Vettori e geometria analitica in R3
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Sistemi di riferimento in R3 e vettori
In fisica, grandezze fondamentali come forze, velocità, campielettrici e magnetici vengono convenientemente descrittemediante l’uso dei vettori. Dal nostro punto di vista, i vettori e leloro operazioni ci consentiranno di capire come descrivere estudiare rette, piani e altre figure geometriche mediantel’utilizzo delle coordinate cartesiane (e della trigonometria).L’ambiente geometrico più naturale nel quale introdurre ilconcetto di vettore è lo spazio euclideo tridimensionale(denotato R
3), in cui assumeremo che sia fissato un sistema diassi cartesiani.Stabiliamo una corrispondenza biunivoca tra punti dello spazioR
3 e terne ordinate di numeri reali. Scrivendo P0 = [x0,y0,z0],diremo che x0, y0, z0 sono le coordinate (cartesiane) di P0.
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Figura
x
y
z
b
bb
b
b
P0 = [x0, y0, z0]
x0
y0
z0
O
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Prime formule
Semplici formule, già viste in R2, consentono di calcolare
rispettivamente la distanza tra due punti P0, P1 e il punto medioM di un segmento P0P1.Più precisamente, siano P0 = [x0,y0,z0] e P1 = [x1,y1,z1]: allorauna doppia applicazione del Teorema di Pitagora fornisce
P0P1 =√
(x1 − x0)2 +(y1 − y0)2 +(z1 − z0)2 . (1)
Inoltre,
M =
[
x0 + x1
2,y0 + y1
2,z0 + z1
2
]
. (2)
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Vettori
Il modo più intuitivo, anche se matematicamente noncompletamente rigoroso, per introdurre questo concetto è ilseguente: diremo che un vettore ~v è identificato mediantel’assegnazione di
1 una lunghezza;
2 una direzione;
3 un verso.
La maniera più semplice per rappresentare simultaneamentequeste tre cose consiste nell’utilizzare un segmento orientato ,diciamo da un punto P0 ad un punto P1.
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Vettori rappresentati da segmenti orientati
x
y
zb
b
b
b
P0
P1
~v
P ′
0
P ′
1
~v′ = ~v
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Vettori
La lunghezza di~v coincide con la distanza fra i suoi estremi. Ladirezione di~v è quella della retta che passa per P0 e P1. Il versoè quello indicato dalla freccia.Una simbologia alternativa per~v è
−−−−−−→(P1 −P0). P0 è detto punto di
applicazione del vettore.Osservazione: se consideriamo un segmento orientato−−−−−−−→(P1
′−P0′) ottenuto da
−−−−−−→(P1 −P0) mediante traslazione rigida, ci
rendiamo conto subito che−−−−−−−→(P1
′−P0′) e
−−−−−−→(P1 −P0) hanno uguale
lunghezza, direzione e verso.In altre parole, essi costituiscono due diverse rappresentazionidello stesso vettore~v.Allora, per descrivere nel modo più semplice possibile leoperazioni con i vettori, converrà da ora in avanti fissarel’origine O come punto di applicazione dei vettori.
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Vettori
Ne segue che le coordinate di−−−−−−→(P1 −P0) sono date da
[x1 − x0,y1 − y0,z1 − z0], dove [xi,yi,zi] sono le coordinate di
Pi, i = 0,1. Questo spiega anche la simbologia−−−−−−→(P1 −P0) (si
legge P1 meno P0) per il vettore che va da P0 a P1.Per vari motivi di natura algebrica e fisica, conviene introdurreun vettore anomalo, che chiameremo vettore nullo eidentificheremo con l’origine O = [0,0,0]. Il vettore nullo, anchedenotato~0, ha lunghezza zero, direzione e verso non precisati.
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Vettori
Punto della situazione : identifichiamo dunque un vettore~vcon le coordinate del suo estremo P : di solito, scriveremo~v = [v1,v2,v3].La lunghezza di~v (detta anche modulo) si indica |~v| e, infunzione delle sue coordinate, è espressa da
|~v|=√
v21 + v2
2 + v23 . (3)
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Vettori applicati in O
x
y
z
b
b
P = [v1, v2, v3]
O
~v
~v =−−−−−→(P − O)
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Operazioni sui vettori
Le prime operazioni che possiamo definire sono la somma didue vettori e la moltiplicazione di un vettore per un numeroreale .Siano~v = [v1,v2,v3],~u = [u1,u2,u3] due vettori, e sia λ ∈ R:definiamo
~u+~v = [u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3] ; (4)
λ~v = [λv1, λv2, λv3] . (5)
Si può notare che, se λ 6= 0, λ~v ha la stessa direzione di~v everso coincidente con quello di~v se e solo se λ > 0.Inoltre, usando (9), è immediato verificare che
|λ~v|= |λ ||~v| .
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Regola del parallelogramma
Se~u e~v non sono allineati, allora~u+~v coincide con ladiagonale del parallelogramma da essi individuato.Inoltre, considerando uno dei due triangoli in cui la diagonaledivide il parallelogramma, vediamo che l’intuizione geometricasupporta la validità della seguente disuguaglianza:
|~u+~v| ≤ |~u|+ |~v| ∀~u ,~v ∈ R3 , (6)
detta, appunto, disuguaglianza triangolare.
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Versori
Definizione: Diciamo che un vettore~v è un versore se |~v|= 1.
Siano~i = [1,0,0],~j = [0,1,0] e~k = [0,0,1]. Questi tre versorisono detti versori, rispettivamente, dell’asse x, y e z. Notiamoche ogni vettore~v = [v1,v2,v3] può essere riscritto, usando le (4)e (5), come
~v = v1~i+ v2~j+ v3~k . (7)
Ciò evidenzia anche il significato di vi, i = 1,2,3, comecomponenti di~v lungo i tre assi.
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Componenti di un vettore
x
y
z
b
b
b
b
b
v1
v2
v3
~ı~
~k
~v
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Esercizio
Esercizio: Sia~v = [2, 2√
5, 5] . Determinare un versore ~wparallelo a~v.Soluzione:
~w =
[
27,2√
57
,57
]
oppure
~w =
[
−27,−2
√5
7,−5
7
]
.
Nota: si usa indicare
vers(~v) =~v|~v| . (8)
In parole, vers(~v) è quel vettore che ha modulo 1 e direzione everso coincidenti con quelli di~v.
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Prodotto scalare
DEFINIZIONE: Siano~u = [u1,u2,u3] e~v = [v1,v2,v3] due vettori.Il loro prodotto scalare , denotato~u ·~v, è definito da:
~u ·~v = u1v1 +u2v2 +u3v3 (3
∑i=1
uivi) . (9)
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Prodotto scalare
È immediato notare che
~u ·~u = |~u|2 (10)
~u ·~v =~v ·~u(λ~u) ·~v = λ (~u ·~v) =~u · (λ~v) ∀ λ ∈ R .
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Ortogonalità tra vettori
La proprietà fondamentale del prodotto scalare (che nondimostriamo) è
~u ·~v = |~u||~v|cos θ , (11)
dove abbiamo indicato con θ l’angolo formato da~u e~v, con0 ≤ θ ≤ π.In particolare, deduciamo da (11) che, se~u,~v 6=~0, allora
~u ⊥~v ⇔ ~u ·~v = 0 (12)
dove ⊥ indica che~u e~v sono tra loro ortogonali.
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Esercizio
Esercizio: Siano~v,~u due vettori non nulli. Determinare ilvettore ~w proiezione di~v lungo~u.Soluzione:
~u~w
~v
ϑ
~w = (~v ·vers(~u)) vers(~u) =(~v ·~u)|~u|2 ~u . (13)
Nota: questo risultato vale anche perπ2≤ θ ≤ π (verificarlo!).
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Prodotto vettoriale
Definizione: Siano~u = [u1,u2,u3],~v = [v1,v2,v3]. Il loro prodottovettoriale (indicato~u∧~v, oppure~u×~v) è il vettore definito da
~u∧~v = [u2v3 −u3v2, u3v1 −u1v3, u1v2 −u2v1] . (14)
• Calcolo di~u∧~v mediante il concetto di determinante di unamatrice quadrata di ordine 3.
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Proprietà del prodotto vettoriale
Proprietà algebriche:
~u∧~v =−(~v∧~u) ∀~u,~v ∈ R3 ; (15)
~u∧ (~v+~w) = (~u∧~v)+ (~u∧~w) ∀~u,~v, ~w ∈R3 ;
(λ~u)∧~v = λ (~u∧~v) =~u∧ (λ~v) ∀~u,~v ∈ R3,∀ λ ∈ R .
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Proprietà del prodotto vettoriale
Proprietà geometriche: indicando ancora con θ (0 ≤ θ ≤ π)l’angolo compreso tra~u e~v, si ha:
(i) |~u∧~v|= |~u| |~v| sinθ ;
(ii) Se~u∧~v 6=~0, allora~u∧~v è ortogonale al piano individuatoda~u e~v;
(iii) Se~u∧~v 6=~0, allora i tre vettori {~u,~v,~u∧~v} formano unaterna destrorsa.
La dimostrazione matematica completa di queste proprietàgeometriche non è elementare e perciò è omessa.
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Terna destrorsa
~u
~v
~u ∧ ~v
Eϑ
Terna destrorsa significa che l’omino solidale con~u∧~v vede~uandare a sovrapporsi su~v muovendosi in senso antiorarionell’angolo θ .
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Prodotto misto
Definizione: Siano~u,~v,~w tre vettori. Allora il loro prodotto mistoè
~u · (~v∧~w) (∈ R) . (16)
Nota: il calcolo del prodotto misto equivale a quello deldeterminante di una matrice quadrata di ordine 3.
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Prodotto misto
Volume Parallelepipedo = |~u · (~v∧~w)| .
~v
~w~u
~v ∧ ~w
αh
Dimostrazione: Volume = |~v∧~w| h = |~v∧~w||~ucosα |= |~u · (~v∧~w)| .25 / 25