Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
134
VEKTOR
a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor.
OA a
; OB b
maka OA AB OB
AB OB OA
AB b a
au
b dan
cv
d maka
a c a cu v
b d b d
Contoh :
Tentukan nilai x dan y dari
Jawab :
Jadi nilai x = - 18 dan y = - 1 ½
b. Panjang Vektor
Misal a
ub
, maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus
2 2u a b
Untuk 1 1
( , )A x y dan 2 2
( , )B x y maka panjang vector
2 2
2 1 2 1: ( ) ( )AB AB x x y y
Misal vector u = li + mj + nk atau
Panjang vector satuan dari u adalah 1. Vektor satuan biasa disebut dengan e ditentukan
dengan
Contoh :
Diketahui
Tentukan Vektor satuan v
Bab 20
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
135
Jawab :
Vektor satuan v adalah
c. Perkalian vector dengan scalar.
a. Secara geometris.
Jika k R dan u suatu vector , maka perkalian vector u dengan bilangan real k
ditulis sebagai c k u . Panjang vector c dama dengan k kali panjang vector u
- Jika k > 0 , maka vector c searah dengan vector u
- Jika k < 0 , maka vector c berlawanan arah dengan vector u
b. Secara Non Geometris
Jika k R dan a
ub
maka a ka
k u kb kb
Contoh :
Jika 3 1 -5
, dan c=2 0 4
a b , Tentukan panjang u = a + b - c
Jawab :
u = a + b – c
= 3 1 -5 9
-2 0 4 6
2 29 ( 6) 117 3 13u
d. Besar Suatu Vektor Hasil Penjumlahan Dan Pengurangan
i) Jika a
ub
dan c
vd
, maka 2 2
( ) ( )a c
u v u v a c b db d
ii) Jika a
ub
dan c
vd
, maka 2 2
( ) ( )a c
u v u v a c b db d
iii)
2 2
2 cosu v u v u v
2 2
2 cosu v u v u v
iv)
v u v u v
u
- v
u
u-v
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
136
e. Arah Suatu Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
Arah suatu vector hasil penjumlahan.
sin sin( ) sin
u v u v
Arah suatu vector hasil pengurangan
sin sin( ) sin
u v u v
Contoh :
Diketahui , maka besar sudut antara
vector a dan b adalah ….
f. Rumus Pembagian Ruas Garis
Jika O adalah sutu titik yang diketahui dan P adalah titik pada ruas garis AB sehingga
AP : PB = m : n, maka :
nOA mOB na mbOP p
m n m n
Jika P adalah titik tengah dari ruas garis AB maka :
1 1( ) ( )
2 2O P O A O B p a b
Jika 1 1 2 2
( , ), ( , ), ( , )p p
A x y B x y P x y terletak pada ruas garis AB , sehingga AP : PB = m :
n, maka :
1 2 1 2 dan p p
nx mx ny myx y
m n m n
Jika P titik tengah ruas garis AB, maka :
v u v u v
u
B
m
A
P
n
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
137
1 2 1 2
1 1( ) dan (
2 2p px x x y y y
Sebuah titik P disebut membagi AB didalam dengan perbandingan m : n, Jika AP : PB
= m : n dengan m > 0 dan n > 0
Sebuah titik P disebut membagi AB diluar dengan perbandingan m : n, Jika AP : PB =
m : - n dengan m > 0 dan n > 0
g. Perkalian vector
. . cosa b a b .
, ( , )a b
cos a ba b
= 1 1 2 2 3 3. . .a b a b a b
Jika ( ) .0
90 a b a b 0
lancip maka .a b 0
tumpul maka .a b 0
h. Proyeksi Vektor
Vektor c hasil proyeksi a pada b
Proyeksi scalar .a b
cb
Proyeksi vector 2
..
a bc b
b
Hubungan antar Vektor :
a. Jika vector u dan v kolinear ( segaris ) maka u = m v
a
b
c
A
P
- n
m
B
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
138
Titik A , B dan C dikatakan segaris Kolinear jika AB = m BC dengan m scalar /
bilangan real
b. Vektor u , v dan w bukan vector nol, tidak kolinear dikatakan coplanar ( sebidang )
dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m dan n , sedemikian
sehingga w = mu + nv
SOAL LATIHAN :
1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = …. a. 1200 b. 900 c. 600 d.450 e.300
2. Diketahui 2a , 9b , 5ba . Besar sudut antara vector a dan vector b
adalah …. a. 450 b.600 c.1200 d.13500 e.1500
3. Besar sudut antara
4
2
3
a dan
3
3
2
b adalah ….
a. 180° b.90° c.60° d.30° e.0°
4. Jika 2a , 3b , dan sudut ( b,a ) = 120°, maka ....b2a3
a. 5 b.6 c.10 d.12 e.13
5. Diketahui 3a , 1b , 1ba . Panjang vector a + b = ….
a. 3 b. 5 c. 7 d.2 2 e.3
6. Diketahui 6a , ( a – b )( a + b ) = 0, dan a ( a – b )=3. Besar sudut antara vector a dan
b adalah ….
a. 6
b.4
c.3
d.2
e.3
2
7. Garis g melalui A(2, 4, -2 ) dan B(4, 1, -1 ) , sedang garis h melalui C(7, 0, 2) dan D(8,
2, -1). Besar sudut antara g dan h adalah …
a. 00 b. 0
30 c. 045 d. 0
60 e. 090
8. Segitiga ABC dengan koordinat A(2,1,4) ,B(-1, 2, 3) dan c(1, -1 , 2) . Nilai sin CAB =
…
a. 1
10910
b.1 0
1 1 c.
1110
11 d.
1109
11 e.
1110
10
9. Jika 2 7a b dan a.b = 4 maka ...a b
a. 2 7 b. 2 6 c. 2 3 d. 2 5 e. 2 2
10. Bila sudut antara 2 4 4 dan 3 5a i j k q i j k maka cos =…
a. 3
7 b.
5
21 c.
8
21 d.
5
23 e.
38
48
11. Besar sudut antara vector adalah ……
a. 6
b. 4
c.3
d.2
e.3
2
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
139
12. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal ____
AB
pada ____
AC adalah ….
a. kj b. ki c. ji d. kji2
1 e. ji2
1
13. Diketaui vector kjia 443 , kjib 32 , dan kjic 534 . Panjang proyeksi
vector cba pada )( adalah ….
a. 3 2 b.4 2 c.5 2 d.6 2 e.7 2
14. Diketahui (2, 1,1), ( 1,1, 1)u v Vektor w yang panjangnya 1, tegak lurus pada u
dan tegak lurus pada v adalah …
a. (0, 0, 1) b. 2 2
(0, , )2 2
c. 2 2
(0, , )2 2
d. 2 1 2
( , , )3 3 3
e. 2 1 2
( , , )3 3 3
15. Jika w adalah vector proyeksi orthogonal dari vector
4
3-
2
v terhadap vector
1-
2
1-
u ,
maka w =….
a.
3
1-
1
b.
2-
1-
0
c.
2
1
0
d.
2
4-
2
e.
2-
4
2-
16. Diketahui vector
2
x
1
a ,
1-
1
2
b , dan proyeksi a pada b adalah 6
2. Sudut antara a
dan b adalah α, maka cos α = ….
a. 63
2 b.
3
1 c.
3
2 d.
6
2 e.
3
6
17. Rasio sustu deret geometri tak hingga adalah , suku pertama deret
itu merupakan hasil kali scalar vector dan . Jumlah
deret geometri tak berhingga tersebut = …
a. b. c. d. 2 e. 4
18. Panjang proyeksi orthogonal vector kjpia 3 , pada vector kpjib 2 3
adalah 3
2. Nilai p = ….
a. 3 b.2 c.3
1 d.– 2 e.– 3
19. Diketahui koordinat titik A (3, 5, 2) , B(-1, 0, 3) dan C ( 4, -2 , -5) . Jika Z merupakan
titik berat segitiga ABC , maka koordinat titik Z sdalah ….
a. ( 2 , -1 , 0) b. ( 2 , 1 , 0) c. ( 2 , 1 , 1) d. ( 1 , 2 , 1) e. ( 1 , 0
, 2)
20. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C (7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris ( koliner ) perbandingan
AB : BC = ….
a. 1 : 2 b.2 : 1 c.2 : 5 d.5 : 7 e.7 : 5
21. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1
: 3. Panjang ____
PB = ….
a. 15 b. 81 c. 90 d. 121 e. 153
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
140
22. Dalam Δ ABC, diketahui P titik berat Δ ABC dan Q titik tengah AC. Jika uCA dan vCB ,
maka PQ = ….
a. u-v3
1 b. u
3
1-v c. u
6
1-v
3
1 d. v
3
1-u
6
1 e. v
3
1u
6
1
23. Titik A ( 3,2,–1 ), B ( 1, –2, 1 ), dan C ( 7,p – 1, –5 ) segaris untuk nilai p = …. a. 13 b.11 c.5 d.– 11 e.– 13
24. Diketahui vector kjiu 642 dan kjiv 422 . Proyeksi vector orthogonal u pada
v adalah
a. kji 1284 b. kji 844 c. kji 422
b. d. kji 32 e. kji 2
25. Jika A(-1, 5, 4) , B(2, -1, -2) , C(3, p, q) terletak pada satu garis lurus , maka nilai p dan
q berturut-turut adalah …
a. –3 dan –4 b. –1 dan –4 c. –3 dan 0 d. –1 dan 0 e. 3 dan
0
26. Jika sudut antara a dan b adalah 060 dan 2a dan 5b maka nilai a.(a+b) = …
a. 5 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
27. Jika
1 1 0
1 , 2 , 4
1 1
a b c
x
dan a.(b+c)=a.a. Nilai x adalah …
a. –11 b. –10 c. 8 d. 10 e. 11
28. Diketahui Balok OABC.DEFG dengan OA=a , OD = d dan OC = c , K perpotongan
antara DF dan GE dan L perpotongan antara BE dan AF, maka vector KL = …
a. 1
( )2
a d b. 1
( )2
a d c. 1
( )2
c d d. 1
( )2
c d e.
1( )
2a c
29. Jika 4, 6a b dan sudut antara a dan b adalah 60 0 , maka nilai a b
a. 1
132
b. 13 c. 11
132
d. 2 19 e. 3 13
30. Jika diketahui 3 2p i j k dan 3 5q i j k , maka ( ).( )p q p q adalah ….
a. 13 b. 2 3 c. 2 3 d. –11 e. –21
31. Jika 2, . 4a a b dan sudut antara a dan b sama dengan 1
4, maka ...b
a. 4 2 b. 3 2 c. 2 2 d. 2 e. 1
22
32. Ditentukan 2 3a i j xk dan 4 5b i j k . Jika a tegak lurus b , maka nilai x
adalah …
a. 1 b. 2 c. –1 d. –2 e. 0
33. Diketahui vector dan vector , jika proyeksi scalar orthogonal vector u
pada arah vector v sama dengan setengah panjang vector v, maka nilai p adalah …
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
141
a. -4 atau -2 b. -4 atau 2 c. 4 atau -2 d. 8 atau -1 e. -8 atau 1
Soal – soal vector Ujian Nasional
Materi Pokok : Sudut antara dua vektor
1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = ….
a. 1200
b. 900
c. 600
d. 450
e. 300
2. Diketahui 2a , 9b , 5ba . Besar sudut antara vector a dan vector b
adalah ….
a. 450
b. 600
c. 1200
d. 13500
e. 1500
3. Besar sudut antara
4
2
3
a dan
3
3
2
b adalah ….
a. 180°
b. 90°
c. 60°
d. 30°
e. 0°
4. Jika 2a , 3b , dan sudut ( b,a ) = 120°, maka ....b2a3
a. 5
b. 6
c. 10
d. 12
e. 13
5. Diketahui 3a , 1b , 1ba . Panjang vector a + b = ….
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
142
a. 3
b. 5
c. 7
d. 2 2
e. 3
6. Diketahui 6a , ( a – b )( a + b ) = 0, dan a ( a – b )=3. Besar sudut antara vector a dan
b adalah ….
a. 6
b. 4
c. 3
d. 2
e. 3
2
Materi Pokok : Proyeksi vector
7. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal ____
AB
pada ____
AC adalah ….
a. kj
b. ki
c. ji
d. kji
2
1
e. ji
2
1
8. Diketahui vector kjia 443 , kjib 32 , dan kjic 534 . Panjang proyeksi
vector cba pada )( adalah ….
a. 3 2
b. 4 2
c. 5 2
d. 6 2
e. 7 2
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
143
9. Diketahui vector kjiu 642 dan kjiv 422 . Proyeksi vector orthogonal u pada
v adalah ….
a. kji 1284
b. kji 844
c. kji 422
d. kji 32
e. kji 2
10. Jika w adalah vector proyeksi orthogonal dari vector
4
3-
2
v terhadap vector
1-
2
1-
u ,
maka w =….
a. 3
1-
1
b. 2-
1-
0
c. 2
1
0
d. 2
4-
2
e. 2-
4
2-
11. Diketahui vector
2
x
1
a ,
1-
1
2
b , dan proyeksi a pada b adalah 6
2. Sudut antara a
dan b adalah α, maka cos α = ….
a. 63
2
b. 3
1
c. 3
2
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
144
d. 6
2
e. 3
6
12. Panjang proyeksi orthogonal vector kjpia 3 , pada vector kpjib 2 3
adalah 3
2. Nilai p = ….
a. 3
b. 2
c. 3
1
d. 2
e. 3
Materi Pokok : Perbandingan garis
13. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C (7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris ( koliner ) perbandingan
AB : BC = ….
a. 1 : 2
b. 2 : 1
c. 2 : 5
d. 5 : 7
e. 7 : 5
14. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1
: 3. Panjang ____
PB = ….
a. 15
b. 81
c. 90
d. 121
e. 153
15. Dalam Δ ABC, diketahui P titik berat Δ ABC dan Q titik tengah AC. Jika uCA dan vCB ,
maka PQ = ….
a. u-v
3
1
b. u
3
1-v
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
145
c. u
6
1-v
3
1
d. v
3
1-u
6
1
e. v
3
1u
6
1
16. Titik A ( 3,2,–1 ), B ( 1, –2, 1 ), dan C ( 7,p – 1, –5 ) segaris untuk nilai p = ….
a. 13 b.11 c.5 d.11 e.13
Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q (2, -3, 2), dan R(-1, 0, 2). Besar sudut
PRQ=………
a. 120º b. 90º c. 60º d. 45º e. 30º
Jawab :
= Q - R = (3, -3, 0)
= P – R = (1, 1, 2)
. =
3 – 3 +3 =
0 =
90º =
2. Diketahui = , = , = . Besar sudut antara vektor dan vector adalah ……
a. 45º b. 60º c. 120º d. 135º e. 150º
Jawab :
( ( =
+ + 2. + = 5
2 + (2 = -6
= =
GOD IS MY SAFIOR
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
146
= 135º
3. Besar sudut antara dan adalah……
a. 180º b. 90º c. 60º d. 30º e. 0º
Jawab:
Cos =
=
=
=
Cos = 0
= 900
4. Jika =2, =3, dan sudut ( )= 1200, maka = . . . .
a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13
( (
5. Diketahui , panjang vector
a. b. c. d. e. 3
Jawab:
- 2
1 = 3 + 1 - 2
=
6. Diketahui ( .( dan ( Besar sudut antara vector dan
adalah . . .
a. b. c. d. e.
Jawab:
6 – (6 . ) = 3
- 6 . = -3
=
=
7. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0), dan C(0, 2, 2).Proyeksi
Orthogonal pada adalah. . .
a. b. c.- d. e.-
Jawab:
= B – A = (2, 2, 0)
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
147
= C – A = (0, 2, 2)
=
= . (0, 2, 2)
= (0, 1, 1)
8. Diketahui vector = 3 , 2 .Panjang
Proyeksi vector (
a. b. c. d.6 e. 7
Jawab:
( = (5 ,-5, -1)
= (4, -3, 5)
I I =
=
= .
= = 3
9. Diketahui vector
pada adalah . . .
a. b. c.
d. e.
Jawab:
= .
= = .
= .
= .
=2 . =
10.Jika adalah vector proyeksi orthogonal dari vector = terhadap vector =
,maka = …
a. b. c.
d. e.
Jawab:
.
= . (-1, 2, -1)
= (-1, 2, -1)
= (2, -4, 2)
11. diketahui vector = , , dan proyeksi pada adalah . Sudut antara dan
adalah a, maka …..
a. b. c. d. e.
Jawab :
=
=
2 = x
*
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
148
2 + 2 – 2 =
=