa x−osom
5. Funkcija siječe y−osu u tački y=−1
2 , tj.
P(0 , −12 )
.
6. Grafik
7. Znak funkcije: D+=∅ , D
−=(−∞ , ∞ )
8. Funkcija je opadajuća
9. Funkcija je konkavna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi iznad grafika)
10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0
kada x→−∞
Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=−2−x+1
pomjera u lijevo za 1 u odnosu
na grafik funkcije f 1 ( x )=2− x
10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0 kada x→−∞
Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=−2−x+1
pomjera u desno za 1 u
odnosu na grafik funkcije f 1 ( x )=2− x
4. a) y=−2−x+1
x –3 –2 –1 0 1 2
y −8 −4 −2 −1 −12
−14
1. Df =R
2. C f=(−∞ , 1 )
3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0= {0 }
5. Funkcija siječe y−osu u tački y=0 , tj. P (0 , 0 ) .6. Grafik
7. Znak funkcije: D+=(0 , ∞ ) , D
−=(−∞ , 0 )
8. Funkcija je rastuća
9. Funkcija je konkavna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi iznad grafika)
10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=1 kada x→+∞
Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=−2−x+1 pomjera na više za 1 u
4. b) y=−2−x−1
x –3 –2 –1 0 1 2
y −9 −5 −3 −2 −1 12
−1 14
1. Df =R
2. C f=(−∞ , −1 )
3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0=∅
5. Funkcija siječe y−osu u tački y=−2 , tj. P (0 , −2 ) .6. Grafik
7. Znak funkcije: D+=∅ , D
−=(−∞ , ∞ )
8. Funkcija je rastuća
9. Funkcija je konkavna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi iznad grafika)
10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=−1 kada x→+∞
Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=−2−x−1 pomjera na niže za 1 u
odnosu na grafik funkcije f 1 ( x )=−2− xodnosu na grafik funkcije f 1 ( x )=−2− x
4. c) y=−2−x+1
x –2 –1 0 1 2 3
y −8 −4 −2 −1 −12
−14
1. Df =R
2. C f=(−∞ , 0 )3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0=∅
5. Funkcija siječe y−osu u tački y=−2 , tj. P (0 , −2 ) .6. Grafik7. Znak funkcije: D
+=∅ , D−=R
8. Funkcija je rastuća9. Funkcija je konkavna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi iznad grafika)10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0 kada x→+∞
Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=−2−x+1
pomjera u desno za 1 u
odnosu na grafik funkcije f 1 ( x )=−2− x
4. d) y=−2−x−1
x –3 –2 –1 0 1 2
y −4 −2 −1 −12
−14
−18
1. Df =R
2. C f=(−∞ , 0 )3. Funkcija je ni parna ni neparna
4. D0=∅
5. Funkcija siječe y−osu u tački y=−0,5 , tj. P (0 ; −0,5 ) .6. Grafik7. Znak funkcije: D
+=∅ , D−=R
8. Funkcija je rastuća9. Funkcija je konkavna (u svakoj tački grafika funkcije tangenta se nalazi iznad grafika)10. Funkcija ima horizontalnu asimptotu y=0 kada x→+∞
Primjećujemo da se grafik funkcije f ( x )=−2−x+1
pomjera u lijevo za 1 u odnosu
na grafik funkcije f 1 ( x )=−2− x
************* moguće štamparske greške**************