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1
1.1 DEFINICIÓN 1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO 1.3 IGUALDAD 1.4 OPERACIONES
Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de 2IR . Pero el interés ahora es ser más generales.
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1.1 DEFINICIÓN
Un vector de nIR es un conjunto ordenado de n números reales, los cuales son llamados componentes. Lo denotaremos de la siguiente manera:
( )1 2, , , nv x x x→
=
Si el vector tiene dos componentes, un par ordenado ( ),x y , será un
vector de 2IR .
Si el vector tiene tres componentes, un terna ordenada ( ), ,x y z , será
un vector de 3IR .
Considerar a los vectores de 2IR como pares ordenados o a los
vectores de 3IR como ternas ordenadas, nos permite obtener sus propiedades
algebraicas, pero existen otras que resultan cuando se define una representación del vector en el plano cartesiano o en el sistema tridimensional.
1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO
Un vector de 2IR se lo representa en el Plano Cartesiano como un
segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos ( )111 , yxP y ( )222 , yxP . Si trazamos un segmento de recta dirigido desde 1P hacia 2P
tenemos una representación del vector
( )121221 , yyxxPPv −−==⎯→⎯→
x
y
( )1 1 1,P x y
( )2 2 2,P x y
1 2v PP→
=
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Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el plano cartesiano. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.
Surgen características importantes cuando obtenemos una representación geométrica de un vector. Características como la longitud del segmento de recta, la medida de la inclinación de este segmento y hacia donde apunta la flecha que se ubica este segmento.
1.2.1 MAGNITUD O NORMA
Sea ( )yxv ,=→
un vector de 2IR . La magnitud o norma de
→
v denotada como →
v , se define como:
22 yxv +=→
Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen.
Para ( )1212 , yyxxv −−=→
sería ( ) ( )2122
12 yyxxv −+−=→
x
y
( ),v x y→
=
θ
v→
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1.2.2 DIRECCIÓN
La dirección de ( )yxv ,=→
está definida por la medida del ángulo de inclinación de la línea de acción del segmento de recta; es decir, por el ángulo θ . Observe que:
arctan yx
θ =
Si el ángulo θ es medido en sentido antihorario se dirá que tiene dirección positiva, caso contrario se lo considera negativo.
Para ( )1212 , yyxxv −−=→
sería 2 1
2 1
arctan y yx x
θ −=
−
1.2.3 SENTIDO
El sentido de ( )yxv ,=→
lo define la flecha dibujada sobre el segmento de recta.
Para ( )212112 , yyxxPPv −−==⎯→⎯→
tenemos:
x
y
( )1 1 1,P x y
( )2 2 2,P x y
2 1v P P→
=
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La representación Geométrica para un vector de 3IR sería análoga a
2IR . Suponga que se tienen los puntos ( )1111 ,, zyxP y ( )2222 ,, zyxP .
Si trazamos un segmento de recta dirigido desde 1P hacia 2P tenemos una
representación del vector ( )1 2 2 1 2 1 2 1, ,v PP x x y y z z→ ⎯⎯→
= = − − −
Su representación con punto de partida el origen sería:
La magnitud o norma de ( )zyxv ,,=→
se define como:
222 zyxv ++=→
x
y
z
→
v
( )zyxP ,,
x
y
z
→
v
( )1111 ,, zyxP =
( )2222 ,, zyxP =
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Para ( )121212 ,, zzyyxxv −−−=→
sería:
( ) ( ) ( )2
12
2
12
2
12 zzyyxxv −+−+−=→
La dirección de ( )zyxv ,,=→
está definida por la medida de los ángulo que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes x , y , z
Los ángulos α , β y γ son llamados Ángulos Directores.
Observe que:
222 zyxx
v
xCos++
==→
α
222 zyxy
v
yCos++
==→
β
222 zyxz
v
zCos++
==→
γ
αβ
γ
x
y
z
→
v
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Ejercicio.
Demostrar que 1coscoscos 222 =++ γβα
Para más dimensiones no disponemos de interpretación geométrica.
Pero podemos hacer generalizaciones.
Si ( )1 2 3, , , , nv x x x x→
= … , entonces la
norma del vector v→
se define como:
2 2 2 21 2 3 nv x x x x
→
= + + + +…
1.3 IGUALDAD
Sean ( )1 1 2 3, , , , nv x x x x→
= … y ( )2 1 2 3, , , , nv y y y y→
= …
vectores de nIR . Entonces 1 2v v→ →
= , si y sólo si: ( ) ( ) ( ) ( )nn yxyxyxyx =∧∧=∧=∧= …332211
1.4 OPERACIONES 1.4.1 SUMA Y RESTA
Sean →
1v y →
2v dos vectores de nIR tales que
( )1 1 2, , , nv x x x→
= y ( )2 1 2, , , nv y y y→
= , Entonces:
1. La suma de →
1v con →
2v , denotada como →→
+ 21 vv , se define como:
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( )1 2 1 1 2 2, , , n nv v x y x y x y→ →
+ = + + +
2. La resta de →
1v con →
2v , denotada como
1 2v v→ →
− , se define como:
( )1 2 1 1 2 2, , , n nv v x y x y x y→ →
− = − − −
Ejemplo
Sean ( )1 5, 2,1V→
= − y ( )2 3,0, 2V→
= − , dos vectores de 3IR , hallar 1 2V V→ →
+ y 1 2V V→ →
− SOLUCIÓN: Sumando algebraicamente las respectivas componentes tenemos:
( )1 2 5 3, 2 0, 1 ( 2)V V→ →
+ = − + + + − )1,2,2( −−=
( ) ( )1 2 5 3, 2 0, 1 ( 2) 8, 2,3V V→ →
− = − − − − − = −
1.4.1.1 ENFOQUE GEOMÉTRICO Sea la representación que se muestra a continuación para los vectores
( )111 , yxv =→
y ( )222 , yxv =→
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Considerando una representación equivalente de →
2v de tal forma que
esté ubicado a continuación de →
1v
Definiendo el vector ( )333 , yxv =→
, observe la figura anterior:
Ahora tenemos que ( ) ( ) ( )113313132 ,,, yxyxyyxxv −=−−=→
Por tanto →→→
−= 132 vvv ; es decir:
→→→
+= 123 vvv
El vector de la diagonal mayor del paralelogramo que sustentan lo
vectores →
1v y →
2v es el vector suma de →
1v con →
2v .
Por otro lado, definamos el vector 4v→
, observe la figura:
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( ) ( ) ( )→→→
−=−=−−= 12112212124 ,,, vvyxyxyyxxv
El vector de la diagonal menor del paralelogramo que sustentan lo
vectores →
1v y →
2v es el vector diferencia.
PREGUNTA: ¿Cómo se representaría →→
− 21 vv ?.
Para 3IR , el asunto es análogo
1.4.1.2 PROPIEDADES
Sean →
1v , →
2v y →
3v vectores de nIR , entonces:
1. →→→→
+=+ 1221 vvvv la suma es conmutativa
2. →→→→→→
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++ 321321 vvvvvv la suma es
asociativa
3. 0 nIR→
∃ ∈ , nv IR→
∀ ∈ tal que →→→
=+ vv 0 .
x
y
z
( )1111 ,, zyxv =→
( )2222 ,, zyxv =→
→
→ +2
1
vv
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Donde ( )0 0,0, ,0→
= es llamado Vector Neutro
4. nv IR→
∀ ∈ , nv IR→⎛ ⎞∃ − ∈⎜ ⎟
⎝ ⎠ tal que
→→→
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−+ 0vv
Donde ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−
→
v es llamado Vector Inverso Aditivo de →
v
1.4.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR
Sea IRα ∈ y sea ( )1 2, , , nv x x x→
= un vector de nIR . Entonces:
( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,n nv x x x x x xα α α α α→
= = Ejemplo 1
Sea ( )5, 2,1v→
= − un vector de 3IR , hallar 3 v→
SOLUCIÓN:
( ) ( )3 3 5, 2,1 15,6,3v→
= − = − Ejemplo 2
Sean 1v→
y 2v→
dos vectores de 3IR tales que: ( )1 3,0, 2v→
= − y 2 ( 5, 2,1)v→
= − .
Hallar el vector 1 22 3v v v→ → →
= − SOLUCIÓN:
( ) ( )
( )
1 22 3
6,0, 4 15,6,3
21, 6, 7
v v v
v
v
→ → →
→
→
= −
= − − −
= − −
1.4.2.1 ENFOQUE GEOMÉTRICO
Si R∈α y 2v IR→
∈ o 3v IR→
∈ , entonces:
1. Si 1>α , el vector →
vα representa un vector de mayor
magnitud que →
v
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2. Si 10 <<α el vector →
vα representa un vector de
menor magnitud que →
v
3. Si 1−<α el vector →
vα representa un vector de mayor
magnitud y de sentido contrario que →
v
4. Si 01 <<− α el vector →
vα representa un vector de
menor magnitud y de sentido contrario que →
v
1.4.2.2 PROPIEDADES
1. 1 2 1 2 1 2, , nIR v v IR v v v vα α α α→ → → → → →⎡ ⎤⎛ ⎞∀ ∈ ∀ ∈ + = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
2. ( ), , nIR v IR v v vα β α β α β→ → → →⎡ ⎤∀ ∈ ∀ ∈ + = +⎢ ⎥⎣ ⎦
3. ( ), , nIR v IR v vα β α β αβ→ → →⎡ ⎤⎛ ⎞∀ ∈ ∀ ∈ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
4. , nIR v IR v vα α α→ → →⎡ ⎤∀ ∈ ∀ ∈ =⎢ ⎥⎣ ⎦
1.4.2.3 VECTORES UNITARIOS
Un vector u→
es UNITARIO si y sólo sí su
norma es igual a 1 , es decir: 1u→
=
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Ejemplo
El vector ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
→
21
21 ,u es unitario porque
122
21
21
2
21
2
21 ==+=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
→u
Un vector v→
puede ser expresado de la forma v v u→ → →
= por tanto
vuv
→→
→=
Ejemplo
Hallar un vector unitario u→
para el vector (1, 2,3)v→
= SOLUCIÓN:
Aplicando la fórmula vuv
→→
→= tenemos:
(1, 2,3)14
1 (1, 2,3)141 2 3, ,14 14 14
u
u
u
→
→
→
=
=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
comprobando
1 4 914 14 141414
1
u
u
u
→
→
→
= + +
=
=
1.4.2.4 VECTORES PARALELOS
Sean 1v→
y 2v→
dos vectores de nIR .
Entonces 1v→
y 2v→
son paralelos si y sólo si el uno es múltiplo escalar del otro; es decir:
1 2v k v→ →
= Observe lo siguiente.
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Si ( )1 1 2, , , nv x x x→
= y ( )2 1 2, , , nv y y y→
= ; y si son paralelos entonces
( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
, , , , , ,
, , , , , ,n n
n n
v k vx x x k y y y
x x x ky ky ky
→ →
=
=
=
Por igualdad de vectores
1 1 2 2 n nx ky x ky x ky= ∧ = ∧ ∧ =
o también
1 2
1 2
n
n
xx x ky y y= = = =
Se concluye que, cuando los vectores son paralelos, existe
proporcionalidad entre sus componentes.
Ejemplo
El vector ( )2,31 −=→v es paralelo al vector ( )4,62 −=
→v porque
→→= 12 2 vv o también
porque 224
36
=−−
=
Por otro lado. Note que cualquier vector de 2IR , ( )yxv ,=→
, puede ser
expresado en términos de los vectores ( )0,1=→
i y ( )1,0=→
j
( ) ( ) ( )
→→
→
+=
+==
jyix
yxyxv 1,00,1,
Es decir, tenemos otra representación algebraica del vector.
Ejemplo
El vector ( )3,2 −=→v puede ser expresado de la forma jiv 32 −=
→
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Un vector de 3IR , ( )zyxv ,,=→
, puede ser expresado en término de
los vectores ( )0,0,1=→
i , ( )0,1,0=→
j y ( )1,0,0=→
k
( ) ( ) ( ) ( )
→→→→
→
++=
++==
kzjyixv
zyxzyxv 1,0,00,1,00,0,1,,
Ejemplo
El vector ( )2, 5,3v→
= − también se lo puede denotar de la forma 2 5 3v i j k→
= − +
Con lo anterior surge la siguiente definición
1.4.2.5 COMBINACIÓN LINEAL
Sean 1 2 3, , , , nv v v v→ → → →
vectores de nIR . Una Combinación Lineal de estos vectores es una expresión de la forma:
1 1 2 2 3 3 n na v a v a v a v→ → → →
+ + + +…
donde 1 2 3, , ,..., na a a a IR∈ Observe que el resultado de la combinación lineal es otro vector de
nIR .
Ejemplo
Con los vectores ( )3,11 =→v y ( )2,52 =
→v al formar la siguiente combinación lineal
→→− 21 23 vv tenemos:
( )
( ) ( )( )5,7
4,109,32,52)3,1(323 21
−=−=−=−
→→vv
El resultado el vector ( )5,7−=→v
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También puede ser posible expresar un vector en combinación lineal de otros vectores.
Ejemplo
Exprese y encuentre la combinación lineal del vector ( )9,7=→v en términos de
( )3,21 =→v y ( )1,12 =
→v
SOLUCIÓN:
La combinación lineal ( )9,7=→v en términos de ( )3,21 =
→v y ( )1,12 =
→v sería:
( ) ( ) )1,1(3,29,7
21
βαβα+=
+=→→→vvv
Ahora, el objetivo sería determinar el valor de α y β .
⎩⎨⎧
=+=+
9372
βαβα
Resolviendo el sistema, obtenemos: 2=α y 3=β
Por tanto:
( ) ( ) )1,1(33,229,7
21
+=+=
→→→vvv βα
Ejercicios propuestos 1.1
1. Sean ( ) ( ) ( )1, 2,3 , 3,2,5 , 2, 4,1u v w→ → →
= − = − = − . Calcular:
a) u v→ →
− c) u w v→ → →
− −
b) 3 5v w→ →
+ d) 2 4 7u v w→ → →
− +
2. Dados los vectores 1 2 33,4, 2 3,4, 6 4, 1,5v v v→ → →
= − − = − = − . Halle un vector 4v→
tal
que ( )1 2 3 4 1,4,5v v v v→ → → →
+ + + = −
a) 8,3,5 −−− b) 8,3,5 −− c) 8,3,5 −−
d) 8,3,5 −− e) 6,3,5 −−−
3. Sean los vectores de 3R , ( )1 2, 3,4v→
= − , ( )2 2,3, 1v→
= − , ( )3 4,8,2v→
= , ( )4 1,0,0v→
= .
Entonces un vector v→
tal que 1 2 3 42v v v v v→ → → → →
− − + = , es:
a) ( )7,17, 4v→
= − b) ( )6,8,9v→
= c) ( )6,8,9v→
=
d) ( )7,17,4v→
= − e) ( )7, 17, 4v→
= − −
4. Sean los vectores ( )1 1,3,0v→
= , ( )2 2,3,1v→
= ( )4 4, 1, 7v→
= − − , determine los valores de a y b
para que la combinación 3 1 2v a v b v→ → →
= + sea verdadera:
a) 7.320 == ba d) 3
13.314 =−= ba
b) 7.18 −== ba e) Elija esta opción si a y b no existe
c) 7.320 −== ba
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5. Dados los vectores ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31 , 2 , 2 ; 2 , 2 , 0 ; 0 ,1 , 7 ; 2 , 5 , 3v v v v→ → → →
= − = − = = − ,
entonces para que se cumpla que 1 2 31 2 3k v k v k v v→ → → →
+ + = ; el valor de 321 kkk ++ debe ser: a) -2 b) -5 c) -1 d) 5 e) 2
1.4.3 PRODUCTO PUNTO (PRODUCTO ESCALAR)
Sean ( )1 1 2, , , nv x x x→
= y ( )2 1 2, , , nv y y y→
=
vectores de nIR . El producto punto de 1v→
y 2v→
,
denotado como 1 2v v→ →
• , se define como:
( ) ( )1 2 1 2 3 1 2 3
1 2 1 1 2 2 3 3
, , , , , , , ,n n
n n
v v x x x x y y y y
v v x y x y x y x y
→ →
→ →
• = •
• = + + + +
… …
…
Note que el resultado del producto punto es un número real.
Ejemplo 1
Si ( )1 3,1v→
= y ( )2 1, 4v→
= − entonces
( )( ) ( )( )1 2 3 1 1 4 3 4 1v v→ →
• = − + = − + =
Ejemplo 2
Hallar 1 2v v→ →
• para ( )1 3,0, 2v→
= − y 2 ( 5, 2,1)v→
= − SOLUCIÓN:
1 2
1 2
1 2
1 2
(3,0, 2) ( 5, 2,1)
(3)( 5) (0)(2) ( 2)(1)
15 0 2
17
v v
v v
v v
v v
→ →
→ →
→ →
→ →
• = − • −
• = − + + −
• = − + −
• = −
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Ejemplo 3
Sean 1v→
y 2v→
dos vectores de nIR tales que: ( )1 2,1,3, 1v→
= − − y
( )2 3,0, 1, 2v→
= − . Hallar 1 2v v→ →
• SOLUCIÓN:
1 2
1 2
( 2)(3) (1)(0) (3)( 1) ( 1)(2)
11
v v
v v
→ →
→ →
• = − + + − + −
• = −
1.4.3.1 PROPIEDADES
Sean →
1v y →
2v vectores de nIR . Entonces:
1. →→→→
•=• 1221 vvvv El producto escalar es conmutativo
2. 1 2 3 1 2 1 3v v v v v v v→ → → → → → →⎛ ⎞• + = • + •⎜ ⎟
⎝ ⎠ El producto escalar
es distributivo
3. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ •=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛•⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ →→→→
2121 vvvv αββα
Además, si ( )1 2, , , nv x x x→
= entonces
( ) ( ) 2 2 21 2 1 2 1 2, , , , , ,n n nv v x x x x x x x x x
→ →
• = • = + + +
Por lo tanto 2→→→
=• vvv o también →→→
•= vvv
1.4.3.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO
Suponga que θ es el ángulo que forman entre si los vectores →
1v y →
2v .
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Se puede demostrar que:
θcos2121
→→→→
=• vvvv
La demostración escapa de nuestro objetivo; sin embargo, la utilidad de
la última expresión la observamos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Hallar el ángulo θ que forman los vectores ( )3,11 =→v y ( )1,32 −−=
→v
SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad tenemos:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2
34
3222
33
1,33,1
1,33,1cos
21
21 −=
−=
−−=
−
−−•=
•=θ
→→
→→
vv
vv
Por tanto: 6
52
3arccos π=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=θ
Ejercicio Propuesto 1.2
1. Dados los vectores: ( )1 1,2, 1v→
= − y ( )2 2,1,0v→
= el resultado de la operación:
1 2 2 13 2 2v v v v→ → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞− • −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
es: a) 13 b) -39 c) -68 d) 39 e) -13
2. Sean los vectores de 3R , ( )1 1,2,1v→
= − , ( )2 1, 2,1v→
= − − y ( )3 0, 1,0v→
= − . Entonces el valor
de 2
1 2 2 1 2 32 2v v v v v v→ → → → → →⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞• − + •⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
a) ( )0,24,0 − b)-24 c) ( )0,0,24 d)12 e)24
3. Sean 1v→
, 2v→
vectores de 2R , tales que: ( )1 5,2v→
= y ( )2 7, 2v→
= − . Entonces un vector 3v→
tal
que: 1 3 38v v→ →
• = y 3 2 34v v→ →
• = es:
a) ( )3 4,6v→
= b) ( )3 6,9v→
= c) ( )3 6,4v→
=
d) ( )3 6,0v→
= e) ( )3 4,9v→
=
4. Sean 1v→
, 2v→
y 3v→
vectores de 3IR tales que: ( )1 3, 2,1v→
= − , ( )2 5,1,0v→
= − y
( )3 0,4,0v→
= . Entonces al efectuar la operación
2 2
1 1 2 2 3 33 4 6 2v v v v v v→ → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞− • − • −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
se obtiene como resultado: a)54 b)110 c)84 d)184 e)52
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1.4.3.3 VECTORES ORTOGONALES
Sean →
1v y 2v→
dos vectores de nIR . Entonces →
1v y
2v→
son ortogonales si y sólo si 1 2 0v v→ →
• =
Ejemplo
Los vectores 1 (1,2, 1)v→
= − y 2 ( 3,2,1)v→
= − son ortogonales, porque
1 2 (1)( 3) (2)(2) ( 1)(1) 0v v→ →
• = − + + − =
El hecho de que 021 =•→→
vv significa que el ángulo entre ellos tiene
medida de 90 , es decir 2π
=θ . ¿Porqué?
En este caso se dice que →
1v y →
2v son vectores perpendiculares.
Este concepto puede se utilizado en problemas de diseño, como el siguiente:
Ejemplo
Dados los vectores ( )21 1, 2,3v a→
= − y ( )252, , 24v a
→
= − − , encontrar los valores
de " a " para que sean ortogonales. SOLUCIÓN:
Para que 1v→
y 2v→
sean ortogonales se debe cumplir que 1 2 0v v→ →
• = , entonces
( )2 25 51 2 24 81, 2,3 ( 2, , ) 2 2 2v v a a a a→ →
• = − • − − = − + − + por lo tanto
43
47
0211616
0222
8212
=∨−=
=−+
=+−−
aa
aa
aa
Moisés Villena Muñoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32 …
21
1.4.3.4 VECTORES ORTONORMALES
Los vectores 1 2 3, , , , nv v v v→ → → →
de nIR son ORTONORMALES si y sólo si:
1
0
i j
i j
v v cuando i j
v v cuando i j
→ →
→ →
⎧ • = =⎪⎨⎪ • = ≠⎩
Es decir, un conjunto de vectores es ortonormal si y sólo si está constituido por vectores que son unitarios y ortogonales a la vez.
Ejemplo 1
Los vectores ( )0,1=i y ( )1,0=j son ortonormales porque 1=i , 1=j y 0=• ji
Ejemplo 2 Los vectores )1,0,0(ˆ,)0,1,0(ˆ,)0,0,1(ˆ === kji son ortonormales, porque
0=•=•=• kjkiji y además 1=== kji
Ejercicios Propuestos 1.3
1. Sean 1v→
y 2v→
vectores en 3IR , tales que 1 2,1,1v→
= y 2 1,1,1v→
= . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA identifíquela:
a) 1v→
y 2v→
son ortogonales.
b) 1v→
y 2v→
son paralelos.
c) 2 12 3 3 2v v→ →
− =
d) 2 12 3 1,0, 1v v→ →
− = −
e) 2 12 3 3v v→ →
− =
2. Sea los vectores de: ( )1 , 3, 1v k k→
= − y ( )2 3, 1,v k→
= − . Determine los valores de k tales que
1v→
y 2v→
sean ORTOGONALES. a)3 y 1 b)3 y -1 c)-3 y -1 d)-3 y 1 e)0 y -3
Moisés Villena Muñoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32 …
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3. La SUMA DE LOS VALORES de " a " que hacen que los vectores 1 1 ,3 ,1v a a→
= − y
2 , 1,3v a→
= − SEAN ORTOGONALES, es: a)-3 b)-1 c)-2 d) 0 e) 3
4. Sean los vectores ( ) ( )1, 2,3 , 4, 1,2A B→ →
= − = − y ( )2,0, 3C→
= − encontrar el valor de t , tal que
A t B→ →
+ sea ortogonal a C→
.
5. Si se tienen los vectores ( )1 1, 2, 0v→
= − y ( )2 1, 2 , 3v b a→
= − − , si 1v→
y 2v→
son ortogonales y
1 232 , 1,2
v v a a→ → ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟
⎝ ⎠, entonces los valores de a y b , respectivamente son:.
a) 2 y 23 b)
21 y -2 c) -1 y
21 d) -
21 y -1 e) -
21
y 1
6. Sean 1 2,v v→ →
y 3v→
vectores de 3R tales que: ( )1 3,1,2v→
= , ( )2 2,1, 1v→
= − y 3 1 22v b v v→ → →
= + .
Entonces el VALOR de “ b ” para que 3v→
sea ortogonal a 2v→
es:
a) 75− b) 7
2− c) 512 d) 12
5− e) 512−