UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS DE CURITIB A DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA E DE MATERIAIS - PPGEM Francisco José Doubrawa Filho CONTROLE DE VIBRAÇÃO FLEXIONAL EM SISTEMAS GIRANTES UTILIZANDO NEUTRALIZADORES DINÂMICOS VISCOELÁSTICOS Curitiba JUNHO - 2008
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Controle de Vibracao Flexional Em Sistemas Girantes Utilizando Neutralizadores Dinamicos Viscoelasticos
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8/6/2019 Controle de Vibracao Flexional Em Sistemas Girantes Utilizando Neutralizadores Dinamicos Viscoelasticos
CONTROLE DE VIBRAÇÃO FLEXIONAL EM SISTEMASGIRANTES UTILIZANDO NEUTRALIZADORES DINÂMICOS
VISCOELÁSTICOS
Dissertação apresentada como requisito parcialà obtenção do título de Mestre em Engenharia,do Programa de Pós-Graduação em Engenha-ria Mecânica e de Materiais, Área de concen-tração em Mecânica dos Sólidos e Vibrações,do Departamento de Pesquisa e Pós Graduação,
do Campus de Curitiba da UTFPR.
Orientador:
Prof. Carlos Alberto Bavastri, Dr. Eng.
Curitiba
JUNHO - 2008
8/6/2019 Controle de Vibracao Flexional Em Sistemas Girantes Utilizando Neutralizadores Dinamicos Viscoelasticos
CONTROLE DE VIBRAÇÃO FLEXIONAL EM SISTEMASGIRANTES UTILIZANDO NEUTRALIZADORES DINÂMICOS
VISCOELÁSTICOS
Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de mestre em engenharia, Área deconcentração em Mecânica dos Sólidos e Vibrações, e aprovada em sua forma final pelo Pro-
grama de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais.
Prof. Neri Volpato, Dr. Eng.Coordenador de Curso
BANCA EXAMINADORA
Prof. Carlos Alberto Bavastri, Dr. Eng.Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Prof. Hans Ingo Weber, Dr. Eng.Pontifícia Universidade Católica do Rio de
Janeiro
Prof. Jucélio Tomás Pereira, Dr. Eng.Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Prof. Marco Antônio Luersen, Dr. Eng.Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Curitiba, 30 de Junho de 2008
8/6/2019 Controle de Vibracao Flexional Em Sistemas Girantes Utilizando Neutralizadores Dinamicos Viscoelasticos
DOUBRAWA FILHO, Francisco José, Controle de Vibração Flexional em Sistemas Gi-
rantes Utilizando Neutralizadores Dinâmicos Viscoelásticos, 2008, Dissertação (Mestrado em
Engenharia) - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universi-
dade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 128p.
RESUMO
Sistemas rotativos estão sujeitos à forças geradas pelo desbalanceamento residual a qual éproporcional ao quadrado da rotação. Não é incomum máquinas modernas de alta velocidadeoperarem acima da rotação crítica. Próximo a esta rotação, em sistemas com baixo amorteci-
mento, o fator de amplificação pode levar o rotor a operar em níveis de vibração excessiva oumesmo à destruição. Neutralizadores dinâmicos de vibração são dispositivos amplamente utili-zados na atenuação de ruído e vibração em estruturas não girantes. Normalmente neutralizado-res dinâmicos são construídos utilizando materiais viscoelásticos cujas propriedades dependemda temperatura e da freqüência. Um dos modelos que melhor descreve este comportamento éo que faz uso de derivada fracionária e quatro parâmetros. O sistema rotativo, chamado pri-mário, pode ser modelado utilizando parâmetros modais obtidos no domínio da freqüência doespaço de estado para uma dada temperatura de trabalho. Utilizando uma metodologia similarà desenvolvida pelo grupo PISA o sistema composto (sistema girante + neutralizadores) podeser modelado em um subespaço modal do sistema primário. O modelo à parâmetros equivalen-
tes generalizados utilizado nos neutralizadores permite que o sistema composto seja resolvidoutilizando as coordenadas generalizadas do sistema primário apenas, apesar dos mesmos intro-duzirem novos graus de liberdade. O projeto ótimo dos neutralizadores é implementado numsubespaço modal do espaço de estado do sistema primário utilizando um algoritmo de otimi-zação não linear. A função objetivo é definida pela norma Euclidiana do vetor de máximosabsolutos das assim chamadas coordenadas principais no subespaço definido. Os neutraliza-dores devem ser fixados ao sistema primário utilizando um mancal flutuante localizado em umponto modal ativo, cujo deslocamento é elevado para o modo a ser controlado. Uma metodo-logia de projeto ótimo de neutralizadores para redução da resposta vibratória flexional em umafaixa larga de freqüências é apresentada e resultados numéricos e experimentais são produzidose discutidos.
Palavras-chave: Máquinas Rotativas, Controle de Vibração, Neutralizadores Dinâmicos
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DOUBRAWA FILHO, Francisco José, Controle de Vibração Flexional em Sistemas Gi-
rantes Utilizando Neutralizadores Dinâmicos Viscoelásticos, 2008, Dissertação (Mestrado em
Engenharia) - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universi-
dade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 128p.
ABSTRACT
All rotating systems are subjected to residual unbalance forces proportional to speed squa-red. In modern high speed machines is usual operate above the first critical speed. Near to thisspeed in system with low damping, the amplification factor can lead the rotor to a high vibration
level condition or even to the destruction. Vibration neutralizers are well known devices andsuccessfully applied to reduce vibrations and noise on several dynamic non rotating structu-res. Usually the neutralizers are constructed using viscoelastic material which has frequency-temperature dependent properties. One of the models that best describes this behavior is thefour parameters fractional derivative. The rotating system here called primary system can bemodeled using modal parameters obtained in the frequency domain space state model for a gi-ven temperature. In a similar way to the general methodology developed by PISA group, thecompound system (rotating system + dynamic absorbers) can be modeled in a state space mo-dal subspace of the primary system. The dynamic absorbers itself modeled using generalizedequivalent parameters allows the compound system to be solved using only the generalized co-
ordinates of the primary system, even if they introduce new degrees of freedom. In this modalsubspace of the primary system the optimal design of the dynamic viscoelastic absorbers will beperformed using a non linear optimization algorithm. The cost function is defined by the Eucli-dean norm of the so called principal coordinates in the defined modal subspace. The absorbersshould be attached to a floating bearing located in a modal active point where the displacementis highest for the modes to be controlled. A methodology to optimal design of dynamic vibra-tion neutralizers to reduce a flexural unbalance response in a simple rotor, in a wide frequencyband, is presented and numerical-experimental results are produced and discussed.
Máquinas de alta rotação tem um vasto campo de aplicação em compressores, bombas,
turbo-geradores, imposto por um mercado que exige potências maiores e tamanhos cada vez
menores. Como exemplo, a Figura 1.1, apresenta um motor de indução moderno de alta rotação
20.000 (rpm), potência 5 (MW). Vibrações em sistemas rotativos sempre estão presentes em
maior ou menor grau, devido à virtual impossibilidade de se atingir um balanceamento perfeitode suas partes rotativas. A energia gerada por uma massa desbalanceada residual em rotação
pode ser suficiente para excitar modos de flexão com pouco amortecimento e provocar respostas
significativas em seus elementos de restrição à translação (mancais).
Figura 1.1: Máquina de alta rotação, cortesia ASI Robicon.
Algumas abordagens para solucionar problemas relacionados com altos níveis de vibraçãopodem ser adotadas:
1. Agir sobre a excitação:
Diminuindo a excitação diminui-se a resposta. Em certas aplicações uma melhoria no
balanceamento exige a utilização de equipamentos de alta sensibilidade e mesmo assim,
imprecisões mecânicas e não linearidades do sistema estabelecem um limite prático para
a qualidade do balanceamento.
2. Modificação estrutural:
A intervenção estrutural pode ser utilizada de forma a alterar características do sistema
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como rigidez e amortecimento, e conseqüentemente, suas rotações características. Porém
em aplicações atuais, nem sempre é possível alterar suficientemente o sistema por força
de dimensões padronizadas e outros tipos de restrições mecânicas.
3. Operar o sistema longe de suas rotações características:
Sistemas modernos exigem uma capacidade de operação em múltiplas rotações e muitas
vezes acima de uma ou mais rotações críticas. Somente em aplicações específicas este
tipo de solução é viável, e mesmo assim, para atingir a rotação de regime é necessário
passar pela rotação crítica, o que sempre é uma tarefa difícil.
4. Controle de vibração:
(a) O isolamento de vibração permite reduzir a propagação e amplificação de vibra-
ção entre a máquina e o suporte, porém entre eixo e mancal ainda podem ocorrer
deslocamentos suficientes elevados para danificar selos e o próprio mancal.
(b) O uso de neutralizadores dinâmicos, uma outra forma de modificação estrutural,
permite reduzir a resposta em uma região da freqüência na qual o sistema possui
uma ou várias freqüências naturais. Estes dispositivos auxiliares podem ser classi-
ficados em dois grupos, ativos e passivos. Os dispositivos ativos requerem sensores
e processadores, apresentando por isso um custo adicional ou maior se comparadoaos passivos. Os dispositivos passivos, se devidamente projetados, deverão atenuar
a resposta vibratória, permitindo a operação precisa do sistema, com a desvanta-
gem de não se dispor da informação do resultado do controle em operação. Um
dos tipos de dispositivos que podem ser empregados, os neutralizadores dinâmicos,
são o objeto de estudo desta proposta. Para estruturas não girantes ESPÍNDOLA e
SILVA (1992) desenvolveu uma teoria geral para projetar de forma ótima este tipo
de dispositivo, utilizando materiais viscoelásticos como elemento resilente.
O projeto de neutralizadores dinâmicos para sistemas não girantes vem evoluindo na sua im-
plementação e projeto. Segundo KRENEV e REZNIKOV (1993), para reduzir o movimento
oscilatório em navios, o almirante Makarov em 1897 desenvolveu o conceito de neutralizador
de vibrações utilizando a transferência de água entre tanques, mas foi FRAHM (1909), que de-
finitivamente teve seu nome associado ao desenvolvimento deste tipo de neutralizador. Outro
pioneiro, HARTOG (1956), estudou modelos simples de um grau de liberdade massa-mola-
amortecedor viscoso e propôs o método dos pontos fixos, visando a obtenção de parâmetrosótimos através da sintonização do neutralizador.
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Inicialmente os neutralizadores eram projetados sem amortecimento, tinham uma faixa de
operação muito estreita e não raro apresentavam problemas de fadiga. Por outro lado, o amor-
tecimento viscoso, modelo utilizado como elemento dissipador de energia vibratória, era de
difícil implementação prática.
Modelos de neutralizadores utilizando material viscoelástico foram apresentados por SNOW-
DON (1959), aplicados a sistemas de um e dois graus de liberdade, onde o material viscoelástico
substitui a mola e o amortecedor viscoso. A grande vantagem deste tipo de material é o elevado
amortecimento que pode ser obtido e a versatilidade para projetar neutralizadores dinâmicos de
tamanhos variados. Existem varias abordagens para o modelamento do comportamento deste
tipo de material, dentre as quais não se pode deixar de citar os modelos simples propostos
por Kelvin e Maxwell LAKES (1999). Estes modelos não conseguem descrever o comporta-mento do material numa escala larga de freqüência. Modelos mais precisos, como estudado por
ROGERS (1983), utilizando derivadas fracionárias descrevem com a aproximação necessária
à aplicações em banda larga, as variações do módulo de elasticidade e o fator de perda com
a freqüência e temperatura. PRITZ (1996) estudou o modelo utilizando derivada fracionária
com quatro parâmetros. Materiais viscoelásticos são amplamente utilizados na engenharia em
controle de vibrações e ruído irradiado. Para tal fim, o conhecimento preciso das características
dinâmicas deste material é fundamental. LOPES et al. (2004) desenvolve e utiliza uma meto-
dologia própria para a determinação das características do módulo de cisalhamento G e fator de
perda η , em função da freqüência e da temperatura, apresentando-as em forma de nomograma
conforme LOPES et al. (2004) e ESPÍNDOLA et al. (2006). Aplicações bem sucedidas deste
modelo, utilizado em neutralizadores dinâmicos para controle de vibração, podem ser encon-
trados nos trabalhos de ESPíNDOLA et al. (2005), CRUZ (2004), BAVASTRI et al. (2006) e
FERREIRA (2005) entre outros.
Um dos problemas decorrentes da utilização do material viscoelástico em neutralizadores
dinâmicos é a grande variação de seus parâmetros de rigidez e amortecimento com a freqüência
de operação e a temperatura, o que praticamente inviabiliza métodos analíticos de otimização
de parâmetros, tendo em vista a complexidade inerente à própria formulação. Visando resolver
este problema, as técnicas de otimização não linear tem sido aplicadas com sucesso na obten-
ção de parâmetros ótimos para neutralizadores, como realizado por KITIS (1983) ao minimizar
a resposta vibratória de uma viga engastada simples utilizando neutralizadores dinâmicos. O
método que foi empregado naquele trabalho resolve o sistema completo (no espaço de configu-
rações), cujo problema pode se tornar extremamente pesado, do ponto de vista computacional,quando o sistema apresenta um número de graus de liberdade elevado, situação comum em
sistemas rotativos modelados com elementos de viga.
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Para este tipo de problema, ESPÍNDOLA (1992) e SILVA (1991) apresentaram uma ge-
neralização para o projeto ótimo de neutralizadores dinâmicos, propondo o conceito de parâ-
metros equivalentes generalizados no qual a dinâmica do sistema composto (sistema primário
com neutralizadores dinâmicos) pode ser descrito apenas em função das coordenadas generali-
zadas do sistema primário, sendo possível então realizar as análises em um sub-espaço modal
do sistema primário, com um número reduzido de equações. O sistema composto foi suposto
como completamente desacoplado, e o controle foi realizado modo a modo, onde um ou mais
neutralizadores eram projetados para controlar um modo especificado.
O truncamento das matrizes modais, como proposto por ESPÍNDOLA e SILVA (1992) e
apresentado em BAVASTRI (1997), permite sem perda de precisão na faixa de freqüência pro-
posta, uma redução no tamanho do sistema e conseqüente ganho de performance na solução.Quando se propõe o controle de vários modos simultaneamente, utilizando um ou mais neutra-
lizadores, é essencial que se estabeleça a função objetivo a qual é submetida a um algoritmo
de otimização determinístico, evolucionário ou combinação de ambos. Em função do tipo de
problema, que pode apresentar mínimos locais, a combinação de métodos se mostra bastante
eficiente. Enquanto o algoritmo evolucionário busca uma aproximação para o mínimo global,
o determinístico se encarrega de garantir a localização exata do ponto de mínimo da função
objetivo.
É possível aplicar os conceitos de controle passivo ótimo de vibração flexional em sistemas
girantes. Para tal fim, é necessário adaptar a teoria de estruturas não girantes, já que em geral
é necessário modelar o sistema composto em um sub-espaço modal do espaço de estado do
sistema primário.
O estudo de sistemas girantes, partiu de modelos muito simples, como o trabalho publi-
cado por RANKINE (1869) no qual eram previstas precessão e deflexão sem limites. Conforme
GENTA (2005), De Laval
1
, posteriormente em 1889, construiu com sucesso máquinas centrífu-gas e turbinas que operavam acima da primeira rotação crítica. DUNKERLEY (1894) publicou
um estudo sobre vibrações em eixos e utilizou pela primeira vez o termo “rotação crítica”.
Outro pioneiro JEFFCOTT (1919), modelou um rotor de forma simples mas consistente até a
rotação crítica. Grandes avanços foram obtidos por STODOLA (1927) na teoria da operação
super-crítica (acima da rotação crítica). SMITH (1933) publicou um artigo sobre estabilidade
introduzida pelo amortecimento. Posteriormente, MYKLESTAD (1944), PROHL (1945) e ou-
tros desenvolveram o método de cálculo da rotação crítica através de matrizes de transferência,
1Carl Gustaf Patrik de Laval (Orsa, Dalarna, 9 de Maio de 1845 - Estocolmo, 2 de Fevereiro de 1913) foium engenheiro e inventor sueco, que fez grandes contribuições no projeto da turbina a vapor e na maquinaria deordenha do leite.
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O modelo numérico para sistemas rotativos está muito bem desenvolvido, podendo-se citar
vários autores como LALANNE e FERRARIS (2001), GENTA (2005) e VANCE (1988), entreoutros. Estes autores descrevem um sistema girante através de equações diferenciais gerais do
movimento, utilizando matrizes consistentes de massa, rigidez e amortecimento considerando o
efeito giroscópico. Estas matrizes, por sua vez, podem ser obtidas através de modelos discretos
finitos, em geral para elementos finitos de viga, disco e mancais, como proposto por LALANNE
e FERRARIS (2001) e que possibilita simulações com resultados precisos.
A atenuação de vibrações em sistemas girantes pode ser ativa, tipo balanceamento, como
publicado por ALAUZE et al. (2001) e ZHOU e SHI (2001), onde um sistema composto por
sensores e uma “CPU”, adquire sinais de velocidade, fase e amplitude de vibração e calcula
em tempo real, o deslocamento de massas distribuídas em diferentes raios através de servo-
mecanismos. Mancais de levitação magnética, também tem se mostrado outro método ativo
de redução de vibrações, como apresentado por HOPE et al. (1998). Porém, devido ao alto
custo da implementação, sua utilização ainda é bastante restrita. Outro tipo de controle ativo
adaptativo foi apresentado por TAMMI (2007), utilizando atuador e software. Neste caso o
atuador é composto pelas bobinas eletromagnéticas que compõem o mancal.
Outro tipo de abordagem, o controle passivo de vibrações, se faz, por exemplo, introduzindo
amortecimento nos mancais do sistema, através de mantas de material viscoelástico, como pro-
posto em FERREIRA (2005) e em CHÁVEZ (2003), ou ainda, introduzindo um fino filme de
óleo na capa externa dos rolamentos que compõem os mancais do sistema (“squeeze-film”),
como mostrado por ZEIDAN (1995). Nesses casos a resposta vibratória também é atenuada,
mas a aplicação requer a modificação do projeto dos mancais.
Com a evolução das técnicas de projeto do eixo de máquinas rotativas, é possível predi-
zer suas rotações críticas com precisão. Em diversas situações, pode ser necessário operar amáquina em rotações acima da primeira e até mesmo da segunda ou terceira rotações críticas,
como no caso de turbo-geradores, ou através de inversores de freqüência. Isto significa que em
um dado instante, o eixo poderá estar sujeito a uma amplificação da vibração, provocada pela
coincidência da rotação com sua freqüência característica de flexão. Esta rotação é comumente
denominada de rotação crítica. Dependendo da situação, se a passagem pela rotação crítica não
for rápida o suficiente ou se o amortecimento no mancal não for elevado , o nível de vibração
resultante pode ocasionar danos permanentes em mancais e selos mecânicos, com a necessidade
de parada e reparo da máquina. Em geral, máquinas com mancal de rolamento, devido ao baixo
amortecimento inerente, são sempre projetadas para operar abaixo da primeira rotação crítica.
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Neste trabalho, desenvolve-se um projeto ótimo de neutralizadores dinâmicos, utilizando
material viscoelástico como elemento resilente. Os mesmos são acoplados ao eixo do rotor da
máquina através de um falso mancal (mancal flutuante), possibilitando a operação ou a transição
suave ao passar por uma ou mais rotações críticas. Desta forma, pretende-se minimizar a am-
plificação da resposta vibratória à flexão ampliando a faixa de trabalho da máquina e garantindo
a durabilidade dos elementos que compõem o rotor.
Para que se possa projetar tal neutralizador é necessário obter o modelo modal do sistema
girante para o qual é utilizado um código numérico próprio. A partir destes parâmetros e utili-
zando uma teoria equivalente à apresentada por BAVASTRI (1997), propõe-se uma metodolo-
gia geral (aplicável em sistemas girantes modeláveis através de tais parâmetros) para o projeto
ótimo de neutralizador dinâmico de vibração viscoelástico para sistemas rotativos, controlandouma ou várias rotações críticas. Obtidos os parâmetros modais do sistema primário, o sistema
composto (sistema primário + neutralizadores dinâmicos) é modelado em um sub-espaço mo-
dal no espaço de estado do sistema primário. Utilizando técnicas de otimização não linear, são
variadas as freqüências naturais dos neutralizadores, buscando a minimização da resposta do
sistema composto, dentro da faixa de freqüências proposta.
Para validação do procedimento, são construídos e ensaiados, neutralizadores dinâmicos
viscoelásticos a serem montados em um mancal flutuante, sobre um rotor simples. O materialviscoelástico a ser utilizando deve ter suas características dinâmicas perfeitamente conhecidas.
O modelo matemático proposto, para predizer o comportamento dinâmico do sistema com-
posto (primário + neutralizadores), foi implementado em uma linguagem de alto nível. Os
resultados numéricos obtidos são apresentados, comparados com as medições experimentais
realizadas e discutidos. São também apresentadas as conclusões e sugestões para trabalhos
futuros.
No corrente projeto, o sistema girante se limitará a eixos e discos cilíndricos e simétricos,modelados através de expressões para energia cinética e potencial, aplicadas à equação de La-
grange. As forças consideradas são devido ao desbalanceamento e os mancais do tipo rolamento
de alta rigidez, são considerados pouco amortecidos por hipótese. Os elementos do sistema são
discretizado através do método de elementos finitos. Através de matrizes elementares obtidas
da formulação de Lagrange, são montadas as matrizes globais de massa, rigidez, amortecimento
e giroscópica. Estas matrizes globais são aplicadas à equação geral do movimento que, quando
solucionada através de um conjunto de problemas de autovalor, permite obter os parâmetros
modais do sistema girante primário. A obtenção dos parâmetros, como descrita, está imple-
mentada em um código numérico próprio denominado “RotorDin” (ver J.1).
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Para um sistema de N partículas qualquer em equilíbrio, podem ser impostos deslocamen-
tos virtuais infinitesimais δ r j, fisicamente realizáveis, de tal modo que o trabalho virtual δ W
realizado pelas forças F j responsáveis pelos deslocamentos seja nulo. Ou seja
δ W = N
∑ j
F jδ r j = 0 Eq. 2.1
Trabalho Virtual em Coordenadas Generalizadas
Para um sistema qualquer com n graus de liberdade, é possível expressar um deslocamentor em função de n coordenadas generalizadas q, como mostrado por MEIROVITCH (1990),
como
r j = r j(q1, q2,...,qn) j = 1, N . Eq. 2.2
Um deslocamento virtual δ r j pode ser obtido da expressão
δ r j =n
∑i=1
∂ r j∂ qi
δ qi. Eq. 2.3
O trabalho virtual δ W realizado, associado à força F j, através da força generalizada
Qi =n
∑ j=1
F j∂ r j∂ qi
, Eq. 2.4
pode ser expresso através da relação
δ W =n
∑i=1
Qiδ qi. Eq. 2.5
Este conceito foi estendido por D’Alembert para sistemas dinâmicos, a partir da segunda lei de
Newton, aplicada à i-ésima partícula de massa mi, com f i representando forças internas ou de
restrição
F i − f i = mir . Eq. 2.6
Aplicando o princípio do trabalho virtual em um sistema de n coordenadas generalizadas, a
energia cinética T de um sistema de partículas é dada pela expressão
T = N
∑i
12
mir 2i , Eq. 2.7
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Em um sistema conservativo, o trabalho realizado só depende dos estados inicial e final de suaenergia potencial U . Não há dissipação no caminho. Em termos de coordenadas generalizadas
(arbitrando-se o estado inicial como energia potencial nula), tem-se
W = −U (q1, q2,...,qn). Eq. 2.9
Portanto, o trabalho virtual em termos de energia potencial, é dado pela expressão
δ W U =
−∑
k
∂ U ∂ q
k
δ qk . Eq. 2.10
Forças não conservativas f i também efetuam trabalho. Definindo-as em termos de coordenadas
generalizadas tem-se
Qk =n
∑i=1
f i∂ r i∂ qk
, Eq. 2.11
logo
δ W Q =∑k
Qk δ qk . Eq. 2.12
A equação de Lagrange completa ficad dt
∂ T ∂ qk
− ∂ T ∂ qk
+∂ U ∂ qk
= Qk , Eq. 2.13
ou na sua forma reduzida, com o Lagrangeano definido como L = T −U e ∂ U ∂ q = 0
d dt
∂ L∂ qk
− ∂ L∂ qk
= Qk . Eq. 2.14
2.1.2 Massa e Rigidez Generalizadas para Sistemas LinearesQuando o deslocamento das coordenadas generalizadas fica restrito à vizinhança do seu
ponto de equilíbrio as equações do movimento da estrutura podem ser consideradas lineares,
como mostrado em ESPÍNDOLA (1992).
Energia Potencial
A equação da energia potencial U (Equação 2.10) para um sistema de n graus de liberdadeem função de suas coordenadas generalizadas, pode ser representada em torno de um ponto de
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O terceiro termo, T 0, componente da Equação 2.21, segundo ESPÍNDOLA (1992), refere-se a
uma alteração na rigidez devido ao efeito de campos longitudinais (força centrífuga) e não de-
pende da velocidade generalizada, mas somente da coordenada generalizada, pode ser reescrito
como
T 0 =12
N
∑i=1
mi∂ r i∂ t
∂ r i∂ t
. Eq. 2.33
Forças Dissipativas
A função dissipativa de Rayleigh modela o trabalho realizado por forças devido ao amor-
tecimento viscoso, coeficientes ci j e circulatórias (1), hi j, proporcionais à velocidade generali-
zada, como apresentado por MEIROVITCH (1990)
F =12
n
∑i=1
n
∑ j=1
ci jqiq j +n
∑i=1
n
∑ j=1
hi jqiq j. Eq. 2.34
Equação de Lagrange na Forma Final
Para um sistema qualquer no qual atua uma força generalizada F na k-ésima coordenada
generalizada, incorporando-se todos os termos desenvolvidos e utilizando a definição do La-
grangeano L = T −U , obtém-se
d dt
∂ L∂ qk
− ∂ L∂ qk
+∂ F
∂ qk = F k . Eq. 2.35
Substituindo os termos obtidos para a energia cinética T , a energia potencial U e de dissipaçãoF na 2.35, obtém-se o conjunto de equações que descrevem o movimento de um sistema linear
com n graus de liberdade
n
∑ j=1
mi jq j + (ci j + gi j)q j + (k i j + hi j)q j
= F i i = 1, 2, . . . , n, Eq. 2.36
onde gi j f i j − f ji, ou na forma matricial
[ M ]
q
+ ([C ] + [G])
q
+ ([K ] + [ H ])
q
=
F
, Eq. 2.37
1A matriz de circulação H está relacionada ao efeito da circulação de fluxo, como o que ocorre em um perfilde asa aeronáutico, por exemplo.
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• [C ] - Matriz de amortecimento viscoso (simétrica).
• [G] - Matriz giroscópica (anti-simétrica).
• [K ] - Matriz de rigidez (simétrica).
• [ H ] - Matriz de circulação (anti-simétrica).
• F
- Vetor de excitação (forças generalizadas).
• q - Vetor de coordenadas generalizadas.
• q = d dt q - Vetor de velocidades generalizadas.
• q = d 2
dt 2q- Vetor de acelerações generalizadas.
2.2 Elementos do Rotor
2.2.1 Disco
O disco é caracterizado como um segmento de cilindro rígido, de massa M d , cuja energia
cinética pode ser expressa através da relação
T d =12
M d r 2 + I ω 2
, Eq. 2.38
onde r representa a velocidade de translação do sistema de referência, móvel em relação ao sis-
tema inercial, ω a velocidade angular e I a inércia, referentes ao centro de massa C . Considera-se a rotação Ω livre em torno do eixo de coordenadas y e nulo o deslocamento nesta direção.
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A posição D pode ser obtida em termos de coordenadas generalizadas, para uma posição y
qualquer constante, através da transformação de coordenadas
D =
u + r 2 sinΩt
constante
w + r 2 cosΩt
, Eq. 2.75
e a velocidade através de
˙ D =
u + r 2ΩcosΩt 0
w− r 2ΩsinΩt
. Eq. 2.76
A energia cinética associada à massa residual mu, conforme LALANNE e FERRARIS (2001)
pode ser aproximada através da relação
T u ∼= mur 2Ω(q1 cosΩt − q2 sinΩt ). Eq. 2.77
Aplicando a equação de Lagrange (Equação 2.35) na expressão para energia cinética (equaçãoEquação 2.77), para uma massa mu situada no eixo z em t = 0 (Figura 2.4), segundo LALANNE
e FERRARIS (2001), obtém-se
d dt
∂ T u∂ γ
− ∂ T u∂γ
= −(mur )Ω2
sinΩt
cosΩt
. Eq. 2.78
A transformada de Fourier para a excitação periódica (desbalanceamento) a ser considerada
no vetor de força F (Ω) para as coordenadas uew correspondentes à i-ésima coordenada
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Nesta seção é revisado o comportamento do material viscoelástico e o modelo utilizado para
descrever seu comportamento, já que o mesmo é empregado para o projeto de neutralizadores
dinâmicos.
Materiais viscoelásticos, devido sua alta capacidade de dissipar energia, são utilizados com
êxito no controle e isolamento de vibrações e ruído. Este tipo de material tem o comportamento
elástico definido pela deformação imposta e também pressupõe a existência de uma função de
relaxação da tensão devido a sua capacidade de escoamento viscoso.
Suas características dinâmicas, o módulo de cisalhamento (Gr ) e fator de perda (η), variam
com a temperatura e com a freqüência, principalmente.
2.3.1 Relação Constitutiva Generalizada
Uma das principais características de materiais viscoelásticos é que a tensão σ (t ) e suas
derivadas dependem da deformação ε (t ) e suas derivadas, sendo que, de modo generalizado,
pode-se escrever (2) a relação
b0σ (t ) + b1d κ 1σ (t )
dt κ 1+ ... + bn
d κ nσ (t )dt κ n
= aoε (t ) + a1d β 1ε (t )
dt β 1+ ... + am
d β mε (t )
dt β m. Eq. 2.82
Segundo JONES (2001), com este modelo não é possível representar corretamente o comporta-
mento dinâmico do material viscoelástico, numa ampla faixa de freqüência, com poucos termos
da relação acima (Equação 2.82) e utilizando somente valores inteiros para β e κ .
No entanto, operadores integro-diferenciais podem ser definidos para quaisquer β e κ reais
(3). No domínio do tempo, a expressão diferencial generalizada em termos deβ ∈R |0 < β < 1,
assume uma forma pouco usual para aplicação direta (Riemann-Liouville)
d β σ (t )
dt β =
1Γ (1−β )
d dt
t
0
σ (τ )
(t − τ )β d τ . Eq. 2.83
A função gama que generaliza a função fatorial para números reais, Γ (n + 1) = n! é definida
como
Γ ( x) = ∞
0t ( x−1)e−t dt . Eq. 2.84
O modelo de derivada fracionária encontra sua real aplicação no domínio da freqüência. Apli-
2Para materiais elásticos clássicos, no caso unidimensional, tensão e deformação estão relacionados pela lei deHooke: σ E ε , onde E é o módulo de elasticidade do material (Young).
3A diferenciação também pode ser definida para valores complexos de β ou κ .
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cando a transformada de Fourier sobre a Equação 2.82 reduzida aos primeiros dois termos,
obtém-se a expressão para o módulo de elasticidade complexo dada pela relação
E (Ω) = a0 + a1(iΩ)β
b0 + b1(iΩ)κ , Eq. 2.85
assumindo que κ = β , obtém-se o modelo de derivada fracionária de quatro parâmetros
E (Ω) =ao + a1(iΩ)β
b0 + b1(iΩ)β . Eq. 2.86
Este modelo, como apresentado por PRITZ (1996) e JONES (2001), representa de forma satis-
fatória o comportamento dinâmico de uma grande gama de materiais viscoelásticos utilizados
em engenharia.A expressão para o módulo de cisalhamento complexo, obtida de modo totalmente similar
a Equação 2.86, é dada por
G(Ω) =a0 + a1(iΩ)β
b0 + b1(iΩ)β . Eq. 2.87
A representação complexa para o módulo de cisalhamento, a uma determinada freqüência e
temperatura pode ser redefinida como
¯G(Ω
) = Gr (1 + iη(Ω
)), Eq. 2.88
sendo o “módulo de cisalhamento dinâmico” propriamente dito, dado pela parte real
Gr (Ω) = Re(G(Ω)), Eq. 2.89
e o fator de perda do material pela relação entre as partes imaginária e real (4).
η(Ω) =Im(G(Ω))
Re(G(Ω)). Eq. 2.90
A mesma representação se aplica ao módulo de elasticidade dinâmico E (Ω).
2.3.2 Efeito da Temperatura
O módulo de cisalhamento e o fator de perda dos materiais viscoelásticos variam com a
temperatura de operação. Em geral, o módulo de cisalhamento aumenta com a freqüência e
diminui com a temperatura.
Para materiais ditos “plásticos” a temperatura de “amolecimento” T s é razoavelmente alta,4η representa a tangente do argumento do número complexo G(Ω)(o ângulo de defasagem).
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enquanto que para um elastômero típico é muito mais baixa, em geral, abaixo da temperatura
ambiente. Acima da temperatura de amolecimento T s, o módulo de cisalhamento Gr cai rapi-
damente, enquanto o fator de perda η sobe atingindo seu máximo, voltando a cair em seguida.
Este comportamento estabelece a região de transição. A maioria dos materiais viscoelásticos
utilizados em engenharia, tem uma faixa de temperatura de trabalho que compreende três zonas
distintas:
• Região vítrea (zona III), em baixas temperaturas. o material apresenta baixo fator de
amortecimento e o módulo de elasticidade / cisalhamento atinge seu máximo. Nesta
faixa, o material deforma pouco, e tem por isso boa estabilidade estrutural ( 5).
• Região de transição (zona II). O módulo de elasticidade / cisalhamento diminui e o fatorde perda aumenta até atingir o máximo. Neste ponto a variação do módulo é máxima. O
material nesta região é aplicado em neutralizadores, para aproveitar o alto valor do fator
de perda. Não tem boa estabilidade estrutural.
• Região “Rubberlike” (zona I), em altas temperaturas. O módulo de elasticidade / cisalha-
mento e fator de perda apresentam baixos valores, o material tem estabilidade estrutural
baixa.
Segundo ESPÍNDOLA e SILVA (1992), alguns materiais possuem propriedades à temperatura
de trabalho, correspondentes as das regiões acima, sendo por isso denominados propriamente
como: Tipos I, II e III (Figura 2.7).
Vitreo
Transicao
"Rubberlike"
−60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 120 140
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
Borracha f = 10 (Hz)
Temperatura (°C)
l o g ( G r ( M P a ) ) , l o g ( e t a )
Gr
eta
Figura 2.7: Variação com temperatura (freqüência constante).
5Baixa estabilidade estrutural traduz-se por uma elevada fluência sob tensão constante.
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Com o fator de deslocamento α (T ) determinado, pode-se obter as expressões finais para os
módulos de elasticidade e cisalhamento em função da freqüência reduzida Ωα (T ):
E (Ω) =E 0 + E ∞b1(iΩα (T ))β
1 + b1(iΩα (T ))β Eq. 2.93
G(Ω) =G0 + G∞b1(iΩα (T ))β
1 + b1(iΩα (T ))β , Eq. 2.94
onde G0 representa o valor assintótico do módulo para freqüências muito baixas e G∞ para
freqüências muito altas.
A potência de um número imaginário puro pode ser representada por uma função trigono-métrica complexa: iβ = cosβ π 2 + i sinβ π 2 . Aplicando esta relação na Equação 2.94, obtém-se
G(Ω) =G0 + G∞b1(Ωα (T ))β
cosβ π 2 + isinβ π 2
1 + b1(Ωα (T ))β
cosβ π 2 + isinβ π 2
, Eq. 2.95
o que possibilita a separação da parte real Gr (Ω) e do fator de perda η(Ω) conforme
Figura 2.14: Área de carregamento: a) axial, b) cisalhamento.
Para certas aplicações do tipo tração-compressão, onde h é muito pequeno em relação a A,
ou onde a forma do material viscoelástico não permite deformação lateral ou ainda a mesma élimitada, não é possível utilizar diretamente o módulo de elasticidade E para calcular a rigidez
K . Nestes casos SNOWDON (1959) sugere um módulo aparente definido pela equação
E a = (1 +β eS2)E , Eq. 2.107
onde β e é uma constante numérica que depende da forma e S é a razão de uma área carre-
gada pela área total livre. Para uma seção circular, quadrada ou moderadamente retangular é
aproximadamente igual a dois β e∼= 2, segundo NASHIF et al. (1985).
2.5 Controle de Vibração
Nesta seção são apresentados conceitos básicos de controle de vibração, utilizando o mo-
delo de dois graus de liberdade.
Uma forma de controle do nível de vibração consiste em modificar a estrutura do sistema
primário representado pela equação do movimento (Equação 2.37), de tal forma que essa alte-ração provoque uma diminuição da amplitude do deslocamento resultante q.
Dependendo da circunstância, pequenas alterações nos parâmetros podem conseguir gran-
des reduções nas amplitudes. Por exemplo, para um sistema trabalhando em ressonância (7) é
possível alterar a rigidez k , a massa m, o amortecimento c, ou fazer uso de neutralizadores dinâ-
micos de vibração. Muitas vezes é impossível alterar os parâmetros do sistema ou a excitação é
do tipo banda larga de freqüência de forma que uma modificação estrutural (através da alteração
dos parâmetros físicos não é suficiente para a solução do problema. Nestes casos a aplicação de
neutralizadores dinâmicos viscoelásticos resultam em um controle comprovadamente eficaz.
7As freqüências de excitação e natural do sistema coincidem Ω=Ωn.
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Quantifica o deslocamento na base devido a uma excitação f (t ) aplicada na base.
Modelo Viscoelástico
Figura 2.15: Modelo viscoelástico no domínio da freqüência.
De forma equivalente ao modelo viscoso, a rigidez dinâmica na base, para o modelo visco-
elástico da Figura 2.15, pode ser obtida de através da relação
K b(Ω)F (Ω)
X b(Ω)=
( LG(Ω))(−mΩ2)
−mΩ2 + LG(Ω). Eq. 2.108
2.5.2 Sistemas com Dois Graus de Liberdade
Analisando a curva da Figura 2.11 se pode verificar, pela resposta em freqüência do sistema,
que quando a freqüência de excitação se aproxima da freqüência natural (em geral rigidez dinâ-
mica pequena), a resposta do sistema é amplificada. Mesmo para excitações f (t ) com pequena
amplitude, quando a freqüência de excitação e a freqüência natural se tornam iguais (Ω=Ωn) ,
a resposta terá níveis elevados se o amortecimento do sistema primário é baixo. Por outro lado,
na base de um sistema de um grau de liberdade, a curva da Figura 2.16 mostra um aumento da
rigidez, justamente na freqüência natural. Pode-se generalizar que todo sistema em qualquer
uma das freqüências naturais, apresenta uma impedância mecânica baixa. Por outro lado, todo
sistema de um grau de liberdade, na freqüência natural, apresenta uma impedância mecânicaelevada na base. Então, acrescentando ao sistema primário, um novo sistema projetado para
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Acrescentando-se amortecimento ao neutralizador o controle pode ser projetado em uma ampla
faixa de freqüência.
Para um sistema primário massa-mola sem amortecimento HARTOG (1956) demonstrouser possível projetar de forma ótima um neutralizador dinâmico com amortecimento viscoso,
segundo o método dos pontos fixos. As curvas para vários valores de amortecimento ca passam
sempre por dois “pontos fixos” (Figura 2.17).
Segundo o método dos pontos fixos, a razão ótima entre a freqüência natural do neutraliza-
dor (Ωa) e a freqüência natural do sistema primário (Ωn), conforme a relação
α o =Ωa
Ωn, Eq. 2.110
é definida pela equação
α o =1
1 +µ , Eq. 2.111
na qual µ representa a relação da massa do neutralizador (auxiliar) e do sistema primário sendo
definida através da relação
µ =ma
m. Eq. 2.112
Geralmente se adota um valor entre 10 a 20 (%). Já a razão de amortecimento ótimo ζ o pode
Em um sistema real, como os módulos de cisalhamento (elasticidade) G(Ω) do material
viscoelástico variam com a freqüência (para uma determinada temperatura) e também dado o
amortecimento presente no sistema primário não existem “pontos fixos”. Neste caso é prati-
camente impossível estabelecer as mesmas relações analíticas do método para os parâmetros
ótimos do neutralizador.
Para obter parâmetros ótimos em sistemas com materiais viscoelásticos, é possível utilizar
alguma técnica de otimização não linear, tendo como função objetivo a ser minimizada, o valor
máximo do módulo da função resposta em freqüência, numa faixa onde se encontra a amplifica-
ção a ser controlada, por exemplo. O vetor projeto, que recebe as variáveis a serem otimizadas,precisa conter tão somente a freqüência natural do neutralizador Ωa.
A Figura 2.18 mostra o desempenho de dois modelos de neutralizador, com material vis-
coelástico e viscoso com fator de perda equivalente constante (ηcte = η(Ωa)), projetados com
parâmetros ótimos obtidos através de uma técnica de otimização não linear para um sistema
primário do tipo massa-elemento resilente.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−10
−5
0
5
10
15
20
25
30
35
Sistema 2GL − Material Viscoelastico wn = 11.402559(Hz)mi = 0.15 Beta = 0.25 wa = 10.107146 wv = 10.174224(Hz)
frequencia (Hz)
| H a d i | ( d B r
e f = 1 )
sem neutralizador
otim. viscoelastico (wa)
otim. viscoso (wv)
Figura 2.18: Desempenho dos modelos viscoelástico e viscoso.
Os resultados numéricos demonstram o desempenho superior do material viscoelástico em-
bora ambos confirmem o sucesso do projeto ótimo. O neutralizador de modelo viscoso serve
apenas para comparação pois é de difícil construção prática.
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é possível obter uma expressão com dimensão 2n×2n no espaço de estado
[C 1] [ M ]
[ M ] [0]
˙ y(t )
+ [K ] [0]
[0] −[ M ]
y(t )
= f (t )0 , Eq. 2.128
na qual [C 1] = ([C ] + [G]) constante para uma dada rotação. Simplificando o sistema de equa-
ções pode ser reescrito-escrito na seguinte forma:
[ A] ˙ y(t ) + [ B] y(t ) = N (t ), Eq. 2.129
na qual:
• [ A] = [C 1] [ M ]
[ M ] [0]
2n×2n
,
• [ B] =
[K ] [0]
[0] −[ M ]
2n×2n
,
• N (t ) =
f (t )0
2n×1
.
O sistema da Equação 2.129 está apto para ser colocado como um problema de autovalores
generalizado com j = 1, 2n, do tipo
[ B]θ j = λ j[ A]θ j, Eq. 2.130
permitindo a montagem do conjunto
[ B][θ ] = [λ ][ A][θ ], Eq. 2.131
sendo [λ ] a matriz diagonal de autovalores e [θ ] a matriz de autovetores do sistema no espaço deestado. Supondo que no espaço de configurações se proponha a solução livre q(t ) = φ est
e no espaço de estado y(t ) = θ est , sendo s uma variável complexa igual a −λ e define-se
para uma dada rotação
y(t ) =
q(t )q(t )
⇒ θ =
φ sφ
. Eq. 2.132
Como a matriz [ A] não é simétrica devido a presença de [G] em [C 1], é necessário resolver o
conjunto de problemas adjuntos de autovetores [ψ ]:
[ B]T [ψ ] = [λ ][ A]T [ψ ], Eq. 2.133
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Substituindo a Equação 2.143 e a Equação 2.144 na Equação 2.142 obtém-se a relação
2δ j =c1 j
m j. Eq. 2.145
Para j = k , mas aplicando λ k = λ ∗ j na Equação 2.138 obtém-se b j = 0, logo
ϕ T j [K ]φ k −λ jλ ∗ j ϕ T [ M ]φ k = 0, Eq. 2.146
considerando a seguinte definição
ϕ T j [K ]φ k k j, Eq. 2.147
e substituindo as definições na Equação 2.146 obtém-se a expressão
δ 2 j +ν 2 j =k j
m j
=Ω2 j . Eq. 2.148
Definindo o fator de amortecimento ζ como usualmente
ζ j =c1 j
2m jΩ j, Eq. 2.149
e substituindo as definições (Equação 2.145) e (Equação 2.149) na Equação 2.148, aparece
naturalmente a expressão
λ j = ζ jΩ j + iΩ j 1−ζ 2 j . Eq. 2.150
A proposta de solução θ est , com s = −λ , leva a resposta temporal “livre” do sistema no
espaço de estado para
y(t ) =2n
∑ j=1
C jθ jes jt , Eq. 2.151
sendo C j uma constante arbitrária a ser determinada a partir das condições iniciais do sistema
y(t = 0).
Como mencionado anteriormente, os autovalores λ j = δ j + iν j são complexos, ocorrendo
aos pares conjugados. Ao aplicar a j-ésima condição inicial referente ao j-ésimo autovetor, aresposta livre do sistema terá a participação apenas de um modo, e a j-ésima resposta temporal
correspondente é composta de duas parcelas. Para obter uma resposta real (possível) no tempo,
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as duas parcelas devem ser: θ j2 = θ ∗ j1 (2.151):
(C j1θ jes jt +C j2θ
∗ j e∗s∗ jt ) = eδ jt (C j1θ je
iν jt +C j2θ ∗
j e−iν jt ), Eq. 2.152
mostra-se necessário para que resposta seja real que C j2 = C ∗ j1, logo
eδ jt (C jθ jeiν jt +C ∗ jθ
∗ j e−iν jt ) = eδ jt
(C jθ j +C ∗ jθ
∗ j ) cosν jt + i(C jθ j −C ∗ jθ
∗ j ) sinν jt
Eq. 2.153
e
eδ jt ( D j cosν jt + E j sinν jt ) = e−ζ jΩ jt ( D j cosΩ j
1−ζ 2 j t + E j sinΩ j
1−ζ 2 j t ), Eq. 2.154
com D j = (C jθ j +C ∗ jθ ∗
j ), E j = (C jθ j−
C ∗ jθ ∗
j ) números reais.
A senóide ( D j cosΩ jt + E j sinΩ jt ) é multiplicada pela envoltória exponencial e−ζ jΩ jt , cujo
sinal define a estabilidade do sistema. MEIROVITCH (1990) define a estabilidade de sistemas
lineares da seguinte forma:
1. A solução linearizada é estável se os autovalores s = −λ são não positivos, isto é, partes
reais nulas ou negativas.
2. A solução é assintoticamente estável se todos os autovalores s = −λ tem partes reaisnegativas.
3. A solução é instável se houver ao menos um autovalor s = −λ com parte real positiva.
A estabilidade na região acima da rotação crítica, como mostrado por CHILDS (1993), de-
pende do amortecimento introduzido no sistema e mostra que mecanismos de amortecimento
“interno” podem levar à instabilidade, enquanto que os introduzidos através dos mancais ten-
dem a aumentar a região de estabilidade do sistema. O projeto proposto leva amortecimento ao
sistema através de um mancal.
2.7.2 Diagrama de Campbell
Considerando que em um sistema girante seus elementos estão expostos ao efeito giroscó-
pico (8), as matrizes que dependem da velocidade (Ωrpm) tem de ser atualizadas para cada rota-
ção e o problema de autovalores deve resolvido novamente. Criando um gráfico das freqüências
características do sistema em função da rotação (Ω j ×Ωrpm) com Ω j representando as freqüên-cias naturais para uma rotação Ωrpm, obtém-se o diagrama de Campbell.
8Por hipótese, é desconsiderada a variação dos parâmetros dos mancais com a rotação.
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Traçando uma linha a 45r (Ω j = Ωrpm) ou seja, rpm× rpm, os cruzamentos com as curvas
de freqüência característica indicam a localização de rotações críticas, freqüências caracterís-
ticas para excitação do tipo desbalanceamento. Normalmente o diagrama apresenta também
linhas rpm × 2rpm e rpm× ∼ 0.5rpm que representam excitações do tipo desalinhamento e
instabilidade do filme de óleo (“oil whirl” em máquinas com mancal de deslizamento).
Para excitações cujas freqüências são independentes da rotação as curvas do diagrama de
Campbell devem ser cortadas por uma reta vertical paralela ao eixo das ordenadas. As freqüên-
cias características resultantes destas intercessões são denominadas “freqüências naturais” LA-
LANNE e FERRARIS (2001).
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
RotorDin − Campbell
LALANE p125
Rotação (rpm)
F r e q ü ê n c i a ( H z )
Figura 2.22: Diagrama de Campbell.
A Figura 2.22 apresenta um diagrama de Campbell típico onde se observam as retas 1 ×rpm, 2×rpm, 0.5×rpm, e uma reta vertical de freqüências naturais para Ωrpm = 15000 (rpm).
O Diagrama apresenta duas freqüências naturais. Além da rotação do eixo, ocorre a precessão,que pode ocorrer em sentido contrário ao da rotação, quando é dito reverso ou “backward” ou no
mesmo sentido da rotação, quando a precessão é dita direta ou “forward”. A separação destas
retas ocorre devido ao efeito giroscópico. Estes fenômenos estão descritos em CHILDS (1993),
ERICH (2004), LALANNE e FERRARIS (2001) e VANCE (1988) entre outros.
2.7.3 Solução simplificada
Segundo ESPÍNDOLA e BAVASTRI (1997), para sistemas rotativos nos quais a excitação
é proveniente somente do desbalanceamento, é possível simplificar a solução do sistema de
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O sistema matricial de equações diferenciais completo (Equação 2.161), pode ser reescrito de
forma compacta através da expressão
[ A] ˙ y(t ) + [ B] y(t ) = N (t ). Eq. 2.162
Utilizando as definições apresentadas na seção (2.7) o problema de autovalores generalizadopara n graus de liberdade e com j = 1, 2n fica definido através da relação
[ B]θ j = λ j[ A]θ j, Eq. 2.163
sendo o conjunto definido por
[ B][θ ] = [λ ][ A][θ ], Eq. 2.164
e o problema adjunto associado
[ B]T [ψ ] = [λ ][ A]T [ψ ]. Eq. 2.165
As matrizes ortonormalizadas [Θ] e [Ψ] e a matriz [λ ] complexas, que definem o sistema
primário rotativo são obtidas utilizando-se o software “RotorDin” (ver seção J.1).
Importante notar que assumindo Ωrpm = Ω foi possível, resolvendo apenas uma única vez
um problema de autovalores, representar o sistema primário através de um conjunto de parâ-
metros modais a serem utilizados no projeto ótimo de neutralizadores. Isto é importante porque
o projeto ótimo de neutralizadores dinâmicos viscoelásticos que é apresentado no capítulo 4,está relacionado com a excitação do tipo desbalanceamento. Portanto o modelo “simplificado”
é adequado para esta utilização, pois é preciso e computacionalmente leve.
2.7.4 Solução no Domínio da Freqüência
Partindo-se do sistema de equações diferenciais no espaço de estado (Equação 2.162), apli-
cando a transformada de Fourier se obtém
[iΩ[ A] + [ B]]Y (Ω) = N (Ω). Eq. 2.166
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Propondo a seguinte transformação de variáveis no domínio do tempo
y(t ) = [θ ] p(t ), Eq. 2.167
e a levando para o domínio da freqüência através da transformada de Fourier se obtém
Y (Ω) = [Θ]P(Ω). Eq. 2.168
Substituindo a transformação proposta (Equação 2.167) e pré-multiplicando pelos autovetores
[Ψ]T já ortonormalizados, obtém-se no espaço de estado
iΩ[Ψ]T [ A][Θ] + [Ψ]T [ B][Θ]
P(Ω) = [Ψ]T N (Ω) . Eq. 2.169
As matrizes abaixo, como mostrado anteriormente (em 2.7.1), são diagonais e se reduzem a:
• [Ψ]T [ A][Θ] = [1] = [ I ].
• [Ψ]T [ B][Θ] =λ j
.
Aplicando as relações acima em (2.169), obtém-se
[ D(Ω)]P(Ω) = [Ψ]T N (Ω) , Eq. 2.170
com
[ D(Ω)] =iΩ[ I ] +
λ j
, Eq. 2.171
assim, a resposta no espaço modal do espaço de estado resulta
P(Ω) = [ D(Ω)]−1[Ψ]T N (Ω)
Como pode ser constatado a matriz [ D(Ω)] é diagonal, portanto, facilmente invertida. Cadaelemento da diagonal de [ D(Ω)]−1 é obtido através da inversão simples do elemento da diagonal
de [ D(Ω)].
[ D(Ω)]−1 =
(
1iΩ+λ j
)
. Eq. 2.172
* Caso a matriz [ D(Ω)] seja uma matriz mal condicionada (9) sua inversão pode ser obtida
através de algoritmos de pseudo-inversão, como mostrado por BAZáN e BAVASTRI (1996).
9Uma avaliação do condicionamento da matriz [ A] pode ser o valor da relação cond ( A) = A A−1
, se
cond ( A) 1, a matriz [ A] é dita mal condicionada.
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Da transformação de variáveis (Equação 2.167 ) e de estado (Equação 2.157), tem-se
Q(Ω)
iΩQ(Ω) = [Θ][ D(Ω)]−1[Ψ]T F (Ω)
0 . Eq. 2.173
Por definição (Equação 2.100), a função de transferência é a relação entre deslocamento e força
generalizados (saída / entrada), assim
[α (Ω)]
[Θ][ D(Ω)]−1[Ψ]T . Eq. 2.174
A matriz complexa [α (Ω)] (Equação 2.174), é denominada matriz de receptância no espaço
de estado. Observando a forma da Equação 2.173, deduz-se pelas ordens das matrizes que
[α (Ω)] tem a forma
[α (Ω)] =
[α 11(Ω)] [α 12(Ω)]
[α 21(Ω)] [α 22(Ω)]
. Eq. 2.175
Logo, a relação entre deslocamento e excitação, que define a matriz de receptância no espaço
de configuração é
Q(Ω) = [α 11(Ω)]F (Ω). Eq. 2.176
Para se obter uma função resposta em freqüência, utiliza-se a relação
α ks(Ω) =
2n
∑
j = 1
Θk jΨs j
iΩ+λ j. Eq. 2.177
Com s representando o ponto de excitação, k o ponto de medição, e n o número de modos.
O sistema que precisa ser resolvido é dado pela Equação 2.173, sendo que o vetor F (Ω)atualizado para cada rotação, é composto pela força (Equação 2.74) aplicada às coordenadas ge-
neralizadas correspondentes à localização da seção onde a excitação do tipo desbalanceamentoé aplicada.
A solução da Equação 2.176 leva à solução no domínio da freqüência da resposta Q(Ω)como amplitude da resposta ao desbalanceamento.
Para efeito de comparação, são apresentadas figuras de resposta. A Figura 2.23 apresenta o
gráfico de resposta ao desbalanceamento obtida através do software RotorDin para a geometria
e demais condições do sistema, apresentada em LALANNE e FERRARIS (2001)(p.125). A
Figura 2.24 apresenta a resposta obtida pelo autor citado.
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Neste capítulo é apresentada a equação do movimento do sistema composto, rotor mais
neutralizadores dinâmicos viscoelásticos. Uma vez definidas estas equações, é utilizada uma
formulação equivalente à utilizada no trabalho desenvolvido por BAVASTRI (1997)(cap. IV)
para o projeto ótimo de neutralizadores viscoelásticos.
São acrescentados fisicamente ao sistema primário p neutralizadores, fixados sobre ummancal flexível propriamente projetado para este fim. Os dispositivos de controle atuarão so-
mente em deslocamento, nas coordenadas X eZ , desprezando por hipótese os possíveis efeitos
nos graus de liberdade de rotação.
Nas coordenadas da seção correspondente do sistema à aplicação do neutralizador, agregam-
se as p massas e amortecimentos equivalentes generalizados, utilizando os modelos da Equação
2.121 e Equação 2.120, com massas me(Ω) e amortecimentos ce(Ω) respectivamente. As ma-
trizes de massa e amortecimento equivalentes resultantes, [ M e] e [C e] assim obtidas, contémelementos somente nas coordenadas generalizadas de deslocamento. Por hipótese, eventuais
momentos são também desprezados. Este tipo de acréscimo somente é possível porque o mo-
delo equivalente não acrescenta grau extra de liberdade, como mostrado na seção (2.6).
Também são apresentados resultados obtidos através de uma versão especialmente modifi-
cada do software RotorDin, na qual são introduzidos os parâmetros equivalentes generalizados
diretamente nas matrizes de massa e amortecimento do modelo do eixo, no ponto de fixação
dos neutralizadores, com o objetivo de comparar os resultados com aqueles obtidos no software
de projeto.
3.1 Implementação
Para determinar a resposta do sistema composto, monta-se novamente o sistema de equa-
ções utilizando as variáveis de estado como definidas na Equação 2.157. Propondo uma solução
no domínio da freqüência do tipo
Y (Ω) = [Θ]P(Ω), Eq. 3.1
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vés do teste de resposta (“bump test”) com martelo instrumentado (ver seção 5.1).
3.3 Inclusão dos Neutralizadores Diretamente no Modelo doEixo
Utilizando a versão modificada do software RotorDin é possível entrar com os caracterís-
ticas dinâmicas do material viscoelástico, a massa dos neutralizadores e suas coordenadas de
aplicação.
Como foi visto na descrição do modelo do sistema girante (seção 2.7), as matrizes globais
de massa rigidez e amortecimento são montadas e a partir destes, com a equação de movimento,as características dinâmicas do rotor podem ser obtidas (diagrama de Campbell, resposta ao
desbalanceamento entre outras).
Através dos parâmetros equivalentes generalizados, é possível modificar diretamente as
matrizes de massa e amortecimento, introduzindo o modelo de parâmetro equivalente nas coor-
denadas generalizadas correspondentes à fixação dos neutralizadores.
Através da utilização dos parâmetros equivalentes generalizados não é acrescentado ne-
nhum novo grau de liberdade, então, para cada freqüência Ω ao qual o sistema está sujeito, nocaso em que Ωrpm = Ω, é necessário o cálculo da massa me(Ω) e do amortecimento equivalen-
tes ce(Ω). Estas grandezas devem ser somadas na posição correta às matrizes globais de massa
[ M ] e amortecimento [C ] do sistema girante primário.
[ ˜ M (Ω)] = [ M ] +
0 0 ... 0 0
.... . . ... ... ...
0 ... me1(Ω) 0 0
... ... ... ... ...0 0 ... me2(Ω) 0
... ... .... . . ...
0 0 ... 0 0
= [ M ] + [ M e(Ω)] Eq. 3.18
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A Figura 3.4 apresenta o diagrama de Campbell do sistema composto, onde no eixo das
ordenadas para rotação nula, verificam-se as freqüências naturais decorrentes do efeito da apli-
cação dos neutralizadores e sobre a reta 1 × rpm, as rotações críticas.
Resposta ao Desbalanceamento A resposta ao desbalanceamento pode ser obtida de ma-neira análoga à mostrada na seção 2.2.4, Equação 3.15 ou Equação 3.16, porém como os parâ-
metros equivalentes dependem da freqüência (neste caso igual a rotação) é necessário atualizar
as matrizes de massa e amortecimento e resolver o problema de autovalores para cada freqüên-
cia, atualizando também a matriz giroscópica.
Resposta em Freqüência Neste caso utiliza-se novamente a formulação para o modelo
geral, fixando a matriz giroscópica para uma rotação Ωrpm qualquer, no caso do sistema em re-
pouso, Ωrpm = 0, mas atualizando as matrizes de massa e amortecimento na faixa de freqüência
desejada devido a presença dos parâmetros equivalentes generalizados.
No exemplo da Figura 3.5, a excitação do sistema foi do tipo resposta plana, foi aplicada a
0.6 (m) da extremidade e a resposta obtida a 0.15(m).
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Figura 3.5: Resposta com neutralizadores de neoprene e Ωrpm = 0.
Observa-se a correspondência entre o diagrama de Campbell (Figura 3.4, linha vertical na
rotação zero) e a resposta em freqüência .
Para poder fazer uma comparação com o método proposto “simplificado”, a ser apresentado
no capítulo 4 (Figura 4.19), o material viscoelástico foi trocado para borracha butílica, e o sis-
tema mantido nas condições anteriores. O gráfico obtido é mostrado na Figura 3.6 e representauma função resposta em freqüência com o sistema em repouso, excitado com delta de Dirac a
Capítulo 4 Projeto do Neutralizador Para Desbalanceamento 63
4.2 Função Objetivo
Neste trabalho, propõe-se empregar uma técnica de otimização não linear, através de uma
função objetivo f xn×1 deRn →R, sendo x o vetor projeto (seção 4.3 e B.1) que é composto
pela freqüência natural dos neutralizadores.
A definição da função objetivo utilizando as coordenadas principais P(Ω) (Equação 3.15),
é feita basicamente pelas seguintes razões:
1. As operações matriciais tem ordens de grandeza reduzidas, 2n, importante para sistemas
muito discretizados. O número de operações com ponto flutuante (FLOP) envolvidas
no produto de matrizes é aproximadamente proporcional ao cubo da ordem da matriz
(NISHTALA et al. (2004)).
2. O resultado em termos de coordenadas principais não depende da coordenada de avalia-
ção da resposta, mas da excitação. Teoricamente se pode otimizar o sistema através da
norma 2 da matriz resposta em freqüência [α (Ω)] de ordem elevada ou através de uma
função resposta, onde ainda é preciso definir uma coordenada de avaliação k .
Para uma otimização de Rn → R sobre as coordenadas principais reduzidas P(Ω), pode-seobter um vetor de máximos absolutos para cada par de coordenadas principais correspondente
ao modo que se deseja minimizar, na faixa de freqüências estabelecida, retornando então ao
otimizador a norma 2 deste vetor (1).
f ob j( x) = m axΩ1<Ω<Ω2
P(Ω, x) , xT = [Ωa1, ..., Ωan] . Eq. 4.1
onde Ωa1, ..., Ωan são as freqüências ótimas dos neutralizadores.
A faixa de freqüências Ω1 <Ω < Ω2, deve ser estabelecida de tal forma que os modos quese desejam controlar estejam contemplados. Tais modos podem ser obtidos do programa de
dinâmica de rotores, já que os modos de flexão são inerentes às rotações críticas.
A excitação pode ser constante para uma dada rotação ou quadrática para resposta ao des-
balanceamento, devendo ser aplicada distante dos nós dos modos que se deseja controlar (ver
anexo G.1) uma vez que a otimização se dá sobre a resposta.
Uma análise sobre a composição da solução da resposta em freqüência, mostra que as co-
ordenadas principais assim como os autovalores, ocorrem aos pares conjugados, conforme a
1Norma 2 ou euclidiana de um vetor é definida como:T ∑i |T i|2
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Capítulo 4 Projeto do Neutralizador Para Desbalanceamento 66
• O número de neutralizadores utilizados, as massas, e posições dos mesmos.
• O número de autovalores do sub-espaço modal.
• A posição e tipo de excitação, se delta de Dirac ou quadrático (desbalanceamento).
• Os limites das barreiras de freqüência para cada modo desejado.
• As freqüências iniciais para cada neutralizador.
Definidos todos os parâmetros, a simulação numérica segue os seguintes passos:
1. A partir da versão modificada do aplicativo RotorDin, são exportados os parâmetros mo-dais do sistema primário girante na forma das matrizes complexas Ψ, Θeλ (ver seção
2.7.1) obtidas para o modelo “simplificado”, já que neste trabalho o projeto ótimo dos
neutralizadores considera a excitação de desbalanceamento apenas.
2. As matrizes são então truncadas para o número de autovetores desejado (2n), sendo este
parâmetro escolhido pelo usuário tendo em vista a faixa de freqüência de atuação do
controle.
3. Dentro de uma estrutura de repetição que varia a freqüência angular (Ω) dentro da faixa
de interesse, são calculadas ponto a ponto, o módulo de cisalhamento dinâmico Gr (Ω) e
o fator de perda η(Ω) do material viscoelástico.
4. Os parâmetros equivalentes me(Ω) e ce(Ω) tem o valor numérico calculado.
5. As matrizes [ ˜ A] e [ ˜ B] são obtidas.
6. Através da equação (3.14) é obtida a matriz [ D].
7. Monta-se também o vetor de excitação F (Ω) constante ou quadrático F (Ω2).
8. Multiplica-se a matriz inversa [ D]−1 pela de autovetores ˆ[Ψ]T
truncada e transposta, e
pelo vetor de excitação F (Ω). Obtendo-se o assim o vetor de coordenadas principais
reduzidas P(Ω).
9. Para uma freqüência Ω em questão, são verificadas as amplitudes do valor absoluto re-
ferente às freqüências que se desejam controlar. Caso os valores atuais sejam superiores
aos anteriores, estes são atualizados.
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Capítulo 4 Projeto do Neutralizador Para Desbalanceamento 68
Após concluída a otimização das freqüências dos neutralizadores (Figura 4.2) o software de
projeto apresenta a resposta ao desbalanceamento com e sem neutralizadores. Eventualmente,
de posse dos parâmetros modais do sistema primário e da freqüência ótima do neutralizador
é possível obter somente o gráfico da resposta (com e sem neutralizadores fixados ao sistema
primário).
De posse das freqüências ótimas e definida a massa do neutralizador, é possível determinar
o parâmetro L utilizando-se a relação da Equação 2.104. Geralmente a espessura h do material
é definida. Através da Equação 2.105 obtém-se a área de aplicação do carregamento A, estando
assim o projeto do neutralizador definido. No caso se se trabalhar com o material vulcanizado,
é necessário definir uma espessura dentro dos limites do processo de fabricação, ficando assim
a espessura h a ser calculada.
4.5 Sistema Primário - Identificação
Os neutralizadores são projetados para o sistema primário montado no LAVIB (Figura 4.3),
destinado ao estudo da dinâmica de rotores, também denominado “rotor rig”. A montagem
é acionada por um motor alimentado através de inversor de freqüência, que permite variar a
velocidade numa ampla faixa, tipicamente de 0-7000 (rpm). O sistema primário é montado deforma que sua primeira rotação crítica se situe próxima aos 3500 (rpm). Esta configuração foi
obtida simulando a geometria no RotorDin e variando o número de discos, suas posições e a
posição dos mancais.
Figura 4.3: Bancada de teste do LAVIB.
A configuração projetada conforme o esquema da Figura 4.3 e Figura 4.5, é composta por:
8/6/2019 Controle de Vibracao Flexional Em Sistemas Girantes Utilizando Neutralizadores Dinamicos Viscoelasticos
Capítulo 4 Projeto do Neutralizador Para Desbalanceamento 69
1. Eixo:
• Um eixo cilíndrico de aço com 25 (mm) de diâmetro e 1000 (mm) de comprimento
(9). Para o material do eixo é adotado para o módulo de Young o valor de E=207 (GPa)
e ν =0.3 para o coeficiente de Poisson. Sua massa específica é considerada 7850(kg/m3).
2. Discos:
• Um acoplamento elástico que é considerado como um disco de ferro fundido com
80(mm) de diâmetro e 30 (mm) de espessura (2), localizado na origem do sistema
de coordenadas. A massa específica é considerada 7850(kg/m3). Este elemento
desacopla o motor elétrico do sistema mecânico.• Um disco de alumínio de 240 (mm) de diâmetro e 9(mm) de espessura (7), situ-
ado a 475 (mm) da extremidade do lado acionado. A massa específica é adotada
2700 (kg/m3).
• Os dois discos, um de proteção e outro para medição são construídos em aço e tem
diâmetro de 80 (mm) e 10(mm) de espessura (4 e 5), estando localizados a 250 e
325 (mm) respectivamente. Massa específica considerada 7850 (kg/m3).
3. Mancais:
• Dois mancais de rolamento com rigidez elevada (ver anexo C.1) k xx = k zz∼= 1E 9( N /m)
(3 e 8), localizados a 80 e730(mm) apóiam o eixo.
• O mancal é composto por um rolamento auto-compensador de esferas, inserido em
um suporte de ferro fundido nodular quadrilateral, ao qual são fixados os neutrali-
zadores. O suporte por sua vez, é mantido estático por meio de molas helicoidais
ligadas a uma estrutura metálica estática, localizado a 380 (mm) da extremidade.
As propriedades de rigidez e amortecimento das molas foram determinadas expe-
rimentalmente (ver anexo H.1) e valem respectivamente k xx = k zz = 55.1E 3( N /m)
e c xx = c zz = 18( Ns/m). A massa do falso mancal de 0.83(kg) é adicionada pelo
aplicativo RotorDin, na matriz de massa [ M ] (Equação 2.53) na coordenada corres-
pondente do sistema primário.
Para o amortecimento dos mancais de rolamento foi adotado uma amortecimento viscoso c de
aproximadamente c xx = c zz = 5 ( Ns/m), o que corresponde a um fator de aproximadamente0.25%, ζ = 0.0025 do valor equivalente para um sistema de um grau de liberdade c = 2mΩnζ .
O valor é considerado plausível e foi atribuído com base em medições preliminares. Este valor é
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Capítulo 4 Projeto do Neutralizador Para Desbalanceamento 70
adotado para todas as simulações. São considerados nulos por hipótese, os termos cruzados das
matrizes de coeficientes de rigidez e amortecimento dos mancais k zx = k xz = 0ec zx = c xz = 0.
A massa total do sistema girante foi calculada em 7.1 (kg)Como o amortecimento introduzido pelos mancais rígidos de rolamento é muito pequeno, a
amplificação é muito grande e o sistema pode ficar instável como mostrado por CHILDS (1993),
sendo perigoso ultrapassar a rotação crítica sem algum dispositivo de proteção ou controle. No
caso do rotor em questão, foram utilizados batentes de material anti-fricção (latão) para limitar o
deslocamento máximo (Figura 4.4), já que em algumas ocasiões, sem o dispositivo, o eixo ficou
irremediavelmente danificado (deformado plasticamente) após uma tentativa de ultrapassar a
rotação crítica.
Figura 4.4: Detalhe do dispositivo de segurança.
Para o modelo numérico, como mostrado na seção 2.2.2, os elementos de viga de seção
circular possuem dois nós, com quatro graus de liberdade, dois de translação e dois de rotação,modelo Euler-Bernoulli corrigido para levar em conta o efeito do cisalhamento transversal (LA-
LANNE e FERRARIS (2001)). Foi utilizada uma malha de 25 nós, conforme mostra a Figura
4.5 e que proporciona precisão adequada para os primeiros modos, como discutido em LA-
LANNE e FERRARIS (2001). Os discos são considerados por hipótese, solidamente fixados
sobre o eixo e não deformáveis. Observe-se que a presença das tiras de borracha do acopla-
mento flexível (2 - Figura 4.3), que acrescenta amortecimento no sistema, foi deliberadamente
desprezada.
8/6/2019 Controle de Vibracao Flexional Em Sistemas Girantes Utilizando Neutralizadores Dinamicos Viscoelasticos
Capítulo 4 Projeto do Neutralizador Para Desbalanceamento 71
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
−0.3
−0.2
−0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
RotorDin − GeometriaLAVIB 1D N2
y (m)
z ( m )
Figura 4.5: Geometria do sistema primário do LAVIB.
O modelo apresentado na Figura 4.5 foi obtido através do software RotorDin.
4.6 Sistema Auxiliar - Montagem
Quatro neutralizadores de 150(g) (1 - Figura 4.6) são fixados dois a dois nas direções xe zsobre o suporte do falso mancal de rolamento (2 - Figura 4.6). Este tipo de mancal permite um
giro limitado dentro do seu suporte e a livre rotação do eixo. A fixação dos neutralizadores é
feita através de parafusos M5. Por hipótese, o modelo matemático dos neutralizadores é efetivo
somente na direção do eixo principal.
Figura 4.6: Detalhe da fixação dos neutralizadores.
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Capítulo 4 Projeto do Neutralizador Para Desbalanceamento 76
mento. Para sistemas simétricos quanto ao parâmetros do mancal como o “rotor rig” simulado,
conforme LALANNE e FERRARIS (2001), MUSZYNSKA (2005) e GENTA (2005) não há
amplificação na precessão reversa “backward” para excitação do tipo desbalanceamento. Por-
tanto, para cada coincidência da reta de excitação devido ao desbalanceamento (rpm × rpm) e
as freqüências naturais do sistema para precessão direta “forward”, há uma amplificação corres-
pondente a uma rotação crítica. Isto não significa porém, que o sistema não apresenta rotação
crítica para a precessão reversa, depende do tipo de excitação.
4.11 Construção Física do Neutralizador
Através da Equação 2.104 e do módulo de cisalhamento (elasticidade) do material para
a freqüência ótima, obtém-se o fator de forma L. Com o fator de forma L determinado e a
partir da espessura do material e do número de elementos em paralelo que se supõe conhecidos
ou atribuídos, obtém-se a área necessária do material viscoelástico para se obter a freqüência
natural do neutralizador dinâmico (Equação 2.105 ou Equação 2.106). Optou-se pela construção
do neutralizador com três elementos resilentes trabalhando em cisalhamento.
Com a massa do neutralizador e as propriedades do material conhecidas, obtém-se o vo-
lume/massa do neutralizador. A forma do mesmo depende muito das características do sistema.Neste caso, optou-se pela geometria cilíndrica pela facilidade de usinagem e construção do
mesmo. O material escolhido foi aço inoxidável.
De amostras de borracha butílica de 4 (mm) de espessura previamente caracterizadas e ce-
didas pelo LAVIB, projetou-se o elemento viscoelástico (Figura 4.13).
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Capítulo 4 Projeto do Neutralizador Para Desbalanceamento 77
1. núcleo central.
2. borracha butílica (material resilente).
3. massa de sintonização.
Figura 4.13: Geometria do projeto físico do neutralizador de 150 (g).
Através de um ensaio de massa aparente conforme descrito em (D.1),mediu-se uma freqüên-
cia de 58 (Hz). O neutralizador montado pode ser visualizado na Figura 4.6, número 1.
Figura 4.14: Modelo sólido do neutralizador.
O resultado do projeto do neutralizador está representado através da Figura 4.14. Observa-se a configuração dos elementos resilentes (estruturas mais escuras). Os mesmos foram proje-
tados para um carregamento do tipo cisalhamento puro.
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Figura 4.18: desempenho do material EAR isodamp C-1002.
4.11.2 Resposta em Freqüência
Utilizando as matrizes (parâmetros modais) exportadas a partir do modelo geral (não paradesbalanceamento), é possível também calcular a resposta em freqüência para o sistema em
repouso, Ωrpm = 0 ou para uma rotação Ωrpm qualquer. No exemplo abaixo, o sistema foi
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A Figura 4.20 mostra que a variação de temperatura tira o neutralizador de seu ponto ótimo
de trabalho. Assim se na temperatura de trabalho a redução de amplitude obtida foi de 25 (dB)
após a sintonização, devido à variação de temperatura caiu para 20 (dB), perdendo-se 5 (dB).
Cada material viscoelástico tem sua própria variação característica com a temperatura. Espera-
se que borrachas e neoprenes sejam menos “sensíveis” às variações de temperatura por estaremclassificados como materiais tipo I, ou seja Gr (Ω) ∼= cte.
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A órbita de referência foi obtida sem neutralizadores na rotação de1800 (rpm). Nesta rota-
ção a escala foi ajustada para uma unidade, conforme a Figura 5.7.
Figura 5.7: Órbita de referência a 1800 (rpm).
Todo o conjunto foi levado até a rotação crítica, quando o deslocamento excessivo levou o
eixo a tocar na proteção mecânica, produzindo ruído elevado e não permitindo a máxima excur-são da órbita. Não fosse a proteção, a amplificação seria tão grande que fatalmente inutilizaria
o eixo.
A órbita medida na rotação crítica de aproximadamente 3600 (rpm) com limitação de am-
plificação e sem controle, foi de aproximadamente 12.5 unidades como mostrado na Figura
5.8.
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Mesmo construído de forma artesanal e numa condição mecânica do material viscoelástico
não muito favorável (elemento esbelto em cisalhamento), a freqüência natural medida do neu-
tralizador (ver anexo D.1) ficou muito próxima do valor ótimo obtido numericamente, o quedemonstra a validade do modelo utilizado e da caracterização do material.
A comparação dos resultados da resposta em freqüência para dois modelos consideravel-
mente diferentes, um obtido pelo método proposto com matrizes “fixas” do modelo “simplifi-
cado” (Figura 4.19) e o outro através da inserção dos parâmetros equivalentes diretamente nas
matrizes (Figura 3.6) mostra total correspondência. Por outro lado no que diz respeito ao tempo
computacional, o modelo proposto consome um tempo muito menor (cerca de 150x).
5.4.1 Teste de Resposta
Apesar do resultado medido estar próximo ao simulado (Figura 5.5), foi detectada a pre-
sença de amortecimento não previsto que atenuou a resposta nas freqüências naturais mais altas
e também um desvio no valor das freqüências naturais. Algumas hipóteses para tentar explicar
os desvios encontram-se listadas abaixo:
• Na Figura 4.3 observa-se a presença de um acoplamento de tiras de borracha, responsávelpor transmitir o conjugado do motor, o qual não é levado em conta e introduz amorteci-
mento não considerado no modelo.
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Foi proposta uma metodologia geral de projeto ótimo de neutralizadores dinâmicos viscoe-
lásticos para controle da vibração flexional em sistemas girantes, atuando em uma faixa ampla
de freqüências, a qual pode conter uma ou várias rotações críticas. A modelagem do sistema
composto foi desenvolvida no sub-espaço modal do espaço de estado do sistema primário a
partir dos parâmetros modais deste. O projeto considera que a excitação é do tipo desbalancea-mento.
Para modelar o sistema primário foram revisados conceitos tais como, modelos de ele-
mentos finitos aplicados a dinâmica de rotores, equação de movimento flexional no espaço de
estado, problema de autovalores e o seu problema adjunto, calculo do diagrama de Campbell,
modelo simplificado para excitação do tipo desbalanceamento e resposta em diferentes pontos
do rotor para diferentes excitações no domínio da freqüência.
Para o projeto ótimo dos neutralizadores dinâmicos viscoelásticos foi revisada a metodo-logia geral desenvolvida pelo grupo PISA/CNPq aplicada a estruturas não girantes. Assim,
foram introduzidos ao longo deste trabalho conceitos como parâmetros equivalentes generali-
zados, modelo modal do sistema primário e a resposta do sistema composto (sistema primário
+ neutralizadores), função objetivo e vetor projeto, assim como também uma revisão dos mo-
delos utilizados para materiais viscoelásticos, como o modelo de derivada fracionária de quatro
parâmetros.
Foram implementados os códigos numéricos necessários ao projeto dos dispositivos ótimos.
Para tal fim, foi implementado em SCILAB um novo código, que após receber os parâmetros
modais do sistema primário, obtidos com um código numérico próprio chamado RotorDin, é
capaz de obter, de forma ótima, os parâmetros físicos ótimos do conjunto de neutralizadores.
Foram implementados em SCILAB códigos numéricos para o cálculo do diagrama de
Campbell do sistema composto para simples comparação dos resultados obtidos com os códi-
gos desenvolvidos, que usam no seu calculo os parâmetros modais do sistema primário obtido
através do modelo simplificado. Para implementação destes códigos foi necessário revisar a
teoria de dinâmica de rotores usando mancais compostos com material viscoelástico. Aqui,
deve-se considerar que os materiais viscoelásticos são fortemente dependentes da freqüência (e
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da temperatura), o que leva a ter que resolver um diagrama de Campbell dentro de outro para
obter o diagrama de Campbell final.
Um sistema girante real, composto por um rotor simples, dois mancais rígidos, vários dis-cos e um mancal flexível para posterior fixação dos neutralizadores foi modelado no código
RotorDin desenvolvido no LAVIB. Considerando excitação do tipo desbalanceamento, com
base no modelo simplificado, foram obtidos e exportados os parâmetros modais do sistema a
controlar. A partir do código numérico desenvolvido no presente trabalho, foram projetados de
forma ótima um conjunto de neutralizadores dinâmicos viscoelásticos destinados ao controle
do primeiro modo de flexão do rotor acima citado. Desta forma, foram obtidos os parâmetros
físicos ótimos e, para verificar a eficácia destes dispositivos, foram obtidas as curvas de resposta
do sistema girante com e sem a fixação do dispositivo de controle. Como se pode observar, foipossível obter numericamente uma redução de 23 (dB).
Para validar a metodologia aqui apresentada, os neutralizadores dinâmicos viscoelásticos
foram construídos e montados sobre o sistema girante proposto no modelo numérico. O sis-
tema composto foi então submetido ao teste de resposta em freqüência e medição de órbita a
diferentes rotações e os resultados foram comparados com o sistema sem neutralizadores para
verificar a eficácia destes dispositivos experimentalmente.
As figuras das órbitas obtidas experimentalmente mostram uma redução da resposta vibra-
tória mínima de 13 (dB). A redução medida seria maior se os limitadores pudessem ter sido
retirados durante a operação sem neutralizadores, o que por outro lado poderia levar a ruptura
do rotor ou provocar grandes deformações plásticas o que poderia danificar os sensores. A
função resposta em freqüência obtida do teste de resposta em freqüência com o rotor parado,
comprovou a validade dos modelos adotados ao apresentar resultados compatíveis com os obti-
dos numericamente. O erro na diferença entre os resultados obtidos com e sem neutralizadores,
numérica e experimentalmente foi de 4.5 (dB) para mais.Utilizando o código numérico desenvolvido, foi possível simular o sistema composto tam-
bém através da inclusão do modelo de parâmetros equivalentes generalizados dos neutraliza-
dores dinâmicos, diretamente nas matrizes do modelo do sistema primário. Desta forma, foi
possível obter o diagrama de Campbell e as respostas em freqüência e ao desbalanceamento
do sistema composto. Os resultados obtidos através desta simulação, se mostraram idênticos
quando comparados aos obtidos através da metodologia proposta.
Verificou-se durante as simulações numéricas, que as propriedades do material viscoelásticoempregado nos protótipos dos neutralizadores, são sensíveis à variação da temperatura. No
presente trabalho, foi realizada uma simulação variando a temperatura para mostrar como a
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Um sistema muito discretizado pode apresentar centenas e até milhares de graus de liberdade.
Normalmente se trabalha apenas com o primeiros n autovalores e autovetores, que representamos modos dentro da faixa de freqüência de interesse. As vezes se trabalha com alguns poucos
modos, dentro da faixa de interesse, e dois modos residuais, inferior e superior, que representam
os modos anteriores e posteriores à faixa de interesse. Então, é possível utilizar somente as
primeiras colunas da matriz de autovetores: [Φ] = [Φ]n×n para obtenção das novas matrizes
adicionais de massa:
[ ˆ M ] = [Φ]T [ ˜ M ][Φ], Eq. A.18
e de amortecimento
[C ] = [Φ]T [C ][Φ], Eq. A.19
sendo n× n a dimensão final destas matrizes.
Note-se que essas novas matrizes “não” são diagonais, já que o modelo dos neutralizadores
foi acrescentado “sobre” a matriz de autovetores do sistema primário. Isto implica em que
os modos não são ortogonais em relação à matrizes que não estavam presentes quando foram
geradas.
Considera-se com base em SILVA (1991), no entanto, que estas matrizes são “predominan-temente” diagonais. Esta consideração simplificadora levou à definição de uma metodologia de
projeto ótimo de neutralizadores, como é mostrado à seguir, mas na realidade, as matrizes não
são rigorosamente predominantes, para quaisquer conjuntos de neutralizadores.
Obtém-se um novo sistema de equações “truncado” para o número de modos, apropriado
para o sistema em estudo
[ ˆ D(Ω)]P(Ω) = [Φ]T F (Ω). Eq. A.20
O vetor de coordenadas principais pode ser obtido a partir da seguinte equação
P(Ω) =
[ ˆ D(Ω)]−1[Φ]T F (Ω), Eq. A.21
[ ˆ D(Ω)] =−Ω2 [ ˆ I ] + [ ˆ M e]
+ iΩ
ˆ
2ζ jΩ j
+ [C e]
+ ˆλ j
. Eq. A.22
com
[ ˆ M e] =
[Φ]T [ M e][Φ]
e [C e] =
[Φ]T [C e][Φ]
. Eq. A.23
Na Figura A.2, pode-se observar funções resposta em freqüência para as coordenadas principais
P(Ω), dos cinco primeiros modos de um sistema, onde é possível identificar o acoplamento
modal introduzido pela presença de dois neutralizadores projetados para o segundo e terceiros
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Em um sistema com múltiplos graus de liberdade, é possível calcular neutralizadores vi-
sando atenuar um ou mais modos específicos. Existem duas aproximações possíveis:
1. Modo a modo: Neste caso assume-se que o desacoplamento é total. Os neutralizadores
podem então, ser projetados modo a modo, utilizando a técnica dos pontos fixos, por
exemplo. No entanto, a premissa básica, como mostrado na Figura A.2, não pode ser sa-
tisfeita e o desempenho do sistema auxiliar pode ser afetado. Esta técnica é recomendada
para sistemas com modos bem separados e definidos.
2. Banda larga: Projetam-se os neutralizadores simultaneamente, considerando a resposta
sistema para n modos, através da utilização de uma técnica de otimização não linear,
buscando a minimização de uma função objetivo. Normalmente se trabalha com um
vetor projeto contendo as freqüências naturais dos neutralizadores e o amortecimento do
neutralizador, uma vez a massa fixada através da Equação A.30 , por exemplo. Quando
o neutralizador é construído com material viscoelástico, somente as freqüências naturais
são suficientes para a determinação das características físicas dos neutralizadores através
da Equação 2.104.
O resultado obtido depende em grande parte, da escolha correta da posição dos neutralizadores
e da função objetivo.
Para a otimização, as matrizes de massa e amortecimento equivalentes, são montadas e
somadas aos parâmetros modais do sistema primário, previamente estabelecidos, para cada
freqüência na faixa adotada e com o número de modos n, escolhido.
Dentro da faixa de freqüências é buscado o máximo para a n-ésima coordenada principalmodal escolhida a ser controlada. Ao final, retorna ao otimizador, a “norma 2” do vetor de
máximos calculados.
Abaixo a função resposta em freqüência dos cinco primeiros modos de um sistema, ao
qual foram acrescentados dois neutralizadores projetados para o segundo e terceiros modos
utilizando a função objetivo proposta por BAVASTRI (1997).
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•O vetor de força escolhido deve representar o tipo de excitação em questão. Uma ex-
citação localizada em apenas um nó, de valor unitário, pode representar um impulso,
excitando diversos modos. Atenção especial ao ponto escolhido, visando evitar nós dosmodos que se pretende controlar. Pode-se utilizar também uma excitação distribuída, com
impulsos em vários ou todos os nós, representado por exemplo ação do vento sobre cabos.
•A escolha das coordenadas de aplicação dos neutralizadores é fundamental nos aspectos
de minimização de massa e redução da amplitude de vibração minimizada
•As propriedades do material viscoelástico devem estar adequados à faixa de freqüência
que se deseja controlar, caso contrário pode ser virtualmente impossível a realização física
dimensional dos mesmos.
A.3 Funções Objetivo
Uma função objetivo a ser minimizada pela técnica não linear, deve retornar um número
que represente uma quantidade da resposta vibratória do sistema composto dentro da faixa de
freqüência de interesse, para um dado conjunto de neutralizadores. As variáveis que compõem o
vetor projeto, são os parâmetros dos neutralizadores (as freqüências naturais no caso viscoelás-tico). Como resultado, os parâmetros obtidos devem levar o sistema composto a uma resposta
vibratória minimizada.
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Segundo SCHOENBERG (2001) os extremos de uma função f ( x) são caracterizados pelaanulação da sua derivada f ( x) = 0. Em funções com múltiplas variáveis pode não haver solução
direta. Newton propôs uma solução iterativa: a partir de uma condição inicial, faz-se uma
aproximação quadrática da função através da série de Taylor para uma máximo local xm, faz-se
a diferenciação e iguala-se a zero, calculando o ponto de máximo local. Faz-se deste ponto, a
nova condição inicial e assim sucessivamente
f ( x) = f ( xm) + f ( xm)( x− xm) +12
f ( xm)( x− xm)2. Eq. B.1
Derivando em relação à ( x− xm) e igualando a zero (0)
f ( x) = f ( xm) + f (Ω xm)( x− xm) = 0, Eq. B.2
obtém-se
x = xm − [ f ( xm)]−1 f ( xm), Eq. B.3
faz-se novamente xm = x, até que seja atingido uma tolerância | xm − x| tol.
Generalizando: xm+1 = xm −δ m, Eq. B.4
com
δ m = [ f ( xm)]−1 f ( xm) = H −1m gm, Eq. B.5
δ m é denominado direção, sendo um vetor que representa um segmento do caminho do
ponto inicial até o ponto solução, com o inverso do “Hessiano” H m determinando o ângulo e o
gradiente gm seu tamanho.
A função para o cálculo do Hessiano geralmente não está determinada, porém pode ser
estimada:
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Considerando sm = xm+1 − x = δ m e ηm = gm+1 − gm, então o próximo Hessiano pode ser
determinado através da relação H m+1sm = ηm que representa a razão da variação do gradiente
para a variação dos parâmetros e é denominada condição de “quasi-Newton”. Existem várias
formulações para a solução deste conjunto de equações.
Este tipo de otimização é adequado para sistemas cujo máximo/mínimo encontre-se relati-
vamente próximo ao valor inicial com tendência de atingi-lo, de outra forma, poderá convergir
para um mínimo local não desejado se a função não for mono-tônica.
B.2 Algoritmo Genético
Segundo MARDLE e PASCOE (1999), representa uma classe de técnicas de otimização
evolutiva, utilizada em modelos não lineares complexos com vários mínimos locais. Segue um
conceito de evolução através da utilização de gerações estocásticas de populações de solução
obtidas através de uma função objetivo. Devido à sua natureza probabilística, a solução en-
contrada pode não representar o mínimo ou máximo global exato, mas em geral está muito
próximo.
Baseia-se no princípio Darwiniano de sobrevivência dos mais aptos. Uma população inicial
é criada, contendo um número pré-definido de indivíduos (soluções), cada qual representado por
um gene contendo as informações das variáveis, e o valor da função objetivo. Os indivíduos
mais aptos, com maiores valores máximos/mínimos da função objetivo, são selecionados para
serem a base da próxima geração, que ainda contará com um esquema de “mutação” randômica
visando garantir que hajam indivíduos capazes de buscar outra solução, caso a maioria deles,
estiver próxima a um máximo/mínimo local.
A técnica consiste em quatro estágios. A evolução que mede a aptidão (valor da função ob-
jetivo) de cada indivíduo solução. A seleção, que randomicamente seleciona os indivíduos dapopulação que servirão de base para a próxima geração. A reprodução (“crossover”), que toma
dois indivíduos e os combina para gerar dois novos indivíduos da próxima população e a muta-
ção que randomicamente modifica os indivíduos através de alterações nos genes. O número de
indivíduos da população deve representar a complexidade do problema. O processo de geração
se repete até que atinja um número suficiente pré-determinado. A solução é representada pelo
elemento mais apto da última geração.
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Segundo MUSZYNSKA (2005), os transdutores de deslocamento (“proximitors”) são asmelhores ferramentas para o monitoramento contínuo do comportamento de rotores através da
medição sem contato de vibrações relativas à elementos estáticos. O princípio de funcionamento
é baseado na modificação do campo magnético devido à correntes induzidas nas proximidades
do sensor. A tensão de saída é linearmente proporcional à distância do transdutor e a superfície
do material observado. Tipicamente a sensibilidade se encontra próxima dos 8 ( mV µ m ) cobrindo
uma faixa de freqüências de 0 (zero) a 10 (kHz). Para que se tenha precisão na medição a
Segundo GENTA (2005), o ponto P (Figura F.1) se move no plano x − z e sua trajetóriapode ser circular, elíptica ou retilínea em qualquer direção dependendo apenas das condições
iniciais em t = 0. Pode ser interpretada como projeções dos vetores A e B que tem velocidade
angular Ωt . Note-se que a velocidade do ponto P não é constante, mas o período vale T = 2π Ωt .
O movimento nas direções xez é representado pelas expressões
x p(t ) = A cosΩt −ψ x e z p(t ) = BcosΩt −ψ z Eq. F.1
Figura F.1: Movimento elíptico (órbita).
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Para o modelo da Figura 4.5, são apresentados o primeiro modo de vibração, no intuito de
demonstrar a relevância da escolha da posição dos neutralizadores, de acordo com o o modo
que se deseja controlar, e as primeiras 10 linhas das matrizes modais truncadas obtidas para omodelo simplificado. Ambos foram obtidos utilizando a versão 2004 em Scilab Rdo do Rotor-
Din.
G.1 Modos de Vibrar
A posição do neutralizador é relevante e deve ser escolhida para ser efetiva aos modos que
se deseja controlar. Perto de “nós” modais neutralizadores não são efetivos. Para o sistemada Figura 4.5 os neutralizadores foram montados a 380 (mm) da extremidade esquerda do eixo
(cota 0).
RotorDin − Modos de Vibrarmodo=2 f= 64.3(Hz) (FW)
−0.15
−0.10
−0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
z ( m / 1 . 0
0 E + 0 1 )
0.00.1
0.20.3
0.40.5
0.60.7
0.80.9
1.0
y (m)−0.1
0.0
0.1
x (m/1.00E+01)
Figura G.1: Forma de vibrar do primeiro modo forward.
A posição escolhida é efetiva para o primeiro modo (Figura G.1).
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Para se obter o valor de amortecimento associado às molas que suportam o mancal flutu-ante onde são fixados os neutralizadores, foi utilizada a teoria da banda de média potência (ver
EWINS (2000)). Através da curva de resposta em freqüência obtida experimentalmente e mos-
trada na Figura H.1, é possível calcular o valor do amortecimento considerado constante por
hipótese, c = 18( Nsm ).
Figura H.1: Função resposta medida experimentalmente.
A freqüência natural medida foi de Ω = 41( Hz), para uma massa de m = 0.83(kg). A
rigidez associada obtida foi de k = 55.1 (kN /m).
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Para medição no domínio da freqüência foi utilizado uma analisador de sinais da marcaHP (Hewlett-Packard) modelo 3560A (Figura I.1), portátil, dois canais, FFT1, fonte de corrente
integrada. As principais características de desempenho são (h t t p : / / w w w . m e t r i c t e s t . c o m
):
•Faixa de freqüência: 0.03125 (Hz) a 40 (kHz)
•Precisão em freqüência: ± 8 (Hz)
•Precisão em amplitude:
±0.2 dB
•Resolução de largura de banda: 0.03125 a 400 (Hz)
•Nível de ruído médio: -100 (dBv)
Figura I.1: Analisador HP 3560A.
1Fast Fourier Transform
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Para medição da resposta ao impulso foi utilizado um acelerômetro da marca PCB, modelo352C68 “ceramic shear ICP Raccel. conn” (Figura I.3). Suas principais caracterísitcas são:
•Sensibilidade: (±10%) 10.2 (mV/(m/sš))
•Faixa de medição: ±491 (m/sš pico)
•Resolução de freqüência: (1 a 10000 Hz) 0.0015 (m/sš RMS)
•Faixa de freqüência: (±5%) 0.5 a 10000 (Hz)
•Massa: 2.0 (gramas)
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Em 2002 o aluno Ezequiel José López iniciou o desenvolvimento de um código numéricopara o cálculo da dinâmica de rotores em Matab R(LÓPEZ (2002.)). Em 2004 o engenheiro
Hideraldo L. V. dos Santos aperfeiçoou a interface gráfica para permitir uma entrada de dados
confortável e geração de gráficos de saída especializados e incluiu a opção de cálculo com
mancais hidrodinâmicos (SANTOS (2003)). Através do Termo de cooperação 01/2004 - WEG
Indústrias Elétricas e CEFET-PR e a UTFPR foi desenvolvida uma nova versão do código, como
parte do projeto de pesquisa cujos objetivos são desenvolver modelos numéricos utilizando o
Método dos Elementos Finitos, para predizer o comportamento dinâmico de rotores (compostos
por eixo escalonados, discos e diferentes modelos de mancais hidrodinâmicos e rolamentos). O
código numérico foi programado conforme a teoria de sistemas girantes apresentada na seção
2.7, denominado de “RotorDin”.
A partir da versão do código de 2004 foi desenvolvida uma nova versão, utilizando Scilab R,
uma versão “opensource” do Matlab R. Esta versão foi utilizada neste trabalho para modela-
gem da bancada de dinâmica de rotores do LAVIB, com o objetivo de exportar as matrizes de
parâmetros modais em forma de arquivo texto e permitir a inclusão do modelo de parâmetros
equivalentes generalizados dos neutralizadores dinâmicos viscoelásticos diretamente nas ma-
trizes de massa e amortecimento. Foram implementadas as opções de cálculo do diagrama de
Campbell, a resposta ao desbalanceamento e a função resposta em freqüência. Isto permitiu
comparar os resultados numéricos obtidos com a metodologia proposta utilizando o modelo
simplificado.
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