Vibracao Transversal Viga

Vibr

açõe

s M

ecân

icas

Pro

f. D

r. N

ewto

n So

eiro

VIBRAÇÕES MECÂNICASSISTEMAS CONTÍNUOS

VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE VIGA

Vibr

açõe

s M

ecân

icas

Pro

f. D

r. N

ewto

n So

eiro

VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA

Seja o diagrama de corpo livre do elemento mostrado na figura:

Aplicando a segunda lei de Newton na direção z, tem-se:

2),(2

).(.).,()(t

txwdxxAVdxtxfdVV

Em que ρ é a massa específica, A a área da seção transversal e f (x,t) é a força por unidade de comprimento.

Vibr

açõe

s M

ecân

icas

Pro

f. D

r. N

ewto

n So

eiro


2),(2

).(.).,()(t

txwdxxAVdxtxfdVV

Considerando que: dxxVdV .

2),(2

).(.),(),(

t

txwxAtxfxtxV

Da Mecânica dos Sólidos:xtxMtxV

),(),(

2),(2

).(.),(2),(2

t

txwxAtxfx

txM

Da Mecânica dos Sólidos: 2),(2

)(.),(x

txwxIEtxM

Em que E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia da seção transversal, em relação ao eixo y.

Vibr

açõe

s M

ecân

icas

Pro

f. D

r. N

ewto

n So

eiro


2),(2

).(.),(2),(2

t

txwxAtxfx

txM

Substituindo a equação da linha elástica na equação acima, obtemos a equação de movimento para vibração transversal forçada de viga não uniforme:

),(2),(2

).(.2),(2

).(.2

2txf

t

txwxAx

txwxIEx

Para viga uniforme, em que I(x) = I e A(x) = A, ou seja, as propriedades geométricas são constantes ao longo do comprimento, a equação se reduz a:

),(2),(2

..4),(4

.. txft

txwAx

txwIE

Vibr

açõe

s M

ecân

icas

Pro

f. D

r. N

ewto

n So

eiro


),(2),(2

..4),(4

.. txft

txwAx

txwIE

Para vibração livre, f (x,t) = 0, a equação se reduz a:

AIEce

t

txw

x

txwc..02

),(2

4),(4

.2

Visto que a equação de movimento envolve uma derivada de segunda ordem em relação ao tempo e outra de quarta ordem em relação a x, a solução será encontrada a partir de duas condições iniciais e quatro condições de contorno. Assim, as condições iniciais serão dadas por:

)()0,()()0,( xowxtxwexowtxw

Vibr

açõe

s M

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Pro

f. D

r. N

ewto

n So

eiro


AIEce

t

txw

x

txwc..02

),(2

4),(4

.2

A solução pode ser encontrada usando o método da separação de variáveis, ou seja:

)().(),( tTxWtxw Que substituindo na equação de movimento leva a:

22)(2

.)(

14)(4

.)(

2

dt

tTdtTdx

xWdxW

c

Que pode ser escrita como duas equações:

0)(.22)(2

0)(.44)(4

tTdt

tTdexWdx

xWd

Em que: IEA

c .

2..2

24

Vibr

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Pro

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ewto

n So

eiro


As soluções podem ser expressas como:

).(.4).cosh(.3).(.2).cos(.1)().().cos(.)(

xsenhCxCxsenCxCxWtBsentAtT

0)(.22)(2

0)(.44)(4

tTdt

tTdexWdx

xWd

As constantes A e B são obtidas das condições iniciais e as constantes Ci, com i = 1,2,3 e 4, das condições de contorno, conforme listadas na tabela a seguir apresentada.

A função W (x) é a função característica, ou forma modal da viga, e ω são as freqüências naturais da viga. Cada viga terá um número infinito de formas modais associadas com os infinitos valores de ω.

Vibr

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n So

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Vibr

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ewto

n So

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Determine as três primeiras freqüências naturais e formas modais correspondentes de uma viga bi-apoiada constituída de um material com massa específica ρ e módulo de elasticidade E. As suas características geométricas são: comprimento L, seção Transversal A e momento de inércia da seção transversal I.

EXEMPLO

02),0(20),0(

x

tW

tW

02),(20),(

x

tLW

tLW

Vibr

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n So

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SOLUÇÃO

Aplicando as condições de contorno para x = 0, temos:

).(.4).cosh(.3).(.2).cos(.1)( xsenhCxCxsenCxCxW

03102

20310)0(

CCx

W

CCW

que permite concluir que C1 = C3 = 0. Assim, aplicando as condições de contorno para x = L, tem-se:

0).(24).(2

202

20).(.4).(.20)(

LsenhCLsenCx

W

LsenhCLsenCLW

levando a conclusão de que C4 = 0 e que:

,3,2,1..0).(2 nnLLsenC

Vibr

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IEA

c .

2..2

24 Como e ,3,2,1. n

Ln

As freqüências naturais serão dadas por: A

IE

L

nn .

..2

2.2

A solução geral, correspondente à vibração livre, é dada por:

A solução wn(x,t) correspondente à ωn pode ser expressa como:

tnsennDtnnCxlnsentnTxnWtxnw .cos.)().(),(

1.cos.),(

ntnsennDtnnCx

lnsentxw

Os valores de Cn e Dn dependem das condições iniciais.

Vibr

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AIE

L ...2

21

AIE

L ...2

242

AIE

L ...2

293

Vibr

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VIBRAÇÃO FORÇADAA solução para vibração forçada pode ser obtida pelo princípio da superposição modal. Assim, a deflexão da viga pode ser assumida como:

1)().(),(

ntnqxnWtxw

Em que Wn (x) satisfaz a seguinte equação:

IEnAexW

dx

xnWd.

2..40)(.44)(4

,3,2,10)(.2..4)(4

.. nexWnAdx

xnWdIE

(1)

(2)

Vibr

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Substituindo a Eq. (1) na equação da vibração forçada, tem-se:

1 1),(

2)(2

).(.)(.4)(4

.n n

txfdt

tnqdxnWAtnqdx

xnWdIE

Esta nova equação pode ser reescrita, usando a Eq. (2) como:

1 1),(.

.1

2)(2

).()().(.2

n ntxf

Adt

tnqdxnWtnqtnWn

Multiplicando esta equação por Wm(x), integrando de 0 a L, e usando a condição de ortogonalidade, ou seja:

mncomL

dxxmWxnW 0 0).().(

Vibr

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Obtém-se a seguinte equação de movimento:

)(...1)(.22

)(2tnQbA

tnqndt

tnqd

Sendo Qn(t) a força generalizada, correspondente a qn(t), e b uma constante, dados pelas seguintes equações:

L

nL

nn dxxWbedxxWtxftQ0

20

).().().,()(

A solução da equação é dada por:

L

dtnsennQnbA

tnsennBtnnAtnq

0)].([).(.

...1

).(.).cos(.)(

Vibr

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Determine a resposta em regime de funcionamento para uma viga bi-apoiada submetida a uma força f (x,t) = fo sen (ω.t) aplicada em x = a, como mostrado na figura abaixo.

EXEMPLO

Vibr

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SOLUÇÃOComo visto no exemplo anterior, a função característica Wn(x), para uma viga bi-apoiada, é dada por:

Ln

ncomxnsenxnW .).()(

A força generalizada Qn(t) é dada por:

Ltsen

LansenfdxxnWtxftnQ 0

).(....0).().,()(

A resposta em regime é dada por:

L

dtnsennQnbA

tnq 0)].([).(.

...1)(

L LdxxLnsen

LdxxnWb

0 2..2

0).(2

Vibr

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O valor de qn(t) pode ser expresso por:

).(.22

..

...0.2)( tsen

n

Lansen

LAftnq

Portanto, a vibração em regime da viga é dada por:

).(..

1....22

1..0.2),( tsenx

Lnsen

nLansen

nLAf

txw

Vibr

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VIBRAÇÕES TRANSVERSALDE VIGA COM CARGA AXIAL

Seja o diagrama de corpo livre do elemento mostrado na figura:

Aplicando a segunda lei de Newton na direção z, tem-se:

2),(2

).(.

)()().().,()(

t

txwdxxA

PsendsendPPVdxtxfdVV

Em que ρ é a massa específica, A a área da seção transversal, f (x,t) é a força por unidade de comprimento e P (x,t) é a força axial.

Vibr

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Para pequenas deflexões:

dxx

wxwdx

xddsen

2

2)(

Que junto com a equação de movimento fornece:

),(2

2

2),(2

..2),(2

..2

2txf

x

wPt

txwAx

txwIEx

Que para vibração livre da viga uniforme se reduz para:

02

2

2),(2

..4),(4

..

x

wPt

txwAx

txwIE

Da Mecânica dos Sólidos:xtxMtxV

),(),(

Vibr

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Pro

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r. N

ewto

n So

eiro


02

2

2),(2

..4),(4

..

x

wPt

txwAx

txwIE

A solução é obtida usando-se o método da separação de variáveis, ou seja:

)].(.).cos(.).[(),( tsenBtAxWtxw Substituindo w(x,t) na equação de movimento, tem-se:

0)(.2..2)(2

4)(4

..

xWA

x

xWPdx

xWdIE

Que leva a seguinte solução:

).2(4).2cos(3).1(2).1cosh(1)( xssenCxsCxssenhCxsCxW 2/12

224

2

222;

21

EIA

IE

PEIPss

Vibr

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Determine as freqüências naturais de uma viga bi-apoiada para uma força compressiva axial P.

EXERCÍCIO

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