Penggunaan model matematik dalam biologi
dan ekologi
IPGK PEREMPUAN MELAYU, MELAKA
*Model Leslie (1945)
• Digunakan sebagai model untuk melihat perubahan populasi terhadap populasi ekologi terhadap masa bagi sesebuah populasi umur.
*Eigenvalues dan eigenvectors
Dilihat bahawa vektor telah dipanjangkan oleh satu faktor sebanyak 3.5 kali tetapi masih berada dalam garis lurus yang sama
*definisi
• Jika adalah sebuah square matriks, dan untuk skalar , dan beberapa non zero vekto , maka
= eigenvalue bagi dan
= eigenvector yang sepadan
dengan
*Contoh pengiraan
• tetapi utk sebrng nilai
Manakala
*Maka, matriks bergerak pada vektor dalam garis yang berlainan tetapi bergerak pada vektor dalam garis yang sama, cuma panjangnya berubah.
Ciri-ciri values dan vectorsKatakan
maka
Jika maka
Jika maka
eigenvalues
eigenvectors
Oleh itu,
3 dan 2 adalah eigenvalues yang sepadan dengan eigenvectors dan masing-masing
Dan,
Jika vektor ,
vektor adalah eigenvector yang sepadan dengan eigenvalues 3
Menentukan sama ada scalar yang diberi adalah eigenvalues bagi suatu
matriks dan mencari eigenvectors yang sepadan
Adakah 2 adalah eigenvalue ?
Selesaikan
Maka,
Kita susun matriks dalam bentuk augmented
dan lakukan operasi baris (row operations)
Oleh kerana (
Penyelesaian untuk adalah semua vektor dalam bentuk .
Terdapat banyak eigenvectors yang sepadan dengan eigenvalue , dan semuanya adalah kombinasi linear bagi vektor
dan
Mencari eigenvalue dan eigenvectors
Suatu matriks hanya mempunya eigenvalues bila
det
det dikenali sebagai characteristic equation of A
det dikenali sebagai characteristic polynomial of A
Diberi , cari eigenvalues bagi .
det = det
=
=
0 =
maka dan
Bila eigenvektor sepadan ialah dan
Bila
𝑅3−𝑅2𝑅3
Diperolehi,
dan
Maka
Oleh itu, eigenvector yang sepadan dengan eigenvalue 4 ialah
Latihan
Cari eigenvalues dan eigenvectors yang sepadan untuk setiap yang berikut:
a) jwpn : 1,
b) jwpn : 2,
c) jwpn : 1,
d) jwpn : tiada eigenvalues nyata
Kes Khas* Ciri-ciri polinomial
*Jika matriks A ialah maka matriks A mempunyai peringkat.
* pekali bagi
* pekali bagi
* sebutan tetap bagi
Jika ….
Tuliskan ciri-ciri polinomial bagi
Jawapan:
Ciri-ciri polinomial bagi ialah
dan
pekali bagi pekali bagi
pekali bagi pekali bagi
sebutan tetap ialah 0.
*Teorem Diberi dan eigenvalues,
Dan eigenvectors, ,
Buktikan .
Matriks
Matriks
Cari ?
Darabkan . Tentukan sama ada .
PEMBENTANGAN
*Model Pemangsa-Mangsa*Generasi Terpisah
*Generasi Berlanjutan (Tidak Berpisah)
*Model Lotka dan Voltera
Persamaan logistik
Interaksi antara spesies
Simulasi
Penggunaan Persamaan Pembezaan
Permodelan Dos Dadah yang Selamat
dan Berkesan
Pemodelan Penyebaran wabak
dan Penyakit