Physik IV Einführung in die Atomistik und die Struktur … · Montag 10.10.2011: 15:00 – 17:00 Uhr S2 04 / 213 Zugelassene Hilfsmittel: ... Physik IV - Einführung in die Atomistik

14.07.2011Physik IV - Einführung in die Atomistik | Vorlesung 25 | Prof. Thorsten Kröll 1

Physik IVEinführung in die Atomistikund die Struktur der MaterieSommersemester 2011

Vorlesung 25 – 14.07.2011


2-stündige (120 min) Klausur

Nachklausur (soweit derzeit festgelegt)Montag 10.10.2011: 15:00 – 17:00 Uhr S2 04 / 213

Zugelassene Hilfsmittel:• Stifte, Lineal, Geodreieck, Zirkel, …• nichtprogrammierbarer Taschenrechner• Formelsammlung ( 1 DIN A 4 Blatt, zweiseitig)

TerminFreitag 12.08.2011: 15:30 – 18:00 Uhr S1 01 / A1

Klausur


Atomistik

• Materie besteht aus kleinen elementaren Bausteinen, die miteinanderwechselwirken … Aufbau größerer Einheiten.

• Auf der kleinsten Skala sind die Bausteine „Elementarteilchen“, die sich nicht weiter zerlegen lassen.

• Zu jeder Größenskala gehört auch eine Energieskala.

• Auf jeder Größenskala ist es sinnvoll nur die jeweils relevantenBausteine zu betrachten. Die darunterliegende Skala kann als entkoppelt angenommen werden (für den Festkörper braucht manz.B. zunächst nicht zu wissen, dass der Kern aus Nukleonen besteht).

• Es treten häufig ähnliche Niveauschemata auf, z.B. Vibrationen in Molekülen, Festkörpern und auch in Kernen, Schalenmodell (Atom/Kern), …


Typische Längeskalen inder Natur… VIELE Grössenordnungen

Universum r ≈ 4.5 · 1026 m(beobachtbares Universum, vielleicht ist es auch viel größer)


Größen- und Energieskalen2h

≥Δ⋅Δ px


Atomistisches Bild der Materie (II)

Molekül besteht aus 2 bis einige 100000 Atomen

Festkörper besteht aus VIELEN Atomen oder Molekülen (Größenordnung 1023)

Atom (10-10 m) besteht aus Kern und Elektronenhülle

Polymere

Es gibt unterschiedliche„Atome“!!!


Atomistisches Bild der Materie (III)

Kern (10-15 m) besteht aus Nukleonen:Protonen und Neutronen

Nukleonen bestehen Quarks und Gluonen(Elementarteilchen)< 10-15 m

Atom (10-10 m) besteht aus Kern und Elektronenhülle

Elektron ist bereitsein Elementarteilchen


Experimentellen Beobachtungen in der NaturMasse von Molekülen:Ganzzahlige Vielfache von Atommassen*

Masse von Atomen:Ganzzahlige Vielfache von atomarer Masseneinheit u*

Masse von Kernen / Isotope:Ganzzahlige Vielfache von Protonen- bzw. Neutronenmasse*

Ladungen:Ganzzahlige Vielfache von Elementarladung**

Drehimpuls und Spin:Ganz- oder halbzahlige Vielfache von ħ

… und weitere Größen, die nur bei Kernen und Elemtarteichen eine Rolle spielen

*minus Bindungsenergie**Quarks haben ganzahlige Vielfache von Drittel-Elementarladungen


Vorstellung von Atomen

Entdeckung des Elektrons (1893) als Bestandteil des Atoms … das „Atom“ ist nicht unteilbar

Thomsonsche Atommodell (1903):Atom besteht aus homogener positiv geladenerMasse mit kleinen negativen Elektronen drin.(Pudding-Modell)

Entdeckung des Atomkerns (1911)

Rutherfordsche Atommodell (1911):Atom besteht aus kleinem positiv geladenemKern (etwa 1/10000 des Atomdurchmessers), der fast die gesamte Masse des Atoms enthält.Die Elektronen umkreisen den Kern.

Joseph John Thomson (1856-1940)Ernest Rutherford (1871-1937)


Zweifel an der atomistischen Vorstellung

Noch um 1900:Ernst Machs Standardantwort auf die Frage nach der Existenz von Atomen:

„Ham se welche gesehen?“

… später ließ er sich aber vom Gegenteil überzeugen!


Wie groß ist ein Atom, ein Kern ???

• die Größe von Atomen liegt in der Größenordnungvon 10-10 m = 1 Å = 1 Ångstöm

• jede Meßmethode hat leicht anderes ErgebnisFolgerung: Atome sind NICHT einfach kleine harte Kugeln

Bragg-Streuung, Van der Waals Gleichung, Diffusion …

Rutherford-Streuung, …

• die Größe von Atomkernen liegt in der Größenordnungvon einigen 10-15 m (10-15 m = 1 fm = 1 Fermi)

• jede Meßmethode hat leicht anderes ErgebnisFolgerung: Kerne sind NICHT einfach kleine harte Kugeln


Bohrsches Atommodell

Linienspektren in Emission und Absorption

Bohrsche Postulate„Elektronen auf Planetenbahnen“

Energie und Drehimpuls kann nur bestimmte Werte annehmen… warum?


Quantenmechanik (I)

Zustand eines Systems wird durch Wellenfunktion Φ beschrieben.

Wahrscheinlichkeitsinterpretation von ΦWahrscheinlichkeit, ein Teilchen zur Zeit t am Ort r zu finden:

),(),(),( * trtrtrP rrrΦ⋅Φ=

Wellenfunktion muss normiert sein (Wahrscheinlichkeit, das Teilchenirgendwo zu finden ist eins):

1),(),(d),(),(d),( * =ΦΦ=Φ⋅Φ= ∫∫ trtrVtrtrVtrP rrrrr

Quantenmechanik ist die der Atomistik zugrundeliegende Theorie


Quantenmechanik (II)Physikalische Observablen werden durch quantenmechanischeOperatoren repräsentiert, z.B.

...

22

gradi

22

prLL

VTHE

VEmm

pTE

pp

rr

ges

pot

kin

(((r

(((

(

h((

h(r

(r

×=→

+=→

→

Δ−==→

=→

→


Quantenmechanik (III)Wert einer physikalische Observablen ist Erwartungswert des entsprechenden Operators:

),(),(d),(),(* trXtrVtrXtrX r(rr(r(ΦΦ=ΦΦ= ∫

Wellenfunktion Φ ist Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung (nicht-relativistische QM):

( ) Φ∂∂

=Φ=Φ+t

HVT h(((

i

Separation der Variablen r und t:

hrv /i)(),( Etertr Ψ=Φ


Quantenmechanik (IV)

( ) Ψ=Ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +Δ−=Ψ+=Ψ EV

mVTH

(h(((

2

Wellenfunktion Ψ ist Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung:

Eigenwerte:

ErrE

rErrHrtrHtrH

=ΨΨ=

ΨΨ=ΨΨ=ΦΦ=

)()(

)()()()(),(),(rr

rrr(rr(r(

Wenn Φ Eigenfunktion zu Operator X ist, hat die physikalischeObservable einen exakten Wert, den Eigenwert. Anderenfallsist der Wert ein Erwartungswert mit einer Unbestimmtheit… man nicht immer alle Observablen gleichzeitig exakt messen!


Quantenmechanik (V)

2h

≥Δ⋅Δ xpx

Heisenbergsche Unschärferelation

Welle-Teilchen-DualismusDe Broglie- Wellenlänge

Eigenfunktion für freies Teilchen ist ebene Welle- auch Eigenfunktion zu Impuls p- Ort völlig unbestimmt

Teilchen – Wellenpaket- endliche Impulsbreite- endliche Ausdehnung

λ==

hkp h


WasserstoffatomCoulombpotenzial V hängt nur von |r| ab.Separation der Variablen r, θ und φ … Wellenfunktion:

2

1eV6.13),()()(n

EYrRr nlmlmnnlm −=ϕϑ⋅=Ψr

Aus Forderung nach Normierbarkeitund Eindeutigkeit folgen Quantenzahlen:

llllmnl

n

,1,...,1,1,...,2,1,0

,....3,2,1

−+−−=−=

=

ijji rr δ=ΨΨ )()( rrNormierung und Orthogonalität

… gilt immer, nicht nur im Wasserstoffatom

Entartung:Gleiche Energieeigenwertefür unterschiedliche Quantenzahlen


Drehimpuls

),(),(

),()1(),( 22

ϕϑ=ϕϑ

ϕϑ+=ϕϑ

lmlmz

lmlm

YmYL

YllYL

h(

h(

Kugelflächenfunktionen Y sind Eigenfunktionen der Operatorendes Quadrats des Drehimpulses und der Projektion auf eineAchse (hier als „z-Achse“ bezeichnet):

Der Satz Quantenzahlen (l,m) beschreibt die Länge und dieOrientierung im Raum des Vektors „Drehimpuls“:

''''

2

),(),(

)1(

mmllmllm YY

llLL

δδ=ϕϑϕϑ

+== h(r


Kugelflächenfunktionen


Drehimpuls

l = 2 Lr

φ

)1(cos

+=φ

llm


Spin

Elektronen (und auch Protonen) haben „intrinsischen Drehimpuls“mit s = 1/2 und ms = ± 1/2 : Spin

ss

ss

smssmz

smsm

ms

sss

χ=χ

χ+=χ

h(

h( 22 )1(

Vollständige zeitunabhängige Wellenfunktion für Elektron im H-Atom:

ss smlmnnlmsm YrRsr χ⋅ϕϑ⋅=Ψ ),()(),( rr

Bahndrehimpuls l und Spin s koppeln zu Gesamtdrehimpuls j.


Magnetische Momente

Mit Drehimpuls / Spin ist magnetisches Moment verbunden

1=μ=μμ=μ LKLLBLL gLgLgrrrr

Elektron Proton

2≈μ=μ sBss gsg rrElektron

Proton anomale g-Faktoren585.5=μ=μ sKss gsg rr

862.3−=μ=μ sKss gsg rrNeutron

μB: Bohrsches MagnetonμK: Kernmagneton

Aufhebung von Entartung: Feinstruktur, Hyperfeinstruktur …


Elektromagnetische Übergänge

Linienspektren in Emission und Absorption

Energie entspricht Abstand vonzwei Zuständen mit diskreten Energien

Auswahlregeln fürDipol-Übergänge:• ΔL= ±1 … Photon hat Spin = 1

• ΔS = 0

… nicht jeder Übergang ist erlaubt. Aus dem Studium von Übergängenläßt sich also mehr lernen als nur Energien!


Mehrteilchensysteme – Identische TeilchenAnsatz: Wellenfunktion ist Produkt von Einteilchen-Wellenfunktion

Bei identischen Teilchen darf Physik nicht davon abhängen, welches Teilchen welchen Zustand besetzt:

Bosonen (ganzzahliger Spin), z.B. Photon:Symmetrische Wellenfunktion (bei Vertauschung der Teilchen)

Fermionen (halbzahliger Spin), z.B. Elektron:Antisymmetrische Wellenfunktion (bei Vertauschung der Teilchen)

( )jiA

AjijijijiA

==Ψ

Ψ−=ψψ−ψψ−=ψψ−ψψ=Ψ

falls,0

)1,2()2()1()1()2()1()2()2()1()2,1(

Pauli-Prinzip: Zwei identische Fermionen können nicht im gleichen Zustand sitzen!

Wichtigstes Prinzip zum Verständnis des Aufbaus von Materie!


Elektronenkonfiguration leichter Elemente

= 2 Sätze Spinquantenzahlen (s=1/2, ms = 1/2 und ms = -1/2)

= 1 Zustand besetzt

= beide Zustände besetzt, also voll (Pauli-Prinzip)

1 Satz Bahndrehimpulsquantenzahlen (l=0, ml = 0)

3 Sätze Bahndrehimpulsquantenzahlen (l=1, ml = -1, 0, 1)

Hundsche Regel:Spin maximal

Elektronenkonfiguration + Antisymmetrisierung = Mehrteilchenwellenfunktion


Schalenabschlüsse„Edelgase“

Schale:• Gruppe von Zuständen• Abstand zur nächsten Schale

größer als Abstand der Zustände innerhalb der Schale

Valenzelektronen:Elektronen ausserhalb vollbesetzter („abgeschlossener“) Schalen oder Zustände

Schalenmodell der Atomphysik


Periodensystem der chemischen Elemente

4f

5f

2(2·3+1) = 14 Elektronen


Atome als „elementare“ Bausteine der Moleküle

Selten in der Natur… z.B. interstellare Materie

Häufig in der Natur


Kräfte im Wasserstoffmolekül

Anziehung Elektron - ProtonAbstoßung Elektron - ElektronAbstoßung Proton - Proton Abstand der Protonen

Abstand minimaler potenzieller Energie

0

EnergieAbstossung- Protonen- Pauli-Prinzip

Überlapp der Elektronenverteilung

Der Gewinn an Bindungsenergie überwiegt Abstoßung der Elektronenund Protonen jeweils untereinander … Molekül ist energetisch bevorzugte


Molekülorbital als Summe von atomaren Orbitalen


Schwingungen und Rotationen in Molekülen

… Beiträge zur spezifischen Wärmekapazität(makroskopische Größe – mikroskopische Erklärung)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +νω=

+Θ

=

21

)1(2

2

h

h

vib

rot

E

JJE

AuswahlregelnΔJ = ±1 (Übergänge zwischen Rotationszuständen)Δν = ±1 (Übergänge zwischen Vibrationszuständen)


Rotationbande in Molekül HCl

)1(2

+Θ

=Δ JE h

E < 1 eV


Überlappung von Orbitalen

Überlappung von zwei s-OrbitalenÜberlappung von s- mit p-Orbitalsp-Hybridorbital

π-Bindung -Orbitale senkrecht zur Verbindungsachse zwischen Atomen (Kernen)σ-Bindung -

Orbitale parallel zur Verbindungs-achse zwischen Atomen (Kernen)

Überlappung von zwei p-Orbitalen


sp-Hybridorbitale in Kohlenstoff2s- mit 2pz-Orbital mischen:2 sp-Hybridorbitale

Möglicher Energiegewinn durchBindung überwiegt Energieaufwandfür Anregung vom 2s- ins 2p-Orbital


Hybridorbitale – kovalente Bindung2 Hybridorbitale

3 Hybridorbitale

4 Hybridorbitale

π

π

σ

σ σσ

σ

σ

σ


Chemische Bindung

• Ionische BindungElektron geht von einem Atom in ein anderes Atom über

• Kovalente BindungElektron wird von zwei Atomen gleichzeitig „gebunden“

• Dipol-Dipol-Bindung (Van der Waals Kraft, Wasserstoffbrücken)Wechselwirkung zwischen polaren oder polarisierten Molekülen/Atomen

• Metallische BindungElektron wird von allen Atomen eines Festkörpers „gebunden“


Aggregatszustände und PhasenübergängeEntropie wird größer (Ordnung kleiner)

Weitere Phasen: Plasma, Kerne, …

Von Atomen/Molekülen zu kondensierter Materie


Elementare Bausteine der Kristalle

14 Bravais-Gitter

+

Basis

=

Kristallstruktur

Kristall: räumlichperiodische Anordnungvon Atomen


Beispiel: Kochsalz - NaCl

KubischesBravais-Gitter

+

ZweiatomigeBasis

Makroskopische „Salzwürfel“


Atome als „elementare“ Bausteine von Kristallen

Atom 2-atomigesMolekül

Energiebänder inFestkörper

Freie Elektronenim Potenzialkasten

Molekülorbitaleals Linearkombinationvon atomaren Orbitalen

Energiebänderals Linearkombinationvon atomaren Orbitalen


Fermigas und -verteilung

W(E

)

dn/dE

Zustandsdichte im Fermigas(freie Fermionen)

Besetzung bei T=0

Besetzung bei T>0:Fermiverteilung


Nuklidkarte

stabilβ+/EC-Zerfallβ--Zerfallα-Zerfallp-Emitterspontane Spaltung

Nukleonen (Proton/Neutron) sind elementare Bausteine der Kerne

Isotop: AZ (A = Z + N)Z: Anzahl der Protonen = chem. ElementN: Anzahl der Neutronen

Magische Zahlen


Schalenmodell der Kernphysik

Analogie zu Chemie: „Edelisotope“

Magische Kerne

• Sphärische Form• Hohe Bindungsenergie• Valenznukleonen wichtig• usw.

Schalen


Magische Kerne im UniversumSo

lare

Ele

men

thäu

figke

it

Z=50N=82 Z=82

N=126


Rotationen und Vibrationen in Kernen

232Th

Erot ≈ 50 keVEvib = 700 – 1000 keV


Rotationbanden in Kern 232Th

)1(2

+Θ

=Δ JE h

E[keV]


Quarks als elementare Bausteine der Nukleonen

q = 2/3 e q = 2/3 e q = 2/3 e

q = -1/3 e q = -1/3 e

q = -1/3 e

Proton (Q = e) Neutron (Q = 0)


Standardmodell

Austauschbosonen... Träger der Wechselwirkung

elektromagn.schwach

elektromagn.schwachstark

+ Gravitation

Von den Fermionen existierenjeweils noch die Antiteilchen


Antiteilchen

Collins English DictionaryAntiparticle: any of a group of elementary particles that have the samemass and spin as their corresponding particle but have opposite valuesfor all other nonzero quantum numbers. When a particle collides with itsantiparticle, mutual annihilation occurs.

1928: Dirac Gleichung (relativistische Quantenmechanik)Gesamtenergie ist quadratische Formel … was ist die negative Wurzel?

1932: Anderson entdeckt das Positron

( ) ( ) ( ) ( )220

2220

22 cmpcWcmpcW +±=⇒+=

Teilchen und Antiteilchen vernichten sichvollständig zu Energie (Photonen): E=2mc2.

Umgekehrt werden Teilchen und Antiteilchen auch immer nur paarweise aus Energie erzeugt.


Exotische Atome: Positronium / QuarkoniumJ/Ψ

Achtung:In der Kernphysik andere Nomenklatur für Hauptquantenzahl N

cc

Bei kleinen Abständenist QCD-Potenzial zwischen Quarks in etwa proportional 1/r … wie CoulombPositronium ähnlich Quarkonium


Vier Grundkräfte der Natur

• Elektromagnetische Wechselwirkung

• Starke Wechselwirkung

• Schwache Wechselwirkung

• Gravitation


QuantentheorienNicht-relativistische QuantenmechanikSchrödinger-Gleichung

Relativistische QuantenmechanikDirac-Gleichung (Spin, g-Faktor des Spins, Antiteilchen)

Quantenfeldtheorienem WW: Quantenelektrodynamik (QED)(g-Faktor des Elektrons, „Lamb-Shift“, natürliche Linienbreite)

Schwache Wechselwirkung (Vereinigung mit em WW):Elektro-schwache Wechselwirkung

Starke Wechselwirkung: Quantenchromodynamik (QCD)

Gravitation ???

Große Vereinigung (GUT) aller vier Wechselwirkungen … still to be done


„Geschichte des

Universums“

Einige Schritte im Detail noch unverstanden!Z.B. wenn Energie sich inTeilchen-Antiteilchen-Paarewandelt, warum sehen wir im Universum aber praktisch nur Teilchen!?!

Struktur im ganz Großenhängen mit Struktur imganz Kleinen zusammen… Erfolg des atomistischenAnsatzes


Materiezusammensetzung

?? ? ? ?

Kosmische Hintergrundstrahlung: nur 4% des Universums besteht aus den heute bekannten Arten von Materie bzw. Energie?!?

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