STATISTIK PARAMETRIK DANNON PARAMETRIK
• Statistik parametrik, didasarkan asumsi :- sampel random diambil dari populasi normal atau
- ukuran sampel besar atau
- sampel berasal dari populasi dengan variansi yang sama
Statistik non parametrik, didasarkan asumsi :- hampir tidak mengasumsikan persyaratan apapun kecuali distribusinya kontinyu.
Statistik non parametrik
Statistik Non parametrik
• Cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedur-prosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku tapi cukup pada asumsi yang umum.
• Asumsi-asumsi yang kaku, misal: syarat kenormalan suatu data, ragam yang sama, dll tetapi cukup pada asumsi yang umum、Statistikbebas sebaran
SI 2 - Statistik Non Parametrik 3
Uji Statistik Parametrik• Suatu uji yang modelnya menetapkan adanya syarat-syarat
tertentu (asumsi-asumsi) dari sebaran (distribusi) data populasinya.
• Banyak digunakan untuk menganalisis data interval dan rasio• Biasanya datanya besar : > 30
Parametrik Vs Non Parametrik Parametrik
• menuntut ukuran – ukuran tingkat taraf tinggi
• Ukuran taraf / tingkat tinggi adalah sesuatu yang menghasilkan ukuran-ukuran yang digunakan untuk menunjukkan arti penting dari perbedaan yang terjadi.
• Misal: Ukuran berat (kg)
Perbedaan (0 - 485 kg) sama dengan perbedaan (485 - 980 kg)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 4
Non Parametrik
Terjadi ukuran ordinal (bukan taraf tinggi)
Misal:
Preferensi konsumen atas 5 jenis barang (1,2,3,4,5)
3 memiliki preferensi > dari 2 tapi perbedaannya belum tentu 1
Tingkatan eksekutif 4 manager (1,2,3,4)
Pengujian dalam ukuran ordinal dengan cara memberi rank.
Contoh : Ukuran berat : 3,4 1,8 5,8
Rank : 2 1 3
Skala Pengukuran...(review)
Nominal
• Juga disebut sebagai skala kategorik
• Merupakan skala pengukuran yang bersifat membedakan saja
• Angka atau simbol yang diberikan tidak memiliki maksud kuantitatif hanya menunjukkan ada aau tidak adanya atribut atau kharakteristik yang diteliti
• Contoh : Jenis kelamin seseorang, status perkawinan, kepesertaan keluarga berencana, lulus atau tidak dll.
• Bekerja dengan data ini, peneliti harus menentukan angka untuk tiap kategori, sebagai contoh : 1 untk wanita dan 2 untuk laki-laki (angka ini hanya representasi dari kategori atau kelas-2 dan tidak meunjukkan bilangan dari suatu atribut atau karakteristik.
SI 2 - Statistik Non Parametrik 5
Skala Pengukuran
Ordinal
• Skala pengukuran yang sifatnya membedakan dan mengurutkan
• Setiap sub kelas dapat dibandingkan dengan yang lain dalam hubungan “ lebih besar” atau “ lebih sedikit”.
• Contoh: misalkan seseorang diminta untuk mengurutkan tiga buah produk berdasarkan tingkat kepuasan terhadap produk.
6
Not at all satisfied
Product A Product B Product C
Very satisfied
Brand Rank
A 1
B 2
C 3
Skala Pengukuran
Interval
• Skala pengukuran yang bersifat membedakan, mengurutkan dan memiliki jarak yang sama
• Tidak memiliki nilai nol mutlak.
• Contoh :
• Suatu suhu 80 F tidak dapat dikatakan dua kali lebih panas dari suhu 40 F, karena kita tahu bahwa 80 F, pada skala suhu yang lain, seperti celcius adalah 26,7 C sedangkan 40 F = 4,4 C. meskipun 80 F kelihatannya dua kali 40F , seseorang tidak dapat mengatakan bahwa 80F dua kali lebih panas dari 40F, karena pada skala yang lain panasnya tidak dua kalinya.
4/25/2014 Multivariate Analysis 7
Skala Pengukuran
Ratio
• Skala pengukuran yang sifatnya membedakan, mengurutkan dan mempunyai nilai nol mutlak.
• Nilai nol mutlak adalah nilai dasar yang tidak bisa diubah meskipun menggunakan skala yang lain.
• Karenanya nilai-nilai dalam skala ini dapat dibandingkan dan dapat dilakukan operasi matematis seperti penjumlahan pengurangan, bagi ataupun perkalian.
• Contoh :
• 100 Kg memiliki berat dua kali 50 kg
• 1000 meter memiliki panjang 20 kali 50 meter
• dll
4/25/2014 Multivariate Analysis 8
Statistik non parametrikKelebihan statistik non parametrik
1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan
2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah
3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim
4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal)
5. Distribusi data tidak harus normal
6. Bisa digunakan untuk sampel kecil (misal n=7) walaupun distribusi populasinya tidak diketahui
SI 2 - Statistik Non Parametrik 9
Kekurangan statistik non parametrik
1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi
2. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan
Kekurangan
Kekurangan Statistik Non parametrik
• Bila persyaratan untuk uji parametrik dapat dipenuhi maka efisiensi pengujian non parametrik lebih rendah dibanding uji parametrik.
• Uji non parametrik tidak dapat digunakan untuk menguji interaksi seperti dalam model analisis variansi
• Uji non parametrik tidak bisa digunakan untuk membuat prediksi seperti dlm analisis regresi krn asumsi distribusi normal tidak dipenuhi.
Statistik non parametrik
• Sampel ukuran kecil / tidak melibatkan parameter populasi
• Data yang digunakan : data ordinal atau nominal
• Bentuk distribusi populasi dan tempat pengambilan sampel tidak diketahui menyebar secara normal
• Ingin menyelesaikan masalah statistik dengan cepat
• Bila asumsi-asumsi yang diperlukan pada suatu prosedur pengujian parametrik tidak terpenuhi
• Bila penghitungan harus dilakukan secara manual
SI 2 - Statistik Non Parametrik 11
Kapan digunakan??
Langkah – Langkah Pemilihan Metode Statistik
12
ya tidak NON PARAMETRIKLIHAT JENIS DISTRIBUSINYA
ya tidak NON PARAMETRIKPARAMETRIK
1. Apakah distribusi data diketahui?
2. Apakah data berdistribusi normal?
3. Apakah sampel ditarik secara random?
NON PARAMETRIKPARAMETRIK ya tidak
Langkah – Langkah Pemilihan Metode Statistik - 2
SI 2 - Statistik Non Parametrik 13
ya tidak NON PARAMETRIKLIHAT JENIS DISTRIBUSINYA
NON PARAMETRIKPARAMETRIK
4. Apakah varians kelompok sama?
5. Bagaimana jenis skala pengukuran data?
INTERVAL RASIO
NOMINAL ORDINAL
Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik
Langkah – langkah pengujian hipotesis:
1. Menentukan formulasi hipotesis
2. Menentukan taraf nyata dan nilai tabel
3. Menentukan kriteria pengujian
4. Menentukan nilai uji statistik
5. Membuat kesimpulan
SI 2 - Statistik Non Parametrik 16
Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik
Uji Non Parametrik yang akan dipelajari:
• Uji Tanda (Sign Test)
• Uji Urutan Bertanda Wilcoxon
• Uji Mann-Whitney
• Uji Kruskal – Wallis (H Test)
• Uji Friedman
• Uji Cochran (Uji Q)
• Uji kerandoman (Randomness test/run test)
• Uji kolmogorov – smirnov sampel tunggal
SI 2 - Statistik Non Parametrik 17
Uji Tanda (Sign Test)
Fungsi pengujian:
• Untuk menguji perbedaan/perubahan ranking (median selisih skor/ranking) dua buah populasi berdasarkan ranking (median selisih skor/ranking) dua sampel berpasangan
Didasarkan atas tanda-tanda positif ataunegatif dari perbedaan antara pasanganpengamatan.
SI 2 - Statistik Non Parametrik 19
SIGN TEST UNTUK SATU SAMPEL• Merupakan alternatif uji t dengan 1 sampel dalam uji
parametrik
• Prosedur pengujian
• Tingkat signifikansi
• Perhitungan data sampel untuk statistik uji Setiap nilai pengamatan yang > μ0 diganti dengan/diberi tanda + Setiap nilai pengamatan yang < μ0 diganti dengan/diberi tanda – Setiap nilai pengamatan yang = μ0 diganti dengan 0 dan dihapus dari
data n = banyak pengamatan setelah tanda 0 di hapus dari data k = Banyaknya pengamatan bertanda + P = 0,5 ( probabilitas terjadinya tanda + dan – adalah sama)
H0 : μ = μ0 (p=0,5)
H1 : μ ≠ μ0 (p ≠ 0,5) atau μ > μ0 (p > 0,5) atau μ < μ0 (p < 0,5)
SIGN TEST UNTUK SATU SAMPEL
• Statistik Uji
untuk n ≤ 20
X ~ berdistribusi binomial dengan parameter k, n, p
Phitung = P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)
untuk n > 20
X ~ berdistribusi Normal (μ, ) dengan μ = np dan
sehingga )1( pnp
)1( pnp
npkZhitung
Berdistribusi
normal standard (0,1)
SIGN TEST UNTUK SATU SAMPEL
• Daerah kritis
untuk n ≤ 20
H1 : μ ≠ μ0 daerah penolakan Ho : Phitung < /2 atau Phitung > (1- /2 )
H1 : μ > μ0 daerah penolakan Ho : Phitung <
H1 : μ < μ0 daerah penolakan Ho : Phitung > (1-)
untuk n > 20
H1 : μ ≠ μ0 daerah penolakan Ho : Zhitung < -Z/2 atau Zhitung > Z/2
H1 : μ > μ0 daerah penolakan Ho : Zhitung < -Z
H1 : μ < μ0 daerah penolakan Ho : Zhitung > Z
Uji Tanda (Sign Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 23
• Menentukan formulasi hipotesis
H0 : Probabilitas terjadinya tanda + dan - adalah sama
H1 : Probabilitas terjadinya tanda + dan - adalah berbeda
• Menentukan taraf nyata dan nilai tabel
Pengujian bisa satu sisi atau dua sisi
• Menentukan kriteria pengujian
Pengujian satu sisi
H0 : diterima bila probabilitas hasil sampel
H1 : diterima bila > probabilitas hasil sampel
Pengujian dua sisi
H0 : diterima bila 2 KALI probabilitas hasil sampel
H1 : diterima bila > 2 KALI probabilitas hasil sampel
Uji Tanda (Sign Test)
Menentukan nilai uji statistik
• Lihat tabel probabilitas binomial dengan n,r tertentu dan p = 0,5
• r = jumlah tanda yang terkecil
Membuat kesimpulan
• Menyimpulkan H0 diterima ataukah tidak
SI 2 - Statistik Non Parametrik 24
Contoh 1. Uji Tanda (Sign Test)
Pasangan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Istri
Suami
3
2
2
3
1
2
0
2
0
0
1
2
2
1
2
3
2
1
0
2
SI 2 - Statistik Non Parametrik 25
Sejumlah 10 pasangan suami istri yang baru menikah dipilih secaraacak dan ditanyakan secara terpisah pada masing-masing istri dansuami, berapa jumlah anak yang mereka inginkan. Informasi yang didapat adalah sebagai berikut:
Ujilah apakah kita dapat mengatakan bahwa wanita (istri) menginginkan anak lebih sedikit dibandingkan pria (suami)? Taraf nyata uji 0,01
Penyelesaian
• Diketahui : data di atas, = 0,01
• Ditanya : apakah ada perbedaan jumlah anak yang diinginkanantara istri dengan suami?
• Jawab :
– H0 : Tidak ada perbedaan jumlah anak yang diinginkanantara suami dan istri
H1 : wanita (istri) menginginkan anak lebih sedikit dibandingkan pria (suami)
– Taraf nyata uji : 0,01
– Kriteria pengujian :
H0 diterima Jika 0,01 probabilitas hasil sampel
H1 diterima Jika 0,01 > probabilitas hasil sampel
SI 2 - Statistik Non Parametrik 26
r = 3, distribusi Binom dengan n = 9 dan p = 0,5
Menggunakan tabel Binom, maka akan diperoleh: P(r 3) = 0,254
Keputusan, karena 0,01 0,254, maka terima H0.
Tidak ada perbedaan jumlah anak yang diinginkan antarasuami dan istri
Pasangan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Istri
Suami
Selisih
3
2
+
2
3
-
1
2
-
0
2
-
0
0
0
1
2
-
2
1
+
2
3
-
2
1
+
0
2
-
SI 2 - Statistik Non Parametrik 27
Perhitungan
Contoh 2. Uji Tanda (Sign Test)
Berikut data mutu kerja karyawan sebelum dan sesudah kenaikan gaji.
Uji dengan taraf nyata α = 5%, apakah ada peningkatan mutu karyawan setelah gaji naik!
SI 2 - Statistik Non Parametrik 28
Pegawai Sebelum
kenaikan
gaji (X1)
Sesudah
kenaikan
gaji (X2)
Selisih
(X2 – X1)
1 71 72 +
2 91 88 -
3 86 82 -
4 60 67 +
5 83 88 +
6 70 67 -
7 72 75 +
8 65 75 +
9 80 90 +
10 72 76 +
Penyelesaian
– Dari tabel diketahui bahwa tanda (+) ada 7, dan tanda (-) ada 3
• Jawab :
– H0 : Tidak ada peningkatan mutu kerja
– H1 : Ada peningkatan mutu kerja
– Taraf nyata uji : 0,05
– Kriteria pengujian :
– H0 diterima Jika 0,05 probabilitas hasil sampel
– H1 diterima Jika 0,05 > probabilitas hasil sampel
SI 2 - Statistik Non Parametrik 29
N = 10, r = 3 dan p = 0,5
Probabilitas hasil sampel:
Menggunakan tabel Binom, maka akan diperoleh:
P(r 3) = 0,1719
0,05 < 0.1719 H0 diterima
Contoh 3. Uji Tanda (Sign Test)
Dilakukan sebuah penelitian untuk mengetahui tingkat pengetahuan budidaya kopi sebelum dan sesudah diberi penyuluhan. Data hasil penelitian ditunjukkan pada tabel berikut.
Dengan α = 0,01, lakukan pengujian untuk mengetahui ada tidaknya pengaruh penyuluhan terhadap tingkat pengetahuan budidaya kopi.
SI 2 - Statistik Non Parametrik 30
Contoh
Berikut adalah data sampel random dari 15 pengukuran rating octane dalam sejenis bensin yang diamati disuatu daerah tertentu
99,0 102,3 99,8 100,5 99,7
96,2 99,1 102,5 103,3 97,4
100,4 98,9 98,3 98,0 101,6
Ujilah dengan = 0,01 apakah rating octane dari bensin yang diamati tersebut lebih dari 98,0 ?
Contoh
Data berikut menunjukkan berapa lama (jam) sebuah alat listrik bisa digunakan sebelum diisi tenaga listrik
1,5 2,2 0,9 1,3 2,0 1,6 1,8 1,5 2,0 1,2 1,7
Ujilah dengan = 0,05 bahwa alat tersebut rata-rata dapat bekerja 1,8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik lagi
Contoh
Seorang pimpinan universitas mengklaim bahwa lulusannya mempunyai rata-rata IP lebih dari 3. Untuk membuktikan kebenaran dari pernyataannya tersebut diambil sampel berukuran 31 mahasiswa yang sudah lulus dan dicatat IP nya. Data yang diperoleh :
3,41 3,02 2,57 2,86 2,78 3,00
2,55 2,13 2,14 2,81 2,85 2,74
2,73 2,94 3,22 3,15 3,00 2,82
3,81 2,77 3,00 3,62 3,16 3,39
3,14 3,21 2,97 3,33 3,03 3,41
3,00
Ujilah dengan = 1 % apakah klaim tersebut bisa diterima
SIGN TEST UNTUK DUA SAMPEL BERPASANGAN
• Merupakan alternatif uji t dengan 2 sampel berpasangan (paired t test) dengan n1 = n2
• Prosedur pengujian
• Tingkat signifikansi
• Perhitungan data sampel untuk statistik uji Hitung di = selisih (X1 – X2)
Jika di = 0 maka data dibuang
n = banyak data di setelah data dengan di = 0 dihapus dari data
Beri tanda (+) bila di > 0 dan (-) bila di < 0
R+ = banyaknya data yang bertanda +
R- = banyaknya data yang bertanda –
R = min (R+ ; R- )
H0 : μ1 = μ2
H1 : μ1 ≠ μ2 atau μ1 > μ2 atau μ1 < μ2
SIGN TEST UNTUK DUA SAMPEL BERPASANGAN
Untuk n ≤ 40 ; R~ berdistribusi R , n* (R , n* dari tabel nilai kritis untuk uji tanda)
Untuk n > 40; R~ berdistribusi Normal dengan rata-rata
dan standard deviasi
Sehingga
35
2
nR
4
nR
n
nRRZ
R
Rhitung
2
~ berdistribusi Normal standart N (0;1)
SIGN TEST UNTUK DUA SAMPEL BERPASANGAN
• Daerah kritis
untuk n ≤ 40
H1 : μ1 ≠ μ2 daerah penolakan Ho jika R ≤ R , n*
H1 : μ1 > μ2 daerah penolakan Ho jika R- ≤ R , n*
H1 : μ1 < μ2 daerah penolakan Ho jika R+ ≤ R , n*
untuk n > 40
H1 : μ1 ≠ μ2 daerah penolakan Ho jika Zhitung < -Z/2
atau Zhitung > Z/2
H1 : μ1 > μ2 daerah penolakan Ho jika Zhitung > Z
H1 : μ1 < μ2 daerah penolakan Ho jika Zhitung < - Z
36
Contoh
Sebuah perusahaan otomotif akan menentukan apakah ban radialbisa meningkatkan penghematan bahan bakar dibanding ban biasa.Untuk itu 24 mobil dipasangi ban radial kemudian dicoba padalintasan tertentu. Tanpa mengganti sopir, mobil yang sama dipasangiban biasa dan dicoba sekali lagi pada lintasan yang sama. Konsumsibahan bakar (dalam kilometer perliter)
Gunakan = 0,05 untuk menguji apakah ban radial lebih hematbahan bakar dibanding ban biasa.
37
Penyelesaian
1. H0 : μ1 = μ2 (ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa)
H1 : μ1 < μ2 (ban radial lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa)
2. Tingkat signifikansi =0,05
3. Perhitungan :
38
Penyelesaian
4. Statistik Uji
R+ = 13 n = 20
5. Daerah kritis :
Ho ditolak bila R+ ≤ R 0,05, 20* = 5
Karena R+ =13 > R , n* = 5 maka Ho diterima. Jadi ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa.
39
Note :
Atau ada yang menggunakan perbandingannya adalah probabilitas hasil sampel dengan taraf uji nyata
– Taraf nyata uji : – Kriteria pengujian : – H0 diterima Jika probabilitas hasil sampel– H0 ditolak Jika > probabilitas hasil sampel
* Untuk tabel menggunakan binomial (komulatif) dari data n, k dan p
UJI RANKING BERTANDA WILCOXONWilcoxon’s signed-rank test
Alternatif dari uji t dengan 2 sampel berpasangan (paired t test) dengann1 = n2
Penyempurnaan dari uji tanda untuk menguji 2 sampel berpasangan
Prosedur Uji
1. H0 : μ1 = μ2
H1 : μ1 ≠ μ2
H1 : μ1 > μ2
H1 : μ1 < μ2
2. Tingkat signifikansi 3. Perhitungan statistik uji di = selisih (x1 – x2) di = 0 data dibuang
UJI RANGKING BERTANDA WILCOXON Beri peringkat atau rangking pada I diI dari terkecil hingga terbesar
Bila ada peringkat / rangking yang sama diambil peringkatnya diambil rata-rata Hitung
w+ = total jumlah peringkat dari di yang positifw- = total jumlah peringkat dari di yang negatifw = min (w+; w- )
Untuk n ≤ 50 : w ̴ w (nilai w dari tabel rangking bertanda wilcoxon)Untuk n > 50 : w ̴ berdistribusi normal dengan rata-rata :
dengan standard deviasi sehingga :
4
)1(
nnw
24
)12)(1(
nnnw
w
whitung
wZ
~ berdistribusi normal standard N (0; 1)
untuk n ≤ 50H1 : μ1 ≠ μ2 H0 ditolak jika w ≤ w
H1 : μ1 > μ2 H0 ditolak jika w - ≤ w
H1 : μ1 < μ2 H0 ditolak jika w + ≤ w
untuk n > 50H1 : μ1 ≠ μ2 H0 ditolak jika Zhitung < -Z /2 atau Zhitung >Z/2
H1 : μ1 > μ2 H0 ditolak jika Zhitung > Z
H1 : μ1 < μ2 H0 ditolak jika Zhitung > - Z
4. Daerah kritis
Contoh 1Berikut adalah data rata-rata jam kerja yang terbuang perminggu karena kecelakaan yang terjadi dalam 10 pabrik sebelum dan sesudah diterapkannya program keselamatan kerja dengan menggunakan = 0,05 untuk menguji apakah program tersebut efektif
Penyelesaian
1. H0 : μ1 = μ2 ( program keselamatan kerja tidak efektif)
H1 : μ1 > μ2 ( program keselamatan kerja efektif)2. Tingkat signifikansi = 0,053. Perhitungan statistik uji
Pabrik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sebelum 45 73 46 124 33 57 83 34 26 17
Sesudah 36 60 44 119 35 51 77 29 24 11
Pabrik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
di 9 13 2 5 -2 6 6 5 2 6
I di I 9 13 2 5 2 6 6 5 2 6
Urutan 9 10 1 4 2 6 7 5 3 8
Ranking 9 10 2 4,5 2 7 7 4,5 2 7
Contoh
4. Statistik Ujiw+ = 53w - = 2
5. Daerah kritis jika w - ≤ w0,05 = 10karena w - = 2 < w0,05 = 10 maka H0 ditolak Jadi
program keselamatan kerja tersebut efektif
Contoh 2Sebuah perusahaan taxi akan menentukan apakah ban radial bisa meningkatkan penghematan bahan bakar dibanding ban biasa. Untuk itu 24 mobil dipasangi bann radial kemudian dicoba pada lintasan tertentu. Tanpa mengganti sopirnya , mobil yang sama dipasangi ban biasa dan dicoba sekali lagi pada lintasan yang sama. Konsumsi bahan bakar (dalam kilometer perliter). Digunakan = 0,05 untuk menguji apakah ban radial lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa
Penyelesaian
1. H0 : μ1 = μ2 ( ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa)
H1 : μ1 < μ2 (ban radial lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa)2. Tingkat signifikansi = 0,05
Mobil 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Ban radial 10,2 10,7 12,6 13 12,7 10,5 11,7 12 13,4 10,9 12,1 11,2
Ban biasa 10,1 10,9 12,2 12,9 12,8 10,4 11,7 11,8 12,9 10,9 12 10,9
Mobil 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Ban radial 11,1 12,3 13,1 10,8 10,2 11,2 13,3 12,7 11,4 12 13,4 10,7
Ban biasa 10,9 12,4 13,1 10,5 10,7 11,2 13,4 12,2 11,7 11,8 13,1 10,8
Contoh 24. Perhitungan statistik uji
4. Statistik ujiw+ = 148 w - = 62
5. Daerah kritis jika w + ≤ w0,05; 20 = 60karena w + = 148 > w0,05;20 = 60 maka H0 diterima Jadi ban radial tidak lebih hemat bahan bakar dibanding ban biasa
Uji Urutan Bertanda Wilcoxon (Signed Rank Test)
• Sebagai penyempurnaan uji tanda
• Diperkenalkan pertama kali oleh (Frank Wilcoxon)
• Selain memperhatikan + dan -, uji ini jugamemperhatikan besarnya beda/selisih
SI 2 - Statistik Non Parametrik 48
Uji Urutan Bertanda Wilcoxon (Signed Rank Test)
Memperhitungkan tanda dan besarnya selisih.
H0 : Tidak terdapat perbedaan dari perlakuan 1 dan 2.H1 : Terdapat perbedaan antara perlakuan 1 dan 2
SI 2 - Statistik Non Parametrik 49
Menentukan Kriteria pengujian
H0 : Diterima jika T < T0
H1 : Diterima jika T > T0
Nilai T diperoleh dari Tabel nilai kritis untuk uji urutan/rank tanda=> Tα
Menentukan taraf nyata ()
Dapat berbentuk satu sisi atau dua sisi
Uji Urutan Bertanda Wilcoxon (Signed Rank Test)
Menentukan nilai uji statistik (Nilai T0)1. Tentukan tanda beda/selisih dan besarnya2. Urutkan bedanya (tanpa memperhatikan tanda)• Ranking 1 diberikan pd selisih terkecil, urutan 2 pd selisih terkecil
berikutnya.• Bila dua atau lebih selisih nilai mutlaknya sama, maka masing2
diberi rangking sama dengan rata2 urutan. • Contoh selisih ke 5 dan ke 6 terkecil mempunyai nilai selisih yang
sama, maka masing - masing mendapat rangking 5,5 yang diperoleh dari (5 + 6)/2
3. Pisahkan tanda selisih positif dan negatif4. Jumlahkan semua angka positif dan negatif5. Nilai terkecil dari nilai absolut hasil penjumlahan selisih adalah nilai
T0
SI 2 - Statistik Non Parametrik 50
Membuat kesimpulan
Contoh 1. Uji Urutan BertandaWilcoxon (dr Soal Uji Tanda)
Pegawai Sebelum
kenaikan
gaji (X1)
Sesudah
kenaikan
gaji (X2)
1 71 72
2 91 88
3 86 82
4 60 67
5 83 88
6 70 67
7 72 75
8 65 75
9 80 90
10 72 76
SI 2 - Statistik Non Parametrik 51
Berikut data mutu kerja karyawan sebelum dan sesudah kenaikan gaji.
Uji dengan taraf nyata α = 5%, apakah ada peningkatan mutu karyawan setelah gaji naik!
Penyelesaian
Jawab :
– H0 : Tidak ada peningkatan mutu kerja
H1 : Ada peningkatan mutu kerja
– Taraf nyata uji : 0,05
– Kriteria pengujian : H0 : Diterima jika T < T0
H1 : Diterima jika T > T0
Dengan n=10 dan α = 0,05 berdasarkan Tabel nilai kritis uji urutan tanda (uji satu arah) => T0.05 = 11
SI 2 - Statistik Non Parametrik 52
Penyelesaian
SI 2 - Statistik Non Parametrik 53
T 0 = 11,5
Sebelum
kenaikan gaji
Sesudah
kenaikan gaji
Selisih Urutan Tanda
Ranking
Tanda
Ranking
(X) (Y) (Y-X) (+) (-)
1 71 72 1 1 1 +1
2 91 88 -3 2 3 -3
3 86 82 -4 5 5.5 - 5.5
4 60 67 7 8 8 +8
5 83 88 5 7 7 +7
6 70 67 -3 3 3 -3
7 72 75 3 4 3 +3
8 65 75 10 9 9.5 + 9.5
9 80 90 10 10 9.5 + 9.5
10 72 76 4 6 5.5 + 5.5
Jumlah + 43.5 - 11.5
Pegawai
ke
Ranking
KesimpulanKarena T0.05 = 11 < T0 = 11,5 , maka:H0 diterima yang artinya bahwa tidak ada perbedaan nyata pada mutu
kerja pegawai setelah kenaikan gaji
Contoh 2. Uji Urutan BertandaWilcoxon
Sebuah alat pencukur rambut dapat digunakan sebelum dicharge lamanya (jam) adalah : 1,5; 2,2; 0,9; 1,3; 2,0; 1,6; 1,8; 1,5; 2,0; 1,2; dan 1,7. Ujilah hipotesis dengan α = 5% bahwa alat tersebut rata - rata dapat digunakan 1,8 jam sebelum dicharge
SI 2 - Statistik Non Parametrik 54
Penyelesaian
1. H0 : m = 1,8H1 : m ≠ 1,8
2. α = 0,05
3. Kriteria pengujian•H0 : Diterima jika T < T0
•H0 : Ditolak jika T > T0
Untuk n = 10 (dengan menghilangkan satu data yg selisihnya nol) dan α = 0,05 maka dari Tabel nilai kritis uji urutan tanda (uji dua arah) =>T0.05 = 8
SI 2 - Statistik Non Parametrik 55
Penyelesaian
56
Perhitungan : setiap pengamatan dikurangkan dengan 1,8, dan ditentukan peringkatnya, tanpa memperhatikan tanda minus atau plus
Kesimpulan:Karena T0.05 = 8 <T0 = 13 , makaterima H0 artinya bahwa alat pencukur rambut tersebut rata -rata dapat digunakan 1,8 jam sebelum dicharge
T 0 = 13
Tanda
Rangking
Tanda
Rangking
(+) (-)
1 -0,3 5 5,5 -5,5
2 0,4 7 7 7
3 -0,9 10 10 -10
4 -0,5 8 8 -8
5 0,2 4 3 3
6 -0,2 3 3 -3
7 0
8 -0,3 6 5,5 -5,5
9 0,2 2 3 3
10 -0,6 9 9 -9
11 -0,1 1 1 -1
Jumlah 13 -42
Urutan RankingSelisih n ke
Uji Urutan Bertanda Wilcoxon untuk 2 sampel
SI 2 - Statistik Non Parametrik 57
Untuk 2 sampel yang berbeda
Uji Urutan Bertanda Wilcoxon Untuk data besar
SI 2 - Statistik Non Parametrik 61
Menurut Walpole & MeyerBila n > 15, distribusi sampel T mendekati distribusi normal
SI 2 - Statistik Non Parametrik 64
Keputusan Pengujian:
1. Dari tabel terlihat, N = 26, T = 53
2. Untuk mencari harga z dari N = 26, T = 53, gunakan perhitungan memakai
rumus
SI 2 - Statistik Non Parametrik 65
Untuk z = 3,11, harga p = 0,0009
Karena nilai tersebut diperoleh dari tabel distribusi normal untuk
pengujian satu sisi, sementara belum dapat diduga kelompok sampel
mana yang memberikan skor yang lebih besar, maka
Uji Korelasi Urutan Spearman
SI 2 - Statistik Non Parametrik 66
Pertama kali dikemukakan oleh
Carl Spearman
Penyelesaian
SI 2 - Statistik Non Parametrik 69
Dengan taraf nyata 5% ujilah apakah ada korelasi antara
peringkat yang diberikan oleh kedua pakar?
Contoh 2. Uji Korelasi UrutanSpearman
M dan R, dua orang analis, merangking kualitas stok dengan n = 12 seperti pada tabel berikut. Dengan tingkat signifikansi 5%, susunlah pengujian untuk menentukan apakah ada kecenderungan kecocokan
pada rank – rank mereka.
71
Kode Stok Rank M Rank R M - R = d d2
A 5 4 1 1
B 8 6 2 4
C 3 1 2 4
D 10 8 2 4
E 7 9 -2 4
F 1 2 -1 1
G 9 5 4 16
H 2 7 -5 25
I 11 10 1 1
J 4 3 1 1
K 6 11,5 -5,5 30,25
L 12 11,5 0,5 0,25
∑d2 91,5
Penyelesaian
Ada kecenderungan cocok berarti kita artikan bahwa rank – rank berkorelasi positif
1. H0 : ρs = 0
H1 : ρs > 0
2. α = 0,05
Berarti Z0,05 = 1,64
3. Nilai hitung
SI 2 - Statistik Non Parametrik 72
Penyelesaian
Dengan demikian nilai statistik Z sampel
4. Daerah Kritis
Terima H0 jika Zsampel < Z0,05=1,64
Tolak H0 jika Zsampel > Z0,05=1,64
5. Kesimpulan
Karena Zsampel =2,26 > Z0,05=1,64, maka tolak H0 dan terima H1 yang artinya bahwa ada kecocokan dalam rank – rank M dan R
SI 2 - Statistik Non Parametrik 73
UJI MANN – WHITNEY UJI UMann whitney test
Alternatif dari uji t maupun uji Z untuk dua sampel yang diambil dari dua populasiyang bebas (independen) dan tidak berdistribusi normal
Prosedur Uji
1. H0 : μ1 = μ2 (kedua sampel berasal dari populasi yang identik)H1 : μ1 ≠ μ2
H1 : μ1 > μ2
H1 : μ1 < μ2
2. Tingkat signifikansi 3. Perhitungan statistik uji ukuran sampel 1 : n1
ukuran sampel 2 : n2
UJI MANN – WHITNEY UJI U
• Gabungkan kedua sampel dan beri peringkat atau ranking dari data terkecil sampai terbesar. Bila ada peringkat / rangking yang sama, peringkatnya diambil rata-ratanya
Hitung jumlah peringkat sampel 1 dan sampel 2 dan dinotasikan dengan R1 dan R2
Statistik Uji
111
2112
)1(R
nnnnU
2
22212
2
)1(R
nnnnU
);min( 21 UUU
UJI MANN – WHITNEY UJI U
Untuk n1 : n2 ≤ 20 U ~ berdistribusi Un1:n2: (nilai U tabel mann whitney)Untuk n1 : n2 > 20 U ~ berdistribusi normal
dengan rata-rata 2
21nnu
dengan standard deviasi
sehingga :
12
)1( 2121
nnnnu
u
uhitung
wZ
~ berdistribusi normal
standard N (0; 1)
n1 : n2 ≤ 20H1 : μ1 ≠ μ2 H0 ditolak jika U < U
H1 : μ1 > μ2 H0 ditolak jika U1 < U
H1 : μ1 < μ2 H0 ditolak jika U2 < U
n1 : n2 > 20H1 : μ1 ≠ μ2 H0 ditolak jika Zhitung < -Z /2 atau Zhitung >Z/2
H1 : μ1 > μ2 H0 ditolak jika Zhitung > Z
H1 : μ1 < μ2 H0 ditolak jika Zhitung > - Z
4. Daerah kritis
Contoh 1Manajer produksi sebuah perusahaan ingin menguji apakah iringan musik lembut berpengaruh terhadap produktivitas kerja. Untuk itu dilakukan pengamatan terhadap data output perjam dari sampel random 10 pekerja yang bekerja tanpa iringan musik dan 18 pekerja yang bekerja dengan iringan musik. Hasilnya adalah sebagai berikut :
Dengan iringan musik lembut
Pekerja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Output 17 16 15 15 15 14 14 14 13 13
Pekerja 11 12 13 14 15 16 17 18Output 13 12 12 12 12 11 10 8
Tanpa iringan musik lembut
Pekerja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Output 13 12 12 10 10 10 10 9 8 8
Ujilah dengan = 0,05 apakah iringan musik lembut akan meningkatkan produktivitas kerja
Contoh
1. H0 : μ1 = μ2 ( iringan musik lembut tidak meningkatkan produktivitas)H1 : μ1 < μ2 ( iringan musik lembut akan meningkatkan produktivitas)
2. Tingkat signifikansi =0,053. Perhitungan :
Penyelesaian
4. statistik uji
5. Daerah kritis jika U2 < U0,05; 10; 18 =55karena U2 = 26,5 < U0,05; 10; 18 =55 maka H0 ditolak Jadi iringan musik lembut akan meningkatkan produktivitas.
222
2122
)1(R
nnnnU
5,265,3242
)118(18)18(102
U
Uji Mann-Whitney (U Test)
• Disebut juga pengujian U.
• Dikembangkan oleh H.B. Mann dan D.R. Whitney
• Digunakan untuk menguji rata-rata dari 2 sampel berukurantidak sama
• Data ordinal
SI 2 - Statistik Non Parametrik 80
• Uji Mann-Whitney merupakan alternatif bagi uji-t. • Uji Mann-Whitney digunakan untuk
membandingkan dua mean populasi yang berasal dari populasi yang sama.
• Uji Mann-Whitney juga digunakan untuk menguji apakah dua mean populasi sama atau tidak.
Uji Mann-Whitney (U Test)
• Untuk sampel kecil
• Tahapan:
Menentukan n1 dan n2.
Menggabungkan kedua sampel dan memberiurutan (ranking) tiap-tiap anggota
Menjumlahkan urutan masing-masing sampel
Menghitung statistik U
SI 2 - Statistik Non Parametrik 81
Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 83
111
2112
)1(. R
nnnnU
222
2122
)1(. R
nnnnU
Jika sample size kecil
Uji Mann-Whitney (U Test)
SE Gaji Urutan ST Gaji Urutan
A 710 1 O 850 5
B 820 3,5 P 820 3,5
C 770 2 Q 940 8
D 920 7 R 970 9
E 880 6
R2 = 25,5R1=19,5
SI 2 - Statistik Non Parametrik 86
Latihan!!Tabel di bawah menunjukkan gaji yang diterima oleh 5 orangsarjana ekonomi dan 4 orang insinyur setelah 3 tahun bekerjayang diperoleh dari sampel secara random
Ujilah bahwa setelah tiga tahun bekerja, gaji sarjana ekonomitidak lebih rendah dibanding insinyur .
Contoh 2. Uji Mann-Whitney (U Test)
SI 2 - Statistik Non Parametrik 89
Urutan Nilai Rank
1 25 1
2 30 2
3 50 3
4 55 4
5 65 5
6 70 7
7 70 7
8 70 7
9 75 9.5
10 75 9.5
11 78 11
12 80 12
13 85 13.5
14 85 13.5
15 88 15.5
16 88 15.5
17 90 17
18 95 18
19 98 19
20 100 20
Berikut adalah nilai UAS Statistika 2 mahasiswa fakultas
Ekonomi dan ilmu komputer
Catatan: jumlah sampel mahasiswa 20
Uji Mann-Whitney (U Test)
• Berdasarkan tabel tersebut, ujilah dengan taraf nyata 5%, apakah (peringkat) nilai mahasiswa fakultas ekonomi lebih besar dibanding mahasiswa ilmu komputer?
SI 2 - Statistik Non Parametrik 90
Contoh 3. Uji Mann-Whitney (U Test)
Taraf – taraf operasi (prosentase kapasitaa) telah didapat dari sampel – sampel random n1 = 10 hari pada perusahaan 1 dan n2 = 12 hari pada perusahaan 2. n1
+ n2 = 22 taraf – taraf operasi diranking dalam besaran order. Jumlah rank pada perusahaan 1 dan 2 berturut – turut adalah 145,5 dan 107,5. Pada α = 0,05 susunlah suatu pengujian untuk menentukan apakah taraf operasi rata – rata perusahaan 1 lebih besar dari taraf operasi rata – rata perusahaan 2!
SI 2 - Statistik Non Parametrik 92
JawabMisalkan μ1 dan μ2 merupakan taraf operasi rata – rata perusahaan 1 dan 21. Hipotesis
H0 : μ1 = μ2
H1 : μ1 > μ2
2. Nilai kritisDengan α = 0,05, diperoleh:Z0,05 = 1,64
Penyelesaian
3. Nilai hitung
Standar deviasi populasi
Nilai statistik Z sampel
SI 2 - Statistik Non Parametrik 93
4. Kesimpulan
Karena nilai statistik Zsampel = 2,01 > Z0,05 = 1,64 maka tolak H0. Ini berarti taraf operasi rata – rata perusahaan 1 lebih besar dari pada taraf operasi rata – rata perusahaan 2
Penyelesaian
1. Hipotesis
H0 : μ1 = μ2
H1 : μ1 ≠ μ2
2. Nilai kritis
Karena uji dua sisi, α = 0,10, maka harus dibagi dua menjadi (0,10/2 ) = 0,05. Sehingga Z0,05 = 1,64
3. Nilai hitung
Standar deviasi populasi
SI 2 - Statistik Non Parametrik 95
𝜇𝑅1 =𝑛1(𝑛1 + 𝑛2 + 1)
2=14(14 + 11 + 1)
2= 182
𝛿𝑅 = 𝑛1𝑛2(𝑛1 + 𝑛1 + 1)
12=
(14)(11)(14+ 11 = 1)
12= 18,267
Penyelesaian
Nilai statistik Zsampel
4, Kesimpulan
Karena nilai statistik Zsampel = 1,26 < Z0,05 = 1,64 maka terima H0. Ini berarti taraf rata – rata kedua paket adalah sama
SI 2 - Statistik Non Parametrik 96
𝑍𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 =𝑅1 − 𝜇𝑅1𝜎𝑅
=205− 182
18,267= 1,26
Daerah penolakan H0
Daerah penolakan H0
UJI KRUSKAL – WALLIS (UJI H)Kruskal –Wallis test
Uji Mann-Whitney dengan k>2 sampel atau merupakan alternatif dari uji F untukpengujian kesamaan beberapa rata-rata dalam analisis variansi satu arah
Prosedur Uji
1. H0 : μ1 = μ2 = μ3 =...=μk (kedua sampel berasal dari populasi yang identik)H1 : tidak semua sama
2. Tingkat signifikansi : 3. Perhitungan statistik uji
ukuran sampel ke i : ni i= 1,2,3,...,kn = n1+n2+n3+...+nk
gabungkan data dari k sampel (semua sampel) dan beri peringkat atau ranking dari data terkecil sampai terbesar. Bila ada peringkat / ranking yang sama maka peringkatnya diambil rata-rata
k
i i
i nn
R
nnH
1
2
)1(3)1(
12 2
1; kvX
2
1; kvX
UJI KRUSKAL – WALLIS (UJI H)
Hitung jumlah peringkat sampel ke 1 sampai dengan sampel ke k, notasikan dengan R1, R2, ..., Rk
Statistik uji
• ~ berdistribusi
• 4. Daerah kritis• bila H > H0 ditolak
Contoh 1
Akan diuji apakah upah tukang kayu, tukang batu dan tukang talang perjam mempunyai perbedaan yang signifikan. Untuk itu diambil sampel 7 tukang kayu, 7 tukang batu dan 6 tukang talang. Data sampel berupa upah harian dari pekerja-pekerja tersebut disajikan dalam tabel berikut :
Ujilah dengan = 0,01 !
1. H0 : μ1 = μ2 = μ3 =...=μk (upah harian ketiga jenis tukang tidak berbeda)H1 : tidak semua sama ( upah harian ketiga jenis tukang berbeda
2. Tingkat signifikansi = 0,013. Perhitungan :
n = 7+7+6 = 20
Penyelesaian
26,12)120(36
100
7
36
7
74
)120(20
12)1(3
)1(
12 222
1
2
k
i i
i nn
R
nnH
Contoh 1