PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
𝑦(𝑥) 𝑦(𝑡)𝑡
INTRO ODE
Fig 1 . Modelling, solving, interpretasi
Contoh persamaan ODE :
➢ 𝑦′ = cos 𝑥➢ 𝑦′′ + 9𝑦 = 𝑒−2𝑥
➢ 𝑦′′′𝑦′ −3
2𝑦 = 0
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
CONTOH PEMODELAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN
DIFFERENSIAL
𝑦′′ = 𝑔𝑦′ = 𝑣
𝑦
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑡
1. Benda jatuh 2. Kecepatan pada mobil
Jika variabel bebasnya adalah x
Jika variabel bebasnya adalah t
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
𝑦′
𝑦 𝑥
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ = 0
𝑦′ = 𝐹(𝑥, 𝑦)
𝑦′ =𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑦 = ℎ(𝑥)
FIRST ORDER ODE (ODE ORDE SATU)
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
𝑦′ = cos 𝑥
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑥= cos𝑥
𝑦 = න𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = sin 𝑥 + 𝐶
CONTOH 1 : ODE TRIGONOMETRI
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
Fig 2 . Solusi y= sin x + C dari persamaan ODE 𝑦′ = cos 𝑥
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
CONTOH 2 : ODE EKSPONENSIAL
𝑦 = 𝑐𝑒0.2𝑡
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0.2 𝑒0.2𝑡 = 0.2 𝑦
𝑦′ = 0.2 𝑦
𝑦 𝑦′ = 0.2𝑦 𝑦′ = 𝑘𝑦𝑘
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
Fig 3 . Solusi dari 𝑦′ = 0.2𝑦
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
CONTOH 3 : ODE EKSPONENSIAL
𝑦 = 𝑐𝑒−0.2𝑡
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑡= −0.2 𝑒−0.2𝑡 = −0.2 𝑦
𝑦′ = −0.2 𝑦
𝑦 𝑦′ = −0.2𝑦 𝑦′ = −𝑘𝑦𝑘
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
Fig 3 . Solusi dari 𝑦′ = −0.2𝑦
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
PERMASALAHAN NILAI AWAL (IVP / INITIAL VALUE
PROBLEM)
𝑦′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑦 𝑥0 = 𝑦0
𝑦 𝑥0 = 𝑦0
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑥= 3𝑦, 𝑦 0 = 5.7
✓ 𝑦′ = 3𝑦
✓ 𝑦 0 = 5.7
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
Solusi dari persamaan ODE dengan nilai awal dapat dilakukan dengan melakukan integrasi dari persamaan tersebut.
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑥= 3𝑦
𝑦 = 𝑐𝑒3𝑥
1. Menyelesaikan persamaan sistem :
2. Menyelesaikan persamaan nilai awal :
𝑦(0) = 𝑐𝑒0
𝑦 0 = 𝑐 = 5.7
Sehingga didapatkan solusi 𝑦 = 5.7𝑒3𝑥
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
CONTOH KASUS : RADIOAKTIF
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −𝑘𝑦, 𝑦 0 = 0.5
• Kontanta k bernilai negative karena massa subtansi tersebut
berkurang seiring berjalannya waktu (t)
• Subtansi tersebut mempunya massa awal 𝑦 0 sebesar 0.5
gram
𝑦 𝑡 = 𝑐𝑒−𝑘𝑡
𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡
Sehingga didapatkan solusi 𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡 dengan limit t → ∞ sampai nilai 𝑦 = 0
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
Fig 4 . Grafik subtansi radioaktif dengan solusi 𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡 dengan
limit t → ∞
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
REVIEW - QUIZ
•𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥2 − 3
• 𝜃2𝑑𝜃 = sin 𝑡 + 0.2 𝑑𝑡
• 𝑑𝑦 + 7𝑥 𝑑𝑥 = 0
• 𝑦′ = 5
•𝑑𝑦
𝑑𝑡= cos(𝑡 + 𝛽)
Berikan solusi pada persamaan ODE order satu berikut ini:
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
𝑦′ = 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑦 𝑥0 = 𝑦0
ℎ
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ 𝑓 𝑥𝑛, 𝑦𝑛
EULER METHOD
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
𝑦′ = 𝑥 + 2𝑦
𝑦 0 = 0
𝑥 𝑥 = 1 ℎ = 0.25
CONTOH
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
SOLUSI
Nilai awal :
n=1
n=2
n=3
n=4
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
REPRESENTASI GRAFIK
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
ERROR ?
Solusi linear ODE dari 𝑦′ = 𝑥 + 2𝑦 adalah
Solusi dengan metode
numeric eulerSolusi dengan tanpa metode
numeric euler (solusi linear)Titik merah = metode numeric euler
Garis biru = solusi linear
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
H= 0.02
Error akan semakin besar jika nilai interval H semakin besar.
Error akan semakin kecil jika nilai intrerval H semakin kecil.
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
TUGAS ! BUAT PENYELESAIAN DENGAN METODE
NUMERIK EULER!
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −𝑘𝑦, 𝑦 0 = 0.5
• Kontanta k bernilai negative karena massa subtansi tersebut
berkurang seiring berjalannya waktu (t)
• Subtansi tersebut mempunya massa awal 𝑦 0 sebesar 0.5
gram
𝑦 𝑡 = 𝑐𝑒−𝑘𝑡
𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡
Sehingga didapatkan solusi 𝑦 𝑡 = 0.5𝑒−𝑘𝑡 dengan limit t → ∞ sampai nilai 𝑦 = 0