Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Matematikai Analízis Példatár
Vágó, Zsuzsanna Csörgő, István
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Matematikai Analízis Példatár írta Vágó, Zsuzsanna és Csörgő, István
Publication date 2013 Szerzői jog © 2013 Vágó Zsuzsanna, Csörgő István
iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tartalom
Matematikai Analízis Példatár ............................................................................................................ 1 1. Bevezető ................................................................................................................................ 1 2. 1 Valós számok ..................................................................................................................... 1
2.1. 1.1 Valós számok ...................................................................................................... 1 2.1.1. 1.1.1 Teljes indukció .................................................................................... 1 2.1.2. 1.1.2 Egyenlőtlenségek ................................................................................ 2 2.1.3. 1.1.3 Közepek .............................................................................................. 2 2.1.4. 1.1.4 Számhalmazok .................................................................................... 4
2.2. 1.2 Megoldás. Valós számok .................................................................................... 4 2.2.1. 1.2.1 Teljes indukció .................................................................................... 4 2.2.2. 1.2.2 Egyenlőtlenségek ................................................................................ 5 2.2.3. 1.2.3 Közepek .............................................................................................. 7 2.2.4. 1.2.4 Számhalmazok .................................................................................. 10
3. 2 Számsorozatok, számsorok .............................................................................................. 11 3.1. 2.1 Számsorozatok és számsorok ........................................................................... 12
3.1.1. 2.1.1 Számsorozat megadása, határértéke .................................................. 12 3.1.2. 2.1.2 Számsorok összege ............................................................................ 18 3.1.3. 2.1.3 Abszolút- ill. feltételes konvergencia ................................................ 22 3.1.4. 2.1.4 Alkalmazás: Geometriai feladatok .................................................... 23
3.2. 2.2 Megoldás. Számsorozatok ................................................................................ 23 3.2.1. 2.2.1 Számsorozat megadása, határértéke .................................................. 23 3.2.2. 2.2.2 Számsorok összege ............................................................................ 28 3.2.3. 2.2.3 Abszolút- ill. feltételes konvergencia ................................................ 32 3.2.4. 2.2.4 Alkalmazás: Geometriai feladatok .................................................... 32
4. 3 Valós függvények ............................................................................................................. 34 4.1. 3.1 Valós függvények ............................................................................................. 34
4.1.1. 3.1.1 Bevezető feladatok ............................................................................ 34 4.1.2. 3.1.2 Határérték .......................................................................................... 38 4.1.3. 3.1.3 Függvény deriválás ........................................................................... 42 4.1.4. 3.1.4 Taylor polinom .................................................................................. 44 4.1.5. 3.1.5 Határérték meghatározása LHospital szabállyal ............................... 45 4.1.6. 3.1.6 Síkbeli görbe érintője ........................................................................ 47 4.1.7. 3.1.7 Szélsőérték számítás .......................................................................... 47 4.1.8. 3.1.8 Függvényvizsgálat ............................................................................. 49
4.2. 3.2 Megoldások. Valós függvények ....................................................................... 49 4.2.1. 3.2.1 Bevezető feladatok ............................................................................ 49 4.2.2. 3.2.2 Határérték .......................................................................................... 53 4.2.3. 3.2.3 Függvény deriválás ........................................................................... 57 4.2.4. 3.2.4 Taylor polinomok .............................................................................. 60 4.2.5. 3.2.5 Határérték meghatározása LHospital szabállyal ............................... 63 4.2.6. 3.2.6 Síkgörbe érintője ............................................................................... 65 4.2.7. 3.2.7 Szélsőérték számítás .......................................................................... 66 4.2.8. 3.2.8 Függvényvizsgálat ............................................................................. 71
5. 4 Integrálszámítás ............................................................................................................... 76 5.1. 4.1 Integrálszámítás ................................................................................................ 76
5.1.1. 4.1.1 Határozatlan integrál ......................................................................... 76 5.1.2. 4.1.2 Határozott integrálok. Vegyes feladatok ........................................... 85 5.1.3. 4.1.3 Improprius integrálok ........................................................................ 87 5.1.4. 4.1.4 Az integrálszámítás alkalmazásai ...................................................... 89
5.2. 4.2 Integrálszámítás. Megoldások .......................................................................... 92 5.2.1. 4.2.1 Határozatlan integrál ......................................................................... 92 5.2.2. 4.2.2 Határozott integrálok. Vegyes feladatok ......................................... 116 5.2.3. 4.2.3 Improprius integrálok ...................................................................... 118 5.2.4. 4.2.4 Az integrálszámítás alkalmazásai .................................................... 119
6. 5 Differenciálegyenletek ................................................................................................... 122 6.1. 5.1 Differenciálegyenletek .................................................................................... 122
Matematikai Analízis Példatár
iv Created by XMLmind XSL-FO Converter.
6.1.1. 5.1.1 Szeparábilis differenciálegyenletek ................................................. 122 6.1.2. 5.1.2 Lineáris differenciálegyenletek ....................................................... 124
6.2. 5.2 Differenciálegyenletek. Megoldások .............................................................. 125 6.2.1. 5.2.1 Szeparábilis differenciálegyenletek ................................................. 125 6.2.2. 5.2.2 Lineáris differenciálegyenletek ....................................................... 130
1 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Matematikai Analízis Példatár
1. Bevezető
A PPKE ITK Mérnök informatikus és Molekuláris bionika szakán, valamint az ELTE IK Informatika minor
szakon és esti tagozaton oktatott Matematikai Analízis tárgyakhoz kiadott elméleti jegyzetek mellett most egy
megfelelő példatárat is adunk a diákok kezébe. Az elméleti jegyzetek a Pázmány Egyetem eKiadónál jelentek
meg: Vágó Zsuzsanna: Matematikai Analízis I és II.
A diákok számára bizonyára nagy segítség az adott jegyzetek felépítéséhez illő feladatgyűjtemény. Minden
feladat megoldásának végeredményét közöljük. Az elmélet alaposabb elsajátítását igyekszünk azzal segíteni,
hogy bizonyos feladatokhoz kapcsolódóan részletesen kidolgozott megoldásokat is találhatnak.
Ebben a kötetben a két féléves tananyag első feléhez adunk gyakorló feladatokat. Tervezzük, hogy jelen munka
folytatásaként, a második félévben sorra kerülő anyagrészekhez is hasonló példatárat állítunk össze.
Szeretnénk hálás köszönetet mondani dr. Szilvay Gézáné Panni néniek, aki a Példatár végleges formájának
kialakítása során biztos hátterünk volt. Lelkiismeretes lektorként a végeredmények ellenőrzésében igen nagy
segítségünkre volt.
A Példatár fejezeteinek PDF változata letölthetők az alábbi linkről: http://digitus.itk.ppke.hu/~vago/TAMOP-
Peldatar/.
Budapest, 2013. szeptember 9.
Vágó Zsuzsanna és Csörgő István
2. 1 Valós számok
2.1. 1.1 Valós számok
2.1.1. 1.1.1 Teljes indukció
2.1.1.1. Igazoljuk a teljes indukcióval a következő állítások helyességét:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Matematikai Analízis Példatár
2 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1.6.
1.7. osztható -mal.
1.8. osztható -cel.
1.9.
2.1.2. 1.1.2 Egyenlőtlenségek
2.1.2.1. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket:
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
2.1.3. 1.1.3 Közepek
2.1.3.1. Igazoljuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség felhasználásával a következő állításokat:
1.22.
Matematikai Analízis Példatár
3 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1.23.
1.24.
1.25.
2.1.3.2. Oldjuk meg a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség felhasználásával az alábbi szélsőérték-feladatokat.
1.26. Adott kerületű téglalapok közül melyiknek a területe a legnagyobb?
1.27. Egy folyó partján adott hosszúságú kerítéssel egy téglalap alakú telket szeretnénk elkeríteni úgy,
hogy a telek egyik határa a folyópart (ott nem kell kerítés). Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalait, hogy a
telek területe a lehető legnagyobb legyen?
1.28. Hogyan válasszuk meg egy felülről nyitott, henger alakú edény méreteit, hogy elkészítéséhez a lehető
legkevesebb anyagra legyen szükség?
2.1.3.3. További közepekkel kapcsolatos feladatok
1.29. Igazolja a mértani és a harmonikus közép közti egyenlőtlenségről szóló tételt:
ahol egyenlőség akkor és csak akkor van, ha .
Megjegyzés: a bal oldalon álló mennyiséget az számok harmonikus közepének nevezzük.
1.30. Igazolja a számtani és a négyzetes közép közti egyenlőtlenségről szóló tételt:
és egyenlőség akkor és csak akkor van, ha .
1.31. Legyen , , és jelölje az pozitív számok közül a legkisebbet, pedig a
legnagyobbat. Jelölje továbbá ugyanezen számok harmonikus közepét, a mértani közepét, a
számtani közepét, pedig a négyzetes közepét. Igazolja, hogy mind a négy közép és közé esik, azaz,
hogy
továbbá ha az számok nem mind egyenlők, akkor
Matematikai Analízis Példatár
4 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.1.4. 1.1.4 Számhalmazok
2.1.4.1. Vizsgáljuk meg az alábbi halmazokat korlátosság, alsó és felső határ, legkisebb és legnagyobb elem szempontjából:
1.32.
1.33.
1.34.
1.35.
2.2. 1.2 Megoldás. Valós számok
2.2.1. 1.2.1 Teljes indukció
1.1.
1.2.
1.3. Megoldás: a) esetén az állítás igaz, mivel mindkét oldal értéke .
Az indukciós lépés:
Az indukciós feltevés miatt az első tényezőben álló produktum helyére írható, ezért a folytatás:
ami az állítás -re való bizonyítását jelenti.
b) Az a) részhez hasonlóan igazolható, de vigyázzunk, az indukció -ről indul.
esetén az állítás igaz, mivel mindkét oldal értéke .
Az indukciós lépés:
Matematikai Analízis Példatár
5 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az indukciós feltevés miatt az első tényezőben álló produktum helyére írható, ezért a folytatás:
ami az állítás -re való bizonyítását jelenti.
1.4.
1.5.
1.6. Megoldás: -ra az egyenlőség egy ismert trigonometrikus azonosság átrendezése.
Az indukciós lépés:
Az első egyenlőség az indukciós feltételből, a második a azonosságból (
helyettesítéssel) adódik.
1.7. Megoldás:
Az első kongruencia miatt adódik.
2.2.2. 1.2.2 Egyenlőtlenségek
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16. Megoldás: Az egyenlőtlenség azokra az valós számokra van értelmezve, melyekre
Ezen a tartományon az egyenlőtlenség ekvivalens az alábbival:
-ra redukálás és rendezés után kapjuk, hogy
Matematikai Analízis Példatár
6 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ennek első esete az, ha és , második esete pedig ha és . Az első eset
megoldása , a második eseté pedig . Mivel ezekre az -ekre teljesül, hogy , ezért
ezek az -ek mind benne vannak az egyenlőtlenség értelmezési tartományában. Tehát a feladat megoldása:
1.17.
1.18. vagy
1.19.
1.20.
1.21. Megoldás: Az egyenlőtlenség minden valós számra értelmezett. Először a trigonometrikus részt oldjuk
meg, azaz helyettesítés után (új ismeretlen bevezetése) megoldjuk a
egyenlőtlenséget. A középiskolában megismert módszerek valamelyikét alkalmazva (egységkör vagy függvény
ábrázolás) ennek megoldása:
Ezek után egy paraméteres abszolút-értékes egyenlőtlenség-rendszert kell megoldanunk, ahol a paraméter:
Keressük először a , azaz az feltételt kielégítő megoldásokat. Ekkor az abszolút érték
elhagyható, és a
lineáris egyenlőtlenségekhez jutunk. Ezek rendezéssel könnyen megoldhatók:
Ezek a nyílt intervallumok esetén teljes egészében a intervallumba esnek, esetben
nincs közös pontjuk a intervallummal, esetben pedig a közös rész: .
Ennek alapján az feltételt kielégítő megoldások:
Második esetként keressük a feltételt kielégítő megoldásokat. Ekkor az abszolút érték úgy
hagyható el, hogy a benne szereplő kifejezés ellentettjét vesszük:
Matematikai Analízis Példatár
7 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ezek a lineáris egyenlőtlenség-rendszerek rendezéssel könnyen megoldhatók:
Ezek a nyílt intervallumok esetén teljes egészében a intervallumba esnek, esetben
nincs közös pontjuk a intervallummal, esetben pedig a közös rész: .
Ennek alapján az feltételt kielégítő megoldások:
A két esetben kapott megoldások halmazának egyesítése után kapjuk a feladat megoldását:
vagy
ahol egész szám.
2.2.3. 1.2.3 Közepek
1.22. Megoldás: a) Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az alábbi db
számra:
b) Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az alábbi db számra:
1.23. Megoldás: Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az számokra,
továbbá az számokra.
1.24. Megoldás: Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az számokra, majd
használjuk fel az első természetes szám összegére tanult képletet.
1.25. Megoldás: a) Alkalmazzuk a két szám számtani és mértani közepe közti egyenlőtlenséget az alábbi
számpárokra:
Matematikai Analízis Példatár
8 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
b) Alkalmazzuk a három szám számtani és mértani közepe közti egyenlőtlenséget az , ,
számokra.
1.26. Megoldás: Ha a téglalap oldalait és jelöli, akkor az maximumát keressük az
feltételek mellett. Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az és számokra:
Azonban a jobb oldalon álló mennyiség állandó, ezért a bal oldalon álló szorzat akkor és csak akkor
veszi fel a legnagyobb értékét, ha a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenségben egyenlőség van, azaz, ha
. Az optimális téglalap tehát a oldalú négyzet.
1.27. Megoldás: Jelölje a téglalapnak a folyóval párhuzamos oldalát , a folyóra merőleges oldalát pedig .
Keressük az kifejezés maximumát az
feltételek mellett. Alakítsuk át az kifejezést, majd alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti
egyenlőtlenséget az és a számokra:
Azonban a jobb oldalon álló mennyiség állandó, ezért a bal oldalon álló szorzat akkor és csak akkor
veszi fel a legnagyobb értékét, ha a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenségben egyenlőség van, azaz, ha
. Az optimális téglalap oldalai tehát és .
1.28. Megoldás: Jelölje a henger sugarát , magasságát . Keressük az kifejezés
minimumát az
feltételek mellett. Alakítsuk át az kifejezést, majd alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti
egyenlőtlenséget az , , számokra:
A jobb oldalt átalakítjuk:
Látható, hogy a jobb oldalon álló mennyiség állandó, ezért a minimalizálandó kifejezés akkor és
csak akkor veszi fel a legkisebb értékét, ha a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenségben egyenlőség
van, azaz, ha
Matematikai Analízis Példatár
9 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az optimális edény méretei tehát .
1.29. Megoldás: Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az
számokra, majd rendezzük át a kapott eredményt.
1.30. Megoldás: A bizonyítandó egyenlőtlenséget ekvivalens átalakításokkal az alábbi alakra hozzuk:
Végezzük el a bal oldalon a négyzetre emelést, majd rendezzük az egyenlőtlenséget:
A jobb oldalon szereplő különbség első tagja átrendezhető az alábbi formára:
ugyanis
Ennek felhasználásával a bizonyítandó egyenlőtlenség így írható:
Ez pedig nyilvánvalóan igaz (négyzetösszeg ), és az egyenlőségre vonatkozó állítás igazolása is könnyen
kiolvasható belőle.
Matematikai Analízis Példatár
10 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Megjegyzés: A bizonyítás teljesen elemi volt, de mégis kissé bonyolult az összeg átrendezése miatt. A számtani
és a négyzetes közép közti egyenlőtlenség lényegesen egyszerűbben igazolható a lineáris algebrában később
sorra kerülő Cauchy-egyenlőtlenség alkalmazásával.
1.31. Megoldás: Használjuk fel, hogy esetén , továbbá, ha az számok
nem mind egyenlők, akkor ezek között az egyenlőtlenségek között vannak olyanok, amelyek szigorú formában
teljesülnek.
2.2.4. 1.2.4 Számhalmazok
1.32. Megoldás: Mivel , ezért
Ebből látható, hogy növelésével a halmaz elemei egyre nagyobbak. Ezért a legkisebb elemet -re
kapjuk:
Mivel van minimum, ez egyben a halmaz legnagyobb alsó korlátja is: .A halmaz alulról korlátos.
Most bebizonyítjuk, hogy a halmaz legkisebb felső korlátja , azaz, hogy . Ez két lépésben történik:
először belátjuk, hogy a felső korlát, majd pedig azt, hogy bármely, -nél kisebb szám már nem felső korlát.
Az első lépés igazolása egyszerű: mivel , ezért
A második lépés igazolásához vegyünk egy tetszőleges számot, és mutassuk meg, hogy a szám
nem felső korlátja -nak. Ehhez elegendő egyetlen olyan -beli elem létezését bizonyítani, amely nagyobb,
mint :
Ezt az egyenlőtlenséget átrendezve kapjuk, hogy
Ilyen szám pedig létezik az arkhimédeszi axióma miatt.
Mivel találtunk felső korlátot, a halmaz felülről korlátos.
Mivel a halmaz minden eleme kisebb, mint , ezért , amiből következik, hogy a halmaznak nincs
maximuma: .
1.33. Megoldás: A halmaz alulról korlátos, , továbbá a halmaz felülről korlátos,
, maximuma nincs.
Matematikai Analízis Példatár
11 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1.34. Megoldás: Mivel
ezért
Ebből látható, hogy növelésével a halmaz elemei egyre kisebbek. Ezért a legnagyobb elemet -re
kapjuk:
Mivel van maximum, ez egyben a halmaz legkisebb felső korlátja is: . A halmaz felülről korlátos.
Most bebizonyítjuk, hogy a halmaz legnagyobb alsó korlátja , azaz, hogy . Ez két lépésben
történik: először belátjuk, hogy az alsó korlát, majd pedig azt, hogy bármely, -nél nagyobb szám már nem
alsó korlát. Az első lépés igazolása egyszerű: mivel , ezért
A második lépés igazolásához vegyünk egy tetszőleges számot, és mutassuk meg, hogy az szám
nem alsó korlátja -nak. Ehhez elegendő egyetlen olyan -beli elem létezését bizonyítani, amely kisebb,
mint :
Ezt az egyenlőtlenséget átrendezve kapjuk, hogy
Ilyen szám pedig létezik az arkhimédeszi axióma miatt.
Mivel találtunk alsó korlátot, a halmaz alulról korlátos.
Mivel a halmaz minden eleme nagyobb, mint , ezért , amiből következik, hogy a halmaznak nincs
minimuma: .
1.35. Megoldás: Vigyázzunk, értéke nem -től, hanem -től indul. A halmaz felülről korlátos,
, továbbá a halmaz alulról korlátos, , minimuma nincs.
3. 2 Számsorozatok, számsorok
Matematikai Analízis Példatár
12 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.1. 2.1 Számsorozatok és számsorok
3.1.1. 2.1.1 Számsorozat megadása, határértéke
3.1.1.1. Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! Vizsgáljuk meg, hogy a sorozat monoton, korlátos, illetve konvergens-e!
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
3.1.1.2. Írjuk fel az alábbi, képlettel megadott sorozatok első néhány elemét! Vizsgáljuk meg, hogy a sorozat monoton-e, korlátos-e, konvergens-e!
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
Matematikai Analízis Példatár
13 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.13.
2.14.
3.1.1.3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét:
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
3.1.1.4. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét:
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
2.29.
2.30.
2.31.
Matematikai Analízis Példatár
14 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.32.
2.33.
2.34.
2.35.
2.36.
2.37.
2.38.
2.39.
2.40.
2.41.
2.42.
2.43.
2.44.
2.45.
2.46.
2.47.
3.1.1.5. Vizsgáljuk meg, hogy konvergensek-e az alábbi sorozatok. Ha igen, akkor adjunk meg
olyan küszöbindexet, melynél nagyobb indexű elemek (a számsorozatban) az előírt -nál kisebb hibával közelítik meg a határértéket.
2.48.
Matematikai Analízis Példatár
15 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.49.
2.50.
2.51.
2.52.
2.53.
2.54.
2.55.
2.56.
3.1.1.6. Vizsgáljuk meg, hogy alábbi, -be tartó, sorozatokban milyen küszöbindextől kezdve lesznek a sorozat elemei az adott számnál nagyobbak.
2.57.
2.58.
2.59.
2.60.
Matematikai Analízis Példatár
16 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.1.1.7. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét.
2.61.
2.62.
2.63.
2.64.
2.65.
2.66.
2.67.
2.68.
2.69.
2.70.
Matematikai Analízis Példatár
17 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.1.1.8. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét.
2.71.
2.72.
2.73.
2.74.
2.75.
2.76.
2.77.
2.78.
3.1.1.9. Határozzuk meg az alábbi rekurzív sorozatok határértékét.
2.79.
2.80.
2.81.
2.82.
Matematikai Analízis Példatár
18 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.1.2. 2.1.2 Számsorok összege
3.1.2.1. Számítsuk ki a következő sorok összegét.
2.83.
2.84.
2.85.
2.86.
2.87.
2.88.
2.89.
2.90.
2.91. Írjuk fel közönséges tört alakban az alábbi tizedes törteket:
3.1.2.2. Konvergensek-e az alábbi végtelen sorok?
2.92.
2.93.
2.94.
Matematikai Analízis Példatár
19 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.95.
2.96.
2.97.
2.98.
2.99.
2.100.
2.101.
2.102.
2.103.
2.104.
2.105.
Matematikai Analízis Példatár
20 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.106.
2.107.
2.108.
2.109.
2.110.
2.111.
2.112.
2.113.
2.114.
2.115.
Matematikai Analízis Példatár
21 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.116.
2.117.
2.118.
2.119.
2.120.
2.121.
2.122.
2.123.
2.124.
2.125.
Matematikai Analízis Példatár
22 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.126.
3.1.3. 2.1.3 Abszolút- ill. feltételes konvergencia
Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi végtelen sorok melyik típusba tartoznak: abszolút konvergens, feltételesen
konvergens vagy divergens?
2.127.
2.128.
2.129.
2.130.
2.131.
2.132.
2.133.
2.134.
Matematikai Analízis Példatár
23 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.135.
3.1.4. 2.1.4 Alkalmazás: Geometriai feladatok
2.136. Képezzünk sokszöget egy szabályos oldalú, területű háromszögből a következő rekurzív eljárással:
1. Osszunk minden oldalt egyenlő részre.
2. Minden középső oldal szakaszra illesszünk szabályos háromszöget.
3. Ismételjük ezeket a lépéseket. Az így kapott sokszög az úgynevezett Koch-görbe.
Mennyi a Koch görbe kerülete és területe?
2.137. Egységnyi területű szabályos háromszögbe beírjuk a középvonalai által alkotott háromszöget. Ezután
vesszük az eredetivel egyállású részeket es azokba is beírjuk a kozépvonalai által alkotott háromszögeket. Ezt
rekurzívan ismételjük. A kapott alakzat a SIERPINSKI háromszög.
A középvonalak által alkotott háromszögek összterülete hányadik iteráció után haladja meg a értéket?
Mennyi a középvonalak által alkotott háromszögek területeinek összege?
3.2. 2.2 Megoldás. Számsorozatok
3.2.1. 2.2.1 Számsorozat megadása, határértéke
2.1. Megoldás: A sorozat monoton növő (sőt: szigorúan monoton növő). Alulról korlátos, felülről nem korlátos,
tehát nem korlátos. Továbbá divergens, -be tart. .
2.2. Megoldás: A sorozat monoton fogyó, (sőt: szigorúan monoton fogyó). Alulról is és felülről is korlátos, tehát
korlátos. Továbbá konvergens, határértéke: . .
2.3. Megoldás: A sorozat monoton növő (sőt: szigorúan monoton növő). Alulról korlátos, felülről nem korlátos,
tehát nem korlátos. Továbbá divergens, -be tart. .
Matematikai Analízis Példatár
24 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.4. Megoldás: A sorozat nem monoton. Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá konvergens,
határértéke: . .
2.5. Megoldás: A sorozat nem monoton. Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá divergens,
határértéke nincs. .
2.6. Megoldás: A sorozat monoton növő, (sőt: szigorúan monoton növő). Alulról is és felülről is korlátos, tehát
korlátos. Továbbá konvergens, határértéke: . .
2.7. Megoldás: A sorozat nem monoton. Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá divergens,
határértéke nincs. .
2.8. Megoldás: A sorozat nem monoton. Alulról is és felülről is korlátos, tehát korlátos. Továbbá konvergens,
határértéke: .
Megjegyzés. A 2.8 feladatban szereplő sorozat a és a sorozatok
"összefésülésével" keletkezett. Mivel páratlan -ekre , páros -ekre pedig
ezért olyan törtet kell készítenünk, melynek nevezője , számlálója pedig páratlan -re , páros -re
pedig . Könnyen kaphatunk ilyen számlálót: .
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15. .
2.16. Megoldás:
2.17. Megoldás:
2.18. .
2.19. .
Matematikai Analízis Példatár
25 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.20. .
2.21. .
2.22. .
2.23. .
2.24. .
2.25. Megoldás:
2.26. .
2.27. .
2.28. .
2.29. .
2.30. .
2.31. .
2.32. Megoldás:
2.33. .
2.34. Megoldás:
2.35. .
2.36. .
2.37. .
Matematikai Analízis Példatár
26 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.38. .
2.39. .
2.40. Megoldás: Teljes indukcióval belátható, hogy
Ezért
2.41. .
2.42. .
2.43. .
2.44. .
2.45. .
2.46. .
2.47. .
2.48. Konvergens, .
2.49. Megoldás: , továbbá
Tehát olyan küszöböt kell találni, hogy a nála nagyobb -ekre
teljesüljön. Ezt az egyenlőtlenséget megoldva kapjuk, hogy , tehát egy jó
küszöbindex.
2.50. Konvergens, .
2.51. Konvergens, .
2.52. Ismert tétel alapján .
Továbbá , azaz . Mindkét oldal -es alapú logaritmusát véve kapjuk,
- a logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt - hogy , amiből .
Ezért egy jó küszöbindex.
Matematikai Analízis Példatár
27 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.53. Konvergens, .
2.54. Konvergens, .
2.55. Konvergens, .
2.56. Konvergens, .
2.57. Mivel , ezért jó lesz küszöbindexnek.
2.58. Megoldás: A törtet bőví tve , így a vizsgálandó
egyenlőtlenség: . Ebből átrendezéssel kapjuk, hogy .
2.59. .
2.60. .
2.61. .
2.62. .
2.63. Megoldás: .
2.64. .
2.65. .
2.66. .
2.67. .
2.68. .
2.69. .
2.70. .
2.71. .
2.72. .
2.73. .
2.74. .
2.75. .
2.76. .
2.77. Megoldás:
2.78. Megoldás: A számlálót az ismert összegképletek segítségével tudjuk zárt alakban felírni:
Matematikai Analízis Példatár
28 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ennek alapján
2.79. Megoldás: Teljes indukcióval belátható, hogy a sorozat monoton növő, és felülről korlátos. Ebből
következik, hogy konvergens, vagyis létezik a
véges határérték. A sorozatot megadó rekurzív képlet mindkét oldalának határértékét véve kapjuk, hogy
Ennek az egyenletnek egyetlen megoldása . Tehát .
2.80. .
2.81. .
2.82. .
3.2.2. 2.2.2 Számsorok összege
2.83. 3.
2.84. Megoldás: Mértani sorról van szó, , tehát konvergens. Összegzése az ismert
képlet segítségével történik:
2.85. Megoldás: A sor -edik részletösszege:
Az összeg -adik tagját parciális törtekre bontjuk:
Ezt behelyettesítjük, majd az összeget átrendezzük:
Matematikai Analízis Példatár
29 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ezután a második szumma indexét eltoljuk úgy, hogy a tagok helyett alakúak legyenek:
Végül - mindkét szummából leválasztva a megfelelő tagokat - a közös index tartományon vett összegek kiejtik
egymást, s így kialakul zárt alakja:
Innen határátmenettel kapjuk a sor összegét:
2.86. .
2.87. .
2.88. Megoldás: A sor -edik részletösszege:
Az összeg -adik tagját parciális törtekre bontjuk:
Ezt behelyettesítjük, majd az összeget a 2.85 feladatban látott módon átalakítjuk (átrendezés, index eltolás,
leválasztás, kiejtés):
Matematikai Analízis Példatár
30 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A sor összege tehát .
2.89. .
2.90. .
2.91. és .
2.92. Divergens.
2.93. Megoldás: Konvergens. Pozitív tagú sor, melyet a konvergens geometriai sor majorál.
2.94. Megoldás: Mivel , tehát a konvergencia szükséges feltétele nem teljesül, ezért
a sor divergens.
2.95. Megoldás: A sor divergens, ugyanis
a sort tehát a harmonikus sor minorálja, amely divergens.
2.96. Divergens.
2.97. Konvergens.
2.98. Megoldás: Divergens, mert
s így a konvergencia szükséges feltétele nem teljesül.
2.99. Megoldás: Konvergens. Pozitív tagú sor, melyet majorál a konvergens geometriai sor.
2.100. Divergens.
2.101. Divergens.
2.102. Divergens.
2.103. Divergens.
2.104. Konvergens.
2.105. Divergens.
2.106. Megoldás: Alkalmazzuk a gyökkritériumot:
Matematikai Analízis Példatár
31 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
ezért a vizsgált sor konvergens.
2.107. Divergens.
2.108. Divergens.
2.109. Divergens.
2.110. Konvergens.
2.111. Megoldás: Divergens. Ugyanis
s így
Ez a harmonikus sor viszont divergens.
2.112. Konvergens.
2.113. Konvergens.
2.114. Konvergens.
2.115. Konvergens.
2.116. Divergens.
2.117. Konvergens.
2.118. Konvergens.
2.119. Konvergens.
2.120. Konvergens.
2.121. Konvergens.
2.122. Megoldás: A sor tagjai:
Jelölje a sor -edik részletösszegét . A páros indexű részletösszegek:
Matematikai Analízis Példatár
32 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
amiből látszik, hogy egy konvergens Leibniz-típusú sor részletösszegeinek sorozatával egyenlő. Ezért
konvergens, jelöljük a határértékét -sel. A páratlan indexű részletösszegek is -hez tartanak, ugyanis
Ezért konvergens, vagyis a vizsgált sor konvergens.
Megjegyzés. A fenti feladatban szereplő sor példa olyan esetre, amikor a sor csupán a monotonitás hiánya miatt
nem Leibniz-típusú. Ennek ellenére konvergens.
3.2.3. 2.2.3 Abszolút- ill. feltételes konvergencia
2.123. Konvergens.
2.124. Konvergens.
2.125. Divergens.
2.126. Konvergens.
2.127. Feltételesen konvergens.
2.128. Abszolút konvergens.
2.129. Abszolút konvergens.
2.130. Feltételesen konvergens.
2.131. Megoldás: Vizsgáljuk az részletösszeg-sorozat páros indexű tagjait:
Itt alkalmazhatjuk a minoráns kritériumot, ugyanis esetén , s ezt felhasználva
továbbá tudjuk, hogy a sor divergens. Ezért az részletösszeg-részsorozat divergens, amiből
következik, hogy is divergens. A vizsgált sor tehát divergens.
Megjegyzés. A feladatban szereplő sor példa olyan esetre, amikor a sor csupán a monotonitás hiánya miatt nem
Leibniz-típusú, és nem is konvergens.
3.2.4. 2.2.4 Alkalmazás: Geometriai feladatok
2.132. Feltételesen konvergens.
2.133. Feltételesen konvergens.
Matematikai Analízis Példatár
33 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.134. Abszolút konvergens.
2.135. Feltételesen konvergens.
2.136. A feladat megoldása a jegyzet I. kötet 52. oldalán található.
, .
2.137. Megoldás: Mivel a középvonalak által meghatározott háromszög -szeres kicsinyítése a háromszögnek,
ezért területe -szerese annak a háromszögének, amelybe beleírjuk.
Ennek alapján a középvonalak által meghatározott háromszögek (beszínezett háromszögek) száma és
összterülete az alábbi módon adható meg:
Az első ábrán db területű háromszög.
A második ábrán db , továbbá még db területű háromszög.
A harmadik ábrán ugyanaz, mint a második ábrán, továbbá még db területű háromszög.
És így tovább, teljes indukcióval megmutatható, hogy az -edik ábrán beszínezett háromszögek összterülete:
A mértani sorozat első tagjára vonatkozó képlettel kapjuk, hogy az -edik ábrán beszínezett háromszögek
összterülete:
A kapott képlet alapján válaszolhatunk a feladat kérdéseire:
a) Megoldandó a egyenlőtlenség, azaz:
Matematikai Analízis Példatár
34 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ebből adódik, hogy . Sőt az is látható, hogy esetén egyenlőség van. Tehát a középvonalak által
meghatározott háromszögek (beszínezett háromszögek) összterülete a negyedik ábrán éppen , s ezt az
értéket először az ötödik ábrán haladja meg.
b) A középvonalak által meghatározott háromszögek (beszínezett háromszögek) összterülete:
ami megegyezik az eredeti háromszög területével. Megjegyzés. A feladatot egyszerűbben is meg tudjuk oldani,
ha nem a beszínezett, hanem a fehéren maradt háromszögek összterületét számoljuk. Ez a terület mindegyik
ábrán mint az könnyen látható -szerese az előző ábrán lévő fehér területnek. Tehát az -edik ábrán lévő
fehér terület: . Ebből következik, hogy a beszínezett terület az -edik ábrán .
4. 3 Valós függvények
4.1. 3.1 Valós függvények
4.1.1. 3.1.1 Bevezető feladatok
Mivel egyenlő?
3.1.
3.2.
3.3.
Matematikai Analízis Példatár
35 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
4.1.1.1. Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát:
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
Matematikai Analízis Példatár
36 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.21.
3.22.
4.1.1.2. Rajzoljuk meg a következő függvények görbéit.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
3.31.
3.32.
Matematikai Analízis Példatár
37 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.33.
3.34.
3.35.
3.36.
3.37.
4.1.1.3. Határozzuk meg a következő függvények inverz függvényét.
3.38.
3.39.
3.40.
3.41.
3.42.
3.43.
3.44.
3.45.
Matematikai Analízis Példatár
38 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.46.
3.47.
4.1.2. 3.1.2 Határérték
4.1.2.1. Határozzuk meg a következő függvények határértékét az adott pontban.
3.48.
3.49.
3.50.
3.51.
3.52.
3.53.
3.54.
3.55.
Matematikai Analízis Példatár
39 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.56.
3.57.
3.58.
3.59.
3.60.
3.61.
3.62.
3.63.
4.1.2.2. Határozzuk meg a következő függvények határértékét az adott pontban.
3.64.
3.65.
3.66.
Matematikai Analízis Példatár
40 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.67.
3.68.
3.69.
3.70.
3.71.
3.72.
3.73.
3.74.
3.75.
3.76.
3.77.
3.78.
Matematikai Analízis Példatár
41 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.79.
4.1.2.3. Határozzuk meg a következő függvények határértékét az adott pontban.
3.80.
3.81.
3.82.
3.83.
3.84.
3.85.
3.86.
3.87.
3.88.
3.89.
3.90.
Matematikai Analízis Példatár
42 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.91.
3.92.
3.93.
3.94.
3.95.
3.96.
3.97.
3.98.
4.1.3. 3.1.3 Függvény deriválás
4.1.3.1. Határozzuk meg a következő függvények deriváltját.
3.99.
3.100.
Matematikai Analízis Példatár
43 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.101.
3.102.
3.103.
3.104.
3.105.
3.106.
3.107.
3.108.
3.109.
3.110.
4.1.3.2. Határozzuk meg a következő függvények deriváltját.
3.111.
3.112.
3.113.
3.114.
3.115.
3.116.
3.117.
3.118.
3.119.
3.120.
3.121.
3.122.
Matematikai Analízis Példatár
44 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.123.
4.1.3.3. Határozzuk meg az alábbi implicit módon megadott ( ) függvények deriváltját.
3.124.
3.125.
3.126.
3.127.
3.128.
3.129.
3.130.
4.1.4. 3.1.4 Taylor polinom
4.1.4.1. Írjuk fel az alábbi függvényeknek a megadott helyhez tartozó, megadott rendű Taylor polinomját.
3.131.
3.132.
3.133.
3.134.
3.135.
3.136.
3.137.
Matematikai Analízis Példatár
45 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.138.
4.1.4.2. Írjuk fel az alábbi függvények helyhez tartozó, megadott rendű Taylor polinomját.
3.139.
3.140.
3.141.
3.142.
3.143.
3.144.
3.145. Mekkora hibát követünk el, ha az függvény értékét a intervallumon a
Taylor polinommal közelítjük?
3.146. Határozzuk meg az szám értékét két tizedesjegy pontossággal Taylor polinom segítségével!
4.1.5. 3.1.5 Határérték meghatározása LHospital szabállyal
3.147.
3.148.
3.149.
3.150.
Matematikai Analízis Példatár
46 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.151.
3.152.
3.153.
3.154.
3.155.
3.156.
3.157.
3.158. ( rögzített)
3.159.
3.160.
3.161.
3.162.
3.163.
3.164.
3.165.
3.166.
3.167.
Matematikai Analízis Példatár
47 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.168.
3.169.
3.170.
3.171.
4.1.6. 3.1.6 Síkbeli görbe érintője
3.172. Határozzuk meg az parabola abszcisszájú pontjához húzott érintőjének egyenletét!
3.173. Hol metszi az görbe abszcisszájú pontjához húzott érintője az tengelyt?
3.174. Határozzuk meg az görbének azt a pontját, melyhez tartozó érintő párhuzamos az
egyenessel!
3.175. Határozzuk meg az görbének azokat a pontjait, melyekben az érintő párhuzamos
az egyenessel!
3.176. Bizonyítsuk be, hogy az görbe (ahol adott) bármely pontjához húzott érintője és a
koordináta tengelyek által alkotott háromszög területe független az érintési ponttól!
3.177. Írjuk fel az görbe abszcisszájú pontjához tartozó normálisának egyenletét. (A
függvény görbe pontjához tartozó normálisa az az egyenes, amely a ponthoz húzott érintőre merőleges.)
3.178. Határozzuk meg az implicit alakban adott függvény görbéjének
abszcisszájú pontjaiban az érintő és normális egyenletet.
3.179. Keressük meg az görbe azon pontjait, ahol a.) az érintő párhuzamos az tengellyel
b.) az érintő az tengely pozitív irányával -os szöget zár be.
4.1.7. 3.1.7 Szélsőérték számítás
3.180. Határozzuk meg az függvény lokális szélsőértékeit!
3.181. Határozzuk meg az függvény lokális szélsőértékeit!
3.182. Keressük meg az függvény a) lokális szélsőértékeit, b) abszolút
szélsőértékeit a és a intervallumokon.
Matematikai Analízis Példatár
48 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.183. Keressük meg az függvény a.) lokális szélsőértékeit b.) abszolút szélsőértékeit az
intervallumon.
3.184. Keressük meg az függvény a.) lokális szélsőértékeit b.) abszolút szélsőértékeit az
intervallumon.
3.185. Határozzuk meg az sugarú körbe írt legnagyobb területű téglalapot.
3.186. Határozzuk meg az sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú hengert.
3.187. Határozzuk meg az sugarú gömbbe írt legnagyobb térfogatú kúpot.
3.188. Határozzuk meg az egy literes, felül nyitott legkisebb felszínű hengert.
3.189. Egyenlő szélességű három deszkából csatornát készítünk. Az oldalfalak milyen hajlásszöge mellett lesz a
csatorna keresztmetszete maximális?
3.190. Határozzuk meg a alkotójú kúpot közül azt, melynek a térfogata legnagyobb.
3.191. Egy szélességű csatornából derékszögben kinyúlik egy szélességű csatorna. A csatornák falai
egyenes vonalúak. Határozzuk meg azon gerenda legnagyobb hosszát, amely az egyik csatornából
átcsúsztatható a másikba.
3.192. Keressük meg az parabolának azt a pontját, amely a ponttól a legkisebb távolságra van.
3.193. Feltsszük, hogy a gőzhajó energiafogyasztása a sebesség harmadik hatványával egyenesen arányos.
Keressük meg a leggazdaságosabb óránkénti sebességet abban az esetben, ha a hajó km/óra sebességű víz-
sodrással szemben halad.
3.194. Az és pontok ill. távolságra vannak a faltól. Melyik a legrövidebb út -ból -be a falat
érintve?
3.195. m hosszú drótkerítéssel szeretnénk maximális területet közrezárni, miközben csatlakozunk egy már
meglevő m hósszú kőfalhoz. Mekkorák lesznek a kert oldalai?
Matematikai Analízis Példatár
49 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.196. Keressük meg a ellipszisnek azt a pontját, ami a ponthoz legközelebb illetve
legtávolabb van.
3.197. Egy derékszögű háromszög alakú telek egymásra merőleges oldalai m és m. Az ábra szerint
ráépített téglalap alapú ház alapterülete mikor lesz maximális?
3.198. Egy sugarú félkörbe írható téglalapok közül melyik területe maximális? Melyik területe minimális?
3.199. Egy fapados repülőgépen 300 ülőhely van. Csak akkor indítják a járatot, ha legalább 200 ülőhely foglalt.
Ha 200 utas van, akkor egy jegy ára 30e Ft, és minden egyes plusz utas esetén a jegyárak egységesen
csökkennek Ft-tal. Hány utas esetén lesz a légitársaság bevétele maximális illetve minimális?
3.200. Adott területű téglalapok küzül melyik kerülete a minimális?
3.201. Egy hosszú drótból levágunk egy darabot, négyzetet csinálunk belőle. A maradékot kör alakúra
hajlítjuk. Mikor lesz a két alakzat össz-területe maximális?
4.1.8. 3.1.8 Függvényvizsgálat
3.202. Vizsgáljuk és ábrázoljuk az függvényt!
4.1.8.1. Vizsgáljuk az alábbi függvényeket.
3.203.
3.204.
3.205.
3.206.
3.207.
3.208.
4.2. 3.2 Megoldások. Valós függvények
4.2.1. 3.2.1 Bevezető feladatok
3.1.
Matematikai Analízis Példatár
50 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9. , ha .
3.10. Megoldás: , ezért
3.11. Megoldás: , ezért
3.12. Megoldás: , ezért .
3.13. Megoldás: A kifejezés azokra az értékekre van értelmezve, melyek esetén a
négyzetgyökjel alatti kifejezések nem negatívak, azaz, ha és . Ezt az egyenlőtlenség
rendszert megoldva kapjuk, hogy az értelmezési tartomány:
3.14.
3.15.
3.16.
3.17. Megoldás: A logaritmusfüggvény értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza. Ezért függvényünk
pontosan az feltételnek eleget tevő valós számokra van értelmezve. Az egyenlőtlenséget
megoldva azt nyerjük, hogy az értelmezési tartomány:
3.18. Megoldás: A logaritmus mögött pozitív számnak kell állnia, ezért . Továbbá a gyökjel alatti
számnak nem- negatívnak kell lennie, ezért . E két feltétel együttese pontosan akkor
teljesül, ha . Ezért: .
Matematikai Analízis Példatár
51 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.19. .
3.20. .
3.21. .
3.22. .
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
3.31.
3.32.
3.33.
3.34.
3.35.
3.36.
3.37.
Racionális törtfüggvényeknél az ábrázolás előtt határozzuk meg, hogy hol lesznek a görbének a koordináta
tengelyekkel párhuzamos aszimptotái.
Ahol egy törtfüggvénynek a nevezője zérus, ott pólusa van. Itt függőleges aszimptotája van. A vízszintes
aszimptota helyét a függvény végtelenben vett határértéke határozza meg.
Matematikai Analízis Példatár
52 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Matematikai Analízis Példatár
53 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.38. .
3.39. .
3.40. .
3.41. .
3.42. .
3.43. .
3.44. .
3.45. .
3.46. .
3.47. .
4.2.2. 3.2.2 Határérték
3.48. .
3.49. ha páros, balról , jobbról ha páratlan.
3.50. .
3.51. .
3.52. .
3.53. Megoldás: Az gyöktényezőt a számlálóból és a nevezőből is kiemeljük, majd egyszerűsítünk:
3.54. .
Matematikai Analízis Példatár
54 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.55. .
3.56. .
3.57. .
3.58. .
3.59. .
3.60. .
3.61. Megoldás: Helyettesítsük -et -val. Ekkor és
Ha , akkor , tehát
3.62. Megoldás: helyettesítés alkalmazásával
3.63. .
3.64. .
3.65. Megoldás: Mivel , ezért a nevező domináns tagjával, azaz -nel egyszerűsítjük a törtet:
3.66. Megoldás: A számlálót és a nevezőt egyaránt szorozva -el, a kifejezés értéke nem
változik. Viszont a számlálóból eltűnik a négyzetgyök jel, és ezt követően a kifejezés egyszerűsíthető -el. Így
az ismert összefüggést használtuk ki.
Négyzetgyökös kifejezések esetén hasonlóan szoktunk eljárni máskor is.
Matematikai Analízis Példatár
55 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.67. .
3.68. Megoldás:
Ebben a példában ugyanaz a kifejezés volt a négyzetgyökjel alatt mind a két helyen, tehát az előzőekben említett
példa módjára úgy is eljárhattunk volna, hogy helyettesítéssel oldjuk meg a feladatot. Az itt bemutatott
módszer azonban általánosabb esetben is alkalmazható.
3.69. Megoldás:
3.70. .
3.71. .
3.72. .
3.73. .
3.74. Megoldás: Alkalmazzuk az helyettesítést. Ekkor , s ezzel
3.75. .
3.76. .
3.77. .
3.78. .
3.79. .
3.80. .
3.81. Megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
56 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.82. Megoldás:
3.83. Megoldás:
3.84. .
3.85. Megoldás:
3.86. .
3.87. Megoldás:
3.88. .
3.89. .
3.90. Megoldás:
3.91.
3.92. .
3.93. Megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
57 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.94.
3.95. Megoldás:
3.96. .
3.97. Megoldás:
3.98. .
4.2.3. 3.2.3 Függvény deriválás
3.99. .
3.100. .
3.101.
.
3.102. tehát
3.103. .
3.104. .
3.105. .
Matematikai Analízis Példatár
58 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.106. .
3.107. .
3.108. .
3.109. .
3.110. .
3.111. .
3.112. tehát .
3.113. .
3.114. .
3.115. .
3.116. Megoldás:
3.117. .
3.118. .
3.119. .
3.120. .
3.121. .
Matematikai Analízis Példatár
59 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.122. Megoldás: Mivel , ezért
3.123. .
3.124. Megoldás: Deriváljuk mindkét oldalt: , innen: .
3.125. Megoldás: Deriváljuk mindkét oldalt:
Innen:
3.126. Megoldás: Deriváljuk mindkét oldalt:
Innen átrendezéssel: .
3.127.
3.128. Megoldás: Vegyük mindkét oldal logaritmusát: .
Deriváljuk mindkét oldalt: .
Innen azt kapjuk, hogy
3.129. Megoldás: .
3.130. Megoldás: Mindkét oldalnak a logaritmusát vesszük: . Aztán mint implicit
függvényt deriváljuk:
Innen átrendezéssel azt kapjuk, hogy
Matematikai Analízis Példatár
60 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.2.4. 3.2.4 Taylor polinomok
3.131. Megoldás: A Taylor polinom képlete szerint:
A fenti képletbeli számítások: A derivált
Így a keresett polinom:
3.132.
3.133.
3.134. Megoldás:
Tehát a keresett polinom:
Matematikai Analízis Példatár
61 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.135. Megoldás:
3.136. Megoldás: .
Tehát a keresett polinom:
Megjegyzés: Mivel az -ed fokú polinom megegyezik bármely helyen felírt -edfokú Taylor polinomjával,
ezért
Természetesen ez az azonosság elemi úton is ellenőrizhető.
3.137. Megoldás:
3.138. Megoldás: .
3.139. Megoldás: .
3.140. Megoldás: .
Matematikai Analízis Példatár
62 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
.
Tehát a keresett polinom:
3.141. .
3.142. Megoldás:
.
Tehát a keresett polinom:
3.143.
3.144. Megoldás:
3.145. Megoldás: A felírt polinom hatod fokúnak is tekinthető, ezért az elkövetett hiba
Matematikai Analízis Példatár
63 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
mert bármilyen esetén, és a feltevés miatt . Ha tehát a -tól radiánig
( ) terjedő szögek sinusát az előbbi ötödfokú polinommal számítjuk ki, akkor a hiba tízezrednél
kisebb.
3.146. Megoldás: Az szám két tizedes jegy pontossággal való megközelítése azt jelenti, hogy megkeressük a
két tizedes jeggyel felírt tizedes törtek halmazából azt az elemet, amely az számhoz legközelebb esik. Ez a
halmaz: . Mivel két ilyen szomszédos tizedes tört távolsága , ezért célszerűnek tűnik,
hogy az számot először pontossággal közelítsük meg racionális számmal, majd ebből
próbáljuk meg kikövetkeztetni, hogy az említett "százados" skálán melyik elem esik hozzá legközelebb.
Az számot az függvény helyen vett helyettesítési értéke adja. Ezért a feladat
most olyan keresése, melyre
A Taylor-formulát esetén alkalmazva kapjuk, hogy van olyan szám, melyre
A , becsléseket alkalmazva kapjuk, hogy
ezért elég megoldani a
egyenlőtlenséget. Ez az egyenlőtlenség egyenértékű azzal, hogy
amiből kiolvasható, hogy . Nézzük tehát pl. az esetet:
Rendezzük át az (1) becslést:
majd alkalmazzuk -re:
Ebből már látható, hogy a "százados" skálán az számhoz a tizedes tört esik legközelebb, tehát az
szám két tizedes jeggyel felírt közelítő értéke: .
4.2.5. 3.2.5 Határérték meghatározása LHospital szabállyal
3.147. Megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
64 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.148.
3.149.
3.150.
3.151. Megoldás:
3.152.
3.153.
3.154.
3.155.
3.156. Megoldás:
3.157.
3.158. Megoldás:
3.159. .
3.160.
3.161.
3.162. Megoldás:
Itt felhasználtuk, hogy
Matematikai Analízis Példatár
65 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.163.
3.164.
3.165.
3.166. .
3.167. .
3.168. .
3.169. .
3.170. .
3.171. .
4.2.6. 3.2.6 Síkgörbe érintője
3.172. Megoldás: Az érintő egyenlete
Példánkban , , .
Az érintő egyenlete azaz .
3.173. Megoldás: Az érintő egyenlete Az tengelyt ott metszi, ahol . Ebből .
Az érintő az origón megy keresztül.
3.174. Megoldás: Az érintő iránytangense megegyezik az egyenes meredekségével. .
Innen .
Tehát a keresett pontok: .
3.175.
3.176.
3.177. Megoldás: A normális meredeksége . Innen az érintő egyenlete:
3.178. Megoldás: Keressük meg először a jelzett pontokat. Az értéket beírjuk a függvénybe:
. Innen .
Három értéket találunk: , ezért a megfelelő pontok
Matematikai Analízis Példatár
66 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A derivált
Érintő egyenesek:
Normális egyenesek:
3.179. Megoldás: , ezt felhasználva:
a) , amiből vagy . A keresett pontok: , .
b) -os bezárt szög esetén az érintő meredeksége ,
ezért megoldandó az egyenlet. Ennek gyökei , .
Tehát a keresett pontok: , .
4.2.7. 3.2.7 Szélsőérték számítás
3.180. Megoldás: A függvénynek lokális szélsőértéke ott lehet, ahol az első derivált zérus. Ha ezen a helyen az
első el nem tűnő derivált páros rendű, akkor van lokális szélsőérték. Ha ez a derivált az adott pontban pozitív,
akkor lokális minimum van, ha negatív, akkor lokális maximum van.
, ezért és .
ha , azaz
, lokális minimum van .
, lokális maximum van .
3.181. Megoldás: Mivel mindenütt pozitív, akkor
lehet, ha ill. , , tehát ezt a helyet
tovább kell vizsgálni. , tehát ezeken a helyeken a függvénynek lokális
maximuma van. Vizsgáljuk az helyet. ;
, tehát a függvénynek az
helyen van lokális szélsőértéke: lokális minimuma van. -nál és -nél
.
Matematikai Analízis Példatár
67 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Megjegyzés: természetesen kereshetjük a lokális szélsőérték helyeket a függvény monotonitásának vizsgálatával
is.
3.182. Megoldás: a) monotonitását vizsgáljuk, s ebből következtetünk a keresett szélsőérték helyekre. A
derivált , melynek zérushelyei: , . Ennek alapján a függvény
monotonitása:
a intervallumon: szigorúan nő,
a intervallumon szigorúan csökken,
a intervallumon. szigorúan nő.
Emiatt az helyen lokális maximuma van, melynek értéke: , és az helyen lokális minimuma van,
melynek értéke: .
b) A intervallumon vegyük figyelembe, hogy a intervallumon szigorúan nő, az
intervallumon pedig szigorúan csökken. Emiatt abszolút maximuma az helyen felvett ,
abszolút minimuma pedig .
A nyílt intervallumon - a monotonitás alapján - az helyen van abszolút maximum, abszolút
minimum pedig nincs.
3.183. Megoldás: Lokális szélsőértékek: , ha és , ha .
Abszolút szélsőértékek -n: abszolút minimum -nél , abszolút maximum -nél és -nél
.
3.184. Megoldás: Lokális szélsőérték: , ha .
Abszolút szélsőérték -en: abszolút minimum -nél , abszolút maximum -nél .
3.185. Megoldás: Jelöljük a négyszög alapját -el, magasságát -el, akkor a terület .
Matematikai Analízis Példatár
68 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ekkor , ahonnan .Így .
A kapott függvény maximumát kell keresnünk. Egyszerűsítést jelenthet, ha a terület-függvény helyett annak
négyzetét tekintjük. -nek ugyanott van maximuma, ahol -nek:
A maximális területű négyszög négyzet, és . .
3.186. Megoldás: Legyen a henger sugara , magassága .
, ha , .
3.187. Megoldás: Legyen a kúp alapkörének a sugara , magassága . Vezessük be az ábrán jelzett -et.
Ezzel a kúp sugara és magassága is kifejezhető. ; , .
, ha , .
Matematikai Analízis Példatár
69 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3.188.
3.189. Megoldás: A feladat megoldásában segít az ábra:
.
3.190. Megoldás: A feladat megoldásában segít az ábra:
, ha , .
3.191. Megoldás: A feladat megoldásában segít az ábra:
Matematikai Analízis Példatár
70 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
, ha .
3.192. .
3.193. Megoldás: Egy óra alatt a hajó km-nyi utat tesz meg felfelé. Ez alatt a fogyasztása (
konstans arányossági tényező). A költséget az egy km megtételéhez felhasznált energiával mérhetjük. A
hajózás akkor a leggazdaságosabb, ha egy km út felfelé való megtételéhez a legkevesebb energia szükséges.
A költség minimumát a költségfüggvény minimuma adja. A leggazdaságosabb sebesség:
.
3.194. Minimális távolság esetén .
3.195. Megoldás: Maximális terület , ekkor m, m.
A minimális terület (egyenes vonal).
3.196. Megoldás: Jelölje az ellipszis egy pontját. Ekkor és távolsága:
Ennek minimumát és maximumát keressük a feltétel mellett.
Nyilvánvaló, hogy és szélsőérték-helyei ugyanott vannak, ezért szélsőérték-helyeit fogjuk keresni. A
feltételi egyenletből kifejezzük -et, majd behelyettesítjük képletébe:
Keressük tehát az függvény abszolút szélsőértékeit a intervallumon. A
intervallumhoz úgy jutunk el, hogy a feltételi egyenlet átrendezésével , amiből
, azaz adódik. Weierstrass tétele alapján tudjuk, hogy a keresett szélsőértékek
léteznek.
Keressük meg a derivált zérushelyét: , ennek egyetlen megoldása . Ez benne van
a intervallumban. Így:
Matematikai Analízis Példatár
71 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ennek alapján a -hez legközelebbi pontok (2 ilyen van): és , a legtávolabbi pont
pedig .
3.197. A ház oldalainak hossza m és m.
3.198. A maximális területű téglalap oldalai és . A minimális területű téglalap a degenerált eset:
egyetlen vonal.
3.199. Megoldás: Legyen a bevétel, ha utas van. A fölöttiek száma , ezért a jegyek ára
ennyivel csökken, tehát darabonként . Ezért az összes jegy ára:
Az egyenlet megoldása , így a potenciális szélsőérték helyek:
. A megfelelő függvényértékek:
Maximális a bevétel utas esetén, és minimális utas esetén. (A feladat csupán elméleti...)
3.200. Négyzet.
3.201. Az egész drótból kört hajlítunk.
4.2.8. 3.2.8 Függvényvizsgálat
3.202. Megoldás: Értelmezési tartomány: .
A zérushelyeket az egyenlet megoldásával kapjuk: .
Határértékek: (LHospital-lal), .
Monotonitás, szélsőérték: . Ennek egyetlen zérushelye van:
.
A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk:
a intervallumon csökken, az intervallumon nő. Az helyen abszolút
minimuma van. A minimum értéke: .
Matematikai Analízis Példatár
72 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Konvexitás, inflexiós pontok: . Ennek egyetlen zérushelye van:
.
előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk:
a intervallumon konkáv, az intervallumon konvex. Az helyen
inflexiós pontja van.
A függvény grafikonja:
Értékkészlet: .
3.203. maximum, minimum, inflexió.
3.204. Megoldás: Értelmezési tartomány: , a függvény páratlan.
Azérushelyeket az egyenlet megoldásával kapjuk: .
Határértékek: .
Monotonitás, szélsőérték: . Ennek zérushelyei: ,
.
A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk:
a intervallumon csökken, a intervallumon nő, az intervallumon csökken. Az
helyen lokális minimuma, az helyen lokális maximuma van. A lokális minimum értéke , a
lokális maximum értéke .
Konvexitás, inflexiós pontok: . Ennek három zérushelye van: , ,
.
Matematikai Analízis Példatár
73 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk:
a és a intervallumokon konkáv, a és a intervallumokon
konvex. Az , , helyeken inflexiós pontja van.
Aszimptota az -tengely. A függvény grafikonja:
Értékkészlet: . Az helyen abszolút minimuma, az helyen abszolút
maximuma van.
3.205. Megoldás: Értelmezési tartomány: , a függvény páratlan.
A zérushelyeket az egyenlet megoldásával kapjuk. Ennek az egyenletnek azonban nincs valós
gyöke, tehát a függvénynek nincs zérushelye.
Határértékek: , , , .
Monotonitás, szélsőérték: . Ennek zérushelyei: , .
A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk:
a intervallumon nő, a intervallumon csökken, a intervallumon csökken, az
intervallumon nő. Az helyen lokális maximuma, az helyen lokális minimuma van. A
lokális maximum értéke , a lokális minimum értéke .
Konvexitás, inflexiós pontok: . Ennek nincs zérushelye.
előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk:
a intervallumon konkáv, a intervallumon konvex. Inflexiós pontja nincs.
Aszimptota az egyenes. A függvény grafikonja:
Matematikai Analízis Példatár
74 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Értékkészlet: . Abszolút szélsőértékei nincsenek.
3.206. Megoldás:
Értelmezési tartomány: , a függvény páros. Zérushely nincs, mivel bármely esetén .
Határértékek: .
Monotonitás, szélsőérték: . Ennek egyetlen zérushelye van: .
A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk:
a intervallumon nő, a intervallumon csökken. Az helyen abszolút maximuma
van. A maximum értéke: .
Konvexitás, inflexiós pontok: . Ennek két zérushelye van: , .
előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk:
a és az intervallumokon konvex, a intervallumon konkáv. Az
, helyeken inflexiós pontja van.
A függvény grafikonja:
Matematikai Analízis Példatár
75 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Értékkészlete a intervallum.
3.207. Megoldás: minimum, maximum, inflexió nincs,
aszimptotája az egyenes.
A és szakaszokon növekvő, és szakaszokon csökkenő.
3.208. Megoldás:
Értelmezési tartomány: .
Zérushelyek: az egyenlet megoldásával kapjuk, hogy
Kapcsolat az exponenciális függvénnyel: az egyenlet megoldásával kapjuk, hogy
, azaz . Könnyű kiszámolni, hogy az pontokban és deriváltja azonos. E két
összefüggés azt jelenti, hogy az pontokban grafikonja érinti az függvény grafikonját.
Hasonlóan, az egyenlet megoldásával kapjuk, hogy az
pontokban grafikonja érinti az függvény grafikonját.
Szemléletesen: "be van szorítva" és közé.
Határértékek: Mivel , ezért . A -ben viszont -nek nincs határértéke,
mivel
Monotonitás, szélsőérték: . Ennek zérushelyei: .
A deriváltfüggvény előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk:
a intervallumokon csökken, a intervallumokon nő
.
Az helyeken lokális maximuma, az helyeken lokális minimuma van .
Konvexitás, inflexiós pontok: . Ennek zérushelyei: .
előjelének vizsgálatával az alábbi következtetésre jutunk:
a intervallumokon konkáv), a intervallumokon konvex, az
helyeken inflexiós pontja van .
Vegyük észre, hogy az inflexiós pontok éppen azok a helyek, ahol az "hozzáér" az exponenciális
függvényhez.
Értékkészlete: .
Matematikai Analízis Példatár
76 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5. 4 Integrálszámítás
5.1. 4.1 Integrálszámítás
5.1.1. 4.1.1 Határozatlan integrál
5.1.1.1. Elemi függvények
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
Matematikai Analízis Példatár
77 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
5.1.1.2. Helyettesítés
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
4.31.
Matematikai Analízis Példatár
78 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.32.
4.33.
4.34.
4.35.
4.36.
4.37.
4.38.
4.39.
4.40.
4.41.
4.42.
4.43.
4.44.
4.45.
4.46.
4.47.
4.48.
Matematikai Analízis Példatár
79 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.49.
4.50.
4.51.
5.1.1.3. Parciális integrálás
4.52.
4.53.
4.54.
4.55.
4.56.
4.57.
4.58.
4.59.
4.60.
4.61.
4.62.
4.63.
4.64.
5.1.1.4. Racionális törtfüggvények
4.65.
Matematikai Analízis Példatár
80 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.66.
4.67.
4.68.
4.69.
4.70.
4.71.
4.72.
4.73.
4.74.
4.75.
4.76.
Matematikai Analízis Példatár
81 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.77.
4.78.
4.79.
4.80.
4.81.
4.82.
4.83.
4.84.
4.85.
5.1.1.5. Trigonometrikus függvények
4.86.
4.87.
4.88.
Matematikai Analízis Példatár
82 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.89.
4.90.
4.91.
4.92.
4.93.
4.94.
4.95.
4.96.
4.97.
4.98.
4.99.
Matematikai Analízis Példatár
83 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.100.
5.1.1.6. Hiperbolikus és exponenciális kifejezések
4.101.
4.102.
4.103.
4.104.
4.105.
4.106.
4.107.
4.108.
4.109.
5.1.1.7. Gyökös kifejezések
4.110.
Matematikai Analízis Példatár
84 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.111.
4.112.
4.113.
4.114.
4.115.
4.116.
4.117.
4.118.
4.119.
4.120.
4.121.
Matematikai Analízis Példatár
85 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.122.
4.123.
4.124.
4.125.
4.126.
4.127.
5.1.2. 4.1.2 Határozott integrálok. Vegyes feladatok
4.128.
4.129.
4.130.
4.131.
Matematikai Analízis Példatár
86 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.132.
4.133.
4.134.
4.135.
4.136.
4.137.
4.138.
4.139.
4.140.
4.141.
Matematikai Analízis Példatár
87 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.142.
4.143.
4.144.
4.145.
4.146.
4.147.
4.148.
5.1.3. 4.1.3 Improprius integrálok
5.1.3.1. Számítsuk ki az alábbi improprius integrálok értékét!
4.149. ]
4.150.
Matematikai Analízis Példatár
88 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.151.
4.152.
4.153.
4.154.
4.155.
4.156.
4.157.
4.158.
4.159.
4.160.
4.161.
4.162.
4.163.
4.164.
4.165.
4.166.
4.167.
Matematikai Analízis Példatár
89 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.168.
4.169.
4.170.
4.171.
4.172.
4.173.
4.174.
4.175.
4.176.
4.177.
4.178.
4.179.
4.180.
5.1.4. 4.1.4 Az integrálszámítás alkalmazásai
Matematikai Analízis Példatár
90 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5.1.4.1. Területszámítás
5.1.4.2. Határozzuk meg a függvények gráfjai alatti területet, és ábrázoljuk a függvényeket.
4.181.
4.182.
4.183.
4.184.
4.185.
4.186.
4.187.
4.188.
4.189.
4.190.
4.191.
4.192.
4.193.
4.194.
4.195.
4.196.
4.197. Határozzuk meg értékét úgy, hogy az görbe alatti terület -tól -ig terjedő része -gyel
legyen egyenlő!
4.198. Határozzuk meg értékét úgy, hogy az görbe alatti terület -től -ig terjedő része -mal
legyen egyenlő!
4.199. Határozzuk meg értékét úgy, hogy az alatti terület -tól -ig terjedő része -
del legyen egyenlő!
5.1.4.3. Határozzuk meg a következő görbék közötti területet és ábrázoljuk is a görbéket.
Matematikai Analízis Példatár
91 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.200. és
4.201. és
4.202. és
4.203. és
4.204. és
4.205. és
4.206. és
4.207. és
4.208. és
5.1.4.4. Végezzük el az alábbi területszámításokat.
4.209. Határozzuk meg az parabola és ennek az abszcisszájú pontjaihoz húzott
érintői közötti területet!
4.210. Határozzuk meg az parabola, és ennek az és pontjában húzott
érintői közötti területet!
4.211. Határozzuk meg az hiperbola, és a pontra illeszkedő, egyenesre merőleges
egyenes által határolt síkidom területét.
4.212. Határozzuk meg az hiperbola, az és az (ahol adott) egyenes által határolt
síkidom területét! Ábrázoljuk is a szektort!
5.1.4.5. Görbe ívhossza
5.1.4.6. Határozzuk meg az függvények görbéjének ívhosszát a megadott határok között.
4.213.
4.214.
4.215.
4.216.
4.217.
Matematikai Analízis Példatár
92 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.218.
4.219.
4.220.
4.221.
5.1.4.7. Forgástestek térfogata
5.1.4.8. Forgassuk meg a következö görbéket az tengely körül, és határozzuk meg a keletkező forgásfelületek és a megadott intervallumok végpontjaiban az tengelyre állított merőleges síkok határolta térrész térfogatát.
4.222.
4.223.
4.224.
4.225.
4.226.
4.227.
4.228.
4.229.
4.230.
4.231.
5.2. 4.2 Integrálszámítás. Megoldások
5.2.1. 4.2.1 Határozatlan integrál
5.2.1.1. Elemi függvények
4.1. .
4.2. Megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
93 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.3. .
4.4. .
4.5. Megoldás:
4.6. Megoldás:
4.7. Megoldás:
4.8. Megoldás:
4.9. Megoldás:
4.10. .
4.11. Megoldás:
4.12.
4.13. .
4.14. Megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
94 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.15.
4.16.
4.17. .
4.18.
4.19. .
4.20. .
5.2.1.2. Helyettesítés
4.21. Megoldás: Végezzük el az helyettesítést, ezzel :
4.22. Végezzük el az helyettesítést. Ekkor , és így
Megjegyzés: Az ilyen integrálokat célszerű annak az összefüggésnek a felhasználásával kiszámítani, hogy ha
akkor
Például:
tehát
Matematikai Analízis Példatár
95 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A továbbiakban ezt az eljárást alkalmazzuk valahányszor a belső függvény -nek lineáris függvénye.
4.23. Megoldás:
4.24. Megoldás:
4.25. Megoldás:
Megoldás közben azt az összefüggést használtuk fel, hogy , ill. . Ezért
4.26. Megoldás:
4.27. Megoldás:
4.28. .
4.29. .
4.30. Megoldás:
Az integrálban helyettesítést végeztük el, ekkor .
Matematikai Analízis Példatár
96 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.31.
4.32. Megoldás:
A használt helyettesítés: , ekkor .
4.33. Megoldás:
A használt helyettesítés: , ekkor .
4.34. Megoldás:
A használt helyettesítés: , ekkor .
4.35. .
4.36. Megoldás:
Azt látjuk, hogy -vel való szorzás után a számláló a nevező deriváltja, tehát a kifejezés integrálja a nevező
alapú logaritmusával egyenlő. Ezt a szabályt jól tanuljuk meg és az ilyen esetekben mellőzzük a helyettesítést,
bár ez az előzőek egy speciális esete. (Most is alkalmazhattuk volna az helyettesítést.)
4.37.
4.38. Megoldás:
A használt helyettesítés ekkor
4.39. Megoldás:
4.40. Megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
97 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Felhasználtuk, hogy
4.41. Megoldás:
A használt helyettesítés , ekkor .
4.42. Megoldás:
A használt helyettesítés: , ekkor .
4.43. .
4.44. Megoldás: Ilyen esetekben az integrálandó függvényt két függvény összegére bontjuk. Az egyik
függvénynél a számláló a nevező deriváltjának konstansszorosa legyen, a másik függvénynél pedig a számláló
már csak egy konstans, melyet az integrál jel elé is kivihetünk. Tehát
4.45. .
4.46. .
4.47. .
4.48. .
4.49. .
4.50. .
Matematikai Analízis Példatár
98 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.51. .
5.2.1.3. Parciális integrálás
4.52. .
4.53. Megoldás:
4.54. .
4.55. Megoldás:
ahol helyettesítéssel .
4.56. Megoldás: helyettesítéssel, majd parciális integrálással: .
4.57. Megoldás:
4.58. Megoldás: A linearizáló formulát alkalmazzuk, majd kétszer parciálisan
integrálunk.
Az eredmény: .
4.59. Megoldás:
ahol a parciális integráláskor , és Így
Felhasználtuk, hogy
4.60. Megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
99 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A használt helyettesítés: , ekkor .
4.61. Megoldás: Két parciális integrálást kell elvézgezni:
4.62. Megoldás: , válsztással egy parciális integrálást végzünk, ekkor
és ezért
Újabb parciális integrálást végzünk
választással, ekkor
4.63. Megoldás: Kétféleképpen végezzünk parciális integrálást:
ahol
Másrészt
ahol
Matematikai Analízis Példatár
100 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Szorozzuk meg (2)-et néggyel, (3)-t pedig kilenccel és vonjuk össze az így adódó kifejezések jobb- illetve bal
oldalát.
Végül 13-al való osztás után nyerjük, hogy:
4.64. Megoldás:
ahol , azaz helyettesítéssel Így olyan alakra jutottunk, melyet
parciálisan lehet integrálni, éppen az előző példában is bemutatott módszerrel. A parciális integrálást elvégezve
adódik, hogy
tehát
4.65. Megoldás: Ha a másodfokú nevezőjű törtfüggvény nevezője tényezők szorzataként írható fel, akkor a tört
lineáris nevezőjű törtek összegére bontható. Annak érdekében, hogy ezt a felbontást elvégezhessük a nevezőt
egyenlővé tesszük 0-val és megoldjuk az így nyert egyenletet, mert ennek az egyenletnek a gyöktényezői
lesznek a szorzat alakban felírt nevező tényezői. Az egyenlet gyökei: , ,
azaz
Most már ismerjük a keresett lineáris tört-függvények nevezőit, határozzuk még a számlálókat, melyek lineáris
nevező esetén konstansok. Jelöljük ezeket -val és -vel, akkor
Azonosságot írtunk, mert olyan és értéket keresünk, melyek mellett az egyenlőség minden -re fennáll.
Mivel a nevezők azonosan egyenlők az azonosságnak a számlálókra is fenn kell állni, azaz
Az azonosság nyilván fennáll, ha az -es tagok együtthatója mind a két oldalon egyenlő ugyanúgy, mint a
konstansok. Ez azonban két egyenletet szolgáltat, melyekből és kiszámítható.
Matematikai Analízis Példatár
101 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A kapott értékeket behelyettesítve
Ezért az integrál
4.66. Megoldás: Az egyenletnek nincsenek valós gyökei, tehát nem bontható
tényezők szorzatára. Bntsuk fel a törtet két tört összegére, melynek nevezője közös (a régi nevező), az egyik
számlálója a nevező deriváltjának valami konstans-szorosa, a másiké pedig konstans. A nevező deriváltja
tehát a számlálókat a következő alakban keressük
és értékét a következő feltételekből határozhatjuk meg:
Most is két egyenletet írhatunk fel, melyekből és meghatározható.
ezekből
Így az integrált két integrál összegére bontottuk:
Az első integrál eredménye ismert, hiszen a számláló a nevező deriváltja. A másodikat pedig teljes négyzetté
való átalakítással vezetjük vissza ismert feladatra.
ezért
Tehát a megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
102 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.67. Megoldás: számlálója magasabb fokú mint a nevezője, ezért felbontható egy polinom és egy
valódi tört összegére.
A polinom osztás eredménye:
tehát
Az első integrál kiszámítása nem okoz gondot. A második meghatározásához a törtet részlet-törtek összegére
kell bontanunk. A nevezőt most minden különösebb számítás nélkül fel tudjuk írni szorzat alakjában
tehát
Ennek alapján felírhatjuk az egyenletrendszert, melyből , és kiszámítható:
és innen
Megjegyezzük, hogy ilyen esetekben, amikor a gyökök mind különbözőek, általában gyorsabban kapjuk az
ismeretlen , , értékeket, ha a számlálók egyenlőségét kifejező egyenletben helyére a gyököket
helyettesítjük. Példánkban az
kifejezésben helyébe zérust írva azonnal nyerjük, hogy azaz . -nél ,
innen . Végül -nél , azaz , tehát
Matematikai Analízis Példatár
103 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A keresett megoldás:
4.68. Megoldás: Könnyen meggyőződhetünk róla, hogy a nevező négy különböző tényező szorzatára bontható.
Ezután a feladat az előzőhöz hasonlóan oldható meg. De munkát takaríthatunk meg az helyettesítéssel.
Ekkor ugyanis és
4.69.
4.70. Megoldás:
4.71. Megoldás:
kifejezést polinomjaként felírva (pld. előállítjuk az
helyhez tartozó Taylor polinomját, lásd, 401. példát).
adódik, azaz
=
Matematikai Analízis Példatár
104 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
(Természetesen úgy is eljárhattunk volna, hogy a részlet-törtekre bontást a többszörös gyököknek megfelelően
végeztük volna el
alapján).
4.72. Megoldás: Többszörös gyökök esetén a gyöktényező a multiplicitásnak megfelelő számossággal szerepel a
nevezőben az egytől a multiplicitásnak megfelelő hatványig. Elsőfokú gyöktényező esetén a számláló konstans.
Ugyanis ebben a példában a háromszoros, pedig kétszeres gyök.
Egyenletrendszerből
4.73. Megoldás:
4.74. Megoldás:
Másodfokú gyöktényező esetén a számláló elsőfokú!
azonosságból írható fel az egyenletrendszer, melyből , , , , és meghatározható.
Matematikai Analízis Példatár
105 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tehát
4.75. Megoldás:
4.76. Megoldás:
4.77. Megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
106 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
alapján végezzük a részlet-törtekre bontást és nyerjük:
4.78. Megoldás: A nevező tényezőkre bontását a következőképpen végezhetjük el:
A rész törtekre való bontás vázlata
Az eredmény:
4.79. Megoldás: A feladat első pillanatra azonos jellegű az előzővel. Meg is oldható annak alapján, de
gondosabb vizsgálat után kiderül, hogy speciális tulajdonságai figyelembe vételével sokkal egyszerűbben is
megoldható.
Az első integrált
helyettesítéssel hozhatjuk még egyszerűbb alakra (lásd a 4.39. feladatot), a második pedig máris integrálható,
mert a számláló a nevező deriváltjának a negyede.
4.80. Megoldás: Többszörös komplex gyök esetén javasolható a helyettesítés.
Matematikai Analízis Példatár
107 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.81. .
4.82. .
4.83. .
4.84. .
4.85. .
4.86. Megoldás: Páratlan kitevő esetén helyettesítéssel oldhatjuk meg a feladatot.
4.87. Megoldás: Páros kitevő esetén a linearizáló formula alkalmazását javasoljuk.
Az első integrálban újból alkalmaztuk a linearizáló formulát, így került
Matematikai Analízis Példatár
108 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
helyébe
A második integrálban pedig már páratlan kitevőn szerepel trigonometrikus függvény, tehát az az előző példa
mintájára megoldható. Az eredmény:
4.88. Megoldás:
4.89. Megoldás:
4.90. Megoldás:
4.91. Megoldás: Alkalmazzuk a helyettesítést, akkor
4.92. Megoldás: Itt is válogathatunk a megoldási módszerek között. Alkalmazhatjuk a
Matematikai Analízis Példatár
109 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
helyettesítést, akkor
De ugyanúgy használhatjuk fel a páratlan kitevőjű jellegét is.
Megfelelő átalakítások után az eredmény ugyanolyan alakra bontható:
4.93. Megoldás:
4.94. Megoldás: Ha -nek és -nek csak páros kitevőjű hatványai és fordulnak elő, akkor
(bár a helyettesítés akkor is alkalmazható) előnyösebb a helyettesítés alkalmazása.
4.95. Megoldás:
Tehát
helyettesítés esetén
Matematikai Analízis Példatár
110 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.96. Megoldás:
4.97. Megoldás:
4.98. Megoldás:
(A linearizáló formula segítségével függvényeként írhatjuk fel az integrálandó függvényt. Ezáltal a
feladat nagymértékben egyszerűsödik.)
4.99. Megoldás:
4.100. Megoldás: Nem típus feladat, de
és
összefüggések felhasználásával egyszerű megoldást nyerünk.
4.101. Megoldás: A hiperbolikus függvények integrálását sok esetben, - mint pl. most is - a trigonometrikus
integrálhoz hasonlóan végezzük el. (Megemlítjük azonban, hogy a hiperbolikus függvények racionális
függvényeinek az integrálása mindig visszavezethető racionális függvényének az integrálására. A
célszerűség dönti el, hogy mikor melyik utat választjuk.)
Matematikai Analízis Példatár
111 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.102. Megoldás:
4.103. Megoldás: A aznonosság felhasználásávalazt kapjuk, hogy
4.104. Megoldás: Az előző példa alapján nagyon egyszerűen kapjuk az eredményt a következő átalakítás után:
Alternatív megoldás, ha helyébe kifejezést írunk, vagy ha -el való szorzás és osztás után
integrálására alkalmazzuk az helyettesítést.
4.105. Megoldás:
összefüggés alapján
4.106. Megoldás:
4.107. Megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
112 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.108. Megoldás: A parciális integrálás alkalmazható, de a megoldás ilyen módon sokkal hosszabb, mintha
-et -el fejezzük ki, ezért ezt a megoldást ajánljuk hasonló esetekben is.
4.109. .
4.110. Megoldás:
4.111. Megoldás:
4.112. Megoldás: A feladatot kisebb lépésekben kétszeri helyettesítéssel is megoldhatjuk. Előbb , majd
pedig helyettesítést alkalmazva racionális törtfüggvény integrálására vezetjük vissza.
Matematikai Analízis Példatár
113 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Természetesen rövidebb lesz a megoldás (és azért általában így is járunk el), ha a két helyettesítést összevonva
egy megfelelő helyettesítést alkalmazunk.
(A folytatás azonos.)
4.113. Megoldás:
A gyökkitevők legkisebb közös többszöröse lesz a helyettesítendő kifejezés gyökkitevője.
4.114. Megoldás:
4.115. Megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
114 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.116. Megoldás: helyettesítéssel a gyökjel alatt már lineáris kifejezés lesz, tehát így sikerült a feladatot
az előzőkben tárgyalt típusra visszavezetni. Az eljárás azért alkalmazható a jelen esetben, mert a számlálóban
áll, ami így írható . Itt helyébe , helyébe pedig írható. Gyakorlásként oldjuk
meg a feladatot ilyen bontásban is. Tekintettel azonban arra, hogy az így nyert integrált egy újabb
helyettesítéssel racionalizáljuk, joggal merül fel az az igény, hogy lehetőleg egyetlen helyettesítéssel oldjuk meg
a feladatot. Ez lehetséges
4.117. Megoldás:
4.118. Megoldás:
4.119. Megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
115 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A gyökjel alatti kifejezés az hely kivételével (amikor is ) mindenütt negatív, ezért belőle négyzetgyök
nem vonható. Az integrálandó függvény tehát sehol nincs értelmezve (még az helyen sem, mert ott a
nevező ).
4.120. Megoldás:
A visszahelyettesítéshez egyrészt
kifejezésből felírjuk, hogy
másrészt -t kifejezzük -val, mert helyébe írható
tehát
4.121. Megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
116 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.122. Megoldás:
4.123. Megoldás:
4.124. Megoldás:
4.125. Megoldás:
4.126. Megoldás:
4.127. Megoldás:
5.2.2. 4.2.2 Határozott integrálok. Vegyes feladatok
Matematikai Analízis Példatár
117 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.128. .
4.129. .
4.130. .
4.131. .
4.132. .
4.133. .
4.134. .
4.135. .
4.136. .
4.137. .
4.138. .
4.139. .
4.140. .
4.141. .
4.142. .
4.143. .
4.144. .
4.145. .
4.146.
4.147.
4.148.
Matematikai Analízis Példatár
118 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5.2.3. 4.2.3 Improprius integrálok
4.149. Megoldás:
4.150. Megoldás:
Mivel , ezért a fenti integrál divergens.
4.151. .
4.152.
4.153.
4.154.
4.155. Divergens.
4.156.
4.157. Divergens.
4.158.
4.159.
4.160.
4.161. Megoldás:
tehát divergens.
4.162. Megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
119 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.163. Megoldás:
tehát az integrál divergens.
4.164.
4.165.
4.166.
4.167.
4.168.
4.169.
4.170. .
4.171. Nem konvergens.
4.172. .
4.173. .
4.174. .
4.175.
4.176. .
4.177. .
4.178. .
4.179. .
4.180. .
5.2.4. 4.2.4 Az integrálszámítás alkalmazásai
4.181.
Matematikai Analízis Példatár
120 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.182.
4.183.
4.184.
4.185.
4.186.
4.187.
4.188. Megoldás:
4.189.
4.190.
4.191.
4.192.
4.193.
4.194.
4.195.
4.196.
4.197.
4.198.
4.199.
4.200.
4.201.
Matematikai Analízis Példatár
121 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.202. A metszéspontok abszcisszái: ,
4.203.
4.204.
4.205.
4.206.
4.207.
4.208.
4.209.
4.210.
4.211.
4.212.
4.213.
4.214.
4.215.
4.216.
4.217.
4.218.
4.219.
4.220.
4.221.
4.222.
Matematikai Analízis Példatár
122 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4.223.
4.224.
4.225.
4.226.
4.227.
4.228.
4.229. Megoldás:
4.230.
4.231.
6. 5 Differenciálegyenletek
6.1. 5.1 Differenciálegyenletek
6.1.1. 5.1.1 Szeparábilis differenciálegyenletek
5.1. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) . b) . c)
.
5.2. Határozzuk meg a
differenciálegyenletnek a ponton átmenő partikuláris megoldását.
6.1.1.1. Oldjuk meg az alábbi szétválasztható változójú differenciálegyenleteket.
Matematikai Analízis Példatár
123 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5.3. .
5.4. .
5.5. .
5.6. .
5.7. .
5.8. .
5.9. .
5.10. .
5.11. .
5.12. .
5.13. .
5.14. .
5.15. .
5.16. .
5.17. .
5.18. .
6.1.1.2. Határozzuk meg az alábbi differenciálegyenleteknek azt a partikuláris megoldását, mely az adott kezdeti feltételeket kielégíti.
5.19.
5.20. .
5.21. .
5.22. .
5.23. .
5.24. .
Matematikai Analízis Példatár
124 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5.25. Határozzuk annak a görbeseregnek az egyenletét, melyben mindegyik görbéjére fennálla k|ovetkező
tulajdonság: bármely koordinátájú pontjához tartozó normálisának az tengelyig terjedő darabja
ugyanakkora, mint a pontnak az origótól mért távolsága.
5.26. Mi az egyenlete annak a görbének, melyben a görbe alatti terület az és abszcisszájú pontok között
arányos a pontok közötti görbék hosszával?
5.27. Határozzuk meg azokat a görbéket, amelyeknél a szubtangens hosszúsága egy rögzített állandóval
egyenlő.
5.28. Határozzuk meg azokat a görbéket, amelyeknél a szubnormális állandó.
6.1.2. 5.1.2 Lineáris differenciálegyenletek
5.29. Oldjuk meg az
inhomogén lineáris differenciálegyenlet.
5.30. Határozzuk meg az
differenciálegyenlet általanos megoldását. Adja meg a ponton áthaladó partikuláris megoldást.
5.31. Írjuk fel az
differenciálegyenletnek a ponton átmenő megoldását.
6.1.2.1. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket:
5.32. .
5.33. .
5.34. .
5.35. .
5.36. .
5.37. .
5.38. .
5.39. .
5.40. .
Matematikai Analízis Példatár
125 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5.41. .
5.42. .
5.43. .
6.1.2.2. Számítsuk ki az alábbi differenciálegyenleteknek az adott kezdeti feltételeket kielégítő megoldását:
5.44. .
5.45. .
5.46. .
5.47. .
5.48. .
5.49. .
6.2. 5.2 Differenciálegyenletek. Megoldások
6.2.1. 5.2.1 Szeparábilis differenciálegyenletek
5.1. Megoldás: a) A differenciálegyenlet általános megoldása az görbesereg.
A megoldásfüggvények grafikonja (az ún. integrálgörbék) olyan parabolák, melyek tengelye az tengellyel
esik egybe.
c) Az általános megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
126 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Néhány integrál görbe grafikonja:
5.2. Megoldás: A változókat szétválasztva:
Az egyenlőség jobboldalán álló integrálban a számláló a nevező deriváltja, ezért:
A baloldalon helyettesítéssel számolunk. Ekkor s így:
Innen a számolás lépései:
Ez a differenciálegyenlet általános megoldása. Válasszuk ki ezek közül a keresett partikuláris megoldást!
Mivel ponton áthaladó megoldást keresük, kell legyen.
Matematikai Analízis Példatár
127 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Azaz:
Az egyenlőség mindkét oldalának cosinusát véve:
innen:
azaz és így
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
Matematikai Analízis Példatár
128 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5.16.
5.17.
5.18.
5.19. a.) , b.) .
5.20.
5.21.
5.22.
5.23.
5.24.
5.25. Megoldás: A feladatnak megfelelő ábrából leovlasható, de az adott feltételekből is következik, hogy:
Tehát
Másrészt:
Ezek felhasználásával a görbesereg differenciálegyenlete:
A változókat szétválasztva:
Matematikai Analízis Példatár
129 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az integrálgörbék olyan hiperbolák, melyeknek valós tengelye az tengely.
5.26. Megoldás: Legyen a görbe íve az és abszcisszák között.
A görbe alatti terület
az ívhossz pedig
Ha a görbe alatti terület arámyos az ívhosszal, akkor fennáll:
Az egyenlőség mindkét oldalát szerint differenciálva, az
differenciálegyenlethez jutunk.
A változókat szétválasztva és integrálva:
Megoldva -ra:
Matematikai Analízis Példatár
130 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ez a differenciálegyenlet általános megoldása, ezenkí vül partikuláris megoldás az egyenletből
adódó is.
5.27.
5.28.
6.2.2. 5.2.2 Lineáris differenciálegyenletek
5.29. Megoldás: Az differenciálegyenlethez tartozó homogén differenciálegyenlet:
Ezt a változók szétválasztásával oldjuk meg:
azaz
A homogén differenciálegyenlet általános megoldása:
Az inhomogén differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását az állandó variálás módszerével állítjuk elő:
Behelyettesítük az inhomogén differenciálegyenletbe:
Innen:
ezután szorzunk az kifejezéssel: . Az egyenlőség mindkét oldalát integrálva , így:
A keresett általános megoldás a homogén egyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy
partikuláris megoldásának az összege:
5.30. Megoldás: A homogén egyenlet megoldása:
Matematikai Analízis Példatár
131 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A homogén egyenlet általános megoldása tehát
Az inhomogén egyenlet megoldása állandók variálásával:
Behelyettesítve a differenciálegyenletbe:
Mivel
tehát
A differenciálegyenlet általános megoldása:
ponton áthaladó megoldást úgy kaphatunk, ha az általános megoldásban a állandót megfelelő
módon határozzuk meg:
Innen:
Tehát a partikuláris megoldás:
Matematikai Analízis Példatár
132 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5.31. Megoldás: Feladatunk az differenciálegyenletnek az kezdeti feltételt kielégítő
megoldásának meghatározása.
A feladatot az egyenlet megoldására levezetett
képlettel oldjuk meg.
Előbb azonban az egyenletet együtthatójával el kell osztani:
Innen
Tehát
A ponton átmenő megoldást a egyenletből kapjuk, , így
5.32.
5.33.
5.34.
5.35.
5.36.
5.37.
5.38.
5.39.
5.40.
5.41.
Matematikai Analízis Példatár
133 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5.42.
5.43.
5.44.
5.45.
5.46.
5.47.
5.48.
5.49.