14.07.2011Physik IV - Einführung in die Atomistik | Vorlesung 25 | Prof. Thorsten Kröll 1
Physik IVEinführung in die Atomistikund die Struktur der MaterieSommersemester 2011
Vorlesung 25 – 14.07.2011
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2-stündige (120 min) Klausur
Nachklausur (soweit derzeit festgelegt)Montag 10.10.2011: 15:00 – 17:00 Uhr S2 04 / 213
Zugelassene Hilfsmittel:• Stifte, Lineal, Geodreieck, Zirkel, …• nichtprogrammierbarer Taschenrechner• Formelsammlung ( 1 DIN A 4 Blatt, zweiseitig)
TerminFreitag 12.08.2011: 15:30 – 18:00 Uhr S1 01 / A1
Klausur
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Atomistik
• Materie besteht aus kleinen elementaren Bausteinen, die miteinanderwechselwirken … Aufbau größerer Einheiten.
• Auf der kleinsten Skala sind die Bausteine „Elementarteilchen“, die sich nicht weiter zerlegen lassen.
• Zu jeder Größenskala gehört auch eine Energieskala.
• Auf jeder Größenskala ist es sinnvoll nur die jeweils relevantenBausteine zu betrachten. Die darunterliegende Skala kann als entkoppelt angenommen werden (für den Festkörper braucht manz.B. zunächst nicht zu wissen, dass der Kern aus Nukleonen besteht).
• Es treten häufig ähnliche Niveauschemata auf, z.B. Vibrationen in Molekülen, Festkörpern und auch in Kernen, Schalenmodell (Atom/Kern), …
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Typische Längeskalen inder Natur… VIELE Grössenordnungen
Universum r ≈ 4.5 · 1026 m(beobachtbares Universum, vielleicht ist es auch viel größer)
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Größen- und Energieskalen2h
≥Δ⋅Δ px
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Atomistisches Bild der Materie (II)
Molekül besteht aus 2 bis einige 100000 Atomen
Festkörper besteht aus VIELEN Atomen oder Molekülen (Größenordnung 1023)
Atom (10-10 m) besteht aus Kern und Elektronenhülle
Polymere
Es gibt unterschiedliche„Atome“!!!
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Atomistisches Bild der Materie (III)
Kern (10-15 m) besteht aus Nukleonen:Protonen und Neutronen
Nukleonen bestehen Quarks und Gluonen(Elementarteilchen)< 10-15 m
Atom (10-10 m) besteht aus Kern und Elektronenhülle
Elektron ist bereitsein Elementarteilchen
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Experimentellen Beobachtungen in der NaturMasse von Molekülen:Ganzzahlige Vielfache von Atommassen*
Masse von Atomen:Ganzzahlige Vielfache von atomarer Masseneinheit u*
Masse von Kernen / Isotope:Ganzzahlige Vielfache von Protonen- bzw. Neutronenmasse*
Ladungen:Ganzzahlige Vielfache von Elementarladung**
Drehimpuls und Spin:Ganz- oder halbzahlige Vielfache von ħ
… und weitere Größen, die nur bei Kernen und Elemtarteichen eine Rolle spielen
*minus Bindungsenergie**Quarks haben ganzahlige Vielfache von Drittel-Elementarladungen
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Vorstellung von Atomen
Entdeckung des Elektrons (1893) als Bestandteil des Atoms … das „Atom“ ist nicht unteilbar
Thomsonsche Atommodell (1903):Atom besteht aus homogener positiv geladenerMasse mit kleinen negativen Elektronen drin.(Pudding-Modell)
Entdeckung des Atomkerns (1911)
Rutherfordsche Atommodell (1911):Atom besteht aus kleinem positiv geladenemKern (etwa 1/10000 des Atomdurchmessers), der fast die gesamte Masse des Atoms enthält.Die Elektronen umkreisen den Kern.
Joseph John Thomson (1856-1940)Ernest Rutherford (1871-1937)
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Zweifel an der atomistischen Vorstellung
Noch um 1900:Ernst Machs Standardantwort auf die Frage nach der Existenz von Atomen:
„Ham se welche gesehen?“
… später ließ er sich aber vom Gegenteil überzeugen!
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Wie groß ist ein Atom, ein Kern ???
• die Größe von Atomen liegt in der Größenordnungvon 10-10 m = 1 Å = 1 Ångstöm
• jede Meßmethode hat leicht anderes ErgebnisFolgerung: Atome sind NICHT einfach kleine harte Kugeln
Bragg-Streuung, Van der Waals Gleichung, Diffusion …
Rutherford-Streuung, …
• die Größe von Atomkernen liegt in der Größenordnungvon einigen 10-15 m (10-15 m = 1 fm = 1 Fermi)
• jede Meßmethode hat leicht anderes ErgebnisFolgerung: Kerne sind NICHT einfach kleine harte Kugeln
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Bohrsches Atommodell
Linienspektren in Emission und Absorption
Bohrsche Postulate„Elektronen auf Planetenbahnen“
Energie und Drehimpuls kann nur bestimmte Werte annehmen… warum?
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Quantenmechanik (I)
Zustand eines Systems wird durch Wellenfunktion Φ beschrieben.
Wahrscheinlichkeitsinterpretation von ΦWahrscheinlichkeit, ein Teilchen zur Zeit t am Ort r zu finden:
),(),(),( * trtrtrP rrrΦ⋅Φ=
Wellenfunktion muss normiert sein (Wahrscheinlichkeit, das Teilchenirgendwo zu finden ist eins):
1),(),(d),(),(d),( * =ΦΦ=Φ⋅Φ= ∫∫ trtrVtrtrVtrP rrrrr
Quantenmechanik ist die der Atomistik zugrundeliegende Theorie
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Quantenmechanik (II)Physikalische Observablen werden durch quantenmechanischeOperatoren repräsentiert, z.B.
...
22
gradi
22
prLL
VTHE
VEmm
pTE
pp
rr
ges
pot
kin
(((r
(((
(
h((
h(r
(r
×=→
+=→
→
Δ−==→
=→
→
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Quantenmechanik (III)Wert einer physikalische Observablen ist Erwartungswert des entsprechenden Operators:
),(),(d),(),(* trXtrVtrXtrX r(rr(r(ΦΦ=ΦΦ= ∫
Wellenfunktion Φ ist Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung (nicht-relativistische QM):
( ) Φ∂∂
=Φ=Φ+t
HVT h(((
i
Separation der Variablen r und t:
hrv /i)(),( Etertr Ψ=Φ
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Quantenmechanik (IV)
( ) Ψ=Ψ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +Δ−=Ψ+=Ψ EV
mVTH
(h(((
2
Wellenfunktion Ψ ist Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung:
Eigenwerte:
ErrE
rErrHrtrHtrH
=ΨΨ=
ΨΨ=ΨΨ=ΦΦ=
)()(
)()()()(),(),(rr
rrr(rr(r(
Wenn Φ Eigenfunktion zu Operator X ist, hat die physikalischeObservable einen exakten Wert, den Eigenwert. Anderenfallsist der Wert ein Erwartungswert mit einer Unbestimmtheit… man nicht immer alle Observablen gleichzeitig exakt messen!
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Quantenmechanik (V)
2h
≥Δ⋅Δ xpx
Heisenbergsche Unschärferelation
Welle-Teilchen-DualismusDe Broglie- Wellenlänge
Eigenfunktion für freies Teilchen ist ebene Welle- auch Eigenfunktion zu Impuls p- Ort völlig unbestimmt
Teilchen – Wellenpaket- endliche Impulsbreite- endliche Ausdehnung
λ==
hkp h
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WasserstoffatomCoulombpotenzial V hängt nur von |r| ab.Separation der Variablen r, θ und φ … Wellenfunktion:
2
1eV6.13),()()(n
EYrRr nlmlmnnlm −=ϕϑ⋅=Ψr
Aus Forderung nach Normierbarkeitund Eindeutigkeit folgen Quantenzahlen:
llllmnl
n
,1,...,1,1,...,2,1,0
,....3,2,1
−+−−=−=
=
ijji rr δ=ΨΨ )()( rrNormierung und Orthogonalität
… gilt immer, nicht nur im Wasserstoffatom
Entartung:Gleiche Energieeigenwertefür unterschiedliche Quantenzahlen
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Drehimpuls
),(),(
),()1(),( 22
ϕϑ=ϕϑ
ϕϑ+=ϕϑ
lmlmz
lmlm
YmYL
YllYL
h(
h(
Kugelflächenfunktionen Y sind Eigenfunktionen der Operatorendes Quadrats des Drehimpulses und der Projektion auf eineAchse (hier als „z-Achse“ bezeichnet):
Der Satz Quantenzahlen (l,m) beschreibt die Länge und dieOrientierung im Raum des Vektors „Drehimpuls“:
''''
2
),(),(
)1(
mmllmllm YY
llLL
δδ=ϕϑϕϑ
+== h(r
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Kugelflächenfunktionen
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Drehimpuls
l = 2 Lr
φ
)1(cos
+=φ
llm
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Spin
Elektronen (und auch Protonen) haben „intrinsischen Drehimpuls“mit s = 1/2 und ms = ± 1/2 : Spin
ss
ss
smssmz
smsm
ms
sss
χ=χ
χ+=χ
h(
h( 22 )1(
Vollständige zeitunabhängige Wellenfunktion für Elektron im H-Atom:
ss smlmnnlmsm YrRsr χ⋅ϕϑ⋅=Ψ ),()(),( rr
Bahndrehimpuls l und Spin s koppeln zu Gesamtdrehimpuls j.
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Magnetische Momente
Mit Drehimpuls / Spin ist magnetisches Moment verbunden
1=μ=μμ=μ LKLLBLL gLgLgrrrr
Elektron Proton
2≈μ=μ sBss gsg rrElektron
Proton anomale g-Faktoren585.5=μ=μ sKss gsg rr
862.3−=μ=μ sKss gsg rrNeutron
μB: Bohrsches MagnetonμK: Kernmagneton
Aufhebung von Entartung: Feinstruktur, Hyperfeinstruktur …
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Elektromagnetische Übergänge
Linienspektren in Emission und Absorption
Energie entspricht Abstand vonzwei Zuständen mit diskreten Energien
Auswahlregeln fürDipol-Übergänge:• ΔL= ±1 … Photon hat Spin = 1
• ΔS = 0
… nicht jeder Übergang ist erlaubt. Aus dem Studium von Übergängenläßt sich also mehr lernen als nur Energien!
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Mehrteilchensysteme – Identische TeilchenAnsatz: Wellenfunktion ist Produkt von Einteilchen-Wellenfunktion
Bei identischen Teilchen darf Physik nicht davon abhängen, welches Teilchen welchen Zustand besetzt:
Bosonen (ganzzahliger Spin), z.B. Photon:Symmetrische Wellenfunktion (bei Vertauschung der Teilchen)
Fermionen (halbzahliger Spin), z.B. Elektron:Antisymmetrische Wellenfunktion (bei Vertauschung der Teilchen)
( )jiA
AjijijijiA
==Ψ
Ψ−=ψψ−ψψ−=ψψ−ψψ=Ψ
falls,0
)1,2()2()1()1()2()1()2()2()1()2,1(
Pauli-Prinzip: Zwei identische Fermionen können nicht im gleichen Zustand sitzen!
Wichtigstes Prinzip zum Verständnis des Aufbaus von Materie!
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Elektronenkonfiguration leichter Elemente
= 2 Sätze Spinquantenzahlen (s=1/2, ms = 1/2 und ms = -1/2)
= 1 Zustand besetzt
= beide Zustände besetzt, also voll (Pauli-Prinzip)
1 Satz Bahndrehimpulsquantenzahlen (l=0, ml = 0)
3 Sätze Bahndrehimpulsquantenzahlen (l=1, ml = -1, 0, 1)
Hundsche Regel:Spin maximal
Elektronenkonfiguration + Antisymmetrisierung = Mehrteilchenwellenfunktion
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Schalenabschlüsse„Edelgase“
Schale:• Gruppe von Zuständen• Abstand zur nächsten Schale
größer als Abstand der Zustände innerhalb der Schale
Valenzelektronen:Elektronen ausserhalb vollbesetzter („abgeschlossener“) Schalen oder Zustände
Schalenmodell der Atomphysik
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Periodensystem der chemischen Elemente
4f
5f
2(2·3+1) = 14 Elektronen
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Atome als „elementare“ Bausteine der Moleküle
Selten in der Natur… z.B. interstellare Materie
Häufig in der Natur
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Kräfte im Wasserstoffmolekül
Anziehung Elektron - ProtonAbstoßung Elektron - ElektronAbstoßung Proton - Proton Abstand der Protonen
Abstand minimaler potenzieller Energie
0
EnergieAbstossung- Protonen- Pauli-Prinzip
Überlapp der Elektronenverteilung
Der Gewinn an Bindungsenergie überwiegt Abstoßung der Elektronenund Protonen jeweils untereinander … Molekül ist energetisch bevorzugte
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Molekülorbital als Summe von atomaren Orbitalen
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Schwingungen und Rotationen in Molekülen
… Beiträge zur spezifischen Wärmekapazität(makroskopische Größe – mikroskopische Erklärung)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +νω=
+Θ
=
21
)1(2
2
h
h
vib
rot
E
JJE
AuswahlregelnΔJ = ±1 (Übergänge zwischen Rotationszuständen)Δν = ±1 (Übergänge zwischen Vibrationszuständen)
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Rotationbande in Molekül HCl
)1(2
+Θ
=Δ JE h
E < 1 eV
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Überlappung von Orbitalen
Überlappung von zwei s-OrbitalenÜberlappung von s- mit p-Orbitalsp-Hybridorbital
π-Bindung -Orbitale senkrecht zur Verbindungsachse zwischen Atomen (Kernen)σ-Bindung -
Orbitale parallel zur Verbindungs-achse zwischen Atomen (Kernen)
Überlappung von zwei p-Orbitalen
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sp-Hybridorbitale in Kohlenstoff2s- mit 2pz-Orbital mischen:2 sp-Hybridorbitale
Möglicher Energiegewinn durchBindung überwiegt Energieaufwandfür Anregung vom 2s- ins 2p-Orbital
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Hybridorbitale – kovalente Bindung2 Hybridorbitale
3 Hybridorbitale
4 Hybridorbitale
π
π
σ
σ σσ
σ
σ
σ
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Chemische Bindung
• Ionische BindungElektron geht von einem Atom in ein anderes Atom über
• Kovalente BindungElektron wird von zwei Atomen gleichzeitig „gebunden“
• Dipol-Dipol-Bindung (Van der Waals Kraft, Wasserstoffbrücken)Wechselwirkung zwischen polaren oder polarisierten Molekülen/Atomen
• Metallische BindungElektron wird von allen Atomen eines Festkörpers „gebunden“
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Aggregatszustände und PhasenübergängeEntropie wird größer (Ordnung kleiner)
Weitere Phasen: Plasma, Kerne, …
Von Atomen/Molekülen zu kondensierter Materie
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Elementare Bausteine der Kristalle
14 Bravais-Gitter
+
Basis
=
Kristallstruktur
Kristall: räumlichperiodische Anordnungvon Atomen
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Beispiel: Kochsalz - NaCl
KubischesBravais-Gitter
+
ZweiatomigeBasis
Makroskopische „Salzwürfel“
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Atome als „elementare“ Bausteine von Kristallen
Atom 2-atomigesMolekül
Energiebänder inFestkörper
Freie Elektronenim Potenzialkasten
Molekülorbitaleals Linearkombinationvon atomaren Orbitalen
Energiebänderals Linearkombinationvon atomaren Orbitalen
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Fermigas und -verteilung
W(E
)
dn/dE
Zustandsdichte im Fermigas(freie Fermionen)
Besetzung bei T=0
Besetzung bei T>0:Fermiverteilung
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Nuklidkarte
stabilβ+/EC-Zerfallβ--Zerfallα-Zerfallp-Emitterspontane Spaltung
Nukleonen (Proton/Neutron) sind elementare Bausteine der Kerne
Isotop: AZ (A = Z + N)Z: Anzahl der Protonen = chem. ElementN: Anzahl der Neutronen
Magische Zahlen
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Schalenmodell der Kernphysik
Analogie zu Chemie: „Edelisotope“
Magische Kerne
• Sphärische Form• Hohe Bindungsenergie• Valenznukleonen wichtig• usw.
Schalen
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Magische Kerne im UniversumSo
lare
Ele
men
thäu
figke
it
Z=50N=82 Z=82
N=126
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Rotationen und Vibrationen in Kernen
232Th
Erot ≈ 50 keVEvib = 700 – 1000 keV
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Rotationbanden in Kern 232Th
)1(2
+Θ
=Δ JE h
E[keV]
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Quarks als elementare Bausteine der Nukleonen
q = 2/3 e q = 2/3 e q = 2/3 e
q = -1/3 e q = -1/3 e
q = -1/3 e
Proton (Q = e) Neutron (Q = 0)
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Standardmodell
Austauschbosonen... Träger der Wechselwirkung
elektromagn.schwach
elektromagn.schwachstark
+ Gravitation
Von den Fermionen existierenjeweils noch die Antiteilchen
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Antiteilchen
Collins English DictionaryAntiparticle: any of a group of elementary particles that have the samemass and spin as their corresponding particle but have opposite valuesfor all other nonzero quantum numbers. When a particle collides with itsantiparticle, mutual annihilation occurs.
1928: Dirac Gleichung (relativistische Quantenmechanik)Gesamtenergie ist quadratische Formel … was ist die negative Wurzel?
1932: Anderson entdeckt das Positron
( ) ( ) ( ) ( )220
2220
22 cmpcWcmpcW +±=⇒+=
Teilchen und Antiteilchen vernichten sichvollständig zu Energie (Photonen): E=2mc2.
Umgekehrt werden Teilchen und Antiteilchen auch immer nur paarweise aus Energie erzeugt.
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Exotische Atome: Positronium / QuarkoniumJ/Ψ
Achtung:In der Kernphysik andere Nomenklatur für Hauptquantenzahl N
cc
Bei kleinen Abständenist QCD-Potenzial zwischen Quarks in etwa proportional 1/r … wie CoulombPositronium ähnlich Quarkonium
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Vier Grundkräfte der Natur
• Elektromagnetische Wechselwirkung
• Starke Wechselwirkung
• Schwache Wechselwirkung
• Gravitation
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QuantentheorienNicht-relativistische QuantenmechanikSchrödinger-Gleichung
Relativistische QuantenmechanikDirac-Gleichung (Spin, g-Faktor des Spins, Antiteilchen)
Quantenfeldtheorienem WW: Quantenelektrodynamik (QED)(g-Faktor des Elektrons, „Lamb-Shift“, natürliche Linienbreite)
Schwache Wechselwirkung (Vereinigung mit em WW):Elektro-schwache Wechselwirkung
Starke Wechselwirkung: Quantenchromodynamik (QCD)
Gravitation ???
Große Vereinigung (GUT) aller vier Wechselwirkungen … still to be done
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„Geschichte des
Universums“
Einige Schritte im Detail noch unverstanden!Z.B. wenn Energie sich inTeilchen-Antiteilchen-Paarewandelt, warum sehen wir im Universum aber praktisch nur Teilchen!?!
Struktur im ganz Großenhängen mit Struktur imganz Kleinen zusammen… Erfolg des atomistischenAnsatzes