Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 134 VEKTOR a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. OA a ; OB b maka OA AB OB AB OB OA AB b a a u b dan c v d maka a c a c u v b d b d Contoh : Tentukan nilai x dan y dari Jawab : Jadi nilai x = - 18 dan y = - 1 ½ b. Panjang Vektor Misal a u b , maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus 2 2 u a b Untuk 1 1 ( , ) Ax y dan 2 2 ( , ) Bx y maka panjang vector 2 2 2 1 2 1 : ( ) ( ) AB AB x x y y Misal vector u = li + mj + nk atau Panjang vector satuan dari u adalah 1. Vektor satuan biasa disebut dengan e ditentukan dengan Contoh : Diketahui Tentukan Vektor satuan v Bab 20
15
Embed
VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang...
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
134
VEKTOR
a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor.
OA a
; OB b
maka OA AB OB
AB OB OA
AB b a
au
b dan
cv
d maka
a c a cu v
b d b d
Contoh :
Tentukan nilai x dan y dari
Jawab :
Jadi nilai x = - 18 dan y = - 1 ½
b. Panjang Vektor
Misal a
ub
, maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus
2 2u a b
Untuk 1 1
( , )A x y dan 2 2
( , )B x y maka panjang vector
2 2
2 1 2 1: ( ) ( )AB AB x x y y
Misal vector u = li + mj + nk atau
Panjang vector satuan dari u adalah 1. Vektor satuan biasa disebut dengan e ditentukan
dengan
Contoh :
Diketahui
Tentukan Vektor satuan v
Bab 20
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
135
Jawab :
Vektor satuan v adalah
c. Perkalian vector dengan scalar.
a. Secara geometris.
Jika k R dan u suatu vector , maka perkalian vector u dengan bilangan real k
ditulis sebagai c k u . Panjang vector c dama dengan k kali panjang vector u
- Jika k > 0 , maka vector c searah dengan vector u
- Jika k < 0 , maka vector c berlawanan arah dengan vector u
b. Secara Non Geometris
Jika k R dan a
ub
maka a ka
k u kb kb
Contoh :
Jika 3 1 -5
, dan c=2 0 4
a b , Tentukan panjang u = a + b - c
Jawab :
u = a + b – c
= 3 1 -5 9
-2 0 4 6
2 29 ( 6) 117 3 13u
d. Besar Suatu Vektor Hasil Penjumlahan Dan Pengurangan
i) Jika a
ub
dan c
vd
, maka 2 2
( ) ( )a c
u v u v a c b db d
ii) Jika a
ub
dan c
vd
, maka 2 2
( ) ( )a c
u v u v a c b db d
iii)
2 2
2 cosu v u v u v
2 2
2 cosu v u v u v
iv)
v u v u v
u
- v
u
u-v
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
136
e. Arah Suatu Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
Arah suatu vector hasil penjumlahan.
sin sin( ) sin
u v u v
Arah suatu vector hasil pengurangan
sin sin( ) sin
u v u v
Contoh :
Diketahui , maka besar sudut antara
vector a dan b adalah ….
f. Rumus Pembagian Ruas Garis
Jika O adalah sutu titik yang diketahui dan P adalah titik pada ruas garis AB sehingga
AP : PB = m : n, maka :
nOA mOB na mbOP p
m n m n
Jika P adalah titik tengah dari ruas garis AB maka :
1 1( ) ( )
2 2O P O A O B p a b
Jika 1 1 2 2
( , ), ( , ), ( , )p p
A x y B x y P x y terletak pada ruas garis AB , sehingga AP : PB = m :
n, maka :
1 2 1 2 dan p p
nx mx ny myx y
m n m n
Jika P titik tengah ruas garis AB, maka :
v u v u v
u
B
m
A
P
n
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
137
1 2 1 2
1 1( ) dan (
2 2p px x x y y y
Sebuah titik P disebut membagi AB didalam dengan perbandingan m : n, Jika AP : PB
= m : n dengan m > 0 dan n > 0
Sebuah titik P disebut membagi AB diluar dengan perbandingan m : n, Jika AP : PB =
m : - n dengan m > 0 dan n > 0
g. Perkalian vector
. . cosa b a b .
, ( , )a b
cos a ba b
= 1 1 2 2 3 3. . .a b a b a b
Jika ( ) .0
90 a b a b 0
lancip maka .a b 0
tumpul maka .a b 0
h. Proyeksi Vektor
Vektor c hasil proyeksi a pada b
Proyeksi scalar .a b
cb
Proyeksi vector 2
..
a bc b
b
Hubungan antar Vektor :
a. Jika vector u dan v kolinear ( segaris ) maka u = m v
a
b
c
A
P
- n
m
B
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
138
Titik A , B dan C dikatakan segaris Kolinear jika AB = m BC dengan m scalar /
bilangan real
b. Vektor u , v dan w bukan vector nol, tidak kolinear dikatakan coplanar ( sebidang )
dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m dan n , sedemikian
sehingga w = mu + nv
SOAL LATIHAN :
1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = …. a. 1200 b. 900 c. 600 d.450 e.300
2. Diketahui 2a , 9b , 5ba . Besar sudut antara vector a dan vector b
adalah …. a. 450 b.600 c.1200 d.13500 e.1500
3. Besar sudut antara
4
2
3
a dan
3
3
2
b adalah ….
a. 180° b.90° c.60° d.30° e.0°
4. Jika 2a , 3b , dan sudut ( b,a ) = 120°, maka ....b2a3
a. 5 b.6 c.10 d.12 e.13
5. Diketahui 3a , 1b , 1ba . Panjang vector a + b = ….
a. 3 b. 5 c. 7 d.2 2 e.3
6. Diketahui 6a , ( a – b )( a + b ) = 0, dan a ( a – b )=3. Besar sudut antara vector a dan
b adalah ….
a. 6
b.4
c.3
d.2
e.3
2
7. Garis g melalui A(2, 4, -2 ) dan B(4, 1, -1 ) , sedang garis h melalui C(7, 0, 2) dan D(8,
2, -1). Besar sudut antara g dan h adalah …
a. 00 b. 0
30 c. 045 d. 0
60 e. 090
8. Segitiga ABC dengan koordinat A(2,1,4) ,B(-1, 2, 3) dan c(1, -1 , 2) . Nilai sin CAB =
…
a. 1
10910
b.1 0
1 1 c.
1110
11 d.
1109
11 e.
1110
10
9. Jika 2 7a b dan a.b = 4 maka ...a b
a. 2 7 b. 2 6 c. 2 3 d. 2 5 e. 2 2
10. Bila sudut antara 2 4 4 dan 3 5a i j k q i j k maka cos =…
a. 3
7 b.
5
21 c.
8
21 d.
5
23 e.
38
48
11. Besar sudut antara vector adalah ……
a. 6
b. 4
c.3
d.2
e.3
2
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
139
12. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal ____
AB
pada ____
AC adalah ….
a. kj b. ki c. ji d. kji2
1 e. ji2
1
13. Diketaui vector kjia 443 , kjib 32 , dan kjic 534 . Panjang proyeksi
vector cba pada )( adalah ….
a. 3 2 b.4 2 c.5 2 d.6 2 e.7 2
14. Diketahui (2, 1,1), ( 1,1, 1)u v Vektor w yang panjangnya 1, tegak lurus pada u
dan tegak lurus pada v adalah …
a. (0, 0, 1) b. 2 2
(0, , )2 2
c. 2 2
(0, , )2 2
d. 2 1 2
( , , )3 3 3
e. 2 1 2
( , , )3 3 3
15. Jika w adalah vector proyeksi orthogonal dari vector
4
3-
2
v terhadap vector
1-
2
1-
u ,
maka w =….
a.
3
1-
1
b.
2-
1-
0
c.
2
1
0
d.
2
4-
2
e.
2-
4
2-
16. Diketahui vector
2
x
1
a ,
1-
1
2
b , dan proyeksi a pada b adalah 6
2. Sudut antara a
dan b adalah α, maka cos α = ….
a. 63
2 b.
3
1 c.
3
2 d.
6
2 e.
3
6
17. Rasio sustu deret geometri tak hingga adalah , suku pertama deret
itu merupakan hasil kali scalar vector dan . Jumlah
deret geometri tak berhingga tersebut = …
a. b. c. d. 2 e. 4
18. Panjang proyeksi orthogonal vector kjpia 3 , pada vector kpjib 2 3
adalah 3
2. Nilai p = ….
a. 3 b.2 c.3
1 d.– 2 e.– 3
19. Diketahui koordinat titik A (3, 5, 2) , B(-1, 0, 3) dan C ( 4, -2 , -5) . Jika Z merupakan
titik berat segitiga ABC , maka koordinat titik Z sdalah ….
a. ( 2 , -1 , 0) b. ( 2 , 1 , 0) c. ( 2 , 1 , 1) d. ( 1 , 2 , 1) e. ( 1 , 0
, 2)
20. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C (7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris ( koliner ) perbandingan
AB : BC = ….
a. 1 : 2 b.2 : 1 c.2 : 5 d.5 : 7 e.7 : 5
21. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1
: 3. Panjang ____
PB = ….
a. 15 b. 81 c. 90 d. 121 e. 153
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
140
22. Dalam Δ ABC, diketahui P titik berat Δ ABC dan Q titik tengah AC. Jika uCA dan vCB ,
maka PQ = ….
a. u-v3
1 b. u
3
1-v c. u
6
1-v
3
1 d. v
3
1-u
6
1 e. v
3
1u
6
1
23. Titik A ( 3,2,–1 ), B ( 1, –2, 1 ), dan C ( 7,p – 1, –5 ) segaris untuk nilai p = …. a. 13 b.11 c.5 d.– 11 e.– 13
24. Diketahui vector kjiu 642 dan kjiv 422 . Proyeksi vector orthogonal u pada
v adalah
a. kji 1284 b. kji 844 c. kji 422
b. d. kji 32 e. kji 2
25. Jika A(-1, 5, 4) , B(2, -1, -2) , C(3, p, q) terletak pada satu garis lurus , maka nilai p dan
q berturut-turut adalah …
a. –3 dan –4 b. –1 dan –4 c. –3 dan 0 d. –1 dan 0 e. 3 dan
0
26. Jika sudut antara a dan b adalah 060 dan 2a dan 5b maka nilai a.(a+b) = …
a. 5 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
27. Jika
1 1 0
1 , 2 , 4
1 1
a b c
x
dan a.(b+c)=a.a. Nilai x adalah …
a. –11 b. –10 c. 8 d. 10 e. 11
28. Diketahui Balok OABC.DEFG dengan OA=a , OD = d dan OC = c , K perpotongan
antara DF dan GE dan L perpotongan antara BE dan AF, maka vector KL = …
a. 1
( )2
a d b. 1
( )2
a d c. 1
( )2
c d d. 1
( )2
c d e.
1( )
2a c
29. Jika 4, 6a b dan sudut antara a dan b adalah 60 0 , maka nilai a b
a. 1
132
b. 13 c. 11
132
d. 2 19 e. 3 13
30. Jika diketahui 3 2p i j k dan 3 5q i j k , maka ( ).( )p q p q adalah ….
a. 13 b. 2 3 c. 2 3 d. –11 e. –21
31. Jika 2, . 4a a b dan sudut antara a dan b sama dengan 1
4, maka ...b
a. 4 2 b. 3 2 c. 2 2 d. 2 e. 1
22
32. Ditentukan 2 3a i j xk dan 4 5b i j k . Jika a tegak lurus b , maka nilai x
adalah …
a. 1 b. 2 c. –1 d. –2 e. 0
33. Diketahui vector dan vector , jika proyeksi scalar orthogonal vector u
pada arah vector v sama dengan setengah panjang vector v, maka nilai p adalah …
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
141
a. -4 atau -2 b. -4 atau 2 c. 4 atau -2 d. 8 atau -1 e. -8 atau 1
Soal – soal vector Ujian Nasional
Materi Pokok : Sudut antara dua vektor
1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = ….
a. 1200
b. 900
c. 600
d. 450
e. 300
2. Diketahui 2a , 9b , 5ba . Besar sudut antara vector a dan vector b
adalah ….
a. 450
b. 600
c. 1200
d. 13500
e. 1500
3. Besar sudut antara
4
2
3
a dan
3
3
2
b adalah ….
a. 180°
b. 90°
c. 60°
d. 30°
e. 0°
4. Jika 2a , 3b , dan sudut ( b,a ) = 120°, maka ....b2a3
a. 5
b. 6
c. 10
d. 12
e. 13
5. Diketahui 3a , 1b , 1ba . Panjang vector a + b = ….
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
142
a. 3
b. 5
c. 7
d. 2 2
e. 3
6. Diketahui 6a , ( a – b )( a + b ) = 0, dan a ( a – b )=3. Besar sudut antara vector a dan
b adalah ….
a. 6
b. 4
c. 3
d. 2
e. 3
2
Materi Pokok : Proyeksi vector
7. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal ____
AB
pada ____
AC adalah ….
a. kj
b. ki
c. ji
d. kji
2
1
e. ji
2
1
8. Diketahui vector kjia 443 , kjib 32 , dan kjic 534 . Panjang proyeksi
vector cba pada )( adalah ….
a. 3 2
b. 4 2
c. 5 2
d. 6 2
e. 7 2
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
143
9. Diketahui vector kjiu 642 dan kjiv 422 . Proyeksi vector orthogonal u pada
v adalah ….
a. kji 1284
b. kji 844
c. kji 422
d. kji 32
e. kji 2
10. Jika w adalah vector proyeksi orthogonal dari vector
4
3-
2
v terhadap vector
1-
2
1-
u ,
maka w =….
a. 3
1-
1
b. 2-
1-
0
c. 2
1
0
d. 2
4-
2
e. 2-
4
2-
11. Diketahui vector
2
x
1
a ,
1-
1
2
b , dan proyeksi a pada b adalah 6
2. Sudut antara a
dan b adalah α, maka cos α = ….
a. 63
2
b. 3
1
c. 3
2
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
144
d. 6
2
e. 3
6
12. Panjang proyeksi orthogonal vector kjpia 3 , pada vector kpjib 2 3
adalah 3
2. Nilai p = ….
a. 3
b. 2
c. 3
1
d. 2
e. 3
Materi Pokok : Perbandingan garis
13. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C (7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris ( koliner ) perbandingan
AB : BC = ….
a. 1 : 2
b. 2 : 1
c. 2 : 5
d. 5 : 7
e. 7 : 5
14. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1
: 3. Panjang ____
PB = ….
a. 15
b. 81
c. 90
d. 121
e. 153
15. Dalam Δ ABC, diketahui P titik berat Δ ABC dan Q titik tengah AC. Jika uCA dan vCB ,
maka PQ = ….
a. u-v
3
1
b. u
3
1-v
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
145
c. u
6
1-v
3
1
d. v
3
1-u
6
1
e. v
3
1u
6
1
16. Titik A ( 3,2,–1 ), B ( 1, –2, 1 ), dan C ( 7,p – 1, –5 ) segaris untuk nilai p = ….
a. 13 b.11 c.5 d.11 e.13
Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q (2, -3, 2), dan R(-1, 0, 2). Besar sudut
PRQ=………
a. 120º b. 90º c. 60º d. 45º e. 30º
Jawab :
= Q - R = (3, -3, 0)
= P – R = (1, 1, 2)
. =
3 – 3 +3 =
0 =
90º =
2. Diketahui = , = , = . Besar sudut antara vektor dan vector adalah ……
a. 45º b. 60º c. 120º d. 135º e. 150º
Jawab :
( ( =
+ + 2. + = 5
2 + (2 = -6
= =
GOD IS MY SAFIOR
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
146
= 135º
3. Besar sudut antara dan adalah……
a. 180º b. 90º c. 60º d. 30º e. 0º
Jawab:
Cos =
=
=
=
Cos = 0
= 900
4. Jika =2, =3, dan sudut ( )= 1200, maka = . . . .
a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13
( (
5. Diketahui , panjang vector
a. b. c. d. e. 3
Jawab:
- 2
1 = 3 + 1 - 2
=
6. Diketahui ( .( dan ( Besar sudut antara vector dan
adalah . . .
a. b. c. d. e.
Jawab:
6 – (6 . ) = 3
- 6 . = -3
=
=
7. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0), dan C(0, 2, 2).Proyeksi
Orthogonal pada adalah. . .
a. b. c.- d. e.-
Jawab:
= B – A = (2, 2, 0)
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
147
= C – A = (0, 2, 2)
=
= . (0, 2, 2)
= (0, 1, 1)
8. Diketahui vector = 3 , 2 .Panjang
Proyeksi vector (
a. b. c. d.6 e. 7
Jawab:
( = (5 ,-5, -1)
= (4, -3, 5)
I I =
=
= .
= = 3
9. Diketahui vector
pada adalah . . .
a. b. c.
d. e.
Jawab:
= .
= = .
= .
= .
=2 . =
10.Jika adalah vector proyeksi orthogonal dari vector = terhadap vector =
,maka = …
a. b. c.
d. e.
Jawab:
.
= . (-1, 2, -1)
= (-1, 2, -1)
= (2, -4, 2)
11. diketahui vector = , , dan proyeksi pada adalah . Sudut antara dan