PROBABILITAS/PELUANG
Hikmah Agustin,SP.,MM
Pengertian • Probabilitas atau peluang:
• Merupakan ukuran numerik tentang seberapa sering peristiwa terjadi. Semakin besar nilai probabilitas menyatakan bahwa peristiwa itu akan sering terjadi & digunakan untuk mengukur derajat kepastian atau keyakinan
• Probabilitas atau Peluang dilambangkan dengan P.
Rumus Peluang (P)
Dimana :
P(E)= Peluang Kejadian E
m= banyaknya kejadian E
n = jumlah keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi
n
m EP
RUMUS
• Bila kejadian E terjadi dalam “m” cara dari seluruh “n”cara yang mungkin terjadi dimana masing-masing n cara tersebut mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian E adalah :
Contoh:
Hitung probabilitas memperoleh kartu hati/waru bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge yang lengkap!
Jawab:
Jumlah seluruh kartu = 52
Jumlah kartu hati = 13
Misal E adl kejadian munculnya kartu hati, maka :
52
13
n
m EP
Statistika – Hikmah Agustin,SP.MM
Ruang Sampel, Titik Sampel dan Kejadian
Ruang sampel (sample space) atau semesta mrpkn himpu-nandari semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu percobaan(experiment).
Ruang sampel dilambangkan dengan S dan anggota-anggotanya disebut titik sampel.
Titik sampel (sample point) anggota atau elemen dari ruangsampel
Kejadian (event) merupakan himpunan bagian dari ruang sam-pel atau dari hasil yang muncul pada suatu percobaan statistik
Contoh Ruang SampelPada pelemparan 2 uang logam :
a. Tentukan ruang sampel!
b. Bila A menyatakan kejadian munculnya sisi-sisi yang sama dari 2 uang logam tersebut, tentukan probabilitas kejadian A!
Jawab :
a. Ruang sampelnya :
b. A = {(,g,g),(a,a)} , maka n(A) = 2 dan n(S) = 4, sehingga probabilitas kejadian A adalah :
Uang logam 2
g a
Uang
Logam 1
g (g,g) (g,a)
a (a,g) (a,a)
2
1
4
2
Sn
An AP
PROBABILITAS MAJEMUK(2 kejadian)
Maka banyak anggota himpunan gabungan A dan B adalah :
Kejadian majemuk adalah gabungan atau irisan kejadian Adan B, maka probabilitas kejadian gabungan A dan B adalh:
BAn-n(B) n(A) BAn
BAP-P(B) P(A) BAP
BA
S S
AB
PROBABILITAS MAJEMUK(3 Kejadian)
Untuk 3 kejadian maka :
Maka Probabilitas majemuknya adalah :
CBAPCBP-CAP-BAP-CPBPAP CBAP
BA
S
C
Contoh 1. Kejadian Majemuk!
Diambil satu kartu acak dari satu set kartu bridge yang lengkap. Bila A adalah kejadian terpilihnya kartu As dan B adalah kejadian terpilihnya kartu wajik, makahitunglah !
Jawab :
13
4
52
16
52
1
52
13
52
4
BAPBPAP BAP Maka
wajik)As(kartu 52
1 BAP ,
52
13 BP ,
52
4 AP
Contoh 2
Peluang seorang mahasiswa lulus Kalkulus adalah 2/3 dan peluang ia lulus Statistika adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah di atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah tersebut?
Jawab :
Misal A = kejadian lulus Kalkulus
B = kejadian lulus Statistika
45
14
5
4
9
4
3
2
BAPBPAPBAP
BAPBPAPBAP
5
4BAP ,
9
4BP ,
3
2AP
DUA KEJADIAN SALING LEPAS
Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang pada S dan berlaku maka A dan B dikatakan dua kejadi-an yang saling lepas.
Dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan.
Dengan demikian probabilitas adalah :
0BA
BA
BA
S
BPAPBAP
Contoh (Dua Kejadian Saling Lepas)
Pada pelemparan dua buah dadu, tentukan probabilitas munculnya muka dua dadu dengan jumlah 7 atau 11!
Jawab :
Misal A = kejadian munculnya jumlah 7
B = kejadian munculnya jumlah 11
Tentukan ruang sampelnya dulu! Dari ruang sampel akan diperoleh :
A = {(6,1),(5,2),(4,3),(2,5),(1,6),(3,4)}
B = {(6,5),(5,6)}
Maka yang berarti A dan B saling lepas.
P(A) = 6/36 , P(B)=2/36 sehingga
9
2
36
8
36
2
36
6BPAPBAP
0BAP
Statistika&Probablilitas
Latihan !!
1. Dalam pelemparan dua buah dadu satu kali, A menyatakan kejadian munculnya jumlah angka dari kedua mata dadu adalah 10, sedangkan B menyatakan kejadian angka yang muncul dari kedua mata dadu adalah angka yang sama, maka hitunglah nilai :
a.P (A) b. P(B)
2. Salah satu cara mengetahui probabilitas suatu kejadi-an adalah dengan diagram pohon. Gambarkan ruang sampel dengan diagram pohon dan tentukan nilai prob untuk 5 kali pelemparan: • Hitung probabilitas muncul 2 gambar
• Hitung probabilitas muncul 3 gambar
PERMUTASI & KOMBINASI
Hikmah Agustin,SP.,MM
PERMUTASI
Pengertian
Permutasi adalah suatu pengacakan dari objek-objek dengan
memperhatikan urutannya. Permutasi merupakan bentuk khu-
sus aplikasi prinsip perkalian
Ciri Permutasi
• Urutan diperhatikan
• Perulangan tidak diperbolehkan
• Dinotasikan:
)!(
!),(
rn
nrnP
Contoh permutasi
Tentukan permutasi dari huruf ABCDEAmbil 3 huruf dari 5 huruf tersebut.
r = 3 dan n = 5 maka permutasi 3 dari 5 huruf ABCDE adala
h
Jadi banyaknya permutasi 3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.
Permutasi berjenis …
• Permutasi dari sebagian anggota yang sama. Banyaknya permutasi yang berlainan dari n sampel bila n1 berjenis I, n2 berjenis II, …, nk berjenis k
!!!
!
2121 kk nnn
n
nnn
n
Soal & solusi
• Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI ?
• S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}Huruf M = 1 buahHuruf I = 4 buahHuruf S = 4 buahHuruf P = 2 buah
Sehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah jmlh elemen “S”Maka Permutasi :
Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah
Contoh
Ada 12 lembar karton akan diwarnai sehingga ada 3diantaranya berwarna merah,2 berwarna jingga, 2 berwarna ungu dan sisanya berwarna coklat.
Berapa jumlah cara pewarnaan ?
• Diketahui :
n1 = 3
n2 = 2
n3 = 2
n4 = 5
• Jumlah cara pewarnaan :
Permutasi>>
n = 12
cara
PPnnnnnP 166320
!5!2!2!3
!12
!5!2!2!3
12,12)5,2,2,3;12(),,,;( 4321
2. KOMBINASI
• Kombinasi adalah bentuk khusus dari permutasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungakn maka dalam kombinasi hal ini diabaikan.
• Perbedaan permutasi dengan kombinasi :Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkanKombinasi : urutan kemunculan diabaikan
• Rumus :
C=
Atau dapat ditulis
!!
!
rrn
n
)!(!
!),(
rnr
nrnC
Contoh Kombinasi
Berapa tim Basket yang dapat dibentuk dari 12 org?
JAWAB:
Urutan pemain tidak diperhatikan (abc = bac)
Jadi, banyak tim:792
!7!5
!12)5,12( C
Kombinasi Pengulangan
• Terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak
Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :
C(n,r) Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1 buah bola, maka jumlah cara
memasukkan bola ke dalam kotak adalah :C(n+r-1, r)
Maka rumusnya : C(n+r-1, r)
• adalah membolehkan adanya pengulangan elemen n buah objek akan diambil r objek dengan pengulangan diperbolehkan
Contoh
• Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ?
Jawab :
n = 5 orang anakr1 = 20 buah apelr1 = 15 buah jeruk
• 20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20)
• 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15)
• Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jeruk maka jumlah carapembagian kedua buah tersebut adalah :
C(24,20) . C(19,15) =……………?
Contoh
• Toko roti “Lezat” menjual 8 macam roti. Berapa jumlah cara mengambil 1 lusin roti ?
Jawab :
n = 8 macam rotir = 1 lusin = 12 buah roti
• Misalkan macam-macam roti dianalogikan sebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti.
• Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti (sama dengan jumlah cara memasukkan 1 lusin roti ke dalam 8 macam roti)yaitu :
C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12)