-
HIMPUNAN
A. PENDAHULUAN :
1. Himpunan ( Set ) : Sekelompok atau satu koleksi / daftar dari
obyek-obyek
yang berada dalam satu kesatuan.
Obyeknya berupa bilangan, orang , huruf dsb.
Obyek tersebut dinamakan elemen atau unsur atau anggota.
2. Notasi : Himpunan dinyatakan dengan huruf besar
Misalkan sbb : A, B, C, dst.
Obyeknya dinyatakan dengan huruf kecil : misalkan a, b, c,
dst.
Mis : D = {a, b, c, d} disebut a D
3. Cara menyatakan suatu himpunan :
a. Pendaftaran ( tabular ) :
Contoh :
A= { 1, 2, 3, 4, 10}
b. Ciri-ciri
Ditandai dengan{}
A= { x | x adalah nama bulan dalam setahun }
R= { x | 3 adalah < x < 9 , x bilangan asli }
4. Beberapa statement :
Ada himpunan yang tidak bisa dinyatakan denagn cara pencirian
seperti :
X ={ baju si A, sepeda si B, ayam si C, cincin si D }
Himpunan finite adalah himpunan terbatas, sedangkan himpunan
infinite
merupakan himpunan tak terbatas.
Contoh :
- Himpunan finite : A = { 1, 2, 3, ..1000 }
- Himpunan infinite : B = { 1, 2, 3, . }
Contoh: 1. Yang merupakan himpunan adalah:
a. Himpunan warna lampu lalu lintas
b. Kumpulan bilangan prima kurang dari 10
c. I = { x x < 10, x bilangan cacah }
-
d. H = { 1, 3, 5, 6 }
Penjelasan:
a. Obyek pada himpunan warna lampu lalu lintas dapat
didefinisikan dengan jelas, yaitu merah, kuning dan hijau.
b. Obyek pada kumpulan bilangan prima kurang dari 10 adalah 2, 3
,5 dan 7. c. Obyek pada himpunan I adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
dan 9 d. Obyek pada himpuanan H sudah jelas yaitu 1, 3, 5 dan 6
2. Yang bukan merupakan himpunan adalah:
a. Kumpulan warna yang menarik b. Kumpulan lukisan yang indah c.
Kumpulan siswa yang pintar d. Kumpulan rumah bagus
B. MACAM MACAM HIMPUNAN :
1. HIMPUNAN YANG SAMA.
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B , jika kedua
himpunan itu
memiliki anggota yang sama.
Contoh :
A = { 2, 3, 4 } B = { 2, 3, 4 }
C = { 1, 2, 2, 1 } D = { 1, 2 }
Dikatakan A = B dan C = D
2. HIMPUNAN KOSONG
Himpunan yang tidak memiliki anggota. Dilambangkan dengan : { }
atau
Catatan :
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari seluruh
himpunan.
Contoh
1. Himpunan bilangan genap kurang dari 2
2. Himp Bilangan Genap yang habis dibagi 3
3. HIMPUNAN BAGIAN ( subset ) :
Dilambangkan dengan :
A disebut himpunan bagian dari B, jika setiap elemen atau unsur
himpunan
A, juga anggota himpunan B.
Contoh :
A = { 5, 6, 7 }
-
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Dikatakan : A B
Himpunan Bagian Murni : Jika setiap anggota A juga anggota B,
dan
sekurang-kurangnya ada satu anggota himpunan B yang bukan
anggota himpunan A.
Dinyatakan dengan : A B dan A B
Contoh : C = { 1, 3, 5 }
D = { 5, 4, 3, 2, 1 }
Dikatakan C D
Catatan : A B (subset), dapat ditulis dengan
B A (superset)
Jumlah himpunan bagian dari suatu himpunan dirumuskan sbb :
Banyak himpunan bagian = 2n
n : jumlah unsur himpunan tersebut
contoh :
Misalkan A = {a, b, c }, berapa buah himpunan bagian dari A
?
Jawab : Himpunan bagian dari A : 23 = 8 buah.
4. Anggota himpunan:
Setiap benda atau obyek yang termasuk dalam suatu himpunan
disebut anggota atau elemen dan dilambangkan dengan " ", sedang
untuk menyatakan bahwa suatu benda atau obyek bukan anggota suatu
himpunan digunakan lambang " ".
Contoh: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } P = { 2, 4, 6, 8,
10 } dan Q = { 1, 3, 5 }
Maka : 2 P atau 2 anggota P
6 P atau 6 anggota P 3 P atau 3 bukan anggota P
1 P atau 1 bukan anggota P
3 Q atau 3 anggota Q
5 Q atau 5 anggota Q
-
Diagram Garis (line diagram) :
Cara lain untuk menggambarkan hubungan-hubungan diantara
himpunan,
disebut dengan diagram garis.
Contohnya :
- A B digambarkan sbb : B
A
- A B dan B C : C
B
A
- Mis P = { a }
Q = { b }
R = { a, b }
Maka diagram garisnya sbb : R
P Q
LATIHAN :
Buat diagram garis dari :
A= {x}
B= {x, y }
C= {x, y, z}
D= {x, y, w}
4. PERBANDINGAN HIMPUNAN
-
- Himpunan A dan himpunan B dapat dibandingkan jika A B atau B
A
- Dua himpunan tidak dapat dibandingkan jika :
A B ; B A
Contoh :
A= {a, b, c, d}
B= {b,c}
C= {b, c, d, e}
Maka himpunan A dapat dibandingkan dengan himpunan B.
5. HIMPUNAN SEMESTA ( Universal Set )
Suatu himpunan yang punya anggota-anggota dari lingkup masalah
yang
diselidiki.
Misalkan :
U = adalah himpunan dari mahasiswa-mahasiswa UI
Maka :
U = {x | x adalah mahasiswa UI }
P = {x | x adalah mahasiawa FEUI }
Q = {x | x adalah anggota MAPALA UI }
Dikatakan P U dan Q U, sehingga U disebut sebagai himpunan
semesta.
Gambar diagram venn :
6. HIMPUNAN KOMPLEMEN :
Komplemen himpunan A adalah setiap x yang bukan anggota himpunan
A.
Dinyatakan dengan : A = Ac = {x |x A }
Contoh : U = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
A = { 1,2,3,5,7,9 }
Maka A = Ac = { 4, 6, 8 } disebut komplemen A
u
-
7. BILANGAN KARDINAL : jumlah unsur atau anggota dari suatu
himpunan.
Notasi : n ( A ) atau |A|
Contoh :
A = {x | x adalah nama hari seminggu }
Dikatakan n ( A ) = 7 atau |A| = 7
Catatan :
Nilai bilangan kardinal ada yang berhingga dan ada yang tak
berhingga.
8. HIMPUNAN SEDERAJAT :
Dua himpunan atau lebih yang memiliki bilangan kardinal sama,
disebut
sederajat.
Contoh : A = { 1,2,3 } B = { a,b,c }
Maka : n( B ) dan disebut sederajat.
9. HIMPUNAN LEPAS DAN BERSENDI
Suatu himpunan disebut bersendi jika himpunan-hipunan tersebut
memiliki
unsur yang sama .
Contoh : A = {a,b,c,d}
B = {b,c}
A dan B bersendi ; unsur yang sama (b,c) disebut unsur sekutu
.
Kesimpulan :
- Dua himpunan atau lebih disebut bersendi (joint) , jika
masing-masing
himpunan mengandung paling sedikit satu unsur sekutu.
- Dua atau lebih himpunan yang tidak memiliki unsur sekutu
dinamai
himpunan lepas ( disjoint set ).
10. PRODUCT SET
Product set dari himpunan A dan himpunan B , adalah kumulan dari
pasangan
(a,b) dimana a A dan b B
Jumlah product set dari himpunan A dengan m anggota dan himpunan
B
dengan n anggota =
m . n anggota
Notasi : A x B = { (a,b) | a A dan b B }
Contoh :
- Bila A = {a,b,c} dan B = {1,2}
-
Maka : A x B = { (a,1) , (a,2) , (b,1) , (b,2) , (c,1) , (c,2)
}
B x A = { (1,a) , (2,a) , (1,b) , (2,b) , (1,c) , (2,c) }
- Bila W = {1,2,3} maka :
W x W = { (1,1) , ( 1,2) , ,.(3,2) , ( 3,3) }
C. OPERASI HIMPUNAN
1. OPERASI GABUNGAN , notasinya U
A U B = {x | x A atau x B }
Contoh :
A = {1,2,3,4,5}
B = {4,5,7,8,9}
A U B = {1,2,3,4,5,,7,8,9}
2. OPERASI IRISAN, notasinya
Notasi : A B = { x | x A dan x B }
Contoh :
C = {x | 0 < x < 6 }
D = {x | 2 < x < 10 }
C D = {x |2 < x < 6 }
3. OPERASI SELISIH, notasinya
A B = {x | x A dan x B }
Contoh :
A = { 1,2,3,4,5 }
B = { 4,5,7,8,9 }
Maka A B = {1,2,3}
B A = {7,8,9}
4. OPERASI BILANGAN ANGGOTA (kardinal)
Rumus :
n( A U B ) = n(A) + n(B) n(A B)
n(S) = n(A U B) + n(A U B)c
sifat-sifat :
a. A ( B U C ) = ( A B ) U ( A C )
b. A U ( B C ) = ( A U B ) ( A U C )
c. ( A U B )c = Ac Bc
-
d. ( A B )c = Ac U Bc
e. merupakan himpunan bagian dari semua himpunan.
f. n(A U B U C ) = n(A) + n(C) +n(B) n(A B) - n(A C) - n(B C) +
n(A
B C)
5. HUKUM HUKUM OPERASI HIMPUNAN
a. Komutasi : - A U B = B U A (gabungan)
- A B = B A (irisan)
b. Asosiasi : - (AUB) U C = A U (B U C) (gabungan)
- (A B) C = A (B C) (irisan)
c. Distribusi : - A (B U C) = (A B) U (A C)
- (A U B) C = ( A C ) U ( B C )
- A U ( B C ) = ( A U B ) ( A U C )
d. Hukuum Demokran:
- ( A U B ) = A ^ B
- ( A B ) = A U B
e. Hukum Identitas :
- A U A = A dan A A = A
- A U = A dan A =
- A U A = U dan A A =
- U U A = U dan U A = A
- = U dan ( U ) =
- ( A ) = A
f. Sifat-Sifat Himpunan :
Jika A B dan B C, Maka A C
Jika A C dan A B, Maka A ( B C )
Jika A C Maka C A
Jika A U Maka U- ( U-A ) =A
Jika A B Maka ( U-B) (U-A )
Jika A U Maka A ( u-A ) =
-
Jika A B Maka A ( B U C ) ; C: Sembarang Himp.
Jika ( A-B ) = A Maka A Dan B Adalah Himpunan Lepas.
Jika A B Maka n ( A U B ) = n ( A ) + n ( B ) n ( A B )
Jika A B = Maka n ( A U A ) = n ( A )
6. DIAGRAM VEN
Diagram Venn merupakan bentuk sederhana yang dapat
menggambarkan,
bagaimana hubungan suatu himpunan dengan himpunan lainnya.
Ketentuan :
a. Himpunan Universal ( semester ) digambarkan dalam bentuk
empat
persegi panjang, seperti :
b. Himpunan yang lainnya digambarkan dalam bentuk daerah
tertutup
didalam himpunan semesta
Contoh :
Bila himpunan semesta tidak dituliskan,maka empat persegi
panjang tadi
dihilangkan.
c. Elemen-elemen (anggota) dari suatu himpunan digambarkan
dengan
bentuk titik-titik.
Contoh :
Z = ( 1,2,3,4,5 ), maka digambarkan sebagai berikut :
u
.1 .4 .2 .3 .5
u
-
d. operasi diagram venn : - operasi irisan
- operasi gabungan
- operasi selisih
- operasi tambahan
1. Diketahui S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 12 } A = { 1, 2, 4,
6, 9 } B = { 4, 5, 9, 10, 12 }
a. Gambarkan pada diagram Venn b. Tentukan A B
Jawab : a.
-
b. A B = {4,9}
2. Diketahui P = { bilangan prima kurang dari 13} Q = { 3, 5 }
a. Gambarkan pada diagram Venn b. Tentukan P Q
Jawab: a. P = { 2, 3, 5, 7, 11 } Q = { 3, 5 }
b. P Q = {3,5}
3. Dalam suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa ternyata 24
siswa gemar basket, 30 siswa gemar tenis, dan 2 siswa tidak gemar
kedua jenis olah raga tersebut. Berapakah siswa yang gemar basket
dan tenis? Jawab:
-
Misalkan S = { siswa } B = { siswa gemar basket } T = { siswa
gemar tenis } Banyak siswa yang gemar basket dan tenis = x orang,
siswa yang gemar basket saja ada (24 x) orang, dan yang gemar tenis
saja ada (30 x) orang, maka : (24 x) + x + (30 x) + 2 = 40 24 x + x
+ 30 x + 2 = 40 54 x + 2 = 40 56 x = 40 - x = 40 56 - x = - 16 x =
16
Jadi ada 16 siswa yang gemar basket dan tenis
4. Diketahui K = { bilangan asli genap kurang dari 12 } L = {
bilangan asli ganjil kurang dari 12 } Tentukan : a. Diagram
Venn-nya
b. K L Jawab :
a. Anggota K = { 2, 4, 6, 8, 10 } dan L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11
}
b. K L = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 }
5. Dalam suatu kelompok anak, terdapat 24 anak suka makan baso,
32 anak suka makan mie ayam, 12 anak suka baso dan mie ayam, sedang
3 anak
-
tidak suka kedua-duanya. Berapakah banyaknya anak dalam kelompok
itu ? Jawab : Misalkan, S = { anak } B = { anak suka makan baso} M
= { anak suka makan mie ayam } n(B) = 24, n(M) = 32 dan n(B M) = 12
Banyak anak dalam kelompok tersebut n(S) = n(B) + n(M) - n(BM) + 3
= 24 + 32 - 12 + 3 = 56 12 + 3 = 44 + 3 = 47 anak
HIMPUNAN BILANGAN
1. Bilangan Asli /bulat positif : 1,2,3,4,.
2. Bilangan Nol : m.0 = 0 untuk setiap m
3. Bilangan bulat negative : .-4,-3,-2,-1
4. Bilangan bulat .-4,-3,-2,-1,0, 1,2,3,4,.
5. Bilangan rasional : bilangan yang dinyatakan denagan q = m/n
u n 0 dan
tiap pecahan decimal yang berulang
6. Bilangan irasional bilangan yang dinyatakan denagan a/b b 0
dan tiap
pecahan decimal yang tak berulang
7. Bilangan real : bilangan gabungan antara rasional dan
irasional
8. Bilangan imajiner bilangan yang dinyatakan dng i = -1
9. Bilangan complex : bilangan gabungan antara imajiner dengan
real : 2 + 3 i
-
Diagram Himpunan
SIFAT_SIFAT OPERASI DALAM BILANGAN
1. Sifat Komutatif ( pertukaran)
a + b = b + a
a x b = b x a
2. Sifat Assosiatif ( Pengelompokan )
(a + b) + c = (b + c) + a
(a x b ) x c = (b x c ) x a
3. Sifat Distributif ( Penyebaran)
(a + b) x c = (b x c) + ( a x c)
(a - b) x c = (b x c) - ( a x c)
Bilangan Kompleks
Bilangan Real
Bilangan Rasional Bilangan Irasional
Bilangan Bulat
Bulat Negatif
Zero Bulat Positif/Asli
Bilangan Prima
Bilangan Imajiner
Bilangan Pecahan
Bil Ganjil Bil Genap Bil Komposit
Bilangan Cacah
-
(a + b) = a + b c c c (a - b) = a - b c c c
PANGKAT (EKSPONEN)
1. Pangkat Bilangan Bulat Postif Bentuk Umum A = Bilangan Pokok
n = Pangkat atau eksponen Sifat-sifat pangkat bilangan Positif
a. An x Am = A m+n b. An = A n - m
Am c. ( A x B )n = An x Bn d. A n = An
B Bn
2. Pangkat Bilangan Bulat Negatif dan No
A-n = 1 An
A0 = 1 3. Pangkat Pecahan
Am/n = n A m
OPERASI BENTUK AKAR
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
n A + m A = n+m A
n A - m A = n-m A
2. Perkalian Bentuk Akar
A x B = A B
n A x m B = nm AB
3. Pembagian bentuk akar n A = n A n B B
4. Merasionalkan penyebut
An
-
A = A x B B B B
5. Persamaan Pangkat sederhana
Jika A m = A n maka m = n
Fungsi dan Grafiknya
Konsep Fungsi
Definisi: Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi
khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu
anggota himpunan B Dengan diagram panah dapat ditunjukkan bahwa
:
Ini adalah fungsi, sebab setiap anggota himpunan A dipasangkan
dengan tepat satu anggota B
-
Ini bukan fungsi, sebab ada anggota himpunan A yaitu 2 yang
tidak dipasangkan dengan anggota B Pada diagram panah berikut :
Himpunan A = {1 , 2 , 3 } dinamakan Domain / daerah asal
Himpunan B = { a , b , c } dinamakan Kodomain / daerah kawan
Himpunan { a , b } dinamakan Range / daerah hasil Pemasangan yang
terjadi oleh fungsi f adalah : Fungsi f memetakan semua anggota
himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B,yaitu : f : 1 b f :
2 a f : 3 b
Notasi dan Rumus Fungsi Jika suatu fungsi f memetakan setiap x
anggota himpunan A ke y anggota himpunan B, maka dapat ditulis
dengan notasi fungsi yaitu: f : x y
Fungsi f seperti dalam notasi tersebut di atas dapat juga
dituliskan rumus fungsinya, yaitu: f(x) = y Contoh : Diketahui
himpunan A = { 1, 2, 3 } dan B = { 4, 5, 6,7,8 }. Fungsi f
memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B.
a Nyatakan fungsi tersebut dengan diagram panah
b Nyatakan notasi fungsi tersebut
c Nyatakan rumus fungsi tersebut
d Nyatakan daerah asal
e Nyatakan daerah kawan
f Nyatakan daerah hasil
Jawaban : Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota
B. a. diagram panah
-
b Notasi fungsi adalah f : x x + 4
c rumus fungsi adalah f (x) = x + 4
d daerah asal adalah { 1, 2, 3 }
e daerah kawan adalah { 4, 5, 6, 7, 8 }
f daerah hasil adalah { 5, 6, 7 }
Pada materi ini akan di bahas fungsi linear dan fungsi kuadrat.
Bentuk umum fungsi linear adalah f (x) = ax + b dengan a 0
a. adalah koefisien x
b. adalah koefisien suku tetap/constanta
Contoh :
1. f (x) = x dengan nilai a = 1 dan b = 0
2. f (x) = 2x 3 dengan nilai a = 2 dan b = -3
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f (x) = ax2 + bx + c dengan a
0
a. adalah koefisien x2
b. adalah koefisien x
c. adalah koefisien suku tetap/konstanta
Contoh :
1. f (x) = x2 Dengan nilai a = 1, b = 0 dan c = 0
2. f (x) = -2x2 + 3x Dengan nilai a = -2 , b = 3 dan c = 0
3. f (x) = 3x2 2x + 1 Dengan nilai a = 3, b = -2 dan c = 1
Menentukan Nilai Fungsi
Menentukan Nilai Fungsi
Menentukan nilai fungsi f (x) adalah dengan
mensubstisusikan/mengganti nilai x yang diketahui pada rumus fungsi
f (x) tersebut
Contoh :
1. Suatu fungsi f dinyatakan dengan f (x) = 3x 2, tentukan nilai
dari :
-
a. f (0)
b. f (-5)
c. f (6)
Jawab :
a. f (x) = 3x 2 b. f (x) = 3x 2 c. f (x) = 3x - 2
f (0) = 3 0 2 f (-5) = 3 (-5) 2 f (6) = 3 6 - 2
= 0 2 = -15 2 = 18 - 2
= -2 = -17 = 16
Jadi: f (0) = -2
f (-5) = -17
f (6) = 16
2. Suatu fungsi f dinyatakan dengan f (x) = 3x2 2x + 1, tentukan
nilai dari :
a. f (0)
b f (3)
c. f (-4)
Jawab :
a. f (x) = 3x2 2x + 1
f (0) = 3 02 - 2 0 + 1
= 0 0 + 1
= 1
b. f (x) = 3x2 2x + 1
f (3) = 3 x 32 2 x 3 + 1
= 27 6 + 1
= 22
c. f (x) = 3x2 2x + 1
f (-4) = 3 (-4)2 2 (-4) + 1
= 48 + 8 + 1
= 57
Jadi: f (0) = 1
f (3) = 22
f (-4) = 57
Menentukan Bentuk Fungsi
-
Menentukan Bentuk/Rumus Fungsi Bentuk/rumus suatu fungsi dapat
ditentukan jika diketahui nilai dan data fungsi dengan menggunakan
rumus f (x) = ax + b untuk fungsi linier atau rumus f (x) = ax2 +
bx + c untuk fungsi kuadrat. Contoh : Suatu fungsi linier
didefinisikan dengan rumus f (x) = ax + b. Jika diketahui f (3) =
14 dan f (5) = 20, tentukanlah: a. nilai a dan b b. bentuk/rumus
fungsi Jawab :
a. f (x) = ax + b
f (3) = 3a + b = 14 3a + b = 14
f (5) = 5a + b = 20 3(3) + b = 14
----------------------------- - 9 + b = 14
-2a = -6 b = 5
a = 3
b. Bentuk fungsi :
f (x) = ax + b
f (x) = 3x + 5
Menggambar Sketsa Grafik Fungsi
Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Menggambar grafik fungsi pada
sistem koordinat Cartesius dapat dilakukan dengan membuat tabel
fungsi untuk menemukan perubahan nilai fungsi jika variabel x
berubah.
Langkah-langkah yang perlu dilakukan untuk manggambar grafik
fungsi adalah :
1. Buatlah tabel nilai fungsi dengan memperhatikan domain/daerah
asal
2. Hitunglah nilai f (x) dengan tabel nilai fungsi
3. Buatlah sumbu koordinat Cartesius yaitu sumbu x dan sumbu f
(x) atau y
4. Buatlah noktah yang menghubungkan nilai x dan f (x) dari
tabel baris pertama dan terakhir
5.8 Jika domainnya bilangan Real maka grafiknya tinggal dibuat
dengan menghubungkan koordinat titik-titik yang ada dengan kurva
mulus.
Contoh : Buatlah tabel fungsi dan grafiknya jika suatu fungsi
dinyatakan dengan f (x) = 2x + 5, dengan daerah asal { x | -3 x 3,
x R }
-
Jawab :
Koordinat titik yang memenuhi adalah (-3 , -1), (-2 , 1 ), (-1 ,
3), (0 , 5), (1 , 7), (2 , 9) dan (3, 11) Tempatkan titik-titik
tersebut pada bidang cartesius dengan memberi tanda noktah.
Grafiknya dapat digambar dengan menghubungkan noktah-noktah yang
ada.
Grafik Fungsi f (x) = 2x + 5, dengan daerah asal { x | -3 x 3, x
R } adalah :
Contoh : Buatlah tabel fungsi dan grafiknya jika suatu fungsi
dinyatakan dengan f (x) = x2 + 2x - 3, dengan daerah asal { x | -5
x 3, x R } Jawab :
-
Koordinat titik yang memenuhi adalah (-5 , 12), (-4 , 5 ), (-3,
0), (-2 , -3), (-1 , -4), (0 , -3), (1 , 0), (2 , 5) dan (3, 12)
Tempatkan titik-titik tersebut pada bidang cartesius dengan memberi
tanda noktah. Grafiknya dapat digambar dengan menghubungkan
noktah-noktah yang ada. Grafik Fungsi f (x) = x2 2x - 8, dengan
daerah asal { x | -5 x 3, x R } adalah :
Aljabar Logika
Tujuan : Mewujudkan kompetensi dasar dengan ditunjukkan dengan
hasil belajar
a. Dapat menggunakan Nilai kebenaran pernyataan majemuk dan
implikasinya dalam memecahkan masalah kususnya kesehatan
masyarakat
b. Dapat Menggunakan sifat dan prinsip logika dalam menarik
kesimpulan dan pembuktian dalam penulisan ilmiah
Waktu : 2 x 50 Menit
Metode : - Ceramah
- Lat soal dan Tanya jawab
-
Logika merupakan ilmu yangmempelajariu aturan aturan dalam
penalaran
(berfikir logis) baik dalam matematika, sains, dan lain-lain
khususnya dalam
penelitian. Karena logika berhubungan dengan pernyataan. Oleh
sebab itu dalam
logika hanya dikenal dua kemungkinan kebenaran saja yaitu benar
atau salah.
-
Masih ingatkah kita tentang bilangan biner yang hanya
mempergunakan angka 0
dan 1 yang dipergunakan dalam setiap instruksi komputer, dan
instruksi ini pada
hakekatnya merupakan serangkaian kombinasi logis.
1. Pernyataan/Statement, nilai kebenarn dan kalimat terbuka
A. Pernyataan/Statement
Kalimat merupakan rangkaian kata-kata yang disusun sehingga
memiliki
makna yang benar. Kalimat ini dikelompokkan mejadi kalimat
pernyataan dan bukan
pernyataan.
Dalam matematika, kalimat pernyataan memiliki ciri sebagai
berikut
Sifat Dasar : Benar atau salah, tapi tidak keduanya dan disebut
dengan
nilai kebenarannya
Contoh:
a. Sembilan adalah bilangan genap
b. Ibukota Negara Indonesia adalah Jakarta
Kalimat diatas adalah kalimat pernyataan karena kita dapat
menentukan bahwa
kalimat tersebut salah untuk (a) dan benar untuk (b)
c. P adalah bilangan prima
Adalah bukan kalimat pernyataan tetapi kalimat pemberitahuan
yang jika diberi
nilai untuk p maka akan kelihatan benar dan salahnya
d. Ani adalah gadis yang cantik
adalah bukan kalimat pernyataan yang mana kata cantik itu
relatif, tergantung dari
siapa yang mengatakan
B. Lambang dan Nilai Kebenaran
Dalam matematika, kalimat pernytaan dapat dinotasikam dengan
huruf kecil tanpa
tanda tambahan
Contoh : p, q, r
p : Bilangan cacah terkecil adalah 0
q : Tidak Bilangan genap yang prima
-
Setiap kalimat poernytaan mempunyai nilai kebenaran (B) jika
kalimat itu benar dan
(S) jika kalimat itu salah. Lambang dari kebenaran tersebut
adalah (dibaca tau) dari
huruf bahasa Yunani
Sehingga diperoleh
(p) = B dibaca nilai kebenaran pernyataan p adalah Benar
(q) = S dibaca nilai kebenaran pernyataan q adalah Salah
C. Kalimat terbuka
Adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya
karena masih
mengandung variable
Contoh
ax + 6 = 9
bp adalah bilangan ganjil
Dua kalimayt diatas bukan kalimat pernyataan yang dapat diubah
menjadi
kalimat pernyataan benar atau salah dengan mengganti nilai x dan
p
2. Konjugasi ( and/dan)
Symbol :
Dua pernyataan yang digabungkan dengan kata dan yang membentuk
pernyataan
baru
Tabel kebenaran
p Q p q
S
S
B
B
S
B
S
B
S
S
S
B
Suatu konjugasi menghasilkan nilai pernyataan itu benar jika
kedua dari pernyataan
itu benar
Contoh
Tentukan nilai kebenaran dari kunjugasi berikut:
-
a. Ibukota negara RI adalah Jakarta dan Jakarta berada di Pulau
Jawa
p= Ibukota negara RI adalah Jakarta adalah benar
q= Jakarta berada di Pulau Jawa
(p ^ q) = adalah B
b. Nyamuk DBD adalah Aedes Agepty dan Aedes Agepty bertelur
ditempat
yang keruh
p= Nyamuk DBD adalah Aedes Agepty bernilai benar
q= Aedes Agepty bertelur ditempat yang keruh adalah salah
(p ^ q) = adalah S
3. Disjungsi ( or/atau)
Symbol :
Dua pernyataan yang digabungkan dengan kata atau yang
membentuk
pernyataan baru
Tabel kebenaran
P Q p q
S
S
B
B
S
B
S
B
S
B
B
B
Suatu Disjungsi akan mempunyai nilai kebenaran salah jika kedua
pernyaan tersebut
slah dan mempunyai Nilai pernyataan itu benar jika kedua dari
pernyataan itu benar
atau salah satu dari pernyatan itu benar
Contoh
a. Nyamuk Aedes Agepty menggigit pada malam hari atau Aedes
Agepty
bertelur ditempat yang keruh
p= Nyamuk Aedes Agepty menggigit pada malam hari adalah
salah
-
q= Aedes Agepty bertelur ditempat yang keruh adalah salah
(p V q) = adalah S
b. Semua bilangan prima adalah genap atau semua persegi
panjang
mempunyai sisi sama panjang
p= Semua bilangan prima adalah genap adalah salah
q= semua persegi panjang mempunyai sisi sama panjang adalah
B
(p V q) = adalah B
4. Kalimat ingkar (negasi/negative)
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering kali melakukan
penyangkalan atau
pengingkaran sesuatu. Untuk pengingkaran tersebutkita
menggunakan kata-kata
tidak, tidak benar, atau bukan
Symbol : ~
pernyataan yang diinverskan atau kebalikan membentuk pernyataan
baru
Tabel kebenaran
p p
S
B
B
S
Nilai pernyataan itu adalah negative dari pernyataan yang
ada
Contoh
r : Semua orang bersekolah
r : tidak semua oarang bersekolah atau ada orang yang tidak
bersekolah
5. Implikasi/ Kondisional (jika, maka)
Implikasi atau pernyataan bersyarat adalah pernyataan majemuk
dari pernyataan p
dan pernyataan q dengan Symbol :
Dua pernyataan yang digabungkan dengan kata jika, maka yang
membentuk pernyataan baru. Dimana p pernyataan sebab dan q
adalah
pernyataan akibat. Jadi implikasi adalah suatu hubungan
pernyataan yang
mengandung hubungan sebab akibat walaupun pada dasarnya
nilai
-
kebenaran suatu pernyataan majemuk tidak harus ada hubungan
anatara
komponen-komponen pembentuknya
Tabel kebenaran
p Q p q
S
S
B
B
S
B
S
B
B
B
S
B
Pada tabel diatas terlihat bahwa jika pernyataan sebab benar dan
akibat salah maka
dia akan menghasilkan nilai kebaran yang salah
Contoh
Jika sesorang tergigit nyamuk Aedes Agepty maka Terdapat bintik
pada kulit
dan demam yang merupakan ciri dari penyakit DBD
p= sesorang tergigit nyamuk Aedes Age adalah benar
q= Terdapat bintik pada kulit dan demam yang merupakan ciri dari
penyakit DBD
adalah benar
p q maka menghasilkan benar
Dari suatu implikasi kita dapat mengubahnya menjadi pernytaan
baru yaitu invers,
konvers dan kontraposisi
p q Invers nya adalaha p - q
p q Konvers nya adalaha q p
p q Kontraposisi nya adalaha q - p
6. Biimplikasi/Bikondisional ( jika dan hanya jika)
Merupakan kalimat implikasi dua arah ytang menyatakan pernyataan
majemuk dari
pernytaan p dan pernyatan q yang berbentuk
( p q ) ^ ( q p)
dibaca q jika p dan p jika q sehingga menghasilkan bentuk p q
dengan
simbol :
Dibaca : a. p jika dan hanya jika q
b. p syarat perlu dan cukup bagi q
-
c. q syarat perlu dan cukup bagi p
Tabel kebenaran
P Q p q
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
S
B
Suatu pernyataan berbiimplikasi bernilai benar bila mempunyai
keduanya pernyataan
yang bernilai sama
Contoh 3 Log 27 = 3 jika dan hanya jika 3 3 = 27
p= 3 Log 27 = 3 adalah benar
q= 3 3 = 27 adalah benar
maka p q menghasilkan pernyataan benar
7. Ekuivalensi
Kita ketahui bahwa nilai kebenaran pernyataan majemuk merupakan
fungsi dari
nilai kebenaran pernytaan penyususnnya. Dua pernyataan majemuk A
dan B
dikatakan ekuivalensi jika memeilki nilai kebenaran yang samma A
= B
Berikut ini beberapa ekuivalensi yangperelu diketahui
a. Hukum Komulatif
p v q = q v p
p ^ q = q ^ p
b. Hukum assosiatif
p ^ ( q ^ r) = ( p ^ q ) ^ r
p v ( q v r ) = (p v q ) v r
c. Hukum distributif
p ^ ( q v r) = ( p ^ q ) v ( p ^ r )
p v ( q ^ r ) = (p v q ) ^ (p v r)
d. Hukum De morgan
- ( p ^ q ) = - p v q
-
- ( p v q ) = - p ^ - q
8. Tautologi
Tabel kebenaran
P p p p
S
B
B
S
B
B
Adalah jika gabungan dari beberapa pernyataan menghasilkan suatu
table kebenaran
yang bernilai benar semuanya
9. Kontradiksi
Tabel kebenaran
P p p p
S
B
B
S
S
S
Adalah jika gabungan dari beberapa pernyataan menghasilkan suatu
table kebenaran
yang bernilai salah semuanya
10. Kontingensi
Suatu pernyatan majemuk merupakan kontingensi jika nilai
kebenarannya memuat benar dan salah Tabel kebenaran
p p p p
S
B
B
S
S
S
11. Silogisme
Suatu pernyataan baru akibat dari beberapa premis yang kemudian
menghasilkan
kongklusi
Contoh
-
Jika p mengakibatkan q (premis I) p q
Jika q mengakibatkan r (premis II q r
Maka p mengakibatkan r (konklusi) p r
Contoh Jika kita sabar, maka disayang Allah premis 1 Jika kita
disayang Allah maka kita akan bahagia premis 2 Jadzi konklusinya
adalah jika kita sabar, maka kita akan bahagia
PERMUTASI DAN KOMBINASI
Tujuan : Mewujudkan kompetensi dasar dengan ditunjukkan dengan
hasil belajar
a. Dapat menggunakan Permutasi dan kombinasi dan implikasinya
dalam
memecahkan masalah kususnya kesehatan masyarakat
b. Dapat Menggunakan sifat dan prinsip logika dalam menarik
kesimpulan dan pembuktian dalam penulisan ilmiah
Waktu : 2 x 50 Menit
Metode : - Ceramah
- Lat soal dan Tanya jawab
1. Prinsip Perkalian
Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam p cara berlainan dan
kejadian berikutnya dapat terjadi
dalam q cara berlainan, maka kedua kejadian tersebut dapat
terjadi dalam (p x q) cara.
Contoh soal:
Dari kota A ke kota B dilayani oleh 3 bus dan dari B ke C oleh 2
bus. Seseorang berangkat dari
kota Ake kota C melalui B, kemudian kembali lagi ke A juga
melalui B. Jika saat kembali dari C
ke A ia tidak mau menggunakan bus yang sama, tentukan banyak
cara perjalanan orang tersebut!
Jawab:
Dari kota A ke B ada 3 bus
Kemudian dilanjutkan dari kota B ke C ada 2 bus
Saat kembali dari kota C ke B tidak menggunakan bus yang sama,
jadi hanya 1 bus yang
tersedia.
Dari kota B ke A juga tidak menggunakan bus yang sama, jadi
hanya 2 bus yang tersedia.
-
Maka banyak cara perjalanan orang tersebut adalah: 3 x 2 x 1 x 2
= 12 cara
2. Faktorial
Rumus: n! = n (n - 1) (n - 2) ........... 3-2-1
Contoh: a. 4! = 4 x 3 x 2 x 1
= 24
b. 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Permutasi
Adalah suatu susunan dari unsur-unsur dengan memerhatikan
perubahan urutan atau cara penyusunan unsur-unsur dengan
memperhatikan urutan (tempatnya).
Contoh : dari unsur-unsur bilangan 2, 3 dan 4 dapat kita susun
432, 234, 423,
342, 324, 243 adalah permutasi.
Macam-macam permutasi:
a. Permutasi sekumpulan n elemen yang berlainan diambil secara
bersama-sama.
Rumus:
nPn = n!
Contoh soal:
Kata "SAPI" terdiri atas 4 huruf, berapa banyak macam susunan
huruf yang dapat dibuat?
Jawab:
4P4=4!
= 4*3 * 2 *1= 24
Jadi, banyak macam susunan huruf yang dapat dibuat adalah 24
macam.
b. Permutasi n elemen, diambil dari r sekaligus
Rumus:
n! "Pr = (n-r)! Contoh soal:
n r = )(
!
rn
n
-
1. Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi jika akan disusun 3
huruf yang diambil dari abjad A, B, C, D, E!
Jawab:
5 3 = 5!
(5-3)! = 5!
2! = 5x4x3x2x1 2x1
= 5x4x3= 60
Jadi, banyaknya permutasi adalah 60.
2. Dari 7 orang calon akan dipilih 3 orang untuk jabatan ketua,
sekertaris dan
bendahara. Beberapa cara susunan dapat terjadi ?
Jawab : 7P3 = )!37(
!7
=
!4
!7 = 7.6.5 = 210 cara
c. Permutasi n elemen dengan beberapa elemen yang sama.
Jika diketahui ada k unsuryang sama, maka banyaknya permutasi
adalah:
P = !
!
k
n
Keterangan, k = unsur yang sama.
Contoh soal:
Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi pada kata "EMBER"
!
Jawab: n = 5 huruf k =2 huruf
P = !
!
k
n
= !2
!5
= 5.4.3.2! 2!
= 5 - 4 - 3
= 60
Jadi, banyaknya permutasi adalah 60.
-
Jika diketahui ada n unsur yang sama, n unsur yang sama dan
seterusnya sampai n berjenis k, maka
banyaknya permutasi adalah:
P = !!...2!1
!
nknn
n
P
Contoh soal: Tentukan banyaknya permutasi pada kata
"MANTAN"!
Jawab:
n = 6 huruf ; n1 = A = 2huruf
n2 = N = 2 huruf ;
P = !2!2
!6
= !2!2
!2.3.4.5.6
= !2
3.4.5.6
= 180
Jadi, banyaknya permutasi adalah 180
-
Berapa banyaknya berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada
kata : MATEMATIKA ?
Jawab :
MATEMATIKA terdiri dari 10 huruf dengan 3 huruf pertama sama
(huruf A), 2
huruf kedua sama (huruf M), dan 2 huruf ketiga sama (huruf T)
maka banyaknya
susunan.
P = !2!2!3
!10 = 151200 cara
Kata SAYA, dapat disusun dalam beberapa susunan?
Jawaban :
Dari kata SAYA, disusun seperti SAYA, SAAY, SYAA dan sebagainya
adalah
permutasi terdiri dari 4 huruf dengan 2 buah huruf sama maka
banyaknya susunan
adalah
=
!2
4,4
= !2
!4
= 1.2
1.2.3.4
= 4.3
= 12
d. Permutasi Siklis yaitu permutasi yang letak elemen-elemennya
tidak segaris, tetapi melingkar.
Rumus: P = ( n 1) !
Contoh soal:
Dengan beberapa cara 4 orang duduk pada 4 kursi di sebuah meja
melingkar!
P = ( n 1 ) !
= (4 1 ) !
= 3 !
= 3 . 2 . 1
= 6
Jadi ada 6 cara
4. Kombinasi
Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsure yang
berlainan adalah suatu
pilihandari n unsur tanpa memperhatikan urutannya (r < n).
kombinasi r unsure
-
yang diambil dari r unsur yang berlainan dinyatakan dengan nCr,
C(n.r), Cn.r atau
r
ndan dapat ditentukan dengan rumus.
Contoh :
1. Suatu team bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih dari
20 orang pemain.
Berapa macam susunan dapat dibentuk ?
Jawab :
Susunan di atas adalah suatu kombinasi sebab tidak memperhatikan
urutan
pemain.
Banyaknya cara menyusun = C(20,5) = )!520(!5
!20
= !15!5
!20
= 5.4.3.2.1
20.19.18.17.16
= 15504 cara
2. Ada beberapa cara 3 orang dipilih dari 6 orang untuk menjadi
anggota inti tim cerdas cermat!
Jawab:
Banyaknya Cara menyusun = C(6,3) = )!36(!3
!6
= !3!3
!6
= 1.2.3
4.5.6
= 20 cara
-
KEJADIAN DAN PELUANG
Tujuan : Mewujudkan kompetensi dasar dengan ditunjukkan dengan
hasil belajar
a. Dapat menggunakan Kejadian dan peluang dan implikasinya
dalam
memecahkan masalah kususnya kesehatan masyarakat
Waktu : 2 x 50 Menit
Metode : - Ceramah
- Lat soal dan Tanya jawab
Pengertian Percobaan, Frekuensi Relatif, Kejadian dan Ruang
Sampel.
Untuk mempelajari pengertian tentang kejadian dan peluang, maka
terlebih
dahulu diadakan beberapa percobaan.
Contoh :
1. Percobaan : Melempar mata uang
Hasil yang mungkin : gambar atau angka.
Contoh :
2. Misalkan dari hasil percobaan pelemparan dadu sebanyak 100
kali didapat
data sebagai berikut :
Angka 1 muncul 15 kali, angka 2 muncul 20 kali dan angka 6
muncul 21
kali.
Jadi frekuensi relative muncul angka 1 = 100
15
Frekuensi relative muncul angka genap = 100
211020 =
100
51
Pada contoh no.1 di atas gambar maupun angka disebut titik
sample dan
kumpulan dari semua titik sample disebut ruang sample atau biasa
juga disebut
dengan hasil yang mungkin. Jika A merupakan himpunan bagian dari
ruang
sample, maka A itu disebut kejadian atau sering juga disebut
dengan hasil yang
dimaksud (diharapkan).
a. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Yang dimaksud dengan peluang (Kemungkinan) suatu kejadian
ialah
kemungkinan terjadinya kejadian tersebut.
Frekuensi relative muncul x = aranbanyaklemp
munculseringnyax
-
Jika hasil yang mungkin dapat terjadi sebanyak n kali dan
diantara n kali hasil
yang mungkin itu terjadi x kali kejadian A (yang dimaksud), maka
kemungkinan
terjadinya kejadian A ialah n
x atau :
Contoh :
1. Dalam pelemparan suatu dadu, tentukanlah kemungkinan bahwa
pada
pelemparan itu muncul angka yang merupakan bilangan prima.
Jawaban :
Hasil yang mungkin : 1,2,3,4,5,6 n = 6
Hasil yang dimaksud : 2,3,5 x = 3
P 5,3,2 = 6
3 =
2
1
Jika A adalah suatu kejadian, maka bukan A adalah suatu kejadian
juga yang
mempunyai kemungkinan sama dengan satu dikurang kemungkinan A,
atau :
P (A) = 1 P(A) Contoh :
1. Misalkan kemungkinan besok hujan adalah 2/5, maka kemungkinan
besok
tidak hujan adalah 1-2/5 = 3/5
b. Besarnya Peluang Suatu Kejadian
Jika p menyatakan peluang sembarang kejadian, mka p terletak
pada interval 0<
p
-
Menggabungkan Hasil-hasil
a) Hasil-hasil yang saling lepas
Kejadian A dan B dikatakan saling lepas (mutually esclusive)
jika kedua
kejadian itu tidak mungkin terjadi secara serentak atau AB =
Jika kejadian A dan B saling lepas, maka :
P (A atau B) biasa juga ditulis sebagai P
Contoh :
1. Dalam pelemparan dua dadu, tentukanlah kemungkinan bawl
jumlah kedua
angka dadu sama dengan 4 atau 11.
Jawab :
Misalkan A kejadian jumlah angka keud dadu sama dengan 4,
maka
A = )1,3(),2,2(),3,1(
Jadi P(A) = 36
3
Misalkan B kejadian jumlah angka kedua dadu sama dengan 11,
maka
B = )5,5(),6,5(
Jadi P(B) = 36
2
Karena AB = , maka
P (A atau B) = P(A) + P(B)
= 36
3+
36
2
= 36
5
Jadi kemungkinan bawl jumlah angka kedua dadu sama dengan 4 atau
11 adalah
5/36
b. Hasil-hasil Saling Bebas
Dua buah kejadian disebut saling bebas (independent) jika
terjadianya salah
satu dari kejadian itu, atau tidak terjadinya, tidak akan
mempengaruhi
terjadinya kejadian yang lain. Jika A dan B merupakan dua
kejadian yang
P (A atau B) = P(A) + P(B)
-
saling bebas, maka terjadi atau tidak terjadinya A tidak akan
memperbesar
atau memperkecil kemungkinan terjadinya kejadian B.
Jika A dan B dua buah kejadian yang saling bebas, maka :
P(A dan B) biasa juga ditulis sebagai P(AB)
Contoh :
1. Dalam pelemparan dua dadu, tentukanlah kemungkinan bahwa pada
dadu
pertama muncul angka 3 dan pada dadu kedua muncul angka 4.
Jawab :
Hasil-hasil yang mungkin diberikan oleh table di bawah ini :
Dadu I
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Misalkan A : kejadian muncul angka 3 pada dadu I, maka P(A) =
6/36
B : kejadian muncul angka 4 pada dadu II, maka P(B) = 6/36
Karena kejadian A dan B salng bebas, maka :
P(AB) = P(A).P(B)
= 6/36.6/36
= 1/36
c. Hasil-hasil Tak Bebas
Dua buah kejadian disebut tak bebas jika terjadinya salah satu
dari kejadian itu,
atau tidak terjadinya, akan mempengaruhi terjadinya kejadian
yang lain. Jika A
dan B merupakan dua kejadian yang tak bebas, maka terjadi atau
tidak terjadinya
A akan memperbesar atau memperkecil kemungkinan terjadinya
B.
P(A dan B) = P(A) P(B)
Dadu II
-
Jiak kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang tak
bebas, maka
terjadinya kedua kejadian itu secara serentak mempunyai
kemungkinan :
P(B/A) artinya kemungkinan terjadi B setelah kejadian A
terjadi.
Contoh :
1. Sebuah kotakberisi 4 bola merah dan 6 bola putih, jika
diambil dua bola
berturut-turut dengan tidak mengembalikan bola pertama ke dalam
kotak,
maka berapakah peluang bawl kedua pengambilan itu
mendapatkan
keduanya bola merah.
Jawab :
Jumlah semua bola = 10
Bola merah = 4
P(bola merah pertama) = P(A)
= 4/10
P(bola merah kedua) = P(B/A)
= 3/9
Jadi P(A dan B) = P(A).(P(B/A)
= 4/10.3/9
= 2/15
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Peluang siswa A dan B lulus UMPTN berturut-turut adalah 0,98
dan 0,95. Peluang siswa A lulus UMPTN dan B tidak lulus adalah
....
a. 0,019 b. 0,049 c. 0,074 d. 0,935 e. 0,978
Jawaban: B Pembahasan:
Peluang siswa A lulus =0,98
P(A dan B) = P(A) P(B/A)
-
Peluang siswa A tidak lulus =0,02
Peluang siswa B lulus =0,95 Peluang siswa B tidak lulus
=0,05
- Peluang siswa A lulus dan B tidak lulus = 0,98 x 0,05 =
0,049
2. Pengurus suatu organisasi yang terdiri atas: ketua, wakil
ketua, dan sekretaris dipilih dari 7 orang calon. Banyaknya cara
yang mungkin untuk memilih pengurus organisasi itu dengan
tidakadajabatan rangkap adalah ....
a. 7 b. 10 c. 21 d. 35 e. 210
Jawaban: E
Pembahasan:
Jumlah pengurus organisasi = ketua + wakil ketua + sekretaris =
1 + 1 + 1
= 3
Dipilih dari 7 orang calon
Gunakan rumus permutasi:
n!__
nPr=(n-r)!
-
60
Banyaknya cara yang mungkin untuk memilih pengurus organisasi
dengan tidakadajabatan rangkap:
7!__
7Ps = (7-3)!
= 7 6 5 4 !
4! = 7 . 6 . 5
7P3=210
3. Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 5 bola putih. Jika dua
bola diambil dari dalam kantong satu persatu tanpa pengembalian,
peluang terambilnya kedua bola berwarna merah adalah ....
1 1 1 1 _1 a. 72 b.2 7 c 16 d. 12 e. 6
. Jawaban: E
P e m b a h a s a n : Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 5
bola putih. Banyak pola dalam kantong adalah 9 buah. - Bola merah
ada 4 buah
4 - Peluang yang terambil tanpa pengembalian p (1 bola merah) =
9
Sekarang bola merah tinggal 3 buah dan banyaknya bola dalam
kantong ada 8 buah bola.
3 Peluang yang terambil tanpa pengembalian p (1 bola merah)
=
8 4 3 1 1
Peluang terambilnya kedua bola merah = --- x --- = --- x --- 9 8
3 2 = 1/6
4. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang munculnya jumlah
mata dadu 9 atau 10 adalah ....
_5_ 7_ 8_ _9_ 11_ a 36 i b. 36 c 36 : d 36 e 36
Jawaban: B
Pembahasan: Dadu l S = {(1,2,3,4,5,6)} n(l) = 6 Dadu II S =
{(1,2,3,4,5,6)}
n(ll) = 6
-
61
Himpunan peluang muncul jumlah mata dadu 9: {(6,3), (3,6),
(5,4), (4,5)}n (A) = 4
Himpunan peluang muncul jumlah mata dadu 10: {(6,4),
(4,6), (5,5), }n (A) = 3
n(A) n(B)
p(AUB)= ------------ + ---------- n (I). n(II) n (I). n(II) =
4/36 + 3/36 = 7 / 36
5. Dari 10 peserta kontes kecantikan yang masuk nominasi, akan
dipilih 3 nominasi
terbaik secara acak. Banyak pilihan yang dapat dilakukan adalah
....
a. 10 b. 20 c. 40 d. 120 e. 720
Jawaban: D
Pembahasan: . , , >
10!___
10C3 =3!(10-3)!
= __10!_
3! 7!
= 10.9.8.7! = 10.9.8
3.2.1.7! 3.2.1
= 720
6 = 120
-
62
LATIHAN 1. Banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari
huruf-huruf pada kata
"SEKOLAH"adalah.... a. 5040 b. 920 c. 840 d. 740 e. 240
2. Banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf
pada kata "ACARA"ada.... a. 50 b. 40 c. 30 d. 20 e. 10
3. Dari 10 orang finalis lomba menyanyi akan dipilih juara 1,2
dan 3. Banyaknya cara memilih urutan ada .... cara. a. 960 b. 720
c. 580 d. 210 e. 94
4. Dari 5 orang pengurus suatu organisasi, akan dipilih seorang
ketua, seorang
bendahara, dan seorang sekretaris. Banyaknya susunan yang
mungkin
dibentuk ada.... cara
a. 20 b. 50 c. 90 d. 80 e. 60 5. 6. Dalam suatu rapat, ada 8
peserta yang akan menempati 8 buah kursi yang
mengelilingi meja bundar. Banyak susunan yang mungkin terjadi
ada ... cara a. 2600 c. 10.800 e. 16.200 b. 5040 d. 12.500
7. banyaknya cara yang dapat disusun yang terdiri atas 3 angka
dari angka- angka 5,6, 7, 8,9jika boleh berulang ada .... cara a.
125 b. 200 c. 240 d. 300 e. 310
8. Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilempar sekali. Peluang
munculnya
angka pada mata uang dan bilangan prima ganjil pada dadu adalah
....
a. b. 1/3 c. 2/3 d. 1/6 e. 1/5
9. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola biru dan 5 bola kuning.
Jika diambil secara acak dua bola sekaligus, dan dilakukan sebanyak
180 kali percobaan, maka besarnya frekuensi harapan terambilnya dua
bola berlainan warna adalah.... a. 60 b. 80 c. 100 d. 120 e.
140
10. Dari 10 orang siswa akan dipilih dua orang untuk menjadi
ketua kelas dan wakil ketua kelas. Banyak susunan yang dapat
dibentuk adalah .... a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120
11. Dalam suatu acara silaturahmi terdapat 30 orang yang hadir.
Jika setiap
orang saling bersalaman, maka banyaknya salaman yang terjadi
adalah ....
a. 435 b. 525 c. 675 d. 715 e. 830
12. Peluang terambilnya sebuah kartu bukan As yang dilakukan
secara acak
pada tumpukan seperangkat kartu adalah ....
-
63
12 4 1 2 1 a 13 b' 13 C' 52 d' 13 e' 13
13. Pada sebuah keranjang terdapat 10 buah telor yang baik dan 6
buah telor
yang busuk. Akan diambil dua buah telor sekaligus secara acak.
Maka peluang terambilnya dua telor yang semuanya baik adalah
....
a. 5/8 b. 4/15 c. 2/5 d. 1/8 e. 3/8
Notasi Sigma A. Pengertian Notasi Sigma n
Diberikan suatu barisan tak berhingga a1,a2,a3,.,an. Lambang ak
menyatakan jumlah dari n suku pertama barisan tersebut, yaitu :
k=1
n
ak = a1+a2+a3+.+an k=1
Huruf kapital Yunani ( dibaca sigma) menyatakan suatu jumlah
dan
lambang ak menyatakan suku ke-k disebut indeks (penunjuk) dari
penjumlahan atau peubah dari penjumlahan, bilangan 1 dan n
menyatakan batas-batas penjumlahan, dengan 1 disebut n
batas bawah dan n disebut batas atas. Lambang ak dibaca: jumlah
ak untuk k k=1 sama dengan 1 ke n atau jumlah ak untuk k = 1 sampai
dengan k = n. Himpunan {1,2,3,.,n} disebut daerah penjumlahan.
Contoh 1: Tulis jumlah berikut dalam notasi sigma
a) 32 + 52 + 72 + 92 + 112 + 132 b) 1 + 1 + 1 + 1 + 1
2 3 4 5 6 Jawab: 6
a. 32 + 52 + 72 + 92 + 112 + 132= ( 2 k + 1 )2 5 k=1
b. 1 + 1+ 1+ 1+ 1 = 1 2 3 4 5 6 k=1 k + 1 Contoh 2:
Tentukan nilai dari penjumlahan yang dinyatakan dalam notasi
sigma berikut ini dengan menyatakan dalam bentuk lengkap. 4 4 a) k2
b) ( 5k 2 ) k=1 k=1
Jawab: 4
-
64
a) k2 = 12+22+32+42 = 1+ 4+ 9+ 16 =30 k=1
4 b) ( 5k 2 ) = ( 5(1) 2 ) + (5(2) 2 ) + (5(3) 2) + (5(4) 2) k=1
= 3 + 8 + 13 + 18 = 42
B. Sifat-Sifat Notasi Sigma Jika m dan n adalah bilangan
asli,dengan m n dan c R, maka berlaku : n
1) ak = a1 + a2 + a3 +..+an
k=1
n n n 2) (ak bk)= ak bk
k=m k=m k=m n n
3) cak = c ak k=m k=m n n+p
4) ak = ak p k=m k=m+p n
5) c = (n m + 1)c k=m p-1 n n
6) ak + ak = ak k=m k=p k=m m-1
7) ak = 0 k=m n n n n
8) (ak + bk)2 = ak2 + 2 ak.bk + bk2 k=m k=m k=m k=m
Contoh
Dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma, hitunglah : 3 4 a)
(k3 k) b) 5k2 k=1 k=1 7 2 c) k2 f) 5k3 k=4 k=3 5 4 d)10 g)(k
5)2
k=1 k=1 3 6 e)6k2 + 6k2 k=1 k=4
-
65
Jawab: 3 3 3
a) (k3-k) = k3 k (sifat 2) k=1 k=1 k=1 = 13 + 23 + 33 (1 + 2 +
3) = 1 + 8 + 27 - 6 =30 4 4 b) 5k2 = 5 k2 (sifat 3)
k=1 k=1 = 5(12 + 22 + 32 + 42) = 5(1 + 4 + 9 + 16) =150 7 7-3 c)
k2 = (k + 3)2 (sifat 4)
k=4 k=4-3 4
= (k + 3)2
k=1 = (1 + 3)2 + (2 + 3)2 + (3 + 3)2 + (4 + 3)2 = 16 + 25 +36 +
49 = 126 5 d) 10 = (5 1 +1)10 (sifat 5)
k=1 = 50 3 6 6
e) 6k 2+ 6k2 = 6k2 (sifat 6) k=1 k=4 k=1 6
= 6 k2 k=1 = 6(12 + 22 + 32 + 42 +52 +62) = 6(1 + 4 + 9 + 16 +
25 + 36) = 546 2 f) 5k3 = 0 (sifat 7)
k=3 4 4 4 4
g) (k 5)2 = k2 10 k + 25 k=1 k=1 k=1 k=1
= 12 + 22 + 32 + 42 - 10(1 + 2 + 3 + 4)+(4 1 + 1)25 = 1 + 4 + 9
+ 16 100 +100 =30
-
66
A. BARISAN BILANGAN DAN DERET BERHINGGA
` A. Barisan Bilangan Definisi:
i. Barisan berhingga adalah suatu fungsi dengan daerah asal
{1,2,3,..n}, yaitu n bilangan bulat positif yang pertama. Misalnya
barisan berhingga 2, 5, 8, 17.
ii. Barisan tak berhingga adalah suatu fungsi dengan daerah asal
{1, 2, 3, ,n,}yaitu semua bilangan bulat positif. Misalnya barisan
tak berhingga 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . 2 3 4 5 6
Rumus Umum Suatu Barisan Unsur ke-n dari suatu barisan disebut
rumus umum dari barisan itu, yang dilambangkan dengan Un.
Unsur-unsur dari suatu barisan disebut suku barisan. Jadi,Un
menyatakan suku ke-n dari suatu barisan yaitu f (n) = Un dengan f
fungsi yang menyatakan barisan (an), sehingga dikatakan bahwa Un
merupakan rumus umum untuk suku ke-n dari suatu barisan. Contoh :
Tulis empat suku pertama dari barisan yang memiliki rumus umum :
3n, untuk n ganjil a) Un = n b) Un = 3n untuk n genap 2n+1 n+1
Jawab: a) U1 = 1, U2 = 2 , U3 = 3 , dan U4 = 4 3 5 7 9 Jadi, empat
suku pertama dari barisan yang memiliki rumus umum Un = n 2n+1
adalah 1, 2 , 3 , 4 . 3 5 7 9
b) U1=3, U2=2, U3=9, dan U4 = 12 5
Jadi,empat suku pertama dari barisan yang memiki rumus umum 3n,
untuk n ganjil
Un = 3n , untuk genap adalah 3, 2, 9, 12 n+1 5
B. Barisan Aritmatika
-
67
a. Pengertian Barisan Aritmatika Barisan Aritmatika adalah suatu
barisan dengan selisih atau beda antara dua suku yang berurutan
selalu tetap. Bentuk umum barisan aritmatika : U1, U2, U3, Un a,
(a+b), (a+2b),,{a+(n-1)b} dengan: b = Un Un-1 a = U1 = suku pertama
b = beda antara dua suku yang berurutan Un = suku ke-n Un-1 = suku
ke-(n-1) n = banyak suku b.Rumus suku ke-n Barisan Aritmatika Suku
ke-n dari barisan aritmatika (Un)adalah Un = a + (n 1)b Contoh 5:
Diketahui barisan aritmatika: 1, 3, 5, ,41. Tentukan:
a) b b) U100 c) n Jawab :
a) b = U2 U1 = 3 1 = 2 b) U100 = 1 +(100 1)2 = 199 c) Un = a +
(n 1)b 41 =1 +(n-1)2 41 =1 +2n 2 42 = 2n n = 21
Contoh 6: Dari barisan aritmatika diketahui bahwa suku ke-9
adalah 35 dan jumlah suku ke-4 dan ke-12 adalah 62. Tentukan suku
ke-n dan suku ke-50. Jawab:
U9 = 35 a+8b = 35
U4 + U12 = 62a + 3b + a + 11b = 62 a + 7b = 31 b = 4
b = 4 disubtitusikan ke persamaan a + 8b = 35, diperoleh a +
8(4)=35 a = 3 Un = a + (n 1 )b U50 = a + 49b Un = 3 + (n 1)4 U50 =
3 + 49(4) Un = 4n 1 U50 = 199 c. Rata-rata hitung Rata-rata hitung
dari dua bilangan a dan b didefinisikan sebagai 1 (a + b). 2
Ternyata, a, 1 (a + b),b merupakan barisan aritmatika, dengan beda
1 (b a).
2 2
-
68
Contoh 7: Akar-akar persamaan kuadrat x2 7x + (m + 2) = 0 adalah
dan , m R. Jika , , dan m membentuksuatu barisan aritmatika
tentukan barisan aritmatika itu. Jawab: + = 7 X2 7x + (m + 2) =0 =
m + 2 Oleh karena , , dan m membentuk barisan aritmatika, maka
berlaku = 1 ( + m). 2
+ = 7 = 7 = 7 disubtitusikan ke persamaan = 1/2 ( + m )
diperoleh = 1 (7 + m ) 2
m = 3 7 = 7 dan m = 3 7 disubtitusikan ke persamaan = m + 2,
didapat.
(7 ) = (3 7) + 2
2 - 4 5 = 0
( 5 ) ( + 1) = 0
= 5 atau = - 1 Subtitusikan = 5 dan = - 1 ke persamaan =7 dan m
= 3 7, didapat = 7 5 atau = 7 (-1) dan m = 3(5) 7 atau m = 3(-1)
7
= 2 atau = 8 m = 8 atau m = - 10 Jadi,barisan aritmatika yang
diminta adalah 2, 5, 8 atau 8, -1, -10 d. Suku Tengah Jika barisan
aritmatika memiliki suku ganjil, maka suku tengahnya (U1) adalah U1
= 1 2 (a + Un), dengan t = 1 (n+1) 2 e. Sisipan pada Barisan
Aritmatika Jika diantara dua suku berurutan pada barisan aritmatika
disisipkan k buah suku, maka diperoleh barisan aritmatika baru.
Barisan aritmatika lama : a, (a + b) Barisan aritmatika baru : a,
(a + b),(a + 2b),,(a + b) K suku baru yang disisipkan Hubungan beda
dan banyak suku pada barisan aritmatika lama dan baru adalah b = b
dengan : k+1 b = beda barisan aritmatika baru b = beda barisan
aritmatika lama n = n + (n 1)k k = banyak suku yang disisipkan n =
banyak suku barisan aritmatika lama n = banyak suku barisan
aritmatika baru Dalam sisipan harus diperhatikan bahwa : a = a, Un
= Un, dan Ut = Ut
-
69
Contoh 8 : Diketahui barisan aritmatika : 1, 13, 25, 37, 49
Diantara tiap dua suku disisipkan 5 buah suku baru sehingga
membentuk barisan aritmatika baru. Tentukan beda banyak suku, dan
suku ke-20 barisan aritmatika baru tersebut. Jawab : b = 13 1 = 12
b = b = 12 = 2 k +1 5 + 1 k = 5 n = n + (n 1)k = 5 + (5 1)5 =25 n =
5 U20 = a + 19b = 1 + 19 (2) = 39
C, Deret Aritmatika (Deret tambah/Deret Hitung) a. Pengertian
Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku barissan aritmatika.
Bentuk umum: Sn = Uk = U1 + U2 + U3 + + Un
Sn = { a + ( k 1 )b } = a + ( a + b ) + ( a + 2b ) + + { a + ( n
1 )b} Jika ( Un ) adalah suatu barisan aritmatika, maka jumlah
parsial dari n suku
barisannya adalah: Sn = 1n ( a + Un ) Sn = 1n { 2a + ( n 1 )b }
2 2 Dengan: Sn = Jumlah n suku pertama N = banyak suku A = suku
pertama Un = suku ke n B = beda
Contoh 9 : Hitunglah jumalah deret aritmatika 4 + 9 + 14 + +
104
Jawab: Deret aritmatika 4 + 9 + 14 + +104 A = 4, b = 9 4 = 5,
dan Un = 104 Un = a + ( n - 1 )b
104 = 4 + ( n 1 ) 5
n 1 =20
n = 21 Sn = 1 n ( a + Un ) 2
S21 = 1 (21) (4 + 104) 2
S21 = 1134 Contoh 10 : Diketahui deret aritmatika yang diberikan
sebagai (2n + 3). Tentukan :
-
70
a) suku pertama dan kedua d) rumus jumlah n suku pertama b) beda
e) jumlah deret itu u suku ke 20 c) rumus suku ke-n
Jawab : a) Untuk n = 2, diperoleh a = (2) (2) + 3 = 7
Untuk n = 3, diperoleh U2 = (2)(3) + 3 = 9 b) b = U2 a = 9 7 = 2
c) Un = a + ( n 1)b
Un = 7 + (n 1 )2 Un = 2n + 5
d) Sn = 1 n(a + Un) 2
Sn = 1 n(7 + 2n + 5) 2 Sn = n2 + 6n
e) Untuk n = 20, suku terakhir deret itu adalah Un = 2(20) + 3
2n + 5 = 43 n = 19 Sn = 1 n{2a + (n 1)b} 2 S19 = 1 (19) {2(7) + (19
1)2} 2 S19 = 475
b. Hubungan antara Sn, Sn-p dan Un Un = Sn Sn-1 dengan Un = suku
ke-n Sn = Jumlah n suku pertama Sn-1 = Jumlah (n 1) suku
pertama
c. Hubungan antara Ut dan Sni Jika banyak suku suatu barisan
aritmatika ganjil (n), dengan suku pertama a dan suku terakhir Un
maka suku tengah (Ut) dan jumlah deret aritmatika (Sn) adalah Ut =
1 (a + Un) dan Sn = n . Ut
2 3. Barisan Geometri
a. Pengertian Barisan Geometri Barisan geometri adalah suatu
barisan dengan rasio (pembanding/pengali) antara dua suku yang
berurutan selalu tetap. Bentuk umum barisan geometri : U1, U2,
U3,.,Un
a, ar, ar2,,ar n-1 dengan : r = Un Un-1 a = U1 = suku pertama r
= rasio/pembanding/penggali antara dua suku yang berurutan Un =
suku ke-n Un-1 = suku ke-(n 1)
-
71
n = banyak suku .b.Rumus Suku ke-n Barisan Geometri
Un = ar n-1
Suku ke-n dari barisan geometri : 2, 6, 18, Tentukan suku
pertama, rasio, rumus suku ke-n, dan suku ke-10. c.Rata-rata
Ukur
Rata-rata ukur dari dua bilang a dan b didefinisikan sebagai ab,
jika a dan b
positif dan - ab, jika a dan b negatif.
Ternyata, a, b, dan c merupakan barisan geometri dengan rasio 1
ab , dengan a a dan b positif. Jadi, jika a, b, dan c membentuk
barisan geometri, maka ac positif, sehingga b
= ac. d. Suku Tengah jika barisan geometri memiliki suku ganjil
maka suku tengahnya (Ut) adalah Ut2 = a x Un dengan t = 1 (n + 1) 2
e. Sisipan pada Barisan Geometri
Jika diantara dua suku berurutan pada barisan geometri
disisipkan k buah suku, maka didapat barisan geometri baru.
Barisan geometri lama: a, , ar, Barisan geometri baru: a,
ar,a(r),, ar,. K suku baru yang disisipkan Hubungan rasio dan
banyak suku pada barisan geometri lama dan baru adalah:
r = k + 1r dengan: r = rasio barisan geometri baru r = rasio
barisan geometri lama n = n + (n 1)k k = banyak suku yang
disisipkan n = banyak suku barisan geometri lama n= banyak suku
barisan geometri baru Dalam sisipan barisan geometri sama seperti
dalam barisan aritmatika, yaitu bahwa a = a, Un = Un, dan Ut =
Ur.
4. Deret Geometri (Deret ukur/Deret Kali) Pengertian Deret
Geometri
Deret geometri adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Bentuk
umum :
Sn = Uk = U1 + U2 + U3 + .+ U4
Sn = ar k-1 = a + ar + ar2 +..+ ar n-1 Jika Un adalah barisan
geometri dengan rasio r, maka jumlah parsial dari n suku barisannya
adalah :
-
72
Sn = a(r n 1 ) atau Sn = a(1 r n), untuk r 1 r-1 1-r b. Hubungan
antara Sn Sn-p dan Un Un = Sn Sn-1 dengan Un = suku ke-n Sn =
jumlah n suku pertama Sn-1= jumlah (n 1) suku pertama
Suku ke-n dan Jumlah n suku Pertama Beberapa Deret Khusus
c. Deret Bilangan Asli Deret bilangan asli: 1 + 2 + 3 + + n Jika
suku-suku deret ini dinyatakan dengan Uk maka Uk = k i) Suku ke-n
(Un) adalah Un = n ii) Jumlah n suku pertama (Tn) adalah Tn = uk =
k = 1 + 2 + 3 + + n = 1 n (n + 1) 2 d. Deret Kuadrat Bilangan Asli
Deret kuadrat bilangan asli : 1 + 2 + 3 + + n Jika suku-suku deret
ini dinyatakan dengan Uk = k. i) Suku ke-n (Un) adalah Un =n ii)
Jumlah n suku pertama (Qn) adalah Qn = Uk = k = 1 + 2 + 3 = + n = 1
n(n + 1)(2n + 1) 2 e. Deret Pangkat Tiga (kubik) Bilangan Asli
Deret pangkat tiga (kubik) bilangan asli: 1 + 2 + 3 + + n Jika
suku-suku deret ini dinyatakan dengan Uk maka Uk = k i) Suku ke-n
(Un) adalah Un = n ii) Jumlah n suku pertama (Kn) adalah Kn = Uk =
K = 1 + 2 + 3 + + n = 1 n(n + 1) =(Tn) 4 f. Deret Bilangan
Persegipanjang
Deret bilangan persegipanjang : 1.2 + 2.3 + 3.4 +. + n(n + 1)
Jika suku-suku deret ini dinyatakan dengan Uk maka uk = k(k + 1) i)
Suku ke-n (Un) adalah Un = n(n + 1) ii) jumlah n suku pertama (Rn)
adalah Rn = Uk = k(k + 1) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) = 1 n(n +
1)(n + 2) 3 g. Deret Bilangan Balok
Deret bilangan balok : 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 ++ n(n + 1)(n + 2)
Jika suku-suku deret ini dinyatakan dengan Uk maka Uk = k(k + 1)(k
+ 2) i) Suku ke-n (Un) adalah Un = n(n + 1)(n + 2) ii) Jumlah n
suku pertama (Bn) adalah Bn = Uk = k(k + 1)(k + 2)= 1.2.3 + 2.3.4 +
3.4.5 ++n(n + 1)(n + 2) = 1 n(n +1)(n + 2)(n + 3) 4 h. Deret
bilangan Segitiga Deret bilangan segitiga : 1 + 2 + 3 + 6 + 10 +
... + 1 n(n + 1) 2 jika suku-suku deret ini dinyatakan dengan Uk
maka Uk = 1 k(k + 1)
-
73
2 i) Suku ke-n (Un) adalah Un = 1 n(n + 1)
2 ii) Jumlah n suku pertama (En) adalah : En = Uk = 1 k ( k + 1
) = 1 + 3 + 6 + 10 + . + 1 n ( n + 1 ) 2 2
= 1 n ( n + 1 )( n + 2 ) 6 Deret Geometri Tak Terhingga
B. Teorema
Deret geometri a + ar + ar + . +ar n-1 disebut deret geometri
tak hingga,jika r < 1 Jumlah S dari deret geometri tak hingga
adalah S lim Sn = a 1 r Penerapan Kaidah Barisan dan Deret dalam
Kehidupan Sehari hari Contoh:
Jumlah penduduk sebuah kota tiap 10 Tahun menjadi dua kali
lipat. Menurut
perhitungan,pada tahun 2000 nanti akan mencapai 3,2 juta orang.
Tentukan
jumlah penduduk kota itu pada tahun 1950.
Jawab: U1, U2, U3,.., Un Tahun 1950 U1 = x Tahun 1960 U2 = 2x
Tahun 1970 U3 = 2x . . . Tahun 1970 + 10n Un = 2 n-1 x Pada tahun
2000: 1940 = 10n = 2000
n = 6 U6 = 26-1 .x = 3,2 juta
32x = 3,2 x 106
x = 100.000 Jadi,jumlah penduduk kota itu pada tahun 1950 adalah
100.000 orang.
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
-
74
Tujuan : Mewujudkan kompetensi dasar dengan ditunjukkan dengan
hasil belajar
a. Dapat menggunakan persamaan dan pertidaksamaan dan
implikasinya
dalam memecahkan masalah kususnya kesehatan masyarakat
b. Dapat Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan dalam
menarik
kesimpulan dan pembuktian dalam penulisan ilmiah
Waktu : 2 x 50 Menit
Metode : - Ceramah
- Lat soal dan Tanya jawab
C. Persamaan
Persamaan adalah Adanya kalimat matematika yang belum mempunyai
nilai
kebenaran (B atau S). Dalam menyelesaikan suatu persamaan harus
dicari suatu
bilangan sehingga persamaan tersebut menjadi proposisi benar.
Jika bilangan yang
menyebabkan persamaan itu menjadi proposisi benar disebut jawab
(selesaian)
persamaan tersebut. Himpunan itu disebut himpunan selesaian.
Jika, x + 2 = 5
maka himpunan selesaian 3 .
Berikut ini merupakan beberapa contoh persamaan.
1. 2x 3 = 7 yang himpunan selesaiannya 5
2. 3x + 5 = 6x 1 yang himpunan selesaianya 2
3. 2x + 3y = 7 yang himpunan selesaiannya (2,1) = (x,y) : x = 2,
y = 1
4. x2 + 5 x + 6 = 0 yang himpunan selesaiannya -2, -3
Suatu persamaan yang mengandung satu peubah dan berpangkat satu
disebut
persamaan linear satu peubah. Bentuk umum persamaan linear satu
peubah ialah
ax + b = c dengan a, b dan c bilangan real dan a 0.
Teknik Penyelasaian
ax + b = c, a 0 diketahui
ax + b b = c b p = q p r = q r
ax c b p = q p q a a r r
c b c - b
-
75
x = Himpunan selesaian a a Contoh
Tentukan himpuna selesaian
(a) x + 6 = 7
(b) 2x 7 = 5
(c) 3 (x + 2 ) + 2 (x + 1) = 4x + 1
Jawab
(a) x + 6 = 7
x + 6 6 = 7 6
x = 1 Himpunan penyelesaian 1
Pemeriksaan, 1 + 6 = 7. Benar.
(b) 2x 7 = 5
2x 7 + 7 = 5 + 7
2x = 12
2x 12 2 2
x = 6 Himpunan penyelesaian 6
Pemeriksaan, 2.6 7 = 5. Benar.
(c) 3 (x +2) + 2 (x + 1) = 4x + 1
3x +6 + 2x + 2 = 4x + 1
5x 8 + 8 = 4x + 1 +-8
5x 4x = 4x 4x -7
x = -7 Himpunan penyelesaian -7
Pemeriksaan 3 (5-2) + 2 (5+1) = 4.5 + 1
33 + 2.6 = 21
21 = 21. Benar.
Contoh
Tentukan himpunan selesaian dari persamaan berikut.
2x 1 3x 2 1 + = 7
-
76
3 2 3 Jawab
Bila kedua ruas persamaan tersebut dikalikan dengan 6,
22 2 (2x 1) + 3 (3x 2) = 6 3 4x 2 + 9x 6 = 44
13x 8 = 44
13x = 44 + 8
13x = 52
1 1 13x = 52 13 13
x = 4 Himpunan selesaian 4
Periksalah kebenaran selesaian tersebut
Contoh
Jika suatu bilangan ditambah dua kali bilangan itu menghasilkan
12, tentukan
bilangan tersebut.
Jawab
Misalnya bilangan yang ditanyakan x.
x + 2x = 12 (persamaan linear satu peubah yang disebut juga
model matematika)
3x = 12
3x 12 = 3 3
x = 4 Bilangan yang dinyatakan adalah 4.
Contoh
Dua bilangan asli berurutan jumlahnya 19. tentukan masing masing
bilangan
itu.
Jawab
Misalnya dua bilangan berurutan itu n dan (n + 1)
Maka n + (n + 1) = 19
-
77
2n + 1 = 19
2n + 1 1 = 19 1
2n = 18
. 2n = . 18 n = 9
Jadi dua bilangan berurutan itu 9 dan 10
Contoh
Ani pergi ke pasar untuk membeli apel dan rambutan. Harga 1 kg
apel 3 kali harga
1 kg rambutan. Ani membeli 2 kg apel dan 3 kg rambutan dengan
harga Rp.
9.000,00. Berapa masing masing harga apel dan rambutan setiap kg
?
Jawab
Misalnya harga 1 kg rambutan x rupiah. Karena itu harga 1 kg
apel 3 x rupiah.
Harga 3 kg rambutan adalah 3 x rupiah dan 2 kg apel adalah 6 x
rupiah.
Maka 3x + 6x = 9000,-
9x = 9000,-
x = 1000,-
Jadi harga 1 kg rambutan Rp. 1.000,00 dan 1 kg apel Rp.
3.000,00
D. Pertidaksamaan
Suatu kalimat matematika yang mengandung satu atau lebih peubah
dan relasi
, < , atau > disebut suatu pertidaksamaan.
1. x + 6 > 3
2. x 5 7 + 2x
3. x + y < 2
4. x2 5x + 6 0
5. x2 + y2 > 4
Bila pertidaksamaan hanya mengandung satu peubah dan berpangkat
satu maka
pertidaksamaan tersebut dinamakan pertidaksamaan linear satu
peubah.
Selanjutnya bila dikatakan pertidaksamaan, maka yang dimaksud
adalah
pertidaksamaan linear satu peubah.
-
78
Contoh 1 dan 2 merupakan suatu pertidaksamaan linear satu peubah
sedang
contoh 3, 4 dan 5 bukan.
Bentuk umum pertidaksamaan linear satu peubah adalah ax + b 0,
ax + b < 0, ax
+ b 0, ax + b > 0 dengan a, b bilangan real dan a 0.
Seperti halnya persamaan, menyelesaikan suatu pertidaksamaan
merupakan suatu
proses mendapatkan suatu bilangan sehingga pertidaksamaan
tersebut menjadi
proposisi benar.
Bilangan yang memperoleh tersebut merupakan selesaian
pertidaksamaan
tersebut.
Himpunan semua selesaian suatu pertidaksamaan disebut himpunan
selesaian.
Teknik Penyelesaian
Seperti halnya teknik penyelesaian persamaan, kita juga
menggunakan sifat sifat
antara lain sebagai berikut.
1. Jika a, b, c bilangan real
(a) a b maka a + c b + c
(b) a b maka a + c b + c
2. a, b dan c bilangan real
(a) Untuk c > 0. Jika a > b maka ac > bc
Jika a < b maka ac < bc
(b) Untuk c < 0. Jika a > b maka ac < bc
Jika a < b maka ac > bc
Contoh
Tentukan himpunan selesaian
(a) 2x + 5 > 9
(b) x + 2 < 3
(c) 3x + 2 5x 2
Jawab
(a) 2x + 5 > 9
2x + 5 5 > 9 5
2x > 4
2x 4
-
79
> Mengapa tanda > tetap ? 2 2
x > 2
Ini berarti setiap bilangan x yang lebih dari 2 memenuhi
pertidaksamaan tersebut
sehingga himpunan selesaiannya adalah { x : x > 2 }. Himpunan
selesaian dapat di
gambarkan pada garis bilangan berikut.
0 1 2
Gambar 2.1
(b) -x + 2 < 3
-x + 2 2 < 3 2
-x < 1
x > -1
(-1) (-x) > (-1). 1 Mengapa tanda < berubah menjadi >
?
Himpunan selesaian {x : x > 1} dapat digambarkan sebagai
garis bilangan berikut.
-2 -1 0
Gambar 2.2
(c) 3x + 2 5x - 2
3x + 2 2 5x - 2 - 2
3x 5x - 4
3x - 5 x 5x - 4 - 5x
-2x -4
-2x -4 Mengapa tanda berubah menjadi ? -2 -2
x 2
Himpunan selesaian {x : x 2 } yang dapat digambarkan sebagai
garis bilangan
berikut.
-3 -2 -1 0 1 2 3
-
80
Gambar 2.3
Garis bilangan dapat memudahkan untuk mencari selesaian
pertidaksamaan.
Contoh
Tentukan himpunan selesaian
(a) -2x + 4 x + 3 dan 2x 3 < x - 1
(b) x + 5 < 5 atau 3x + 4 > 10
(d) 4 < -x + 4dan x < x 4
Jawab
(a) -2x + 4 -x + 3 dan 2x 3 < x 1
-2x + 4 4 -x + 3 4 2x 3 + 3 < x 1 + 3
-2x -x 1 2x < x + 2
-2x + x -1 2x x < x x + 2
-x -1 2x x < x x + 2
x 1 x < 2
-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3
Bila harus memenuhi kedua duanya karena konjungsi dan
-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3 Gambar 2.4
Himpunan selesaian {x : 1 x < 2 }
-
81
3 3 3 3 3 Pemeriksaan, x = ,2 + 4 - + 3 dan 2. 3 < -1 2 2 2 2
2 3 1 1 dan 0 < 2 2
Benar dan benar Benar
x = 0, -2.0 + 4 -0 + 3 dan 2.0 3 < -0 1
4 3 dan -3 < -1
Salah dan Benar Salah
(b) x + 5 < 5 atau 3x + 4 > 10
x + 5 5 < 5 5 3x + 4 4 > 10 4
x < 10 3x > 6
3x 6 > 3 3
x > 2
-2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3
Bila harus memenuhi salah satu atau kedua-duanya (disjungsi
atau) maka
himpunan selesaiannya {x : x < 0 atau x > 2}
-2 -1 0 1 2 3
Periksalah kebenaran dari selesaian tersebut.
-
82
(c) 4 < -x + 4 dan -x < x 4
4 4 < -x + 4 4 -x + x < x 4 x
0 < -x -2x < -4
-2x -4 -x > 0 >
-2 -2
x < 0 x > 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3 4
Bila memnuhi kedua duanya karena konjungsi dan
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1 0 1 2 3 4 Gambar 2.4
Himpunan selesaian
Ternyata tidak ada pengganti x yang memenuhi kedua-duanya.
Contoh 2.7
Untuk membangun rumah tipe A1 dan A2 Akhmad meminta imbalan
berturut -
turut Rp. 5.000.000,00 dan Rp. 4.000.000,00.
Berapa imbalan yang diminta oleh Akhmad untuk membangun sebuah
rumah tipe
A3 agar rata - rata imbalan ketiga tipe yang diperoleh melebihi
imbalan
membangun sebuah rumah tipe A1.
Jawab
Misalnya Akhmad minta imbalan x rupiah
5.000.000,00 + 4.000.000,00 + x Maka > 5.000.000,00 3
-
83
9.000.000,00 + x > 5.000.000,00
3
9.000.000,00 + x > 3 x 5.000.000,00
x > 6.000.000,00
Jadi imbalan yang diminta Akhmad ongkos borongan lebih dari Rp.
6.000.000,00
Latihan 2.1
1. Tentukan himpunan selesaian persamaan berikut.
x 3 2x + 3 (a) x 5 = 7 (d) =
2 3 2x - 1
(b) 2x + 3 = 9 (e) = 5 3 x-1 2x -3 (c) 3x 1 = 2x + 1 (f) + = 1 2
3
2. Tentukan himpunan selesaian pertidaksamaan berikut.
x 3 2x + 3 (a) x 5 > 7 (d)
2 3 2x - 1
(b) 2x + 3 < 9 (e) > 5 3 x-1 2x -3 (c) 3x 1 2x + 1 (f) +
< 1 2 3