Male oscilacije Ekstremi funkcije jedne - phy.pmf.unizg.hr · Male oscilacije Ekstremi funkcija Ekstremi funkcije jedne varijable Ekstremi funkcije dvije varijable Ekstremi funkcije

Male oscilacije

Ekstremi funkcijaEkstremi funkcije jednevarijable

Ekstremi funkcije dvijevarijable

Ekstremi funkcije viševarijabli

Uvjeti ravnoteže

Linearizacijajednadžbi gibanjaSustavi s jednim stupnjemslobode

Sustavi s više stupnjevaslobode

Ekstremi funkcije jednevarijable

• maksimum funkcije y = f (x) je vrijednost f (x0)za koju vrijedi

f (x0 + h) < f (x0) (1)

za po volji male vrijednosti h• minimum funkcije y = f (x) je vrijednost f (x0) za

koju vrijedif (x0 + h) > f (x0) (2)

za po volji male vrijednosti h

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• neprekinuta funkcija može imati ekstrem samo utockama u kojima prva derivacija išcezava iliuopce ne postoji

• kod traženja ekstrema funkcije prvo trebamonaci tocke x0 u kojima vrijedi

f ′(x0) = 0

• vrstu ekstrema možemo odrediti racunajuci višederivacije

• ako je f ′′(x0) < 0 tocka x0 je maksimum• ako je f ′′(x0) > 0 tocka x0 je minimum• ako je f ′′(x0) = 0 racunamo više derivacije• ako je red prve derivacije razlicite od nula

neparan funkcija nema ni minimum nimaksimum

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• ako je red prve derivacije razlicite od nula parani derivacija je pritom negativna funkcija imamaksimum

• ako je red prve derivacije razlicite od nulaneparan i derivacija je pritom pozitivna funkcijaima minimum

Primjer 1: f (x) = x2

x

yy = x2 • 1. derivacija: f ′(x) = 2x

• nultocka 1. derivacije:x0 = 0

• 2. derivacija: f ′′(x0) = 2 jepozitivna pa funkcija imaminimum

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



Primjer 2: f (x) = −x2

xy

y = −x2

• 1. derivacija: f ′(x) = −2x• nultocka 1. derivacije:

x0 = 0• 2. derivacija: f ′′(x0) = −2 je

negativna pa funkcija imamaksimum

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



Primjer 3: f (x) = x3

x

y

y = x3

• 1. derivacija: f ′(x) = 3x2

• nultocka 1. derivacije:x0 = 0

• 2. derivacija: f ′′(x0) = 0• 3. derivacija: f ′′′(x0) = 6

• prva derivacija razlicita od nule ima neparni red(3. derivacija)

• funkcija nema ni minimum ni maksimum, negotocku infleksije

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže




• funkcija z = f (x , y) ima ekstrem u tockiP0 = (x0, y0) ako možemo naci ǫ takav dapodrucje

x0 − ǫ < x < x0 + ǫ i y0 − ǫ < y < y0 + ǫ

ulazi u podrucje definicije funkcije i pri tomevrijedi

f (x , y) < f (x0, y0) u slucaju maksimuma (3)

f (x , y) > f (x0, y0) u slucaju minimuma (4)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• nužni uvjet postojanja ekstrema u tockiP0 = (x0, y0)

∂f∂x

∣

∣

∣

∣

x0,y0

= 0 i∂f∂y

∣

∣

∣

∣

x0,y0

= 0 (5)

• prvi korak u traženju ekstrema je rješavanjesustava jednadžbi (5)

• vrstu ekstrema možemo odrediti na sljedecinacin

• dobivena rješenja uvrstimo u Hessian

H =

∣

∣

∣

∣

∣

∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂y∂x

∂2f∂y2

∣

∣

∣

∣

∣

(6)

• ako je Hessian negativan funkcija nema nimaksimum ni minimum

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• ako je Hessian pozitivan tada funkcija ima

• maksimum ako vrijedi∂2f∂x2 < 0

• minimum ako vrijedi∂2f∂x2 > 0

• ako je Hessian jednak nuli, moramo koristitisloženije metode provjere vrste ekstrema

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



Primjer 1: f (x , y) = x2 + y2

x y

z

• prve derivacije išcezavaju u tocki (0, 0)

• Hessian u istoj tocki iznosi 4• osim toga vrijedi ∂2

x f∣

∣

(0,0)= 2

• funkcija ima minimum

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



Primjer 2: f (x , y) = −x2 − y2

y

z

x


• Hessian u istoj tocki iznosi 4• osim toga vrijedi ∂2

x f∣

∣

(0,0)= −2

• funkcija ima maksimum

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



Primjer 3: f (x , y) = x2 − y2

yx

z


• Hessian u istoj tocki iznosi −4• funkcija nema ni minimum ni maksimum, nego

sedlenu tocku

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže




• da bi diferencijabilna funkcija f (x1, x2, . . . , xn)imala ekstrem u tocki T mora vrijediti

∂f∂x1

∣

∣

∣

∣

T

= 0 ,∂f∂x2

∣

∣

∣

∣

T

= 0 , . . . ,∂f∂xn

∣

∣

∣

∣

T

= 0 (7)

• tocku T zovemo stacionarna tocka• prirodu stacionarne tocke provjeravamo

racunajuci Hessian• elementi Hessiana

aij =∂2f

∂xi∂xj

∣

∣

∣

∣

T

, i , j = 1, . . . , n (8)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• Hessian napisan u obliku matrice

H =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

...an1 an2 · · · ann

, aij =∂2f

∂xi∂xj

∣

∣

∣

∣

T

(9)• funkcija f ima minimum u tocki T ako vrijedi

a11 > 0,

∣

∣

∣

∣

a11 a12

a21 a22

∣

∣

∣

∣

> 0, . . . (10)

• sve minore moraju biti pozitivne∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 · · · a1k

a21 a22 · · · a2k...

......

...ak1 ak2 · · · akk

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

> 0, k ≤ n (11)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• funkcija f ima maksimum u tocki T ako vrijedi

a11 < 0,

∣

∣

∣

∣

a11 a12

a21 a22

∣

∣

∣

∣

> 0, . . . (12)

• minore naizmjenicno mijenjaju predznak

(−1)k

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 · · · a1k

a21 a22 · · · a2k...

......

...ak1 ak2 · · · akk

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

> 0, k ≤ n (13)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



Uvjeti ravnoteže

• promatramo sustav opisan Lagrangianom

L =12

∑

i ,j

aij(q1, . . . , qn)qi qj −U(q1, . . . , qn) (14)

• E-L jednadžba za k−ti stupanj slobode

ddt

(

∂L∂qk

)

−∂L∂qk

= 0 (15)

• koeficijenti aik su simetricni (aik = aki )

∂L∂qk

=12

∑

j

akj(q)qj +∑

i

aik (q)qi

=∑

j

akj(q)qj

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• deriviramo prethodni izraz po vremenu

ddt

(

∂L∂qk

)

=∑

j

akj(q)qj +∑

i ,j

∂akj(q)

∂qiqi qj (16)

• druga derivacija potrebna za E-L jednadžbu

∂L∂qk

=12

∑

i ,j

∂aij(q)

∂qkqi qj −

∂U(q)

∂qk(17)

• E-L jednadžba za k-ti stupanj slobode

∑

j

akj qj +∑

i ,j

∂akj

∂qiqj qi −

12

∑

i ,j

∂aij(q)

∂qkqi qj

+∂U(q)

∂qk= 0 (18)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• da bi sistem mirovao u tocki konfiguracionogprostora

q(0) =(

q(0)1 , . . . q(0)

n

)

(19)

mora vrijediti

qi = q(0)i , qi = 0, qi = 0, ,

...q i = 0, . . . (20)

• uvrstimo uvjete (20) u E-L jednadžbu (18)

=⇒∂U(q1, . . . , qn)

∂qi

∣

∣

∣

∣

q=q(0)

= 0 i = 1, . . . , n

(21)• tocke ravnoteže se poklapaju s ekstremima

potencijala

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



Linearizacija-sustavi sjednim stupnjem slobode

• promatramo mala odstupanja od tockeravnoteže q0

• Taylorov razvoj potencijala

U = U(q0)+∂U∂q

∣

∣

∣

∣

0

(q−q0)+12

∂2U∂q2

∣

∣

∣

∣

0

(q−q0)2+· · ·

(22)• prvi clan možemo ignorirati jer je potencijal

definiran do na konstantu• drugi clan išcezava jer smo u tocki ravnoteže

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• koristimo oznake

k ≡∂2U(q)

∂q2

∣

∣

∣

∣

q=q0

i x = q − q0 (23)

• potencijal možemo napisati u obliku

U(q) ≈ U(q0) +12

kx2 (24)

• kineticka energija sustava

T =12

a(q)q2 =12

a(q)x2 (25)

• x je mala velicina pa u Taylorovom razvojukoeficijenta a(q) trebamo zadržati samo nulticlan

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• kineticka energija u blizini tocke ravnoteže

T =12

a(q0)x2 =12

mx2 (26)

gdje je m ≡ a(q0)

• Lagrangian malih oscilacija

Ls.o. =12

mx2 −12

kx2 (27)

• E-L jednadžba

mx + kx = 0 =⇒ x + ω2x = 0 (28)

gdje je kutna frekvencija

ω =

√

km

(29)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• jednadžba gibanja je linearna diferencijalnajednadžba drugog reda

• opce rješenje je linearna kombinacija dvalinearno nezavisna rješenja

x(t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt (30)

• slobodni parametri C1 i C2 odredeni su pocetnimuvjetima

x(t = 0) = x0 i x(t = 0) = x0 (31)

• rješenje (30) možemo napisati u obliku

x = A cos (ωt + φ) (32)

A =√

C21 + C2

2 i φ = arctan(

−C2

C1

)

(33)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• koeficijent A odreduje amplitudu titranja, akoeficijent φ fazu

• ako promatramo gibanja u blizini tocke stabilneravnoteže (minimum potencijala) koeficijent k urazvoju je pozitivan

• kutna frekvencija ω je realna pa rješenje (30)zaista opisuje oscilacije

• ako promatramo gibanja u blizini tockenestabilne ravnoteže (maksimum potencijala)koeficijent k u razvoju je negativan

• kutna frekvencija ω je imaginarna pa rješenje(30) ne opisuje oscilacije, nego udaljavanje odtocke ravnoteže (hiperbolne funkcije)

• svojstvo nestabilne ravnoteže: po volji malipomak je dovoljan da se sustav sasvim udalji odte tocke

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



Primjer: matematicko njihalo• promatramo matematicko njihalo koje se giba u

ravnini

l

mz

θ

• kineticka energija

T =m2

l2θ2 (34)

• potencijalna energija

U = −mgl cos θ (35)

• Lagrangian njihala

L =m2

l2θ2 + mgl cos θ (36)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• tocke ravnotež slijede iz

∂U∂θ

= 0 =⇒ sin θ = 0 (37)

• uvjet ravnoteže ispunjavaju dvije tocke

θst = 0 i θnest = π (38)

• stabilna tocka ravnoteže: θst = 0

l

m

θ

x

Razvoj potencijala:

U(θ) = −mgl cos θ

= −mgl(

1 −12θ2

)

= −mgl +12

mglθ2 (39)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• pomak njihala od tocke stabilne ravnoteže

lθ = x =⇒ l θ = x (40)


Lst. =12

[

mx2 −gml

x2]

(41)

• nestabilna tocka ravnoteže: θst = π

l

m

θ

x

π − θ

Razvoj potencijala:

U(θ) = −mgl cos [π + (θ − π)]

= mgl cos [π − θ]

= mgl −12

mgl (π − θ)2

(42)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• pomak njihala od tocke stabilne ravnoteže

l(π − θ) = x =⇒ −l θ = x (43)


Lnest. =12

[

mx2 +gml

x2]

(44)

• oba Lagrangiana se poklapaju s opcenitimLagrangianom malih oscilacija (27) akodefiniramo

kst. =gml

i knest. = −gml

(45)

• kutne frekvencije

ωst. =

√

gl

i ωnest. =

√

−gl

(46)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



stabilna tocka ravnoteže: θst. = 0• kutna frekvencija ωst. je realna pa njihalo uvijek

ostaje u blizini tocke ravnoteže• mali pomak sistema od stabilne tocke ravnoteže

uzrokuje male oscilacije oko tocke ravnoteže

nestabilna tocka ravnoteže: θnest. = π

• kutna frekvencija ωnest. je imaginarna pa surješenja zapravo hiperbolne, a ne oscilatornefunkcije

• mali pomak, pa makar i infinitezimalan, sistemaod nestabilne tocke ravnoteže nakon dovoljnodugo vremena vodi do potpunog udaljavanjasistema od te tocke

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže




kineticka energija

• pretpostavimo da sustav s n stupnjeva slobodeopisan Lagrangianom

L =12

∑

i ,k

aik(q)qi qk − U(q) (47)

ima tocku ravnoteže

q0 ={

q01 , q0

2 , . . . , q0n

}

(48)

• generalizirani pomak za i − ti stupanj slobode

xi = qi − q0i (49)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



razvoj potencijala

• potencijalna energija u blizini tocke ravnoteže

V (q) = V (q0) +12

∑

i ,j

kijxixj (50)

razvoj kineticke energije

• kineticka energija u blizini tocke ravnoteže

T =12

∑

i ,j

mij xi xj (51)

• koeficijenti u prethodne dvije jednadžbe susimetricni

kij = kji i mij = mji (52)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• konstantni clan V (q0) u potencijalnoj energiji(50) možemo ignorirati

• Lagrangian sustava u blizini tocke ravnoteže

L =12

∑

i ,j

[mij xi xj − kijxixj ] (53)

• E-L jednadžba za k−ti stupanj slobode

ddt

(

∂L∂xk

)

−∂L∂xk

= 0 (54)

• racunamo derivacije potrebne za E-L jednadžbu

∂L∂xk

=12

∑

i ,j

[mijδik xj + mij xiδjk ]

=12

∑

j

mkj xj +∑

i

mik xi

(55)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• iskoristimo simetricnost koeficijenata mij = mji

∂L∂xk

=12

∑

j

mkj xj +∑

i

mkj xi

(56)

• indeks sumacije druge sume u jedn. (56)možemo preimenovati i → j

∂L∂xk

=∑

j

mkj xj (57)

• jednakim postupkom dolazimo do

∂L∂xk

=∑

j

kkjxj (58)

Male oscilacije




Uvjeti ravnoteže



• E-L jednadžba za k -ti stupanj slobode

n∑

j=1

[mkj xj + kkjxj ] = 0 , k = 1, . . . , n (59)

• došli smo do sustava od n linearnih homogenihjednadžbi drugog stupnja s konstantnimkoeficijentima

Male oscilacijepovratak

• kineticku energiju za sustav od p cestica uvijekmožemo napisati u Kartezijevom sustavu

T =12

p∑

i=1

mi(

x2i + y2

i + z2i

)

(60)

• pretpostavimo da cijeli sustav možemo opisati sn nezavisnih generaliziranih koordinata tako davrijedi

xi = xi(q1, . . . , qn) (61)

yi = yi(q1, . . . , qn) (62)

zi = zi(q1, . . . , qn) (63)

• pritom smo se ogranicili na transformacije kojene ovise eksplicitno o vremenu

Male oscilacije• komponente brzine u Kartezijevom sustavu

xi =n

∑

k=1

∂xi

∂qkqk =⇒ x2

i =n

∑

k ,j=1

∂xi

∂qk

∂xi

∂qjqk qj (64)

yi =n

∑

k=1

∂yi

∂qkqk =⇒ y2

i =n

∑

k ,j=1

∂yi

∂qk

∂yi

∂qjqk qj (65)

zi =

n∑

k=1

∂zi

∂qkqk =⇒ z2

i =

n∑

k ,j=1

∂zi

∂qk

∂zi

∂qjqk qj (66)

• kineticka energija sustava

T =12

p∑

i=1

mi

n∑

k ,j=1

(

∂xi

∂qk

∂xi

∂qj+

∂yi

∂qk

∂yi

∂qj

+∂zi

∂qk

∂zi

∂qj

)

qk qj

]

(67)

Male oscilacije• promjenimo poredak sumacije u prethodnoj

jednadžbi

T =12

n∑

k ,j=1

[

qk qj

p∑

i=1

mi

(

∂xi

∂qk

∂xi

∂qj+

∂yi

∂qk

∂yi

∂qj

+∂zi

∂qk

∂zi

∂qj

)]

(68)

• definiramo koeficijente

akj(q) =

p∑

i=1

mi

(

∂xi

∂qk

∂xi

∂qj+

∂yi

∂qk

∂yi

∂qj+

∂zi

∂qk

∂zi

∂qj

)

(69)koji su simetricni

akj(q) = ajk(q) (70)

Male oscilacije• kineticka energija se svela na sljedecu

kvadratnu formu

T =12

n∑

i ,j=1

aij(q)qi qj (71)


• Taylorov razvoj funkcije od n varijabli oko tocke{q0

1 , . . . , q0n}

V (q1, . . . , qn) = V (q01 , . . . , q0

n)

+

n∑

i=1

∂V∂qi

∣

∣

∣

∣

0

(qi − q0i )

+12!

n∑

i ,j=1

∂2V∂qi∂qj

∣

∣

∣

∣

0

(qi − q0i )(qj − q0

j )

+13!

n∑

i ,j ,k=1

∂3V∂qi∂qj∂qk

∣

∣

∣

∣

0

×

× (qi − q0i )(qj − q0

j )(qk − q0k ) + · · ·

(72)

Male oscilacije• koristimo oznaku: xi ≡ qi − q0

i

• ako je q0 tocka ravnoteže linearni clanoviišcezavaju

∂V∂qi

∣

∣

∣

∣

0

= 0 (73)

• u harmonickoj aproksimaciji se zadržavamo nakvadraticnim clanovima

• definiramo koeficijente

kij ≡∂2V

∂qi∂qj

∣

∣

∣

∣

0

(74)

koji su ocito simetricni kij = kji

• potencijal možemo napisati u sljedecem obliku

V (q) = V (q0) +12

n∑

i ,j=1

kijxixj (75)


• kineticku energiju smo napisali u obliku

T =12

n∑

i ,j=1

aij(q)qi qj (76)

• tražimo razvoj kineticke energije oko tockeravnoteže {q0

1 , . . . , q0n}

• pomak od ravnoteže

xi ≡ qi − q0i =⇒ xi = qi (77)

• uvrstimo qi u kineticku energiju

T =12

n∑

i ,j=1

aij(q)xi xj (78)

Male oscilacije• u harmonickoj aproksimaciji se zadržavamo na

kvadraticnim clanovima malih velicina• xi su vec male velicine pa u Taylorovom razvoju

koeficijenata aij(q) stanemo na nultom clanu• definiramo koeficijente

mij = aij(q0) (79)

koji su ocito simetricni• kineticka energija blizu tocke ravnoteže

T =12

n∑

i ,j=1

mij xi xj (80)

Male oscilacije Ekstremi funkcije jedne - phy.pmf.unizg.hr · Male oscilacije Ekstremi funkcija Ekstremi funkcije jedne varijable Ekstremi funkcije dvije varijable Ekstremi funkcije

Documents