Vectores

Moisés Villena Muñoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32 …

1

1

1.1 DEFINICIÓN 1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO 1.3 IGUALDAD 1.4 OPERACIONES

Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de 2IR . Pero el interés ahora es ser más generales.


2

1.1 DEFINICIÓN

Un vector de nIR es un conjunto ordenado de n números reales, los cuales son llamados componentes. Lo denotaremos de la siguiente manera:

( )1 2, , , nv x x x→

=

Si el vector tiene dos componentes, un par ordenado ( ),x y , será un

vector de 2IR .

Si el vector tiene tres componentes, un terna ordenada ( ), ,x y z , será

un vector de 3IR .

Considerar a los vectores de 2IR como pares ordenados o a los

vectores de 3IR como ternas ordenadas, nos permite obtener sus propiedades

algebraicas, pero existen otras que resultan cuando se define una representación del vector en el plano cartesiano o en el sistema tridimensional.

1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO

Un vector de 2IR se lo representa en el Plano Cartesiano como un

segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos ( )111 , yxP y ( )222 , yxP . Si trazamos un segmento de recta dirigido desde 1P hacia 2P

tenemos una representación del vector

( )121221 , yyxxPPv −−==⎯→⎯→

x

y

( )1 1 1,P x y

( )2 2 2,P x y

1 2v PP→

=


3

Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el plano cartesiano. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.

Surgen características importantes cuando obtenemos una representación geométrica de un vector. Características como la longitud del segmento de recta, la medida de la inclinación de este segmento y hacia donde apunta la flecha que se ubica este segmento.

1.2.1 MAGNITUD O NORMA

Sea ( )yxv ,=→

un vector de 2IR . La magnitud o norma de

→

v denotada como →

v , se define como:

22 yxv +=→

Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen.

Para ( )1212 , yyxxv −−=→

sería ( ) ( )2122

12 yyxxv −+−=→

x

y

( ),v x y→

=

θ

v→


4

1.2.2 DIRECCIÓN

La dirección de ( )yxv ,=→

está definida por la medida del ángulo de inclinación de la línea de acción del segmento de recta; es decir, por el ángulo θ . Observe que:

arctan yx

θ =

Si el ángulo θ es medido en sentido antihorario se dirá que tiene dirección positiva, caso contrario se lo considera negativo.

Para ( )1212 , yyxxv −−=→

sería 2 1

2 1

arctan y yx x

θ −=

−

1.2.3 SENTIDO

El sentido de ( )yxv ,=→

lo define la flecha dibujada sobre el segmento de recta.

Para ( )212112 , yyxxPPv −−==⎯→⎯→

tenemos:

x

y

( )1 1 1,P x y

( )2 2 2,P x y

2 1v P P→

=


5

La representación Geométrica para un vector de 3IR sería análoga a

2IR . Suponga que se tienen los puntos ( )1111 ,, zyxP y ( )2222 ,, zyxP .

Si trazamos un segmento de recta dirigido desde 1P hacia 2P tenemos una

representación del vector ( )1 2 2 1 2 1 2 1, ,v PP x x y y z z→ ⎯⎯→

= = − − −

Su representación con punto de partida el origen sería:

La magnitud o norma de ( )zyxv ,,=→

se define como:

222 zyxv ++=→

x

y

z

→

v

( )zyxP ,,

x

y

z

→

v

( )1111 ,, zyxP =

( )2222 ,, zyxP =


6

Para ( )121212 ,, zzyyxxv −−−=→

sería:

( ) ( ) ( )2

12

2

12

2

12 zzyyxxv −+−+−=→

La dirección de ( )zyxv ,,=→

está definida por la medida de los ángulo que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes x , y , z

Los ángulos α , β y γ son llamados Ángulos Directores.

Observe que:

222 zyxx

v

xCos++

==→

α

222 zyxy

v

yCos++

==→

β

222 zyxz

v

zCos++

==→

γ

αβ

γ

x

y

z

→

v


7

Ejercicio.

Demostrar que 1coscoscos 222 =++ γβα

Para más dimensiones no disponemos de interpretación geométrica.

Pero podemos hacer generalizaciones.

Si ( )1 2 3, , , , nv x x x x→

= … , entonces la

norma del vector v→

se define como:

2 2 2 21 2 3 nv x x x x

→

= + + + +…

1.3 IGUALDAD

Sean ( )1 1 2 3, , , , nv x x x x→

= … y ( )2 1 2 3, , , , nv y y y y→

= …

vectores de nIR . Entonces 1 2v v→ →

= , si y sólo si: ( ) ( ) ( ) ( )nn yxyxyxyx =∧∧=∧=∧= …332211

1.4 OPERACIONES 1.4.1 SUMA Y RESTA

Sean →

1v y →

2v dos vectores de nIR tales que

( )1 1 2, , , nv x x x→

= y ( )2 1 2, , , nv y y y→

= , Entonces:

1. La suma de →

1v con →

2v , denotada como →→

+ 21 vv , se define como:


8

( )1 2 1 1 2 2, , , n nv v x y x y x y→ →

+ = + + +

2. La resta de →

1v con →

2v , denotada como

1 2v v→ →

− , se define como:

( )1 2 1 1 2 2, , , n nv v x y x y x y→ →

− = − − −

Ejemplo

Sean ( )1 5, 2,1V→

= − y ( )2 3,0, 2V→

= − , dos vectores de 3IR , hallar 1 2V V→ →

+ y 1 2V V→ →

− SOLUCIÓN: Sumando algebraicamente las respectivas componentes tenemos:

( )1 2 5 3, 2 0, 1 ( 2)V V→ →

+ = − + + + − )1,2,2( −−=

( ) ( )1 2 5 3, 2 0, 1 ( 2) 8, 2,3V V→ →

− = − − − − − = −

1.4.1.1 ENFOQUE GEOMÉTRICO Sea la representación que se muestra a continuación para los vectores

( )111 , yxv =→

y ( )222 , yxv =→


9

Considerando una representación equivalente de →

2v de tal forma que

esté ubicado a continuación de →

1v

Definiendo el vector ( )333 , yxv =→

, observe la figura anterior:

Ahora tenemos que ( ) ( ) ( )113313132 ,,, yxyxyyxxv −=−−=→

Por tanto →→→

−= 132 vvv ; es decir:

→→→

+= 123 vvv

El vector de la diagonal mayor del paralelogramo que sustentan lo

vectores →

1v y →

2v es el vector suma de →

1v con →

2v .

Por otro lado, definamos el vector 4v→

, observe la figura:


10

( ) ( ) ( )→→→

−=−=−−= 12112212124 ,,, vvyxyxyyxxv

El vector de la diagonal menor del paralelogramo que sustentan lo

vectores →

1v y →

2v es el vector diferencia.

PREGUNTA: ¿Cómo se representaría →→

− 21 vv ?.

Para 3IR , el asunto es análogo

1.4.1.2 PROPIEDADES

Sean →

1v , →

2v y →

3v vectores de nIR , entonces:

1. →→→→

+=+ 1221 vvvv la suma es conmutativa

2. →→→→→→

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++ 321321 vvvvvv la suma es

asociativa

3. 0 nIR→

∃ ∈ , nv IR→

∀ ∈ tal que →→→

=+ vv 0 .

x

y

z

( )1111 ,, zyxv =→

( )2222 ,, zyxv =→

→

→ +2

1

vv


11

Donde ( )0 0,0, ,0→

= es llamado Vector Neutro

4. nv IR→

∀ ∈ , nv IR→⎛ ⎞∃ − ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠ tal que

→→→

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−+ 0vv

Donde ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

→

v es llamado Vector Inverso Aditivo de →

v

1.4.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR

Sea IRα ∈ y sea ( )1 2, , , nv x x x→

= un vector de nIR . Entonces:

( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,n nv x x x x x xα α α α α→

= = Ejemplo 1

Sea ( )5, 2,1v→

= − un vector de 3IR , hallar 3 v→

SOLUCIÓN:

( ) ( )3 3 5, 2,1 15,6,3v→

= − = − Ejemplo 2

Sean 1v→

y 2v→

dos vectores de 3IR tales que: ( )1 3,0, 2v→

= − y 2 ( 5, 2,1)v→

= − .

Hallar el vector 1 22 3v v v→ → →

= − SOLUCIÓN:

( ) ( )

( )

1 22 3

6,0, 4 15,6,3

21, 6, 7

v v v

v

v

→ → →

→

→

= −

= − − −

= − −

1.4.2.1 ENFOQUE GEOMÉTRICO

Si R∈α y 2v IR→

∈ o 3v IR→

∈ , entonces:

1. Si 1>α , el vector →

vα representa un vector de mayor

magnitud que →

v


12

2. Si 10 <<α el vector →

vα representa un vector de

menor magnitud que →

v

3. Si 1−<α el vector →

vα representa un vector de mayor

magnitud y de sentido contrario que →

v

4. Si 01 <<− α el vector →

vα representa un vector de

menor magnitud y de sentido contrario que →

v

1.4.2.2 PROPIEDADES

1. 1 2 1 2 1 2, , nIR v v IR v v v vα α α α→ → → → → →⎡ ⎤⎛ ⎞∀ ∈ ∀ ∈ + = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2. ( ), , nIR v IR v v vα β α β α β→ → → →⎡ ⎤∀ ∈ ∀ ∈ + = +⎢ ⎥⎣ ⎦

3. ( ), , nIR v IR v vα β α β αβ→ → →⎡ ⎤⎛ ⎞∀ ∈ ∀ ∈ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

4. , nIR v IR v vα α α→ → →⎡ ⎤∀ ∈ ∀ ∈ =⎢ ⎥⎣ ⎦

1.4.2.3 VECTORES UNITARIOS

Un vector u→

es UNITARIO si y sólo sí su

norma es igual a 1 , es decir: 1u→

=


13

Ejemplo

El vector ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

→

21

21 ,u es unitario porque

122

21

21

2

21

2

21 ==+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

→u

Un vector v→

puede ser expresado de la forma v v u→ → →

= por tanto

vuv

→→

→=

Ejemplo

Hallar un vector unitario u→

para el vector (1, 2,3)v→

= SOLUCIÓN:

Aplicando la fórmula vuv

→→

→= tenemos:

(1, 2,3)14

1 (1, 2,3)141 2 3, ,14 14 14

u

u

u

→

→

→

=

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

comprobando

1 4 914 14 141414

1

u

u

u

→

→

→

= + +

=

=

1.4.2.4 VECTORES PARALELOS

Sean 1v→

y 2v→

dos vectores de nIR .

Entonces 1v→

y 2v→

son paralelos si y sólo si el uno es múltiplo escalar del otro; es decir:

1 2v k v→ →

= Observe lo siguiente.


14

Si ( )1 1 2, , , nv x x x→

= y ( )2 1 2, , , nv y y y→

= ; y si son paralelos entonces

( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

, , , , , ,

, , , , , ,n n

n n

v k vx x x k y y y

x x x ky ky ky

→ →

=

=

=

Por igualdad de vectores

1 1 2 2 n nx ky x ky x ky= ∧ = ∧ ∧ =

o también

1 2

1 2

n

n

xx x ky y y= = = =

Se concluye que, cuando los vectores son paralelos, existe

proporcionalidad entre sus componentes.

Ejemplo

El vector ( )2,31 −=→v es paralelo al vector ( )4,62 −=

→v porque

→→= 12 2 vv o también

porque 224

36

=−−

=

Por otro lado. Note que cualquier vector de 2IR , ( )yxv ,=→

, puede ser

expresado en términos de los vectores ( )0,1=→

i y ( )1,0=→

j

( ) ( ) ( )

→→

→

+=

+==

jyix

yxyxv 1,00,1,

Es decir, tenemos otra representación algebraica del vector.

Ejemplo

El vector ( )3,2 −=→v puede ser expresado de la forma jiv 32 −=

→


15

Un vector de 3IR , ( )zyxv ,,=→

, puede ser expresado en término de

los vectores ( )0,0,1=→

i , ( )0,1,0=→

j y ( )1,0,0=→

k

( ) ( ) ( ) ( )

→→→→

→

++=

++==

kzjyixv

zyxzyxv 1,0,00,1,00,0,1,,

Ejemplo

El vector ( )2, 5,3v→

= − también se lo puede denotar de la forma 2 5 3v i j k→

= − +

Con lo anterior surge la siguiente definición

1.4.2.5 COMBINACIÓN LINEAL

Sean 1 2 3, , , , nv v v v→ → → →

vectores de nIR . Una Combinación Lineal de estos vectores es una expresión de la forma:

1 1 2 2 3 3 n na v a v a v a v→ → → →

+ + + +…

donde 1 2 3, , ,..., na a a a IR∈ Observe que el resultado de la combinación lineal es otro vector de

nIR .

Ejemplo

Con los vectores ( )3,11 =→v y ( )2,52 =

→v al formar la siguiente combinación lineal

→→− 21 23 vv tenemos:

( )

( ) ( )( )5,7

4,109,32,52)3,1(323 21

−=−=−=−

→→vv

El resultado el vector ( )5,7−=→v


16

También puede ser posible expresar un vector en combinación lineal de otros vectores.

Ejemplo

Exprese y encuentre la combinación lineal del vector ( )9,7=→v en términos de

( )3,21 =→v y ( )1,12 =

→v

SOLUCIÓN:

La combinación lineal ( )9,7=→v en términos de ( )3,21 =

→v y ( )1,12 =

→v sería:

( ) ( ) )1,1(3,29,7

21

βαβα+=

+=→→→vvv

Ahora, el objetivo sería determinar el valor de α y β .

⎩⎨⎧

=+=+

9372

βαβα

Resolviendo el sistema, obtenemos: 2=α y 3=β

Por tanto:

( ) ( ) )1,1(33,229,7

21

+=+=

→→→vvv βα

Ejercicios propuestos 1.1

1. Sean ( ) ( ) ( )1, 2,3 , 3,2,5 , 2, 4,1u v w→ → →

= − = − = − . Calcular:

a) u v→ →

− c) u w v→ → →

− −

b) 3 5v w→ →

+ d) 2 4 7u v w→ → →

− +

2. Dados los vectores 1 2 33,4, 2 3,4, 6 4, 1,5v v v→ → →

= − − = − = − . Halle un vector 4v→

tal

que ( )1 2 3 4 1,4,5v v v v→ → → →

+ + + = −

a) 8,3,5 −−− b) 8,3,5 −− c) 8,3,5 −−

d) 8,3,5 −− e) 6,3,5 −−−

3. Sean los vectores de 3R , ( )1 2, 3,4v→

= − , ( )2 2,3, 1v→

= − , ( )3 4,8,2v→

= , ( )4 1,0,0v→

= .

Entonces un vector v→

tal que 1 2 3 42v v v v v→ → → → →

− − + = , es:

a) ( )7,17, 4v→

= − b) ( )6,8,9v→

= c) ( )6,8,9v→

=

d) ( )7,17,4v→

= − e) ( )7, 17, 4v→

= − −

4. Sean los vectores ( )1 1,3,0v→

= , ( )2 2,3,1v→

= ( )4 4, 1, 7v→

= − − , determine los valores de a y b

para que la combinación 3 1 2v a v b v→ → →

= + sea verdadera:

a) 7.320 == ba d) 3

13.314 =−= ba

b) 7.18 −== ba e) Elija esta opción si a y b no existe

c) 7.320 −== ba


17

5. Dados los vectores ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31 , 2 , 2 ; 2 , 2 , 0 ; 0 ,1 , 7 ; 2 , 5 , 3v v v v→ → → →

= − = − = = − ,

entonces para que se cumpla que 1 2 31 2 3k v k v k v v→ → → →

+ + = ; el valor de 321 kkk ++ debe ser: a) -2 b) -5 c) -1 d) 5 e) 2

1.4.3 PRODUCTO PUNTO (PRODUCTO ESCALAR)

Sean ( )1 1 2, , , nv x x x→

= y ( )2 1 2, , , nv y y y→

=

vectores de nIR . El producto punto de 1v→

y 2v→

,

denotado como 1 2v v→ →

• , se define como:

( ) ( )1 2 1 2 3 1 2 3

1 2 1 1 2 2 3 3

, , , , , , , ,n n

n n

v v x x x x y y y y

v v x y x y x y x y

→ →

→ →

• = •

• = + + + +

… …

…

Note que el resultado del producto punto es un número real.

Ejemplo 1

Si ( )1 3,1v→

= y ( )2 1, 4v→

= − entonces

( )( ) ( )( )1 2 3 1 1 4 3 4 1v v→ →

• = − + = − + =

Ejemplo 2

Hallar 1 2v v→ →

• para ( )1 3,0, 2v→

= − y 2 ( 5, 2,1)v→

= − SOLUCIÓN:

1 2

1 2

1 2

1 2

(3,0, 2) ( 5, 2,1)

(3)( 5) (0)(2) ( 2)(1)

15 0 2

17

v v

v v

v v

v v

→ →

→ →

→ →

→ →

• = − • −

• = − + + −

• = − + −

• = −


18

Ejemplo 3

Sean 1v→

y 2v→

dos vectores de nIR tales que: ( )1 2,1,3, 1v→

= − − y

( )2 3,0, 1, 2v→

= − . Hallar 1 2v v→ →

• SOLUCIÓN:

1 2

1 2

( 2)(3) (1)(0) (3)( 1) ( 1)(2)

11

v v

v v

→ →

→ →

• = − + + − + −

• = −

1.4.3.1 PROPIEDADES

Sean →

1v y →

2v vectores de nIR . Entonces:

1. →→→→

•=• 1221 vvvv El producto escalar es conmutativo

2. 1 2 3 1 2 1 3v v v v v v v→ → → → → → →⎛ ⎞• + = • + •⎜ ⎟

⎝ ⎠ El producto escalar

es distributivo

3. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ •=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛•⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ →→→→

2121 vvvv αββα

Además, si ( )1 2, , , nv x x x→

= entonces

( ) ( ) 2 2 21 2 1 2 1 2, , , , , ,n n nv v x x x x x x x x x

→ →

• = • = + + +

Por lo tanto 2→→→

=• vvv o también →→→

•= vvv

1.4.3.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO

Suponga que θ es el ángulo que forman entre si los vectores →

1v y →

2v .


19

Se puede demostrar que:

θcos2121

→→→→

=• vvvv

La demostración escapa de nuestro objetivo; sin embargo, la utilidad de

la última expresión la observamos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Hallar el ángulo θ que forman los vectores ( )3,11 =→v y ( )1,32 −−=

→v

SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad tenemos:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2

34

3222

33

1,33,1

1,33,1cos

21

21 −=

−=

−−=

−

−−•=

•=θ

→→

→→

vv

vv

Por tanto: 6

52

3arccos π=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=θ

Ejercicio Propuesto 1.2

1. Dados los vectores: ( )1 1,2, 1v→

= − y ( )2 2,1,0v→

= el resultado de la operación:

1 2 2 13 2 2v v v v→ → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞− • −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

es: a) 13 b) -39 c) -68 d) 39 e) -13

2. Sean los vectores de 3R , ( )1 1,2,1v→

= − , ( )2 1, 2,1v→

= − − y ( )3 0, 1,0v→

= − . Entonces el valor

de 2

1 2 2 1 2 32 2v v v v v v→ → → → → →⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞• − + •⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

a) ( )0,24,0 − b)-24 c) ( )0,0,24 d)12 e)24

3. Sean 1v→

, 2v→

vectores de 2R , tales que: ( )1 5,2v→

= y ( )2 7, 2v→

= − . Entonces un vector 3v→

tal

que: 1 3 38v v→ →

• = y 3 2 34v v→ →

• = es:

a) ( )3 4,6v→

= b) ( )3 6,9v→

= c) ( )3 6,4v→

=

d) ( )3 6,0v→

= e) ( )3 4,9v→

=

4. Sean 1v→

, 2v→

y 3v→

vectores de 3IR tales que: ( )1 3, 2,1v→

= − , ( )2 5,1,0v→

= − y

( )3 0,4,0v→

= . Entonces al efectuar la operación

2 2

1 1 2 2 3 33 4 6 2v v v v v v→ → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞− • − • −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

se obtiene como resultado: a)54 b)110 c)84 d)184 e)52


20

1.4.3.3 VECTORES ORTOGONALES

Sean →

1v y 2v→

dos vectores de nIR . Entonces →

1v y

2v→

son ortogonales si y sólo si 1 2 0v v→ →

• =

Ejemplo

Los vectores 1 (1,2, 1)v→

= − y 2 ( 3,2,1)v→

= − son ortogonales, porque

1 2 (1)( 3) (2)(2) ( 1)(1) 0v v→ →

• = − + + − =

El hecho de que 021 =•→→

vv significa que el ángulo entre ellos tiene

medida de 90 , es decir 2π

=θ . ¿Porqué?

En este caso se dice que →

1v y →

2v son vectores perpendiculares.

Este concepto puede se utilizado en problemas de diseño, como el siguiente:

Ejemplo

Dados los vectores ( )21 1, 2,3v a→

= − y ( )252, , 24v a

→

= − − , encontrar los valores

de " a " para que sean ortogonales. SOLUCIÓN:

Para que 1v→

y 2v→

sean ortogonales se debe cumplir que 1 2 0v v→ →

• = , entonces

( )2 25 51 2 24 81, 2,3 ( 2, , ) 2 2 2v v a a a a→ →

• = − • − − = − + − + por lo tanto

43

47

0211616

0222

8212

=∨−=

=−+

=+−−

aa

aa

aa


21

1.4.3.4 VECTORES ORTONORMALES

Los vectores 1 2 3, , , , nv v v v→ → → →

de nIR son ORTONORMALES si y sólo si:

1

0

i j

i j

v v cuando i j

v v cuando i j

→ →

→ →

⎧ • = =⎪⎨⎪ • = ≠⎩

Es decir, un conjunto de vectores es ortonormal si y sólo si está constituido por vectores que son unitarios y ortogonales a la vez.

Ejemplo 1

Los vectores ( )0,1=i y ( )1,0=j son ortonormales porque 1=i , 1=j y 0=• ji

Ejemplo 2 Los vectores )1,0,0(ˆ,)0,1,0(ˆ,)0,0,1(ˆ === kji son ortonormales, porque

0=•=•=• kjkiji y además 1=== kji

Ejercicios Propuestos 1.3

1. Sean 1v→

y 2v→

vectores en 3IR , tales que 1 2,1,1v→

= y 2 1,1,1v→

= . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA identifíquela:

a) 1v→

y 2v→

son ortogonales.

b) 1v→

y 2v→

son paralelos.

c) 2 12 3 3 2v v→ →

− =

d) 2 12 3 1,0, 1v v→ →

− = −

e) 2 12 3 3v v→ →

− =

2. Sea los vectores de: ( )1 , 3, 1v k k→

= − y ( )2 3, 1,v k→

= − . Determine los valores de k tales que

1v→

y 2v→

sean ORTOGONALES. a)3 y 1 b)3 y -1 c)-3 y -1 d)-3 y 1 e)0 y -3


22

3. La SUMA DE LOS VALORES de " a " que hacen que los vectores 1 1 ,3 ,1v a a→

= − y

2 , 1,3v a→

= − SEAN ORTOGONALES, es: a)-3 b)-1 c)-2 d) 0 e) 3

4. Sean los vectores ( ) ( )1, 2,3 , 4, 1,2A B→ →

= − = − y ( )2,0, 3C→

= − encontrar el valor de t , tal que

A t B→ →

+ sea ortogonal a C→

.

5. Si se tienen los vectores ( )1 1, 2, 0v→

= − y ( )2 1, 2 , 3v b a→

= − − , si 1v→

y 2v→

son ortogonales y

1 232 , 1,2

v v a a→ → ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠, entonces los valores de a y b , respectivamente son:.

a) 2 y 23 b)

21 y -2 c) -1 y

21 d) -

21 y -1 e) -

21

y 1

6. Sean 1 2,v v→ →

y 3v→

vectores de 3R tales que: ( )1 3,1,2v→

= , ( )2 2,1, 1v→

= − y 3 1 22v b v v→ → →

= + .

Entonces el VALOR de “ b ” para que 3v→

sea ortogonal a 2v→

es:

a) 75− b) 7

2− c) 512 d) 12

5− e) 512−

Vectores

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