PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL
Sri Rahmadhanningsih
SMA NEGERI 1 PONTIANAK
BENTUK 1 : 𝒂𝒇 𝒙 = 𝒂𝒎
Jika 𝒂𝒇 𝒙 = 𝒂𝒎 , 𝒂 > 𝟎 dan 𝒂 ≠ 𝟏, maka 𝒇 𝒙 = 𝒎Perhatikan !
Basisnya SAMA, maka eksponennya harus SAMA, sehingga f(x)=m
Dalam kasus ini, eksponen pertama berbentuk sebuah fungsi, sedangkan eksponen kedua konstanta
Contoh Soal : Tentukan nilai x yang memenuhi dari persamaan:
1. 4𝑥 = 8
2. 4𝑥+1 = 0,25
Penyelesaian Soal No 1 : 4𝑥 = 8
4𝑥 = 8 (Samakan bentuk basisnya, TIPS : Ambil basis terkecil)
22𝑥 = 23 (Perhatikan basisnya)
Karena nilai basis telah sama, yaitu sama-sama 2, maka hubungkan kedua eksponen dengan tanda sama dengan, sehingga diperoleh
2𝑥 = 3
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 3
2
Penyelesaian Soal No 2 : 4𝑥+1 = 0,25
4𝑥+1 = 0,25 (Ubah 0,25 dalam bentuk pecahan)
4𝑥+1 =1
4(Ingat sifat eksponen
1
𝑎= 𝑎−1
4𝑥+1 = 4−1 (Perhatikan Basisnya)
Karena nilai basis telah sama, yaitu sama-sama 4, maka hubungkan kedua eksponen dengan tanda sama dengan, sehingga diperoleh
𝑥 + 1 = −1 (Tambahkan kedua ruas dengan -1)
𝑥 = −1 − 1 (Selesaikan)
𝑥 = −2
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = -2
BENTUK 2 : 𝒂𝒇 𝒙 = 𝒂𝒈 𝒙
Jika 𝒂𝒇 𝒙 = 𝒂𝒈(𝒙) , 𝒂 > 𝟎 dan 𝒂 ≠ 𝟏, maka 𝒇 𝒙 = 𝒈(𝒙)
Perhatikan !
Basisnya SAMA, maka nilai eksponennya harus SAMA, sehingga f(x)=g(x)
Dalam kasus ini, eksponen pertama dan eksponen kedua sama-sama sebuah fungsi, tetapi bentuk fungsinya berbeda
Contoh Soal : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:
1. 100𝑥2−3𝑥−4 = 10𝑥
2−2𝑥−3
2.33𝑥+7 =
1
27
3−2𝑥
Penyelesaian No 1 : 100𝑥2−3𝑥−4 = 10𝑥
2−2𝑥−3
100𝑥2−3𝑥−4 = 10𝑥
2−2𝑥−3 (Samakan basis kedua ruas, yaitu jadikan 10)
(102)𝑥2−3𝑥−4 = 10𝑥
2−2𝑥−3 (Ingat ! (𝑎𝑏)𝑐= 𝑎𝑏𝑐 )
102 𝑥2−3𝑥−4 = 10𝑥2−2𝑥−3 (Perhatikan eksponen di ruas kiri ! Kalikan 2 ke
𝑥2 − 3𝑥 − 4
102𝑥2−6𝑥−8 = 10𝑥
2−2𝑥−3 (Perhatikan basis kedua ruas )
Karena basis telah sama, maka hubungkan kedua eksponen dengan tanda sama dengan, sehingga diperoleh
2𝑥2 − 6𝑥 − 8 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 (Selesaikan, buat salah satu ruas bernilai 0)
2𝑥2 − 𝑥2 − 6𝑥 + 2𝑥 − 8 + 3 = 0
𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0 (Faktorkan persamaan yang diperoleh)
Lanjutan No 1 :
Faktorkan 𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0↔ 𝑥 − 5 𝑥 + 1 = 0↔ 𝑥 = 5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −1
Jadi, 𝐻𝑃 = {−1, 5}
Penyelesaian No 2 : 33𝑥+7 =
1
27
3−2𝑥
33𝑥+7 =
1
27
3−2𝑥(Ubah bentuk akar jadi pangkat pecahan)
3𝑥+71
3 =1
33
3−2𝑥(Ubah bentuk basis
1
33= 3−3
3𝑥+71
3 = 3−3 3−2𝑥 ( Ingat ! 𝑎𝑏𝑐= 𝑎𝑏𝑐
3𝑥+7
1
3 = 3 −3 3−2𝑥 (Perhatikan basis kedua ruas )
Karena basis telah sama, maka hubungkan kedua eksponen dengan tanda sama dengan, sehingga diperoleh
𝑥 + 71
3= −3 3 − 2𝑥
𝑥 + 7 = −9 3 − 2𝑥𝑥 + 7 = −27 + 18𝑥
7 + 27 = 18𝑥 − 𝑥34 = 17𝑥𝑥 = 2
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x=2
BENTUK 3 : 𝒂𝒇 𝒙 = 𝒃𝒇 𝒙
Jika 𝒂𝒇 𝒙 = 𝒃𝒇(𝒙) , 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏, 𝒃 > 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟏, dan 𝒂 ≠ 𝒃, maka 𝒇 𝒙 = 𝟎Perhatikan !Basisnya BEDA, maka eksponennya harus bernilai NOL, sehingga f(x)=0
Dalam kasus ini, eksponen pertama dan eksponen kedua mempunyai bentuk fungsi yang SAMA
Contoh Soal :
1. 52𝑥−6 = 32𝑥−6
2. 5𝑥2−𝑥−2 = 7𝑥
2−𝑥−2
Penyelesaian No 1 : 52𝑥−6 = 32𝑥−6
52𝑥−6 = 32𝑥−6
Karena basisnya berbeda, namun eksponennya sama, maka diperoleh
2𝑥 − 6 = 02𝑥 = 6𝑥 = 3
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3
Penyelesaian No 2 : 5𝑥2−𝑥−2 = 7𝑥
2−𝑥−2
5𝑥2−𝑥−2 = 7𝑥
2−𝑥−2
Karena basisnya berbeda, namun eksponennya sama, maka diperoleh
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0𝑥 − 2 𝑥 + 1 = 0𝑥 = 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −1
Jadi, HP = {-1, 2}
BENTUK 4 : 𝒉(𝒙)𝒇 𝒙 = 𝒉(𝒙)𝒈 𝒙
Jika 𝒉 𝒙 𝒇 𝒙 = 𝒉 𝒙 𝒈 𝒙 ,𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒂𝒅𝒂 𝒃𝒆𝒃𝒆𝒓𝒂𝒑𝒂 𝒌𝒆𝒎𝒖𝒏𝒈𝒌𝒊𝒏𝒂𝒏, 𝒚𝒂𝒊𝒕𝒖:
1. Eksponen : 𝐟 𝐱 = 𝐠 𝐱
2. Basis ∶ 𝐡 𝐱 = 𝟏, sebab 𝟏𝐟 𝐱 = 𝟏𝐠 𝐱 = 𝟏3. Basis ∶ 𝐡 𝐱 = 𝟎, dengan syarat 𝐟 𝐱 dan 𝐠 𝐱 keduanya bernilai positif4. Basis ∶ 𝒉 𝒙 = −𝟏, dengan syarat 𝒇(𝒙) dan 𝒈(𝒙) keduanya genap atau
keduanya ganjil
Catatan : Basis mempunyai bentuk fungsi yang SAMA, tetapi Eksponennya mempunyai bentuk fungsi yang BEDA
Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 𝑥 + 3 2𝑥−1 = 𝑥 + 3 𝑥+2
Penyelesaian : 𝑥 + 3 2𝑥−1= 𝑥 + 3 𝑥+2
Ada beberapa kemungkinan penyelesaian, yaitu :
1. Eksponen : 𝐟 𝐱 = 𝐠 𝐱
2𝑥 − 1 = 𝑥 + 2
2𝑥 − 𝑥 = 2 + 1
𝑥 = 3
2. Basis ∶ 𝐡 𝐱 = 𝟏, sebab 𝟏𝐟 𝐱 = 𝟏𝐠 𝐱 = 𝟏
𝑥 + 3 = 1
𝑥 = 1 − 3
𝑥 = −2
3. Basis ∶ 𝐡 𝐱 = 𝟎, dengan syarat 𝐟 𝐱 dan 𝐠 𝐱 keduanya bernilai positif
𝑥 + 3 = 0
𝑥 = −3
Karena ada syarat f(x) dan g(x) keduanya bernilai positif, maka nilai x yang diperoleh harus di substitusikan ke f(x) dan g(x) untuk mengecek apakah hasilnya bernilai positif atau negatif
𝑥 = −3 → 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1
𝑓 −3 = 2 −3 − 1
= −6 − 1
= −7
Karena didapat salah satu nilainya negatif, yaitu 𝑓 𝑥 = −7 < 0
Maka, untuk nilai x = -3 tidak memenuhi penyelesaian yang dicari
Basis ∶ 𝒉 𝒙 = −𝟏, dengan syarat 𝒇(𝒙) dan 𝒈(𝒙) keduanya genap atau keduanya ganjil
𝒙 + 𝟑 = −𝟏𝒙 = −𝟏 − 𝟑𝒙 = −𝟒
Karena ada syarat f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil, maka nilai x yang diperoleh harus di substitusikan ke f(x) dan g(x) untuk mengecek apakah hasilnya bilangan genap atau ganjil.
𝑥 = −4 → 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1
𝑓 −4 = 2 −4 − 1
= −8 − 1
= −9
Perhatikan! 𝒇 −𝟒 bilangan ganjil dan 𝒈(−𝟒) bilangan genap, maka tidak memenuhi syarat, sehingga x = -4 tidak memenuhi penyelesaian
𝑥 = −4 → 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2𝑔 −4 = −4 + 2
= −2
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 𝑥 = −2 dan 𝑥 = 3, sehingga himpunan penyelesaiannya : HP = {-2, 3}
BENTUK 5 : 𝒇(𝒙)𝒉 𝒙 = 𝒈(𝒙)𝒉 𝒙
Jika 𝐟 𝐱 𝐡 𝐱 = 𝐠 𝐱 𝐡 𝐱 ,𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒑𝒆𝒏𝒚𝒆𝒍𝒆𝒔𝒂𝒊𝒂𝒏𝒏𝒚𝒂𝒎𝒆𝒏𝒈𝒈𝒖𝒏𝒂𝒌𝒂𝒏 𝒄𝒂𝒓𝒂 𝒃𝒆𝒓𝒊𝒌𝒖𝒕 ∶
1. Eksponen : 𝒉 𝒙 = 𝟎, dengan syarat Basis : 𝒇(𝒙) ≠ 𝟎 dan 𝒈 𝒙 ≠ 𝟎2. Samakan kedua basis: 𝒇 𝒙 = 𝒈(𝒙)
Catatan : Basis mempunyai bentuk fungsi yang BEDA, tetapi Eksponennya mempunyai bentuk fungsi yang SAMA
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
𝑥2 − 5𝑥 + 9 𝑥2−4𝑥+3 = 2𝑥 + 3 𝑥2−4𝑥+3
Penyelesaian : 𝑥2 − 5𝑥 + 9 𝑥2−4𝑥+3 = 2𝑥 + 3 𝑥2−4𝑥+3
Bentuk diatas, termasuk persamaan eksponensial dengan
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 9
𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3
ℎ 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3
Penyelesaian dapat dilakukan dengan cara berikut:
1. Eksponen : 𝒉 𝒙 = 𝟎, dengan syarat Basis : 𝒇(𝒙) ≠ 𝟎 dan 𝒈 𝒙 ≠ 𝟎
ℎ 𝑥 = 0 → x2 − 4x + 3 = 0
𝑥 − 3 𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 1
Karena ada syarat f(x) dan g(x) keduanya tidak nol maka nilai x yang diperoleh harus di substitusikan ke f(x) dan g(x) untuk mengecek apakah hasilnya nol atau tidak
𝑥 = 3 → 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 9
𝑓 3 = 3 2 − 5 3 + 9
= 9 − 15 + 9
= 3
Karena 𝑓 3 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑔 3 ≠ 0, maka x = 3 memenuhi penyelesaian
𝑥 = 1 → 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 9
𝑓 1 = 1 2 − 5 1 + 9
= 1 − 5 + 9
= 5
Karena 𝑓 1 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑔 1 ≠ 0, maka x = 1 memenuhi penyelesaian
𝑥 = 3 → 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3
𝑔 3 = 2 3 + 3= 6 + 3
= 9
𝑥 = 1 → 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3
𝑔 1 = 2 1 + 3= 2 + 3
= 5
2. Samakan kedua basis: 𝒇 𝒙 = 𝒈(𝒙)
𝒇 𝒙 = 𝒈 𝒙
𝑥2 − 5𝑥 + 9 = 2𝑥 + 3
𝑥2 − 5𝑥 − 2𝑥 + 9 − 3 = 0
𝑥2 − 7𝑥 + 6 = 0
𝑥 − 6 𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 6 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 1
Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial tersebut adalah 𝒙 = 𝟏, 𝒙 = 𝟑, 𝒅𝒂𝒏 𝒙 = 𝟔
BENTUK 6 : 𝑨 𝒂𝒇 𝒙 𝟐+ 𝑩 𝒂𝒇 𝒙 + 𝑪 = 𝟎
Jika 𝑨 𝒂𝒇 𝒙 𝟐+ 𝑩 𝒂𝒇 𝒙 + 𝑪 = 𝟎, dengan 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏, 𝑨 ≠ 𝟎, dan 𝑨,𝑩, 𝑪 ∈ 𝑹, maka penyelesaiannya dapat
menggunakan langkah berikut:
1. Gunakan pemisalan 𝒚 = 𝒂𝒇 𝒙 , sehingga persamaan eksponen berubah bentuk menjadi persamaan kuadrat
dalam variabel y , yaitu
𝑨𝒚𝟐 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
𝐏𝐄𝐑𝐇𝐀𝐓𝐈𝐊𝐀𝐍 𝐓𝐔𝐋𝐈𝐒𝐀𝐍 𝐁𝐄𝐑𝐖𝐀𝐑𝐍𝐀𝐌𝐄𝐑𝐀𝐇
2. Faktorkan 𝑨𝒚𝟐 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎, untuk menentukan nilai y
3. Substitusikan nilai y yang diperoleh ke 𝒚 = 𝒂𝒇 𝒙 , sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
22𝑥+1 + 2𝑥 − 3 = 0
Penyelesaian: 22𝑥+1 + 2𝑥 − 3 = 0
22𝑥+1 + 2𝑥 − 3 = 0 (Ingat ! 𝑎𝑏+𝑐 = 𝑎𝑏 . 𝑎𝑐
↔ 22𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0 (Sifat komutatif / pertukaran : 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎)
↔ 2. 22𝑥 + 2𝑥 − 3 = 0 (Ingat ! 𝑎𝑏𝑐 = 𝑎𝑏𝑐
↔ 2. 2𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0 (Gunakan pemisalan)
Misalkan 𝑦 = 2𝑥, maka diperoleh
2𝑦2 + 𝑦 − 3 = 0
2𝑦 + 3 𝑦 − 1 = 0
𝑦 = −3
2atau 𝑦 = 1
Substitusikan nilai y yang diperoleh ke 𝑦 = 2𝑥
𝑦 = −3
2→ 𝑦 = 2𝑥
−3
2= 2𝑥
Tidak ada nilai x yang memenuhi
2𝑥 = −3
2
Jadi, HP = {0}
𝑦 = 1 → 𝑦 = 2𝑥
1 = 2𝑥
Nilai x yang memenuhi 2𝑥 = 1 adalah x = 0
SIFAT-SIFAT DASAR PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL
Diketahui eksponen 𝑎𝑓(𝑥), dengan 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1
Jika 𝑎 > 1, maka “Tanda Pertidaksamaan Tetap”
𝑎𝑓 𝑥 ≥ 𝑎𝑔 𝑥 ⇒ 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥𝑎𝑓 𝑥 ≤ 𝑎𝑔 𝑥 ⇒ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔(𝑥)
Jika 0 < 𝑎 < 1, maka “Tanda Pertidaksamaan Dibalik”
𝑎𝑓 𝑥 ≥ 𝑎𝑔 𝑥 ⇒ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥𝑎𝑓 𝑥 ≤ 𝑎𝑔 𝑥 ⇒ 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥)
Contoh Soal :
Tentukan HP dari setiap pertidaksamaan berikut :
1. 3x < 1
2. 1
3x−4≥
1
3 3
3. 32𝑥+1 − 4 . 3𝑥+2 + 34
PENYELESAIAN SOAL NOMOR 1
3x < 1↔ 3𝑋 < 30
Karena basisnya 3 dan 3 > 0, maka tanda pertidaksamaan tetap, sehingga diperoleh
𝑥 < 0
Jadi, HP = {𝑥|𝑥 < 0, 𝑥 ∈ 𝑅)
PENYELESAIAN SOAL NOMOR 21
3x−4≥
1
3 3
↔1
3x−4≥
1
3 312
↔1
3x−4≥
1
31+12
↔1
3x−4≥
1
3112
↔1
3
𝑥−4≥
1
3
1
2
Karena basisnya 1
3dan 0 <
1
3< 1, maka
“Tanda Pertidaksamaan Dibalik”, Sehingga diperoleh
𝑥 − 4 ≤ 11
2
𝑥 ≤ 11
2+ 4
𝑥 ≤ 51
2
Jadi, HP = {𝑥|𝑥 < 51
2, 𝑥 ∈ 𝑅}
PENYELESAIAN SOAL NOMOR 3