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Geometria 3D

ELEMENTI DI BASE

Coordinate cartesiane

Distanza tra due punti

CASO PARTICOLARE: Distanza di un punto dall’origine

Punto medio

di un segmento di estremi A e B Ricorda che la

dimostrazione ricalca quella nel piano cartesiano e sfrutta il teorema di Talete.

'c,'b,'akc,b,avvv//v 02121

002121 'cc'bb'aavvvv

Alcuni elementi dell’algebra vettoriale

Ricordiamo le condizioni di parallelismo e

perpendicolarità tra i vettori v1 (a,b,c) e v2 (a’,b’,c’), cioè:

Prodotto vettoriale VETTORE n di modulo |n|=|a||b| sen

Prodotto scalare SCALARE k=|a||b| cos

Rappresentazione analitica del piano Un piano si può individuare in due modi:

a) Assegnando un punto P0 di ed un vettore w non nullo ortogonale ad

b) Assegnando tre punti non allineati di

Equazione vettoriale del piano a)

• Se consideriamo il piano passante per P0(x0,y0,z0) e ortogonale al vettore non nullo w(a,b,c), allora un punto P(x,y,z) dello spazio appartiene ad se e solo se il vettore P-P0 è ortogonale a w;

(1) W(P-P0)=0

Equazioni del piano La (1) si chiama equazione vettoriale del piano.

Esplicitando le componenti la (1) si può scrivere :

(1’) a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 ed è detta equazione cartesiana del piano.

La (1’) si può scrivere

(2) ax+by+cz+d=0 ossia come un’equazione polinomiale di I grado in x,y, z dove i

coefficienti a,b,c rispettivamente di x, y, z, sono le componenti di un vettore non nullo ortogonale ad .

Viceversa ogni equazione del tipo (2) con a, b, c non tutti nulli rappresenta un piano e tale piano è ortogonale al vettore (a,b,c).

Rappresentazione analitica del piano

OSSERVAZIONE 1 Se un piano ha equazione ax+by+cz+d=0 e se k0,

l’equazione kax+kby+kcz+kd=0 rappresenta lo stesso piano.

(infatti è soddisfatta dagli stessi punti).

Viceversa si dimostra che se due equazioni

ax+by+cz+d=0 e a’x+b’y+c’z+d’=0 rappresentano lo stesso piano, allora esiste un

k 0 tale che a’=ka, b’=kb, c’=kc che è la condizione di parallelismo tra vettori

ricordata prima .

Rappresentazione analitica del piano

OSSERVAZIONE 2 Mentre è possibile determinare

in maniera univoca una direzione ortogonale al piano

-ad esempio mediante il vettore (a,b,c)- non è possibile determinare in

maniera univoca una direzione parallela al piano ,

poiché non tutti i vettori paralleli ad sono tra loro paralleli.

Piano per tre punti non allineati b)

Siano A, B, C tre punti non allineati dello spazio. Allora esiste un unico piano passante per i tre punti: esso si può pensare come il piano per A ortogonale al vettore w= (B-A)(C-A) (che è non nullo, essendo i tre punti non allineati).

L’equazione vettoriale di è:

(P-A)·(B-A)(C-A)=0

0

ACACAC

ABABAB

AAA

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

Equazione di un piano

come sviluppo di un determinante

• Esplicitando il prodotto misto in termini di

componenti si trova l’equazione cartesiana

Le rette nello spazio e la loro equazione

Una retta nello spazio si può individuare in vari modi:

assegnando un punto di r ed un vettore parallelo ad r

assegnando due punti distinti di r

assegnando due piani

Ricordiamo che di due piani nello spazio possono assumere le seguenti posizioni reciproche:

Sono paralleli

Sono incidenti

Teorema: Se sono incidenti ed hanno un punto in comune allora hanno tutta una retta in comune

EQUAZIONE DELLA RETTA • Una retta r è caratterizzata dalla sua direzione;

• La direzione è determinata da un vettore che viene caratterizzato dalla sue componenti:

v (l,m,n)

• Consideriamo due punti appartenenti alla retta r : P(x,y,z) e Po(x0;y0;z0) ;

• Il vettore P-Po avrà la stessa direzione del vettore v cioè v// P-Po cioè componenti proporzionali :

Equazione parametrica di una retta

ntzz

mtyy

ltxx

cioè

ntzz

mtyy

ltxx

0

0

0

0

0

0

dove t è un parametro reale

)zz(tzz

)yy(tyy

)xx(txx

121

121

121

Retta passante per due punti

A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2)

O ancora………

• Posto:

x2 - x1= l , y2 - y1 = m z2 - z1=n

si ha l’equazione frazionaria della retta

Esempio: è una retta con equazione generale

La sua equazione ridotta, formata dalle equazioni di due piani paralleli a due piani coordinati è

Equazione generale di una retta individuata dall’intersezione di due

piani non paralleli

Esercizio:

Calcolare la direzione della retta individuata da:

023

1

zyx

zx

Distanza di un punto A (xA,yA,zA)

da un piano ax+by+cz+d=0

Condizione di parallelismo tra piani Due piani di equazione:

ax+by+cz+d=0 e a’x+b’y+c’z+d’=0

• sono paralleli se e solo se: a=ka’ b=kb’ c=kc’

• sono coincidenti se e solo se: a=ka’ b=kb’ c=kc’ d=kd’ k ϵ R

Esempi

Due piani sono paralleli distinti i piani di equazione

Due piani sono paralleli coincidenti i piani di equazione

Condizione di perpendicolarità tra piani

Due piani di equazione:

ax+by+cz+d=0 e a’x+b’y+c’z+d’=0

sono ortogonali se e solo se:

aa’+bb’+cc’=0

Distanza punto retta • P(x1;y1;z1) e la retta di equazione

• Costruiamo il piano per P

ortogonale alla retta r :

: l(x-x1)+m(y-y1)+n(z-z1)=0

• Trovare il punto di intersezione tra retta r e piano e lo indichiamo con H

• Calcolare la distanza tra i due punti P e H

ntzz

mtyy

ltxx

:r

0

0

0