Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK 2011. Ismertető Szakmai vezető Tartalomjegyzék Lektor Pályázati támogatás Technikai szerkesztő Gondozó Copyright
Fritz Jzsefn, Knya Ilona,Pataki Gergely s Tasndi Tams
MATEMATIKA 1.GYAKORLATOK
2011.
Ismertet Szakmai vezetTartalomjegyzk LektorPlyzati tmogats Technikai szerkesztGondoz Copyright
ii
A Matematika 1. elektronikus oktatsi segdanyag a Budapesti Mszaki s Gazda-sgtudomnyi Egyetem Villamosmrnki s Informatika Karn a mrnk-informatikusszakos hallgatk Analzis 1 trgyhoz kszlt, de haszonnal forgathatjk ms szakok,karok vagy mszaki fiskolk, egyetemek hallgati is, akik hasonl mlysgben hasonlanyagot tanulnak matematikbl.
Az anyag numerikus sorok, sorozatok elmlett, egyvltozs vals fggvnyek hatr-rtkt, folytonossgt, differencilst s integrlst trgyalja. A defincik, ttelek,bizonytsok mellett kiemelt szerepet kapnak a pldk, s a gyakran elfordul feladat-tpusok megoldsai.
A mintegy 260 oldalas elmleti anyagot kiegszti egy tbb, mint 100 oldalas plda-tr, amely tbbsgben megoldott, tematizlt gyakorlfeladatokat tartalmaz. A kt pdfllomny klcsnsen hivatkozik egymsra. Az eligazodst tartalomjegyzk, valamintaz elmleti anyagban tallhat trgymutat segti. A megrtst sznes brk knny-tik, az rdekld olvas pedig a Thomas Calculus illetve a Calculusapplets kapcsoldweboldalaira is elltogathat kls hivatkozsokon keresztl. A httrsznezssel tagoltelmleti anyag fekete-fehr vltozata is rendelkezsre ll, amely nyomtatsra javasoltformtum.
Kulcsszavak: sor, sorozat, folytonossg, kalkulus, differencils, integrls.
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
iii
Tmogats:Kszlt a TMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0028 szm, a Termszettudomnyos
(matematika s fizika) kpzs a mszaki s informatikai felsoktatsban cm projektkeretben.
Kszlt:A BME TTK Matematikai Intzet gondozsban.
Szakmai felels vezet:Ferenczi Mikls
Lektorlta:Prhle Pter
Az elektronikus kiadst elksztette:Fritz gnes, Knya Ilona, Pataki Gergely, Tasndi Tams
Cmlap grafikai terve:Cspny Gergely Lszl, Tth Norbert
ISBN 978-963-279-445-7
Copyright: Fritz gnes (BME), Knya Ilona (BME), Pataki Gergely (BME), TasndiTams (BME)
A c terminusai: A szerz nevnek feltntetse mellett nem kereskedelmi cllalszabadon msolhat, terjeszthet, megjelenthet s eladhat, de nem mdosthat.
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
iv
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
Tartalomjegyzk
Tartalomjegyzk 1
1. Sorozatok 31.1. Specilis (vgtelenhez tart) sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Nagysgrendek sszehasonltsa (nn, n!, 2n, nk, n, log n) . . . . . . . . . 71.3. Sorozatok hatrrtke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Kt nevezetes hatrrtk ( np n 1, nn n 1) . . . . . . . . . . . . 141.5. Rekurzve megadott sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. (1 + x/n)n n ex hatrrtkkel kapcsolatos feladatok . . . . . . . . . . 201.7. Limesz szuperior, limesz inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8. Egy alkalmazs: a kr terlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Sorok 292.1. Numerikus sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Alternl sorok, Leibniz sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Majorns kritrium, minorns kritrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4. Abszolt konvergencia, feltteles konvergencia . . . . . . . . . . . . . . . 352.5. Hibaszmts pozitv tag sorokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3. Egyvltozs vals fggvnyek hatrrtke, folytonossga 413.1. Fggvny hatrrtke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Szakadsok tpusai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3. lim
x0sinxx
= 1 hatrrtkkel kapcsolatos pldk . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4. Egyvltozs vals fggvnyek derivlsa 534.1. Differencils a defincival . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. A derivlsi szablyok gyakorlsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3. A derivlsi szablyok + definci gyakorlsa . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4. Elemi fggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5. LHospital szably . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.6. Fggvnyvizsglat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.7. Abszolt szlsrtk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.8. Implicit megads fggvnyek derivlsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1
2 TARTALOMJEGYZK
4.9. Paramteres megads grbk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5. Egyvltozs vals fggvnyek integrlsa 825.1. Hatrozatlan integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2. Parcilis integrls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3. Racionlis trtfggvnyek integrlsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4. Hatrozott integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.5. Terletszmts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.6. Integrlfggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.7. Integrls helyettestssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.8. Improprius integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.9. Integrlkritrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
1. fejezet
SorozatokAppElm1.1. Specilis (vgtelenhez tart) sorozatokElm
Definci: Az an vals szmsorozat vgtelenhez tart, jelben limn
an = +(vagy ms jellssel an
n , vagy csak an ), ha P > 0 (P R) esetn N(P ) N , melyre
an > P , ha n > N(P ).
Definci: limn
an = , ha
M < 0 (M R) esetn N(M) N , melyrean < M , ha n > N(M).
(Lehet M > 0 -val is definilni, ekkor ... an < M ...)
1. Feladat: an = 6n3 + 3 , mert
6n3 + 3 > P 6n3 > P 3 n > 3P 36
,
teht N(P ) [
3
P 36
].
([x] az x egsz rszt jelli, mely az x -nl nem nagyobb legnagyobb egsz, pl.:[0.8] = 1 , [1.95] = 1.)
3
4 1. FEJEZET: SOROZATOK
2. Feladat: an = 6n3 + 3n ,6n3 + 3n > P : most gy nem megy. Helyette becsls:
6n3 + 3n 6n3 > P n > 3P
6 N(P )
[3
P
6
].
(Az als becslsnl a 6n3 helyett llhatna n3, 3n, n, stb.)
3. Feladat: an =n2 n , lim an =?
n2 n hatrozatlan, alak, de az an =n(n 1) alakbl mr ltszik,
hogy an .Az N(P ) kszbindex meghatrozsa:
Azn2 n > P egyenltlensget nehzkes egzaktul megoldani. Inkbb valamilyen
becslst alkalmazunk. Termszetesen tbb lehetsg van, pldul:n2 n =
n(n 1) >
(n 1)(n 1) = n 1 > P n > P + 1
Ennek megfelelen: N(P ) [P + 1].
Vagy:
n2 n >
n2 n
2
2=
n2> P n >
2 P.
Ez a becsls akkor igaz, han2
2> n , azaz ha n > 2 , teht a kszbindex:
N(P ) max{2 , [2 P ]}.
4. Feladat: an = n3 3n2 + 5n+ 9 , mert:
n3 3n2 + 5n+ 9 > n3 3n2 > n3 n3
2=n3
2> P n > 3
2P
A becsls akkor igaz, ha n3
2> 3n2, azaz ha n > 6 , gy
N(P ) max{ [ 32P ] , 6}tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
1.1. SPECILIS (VGTELENHEZ TART) SOROZATOK 5
5. Feladat: an =n3 + 3n
n2 + 2 , , mert:
n3 + 3n
n2 + 2 n
3
n2 + 2n2=
n
3> P n > 3P N(P )
[3P
].
6. Feladat: an = n2 + 3n 9 , mert: +++
n2 + 3n 9 < M (< 0) n2 3n+ 9 > M (> 0)Az egzakt megolds helyett most is rdemesebb elszr becslni:
n2 3n+ 9 > n2 3n > n2 n2
2=
n2
2> M
A becsls akkor igaz, ha n2
2> 3n , ami egy bizonyos N1 kszbindex esetn az
n > N1 indexekre teljesl. (Nem kell N1 -et meghatrozni, elg ltni, hogy ltezik.)Teht N(P ) max{N1, [2M ]}.
7. Feladat:
Gyakorl feladatok:
A megfelel defincival mutassa meg, hogy az albbi sorozatok -hez vagy -heztartanak!
a) an = 7n5 + 5 , bn = 7n5 5
b) an = 7n5 + 5n2 , bn = 7n5 5n2
c) an =2n5 3n2
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
6 1. FEJEZET: SOROZATOK
d) an = n4 2n3 + 6n2 + 3
e) an = n3 + 50n2
Ttel: Ha limn
an = , s bn an , akkor limn
bn =.
Megjegyzs: Elegend, hogy bn an csak n > N0 indexekre teljesl.
Ttel:(an
n ) (bn = an n ).A tteleket nem bizonytjuk.
8. Feladat:
A fenti ttelek alkalmazsval mutassuk meg, hogy a kvetkez sorozatok-hez vagy -hez tartanak!
a) an = n5 7n2 + 5n+ 3
(an > n5 7n2 n5 n5
2=n5
2)
b) an =n5 + 2n2 , illetve
n5 2n2
c) an =n4 + 2n3
n4 5n3 (n 5)
(an =n4 + 2n3 (n4 5n3)n4 + 2n3 +
n4 5n3 =
n2
n27n
1 +2
n+
1 5
n
7n1 + 2 +
1 + 0
= const. n)
d) an =n6 n4
n6 + 2n4
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
1.2. NAGYSGRENDEK SSZEHASONLTSA (nn, n!, 2n, nk, n, log n) 7
(Legyen bn = an . Megmutatjuk, hogy bn , (ez knnyebb), ebbl mr kvetke-zik, hogy an .)
9. Feladat: an = 3n6 + n5 3n6 n5 +++
an =3 3
2 + + 2, ahol = 3
n6 + n5 , = 3
n6 n5.
1.2. Nagysgrendek sszehasonltsa (nn, n!, 2n, nk, n,log n)
ElmA hatrozatlan alak, konkrt esetekben klnbz hatrrtkeket kaphatunk, pl-
duln
n2 0 , n
3
n , 3n
5n 3
5.
Ttel:
a)nn
n!; b) n!
2n; c) 2
n
n; d) n
log2 n.
Bizonyts:a)
nn
n!=n n . . . n1 2 . . . n n 1 1 . . . 1 = n =
spec. rendrelv
nn
n!
b)
n!
2n=n(n 1)(n 2) . . . 2 1
2 2 . . . 2 n
2 1 1 . . . 1
2=n
4 =
spec. rendrelv
n!
2n
c) Legyen an =2n
n. +++
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
8 1. FEJEZET: SOROZATOK
Egyrszt a sorozat monoton n, teht an+1 an , hiszen:2n+1
n+ 1
? 2n
n= 2n ? n+ 1 = n 1
Msrszt a pros index rszsorozat vgtelenhez tart:
a2n =22n
2n=
2n 2n2 n = 2
n1an 2n1a1 = 2n .E kt tulajdonsgbl kvetkezik, hogy an .
d) Legyen an =n
log2 n.+++
Belthat, hogy a sorozat monoton n (ezt csak ksbb tudjuk megmutatni), s a2k . Ebbl a kt tulajdonsgbl kvetkezik az llts.
A kvetkezt kaptuk:
nn n! 2n nk n 1k log n, k N+
Itt a jelet gy kell olvasni hogy ersebb, vagy nagyobb nagysgrend. Ezeket afogalmakat a flv vgn pontostjuk.
Belthat, hogy an -bl kvetkezik, hogy 1an 0 .
Ennek alapjn az elzekbl kvetkezik :
log n
n 0; n
2n 0; 2
n
n! 0; n!
nn 0
1.3. Sorozatok hatrrtkeElm
Szksges ismeretek:lim an = A defincija; pldk N() meghatrozsra; konvergens sorozat korltos;divergens sorozatok; mveletek konvergens szmsorozatokkal.
Nhny feladat az eladson tanultakkal kapcsolatban:
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
1.3. SOROZATOK HATRRTKE 9
10. Feladat: an =3n2 + 4n+ 7
n2 + n+ 1 3, N() =?
|an A| =3n2 + 4n+ 7n2 + n+ 1
3 = n+ 4
n2 + n+ 1 n+ 4n
n2=
5
n< ,
N() [5
]Persze mskpp is majorlhatunk. Ha egyszeren megoldhat, clszer olyan becslseketalkalmazni, melyek minden n -re jk.
11. Feladat: an =n2 108
5n6 + 2n3 1 , limn an =?, N() =?
an 0, mert an = n2
n6= 1n4 0
1 108n2
5 + 2n3 1
n6
0 1 05 + 0 0 = 0
|an A| = n2 1085n6 + 2n3 1
ha n 104= n2 1085n6 + 2n3 1 >0
1, k N+
A fenti bekeretezett formulkat bizonyts nlkl felhasznlhatjuk a feladatok meg-oldsnl.
Vizsglja konvergencia szempontjbl az albbi sorozatokat!
21. Feladat: an =(2)n + 35 + 7n
=
(27
)n 1 + 3 (12
)n5
(1
7
)n+ 1
0 1 + 00 + 1
= 0
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
1.3. SOROZATOK HATRRTKE 13
22. Feladat: an =(3)n+1 + 22n+3
8 + 5n=3 (3)n + 8 4n
8 + 5n=
=
3 (3
5
)n+ 8
(4
5
)n8 (1
5
)n+ 1
0 + 00 + 1
= 0
23. Feladat:
an =(3)2n
(3)n + 10n ? bn =(3)2n
3n + 9n ? cn = 9
n
3n + 2n ?
24. Feladat: an =n3 2n + 3n
22n 3n2 =n3 2n + 3n
4n 3n2 =n3(12
)n+(34
)n1 3n2(1
4
)n 0(Felhasznltuk, hogy nk an 0, ha |a| < 1.)
25. Feladat: +++A q R paramter fggvnyben hatrozzuk meg a kvetkez sorozat hatrrtkt:
an =22n
(3)n + qn ?
26. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:
Vizsglja meg konvergencia szempontjbl az albbi sorozatokat!
a) an =5n+2 + (1)n
5n
b) an =(2)n 3n3n+1 + 22n
c) an =4n1 + n5 3n+3
22n+3 + 2n3
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
14 1. FEJEZET: SOROZATOK
d) an =2n1 + n8 4n
7 + 23n+1
1.4. Kt nevezetes hatrrtk ( np
n 1, nn n 1)
limn
np = 1, p > 0 lim
nnn = 1
27. Feladat: Keresse meg a kvetkez sorozatok hatrrtkt!
a) an =2n2n , b) bn =
n2n , c) cn =
2nn
Megolds.
a) an 1 , mert az nn sorozat rszsorozata.
b) bn = n2n = n
2 nn 1 1 = 1
c) cn = 2n
2n
2=
2n2n
2n2 1
1= 1 , mert a szmll s a nevez is kt rszsorozat.
Vagy egyszerbben:
2nn =
nn
1 = 1
28. Feladat: Vizsglja meg konvergencia szempontjbl a kvetkez sorozatot!
an =nn+ 1
Megolds.A rendrelvvel dolgozunk:
nn1
bn = nn+ 1 nn+ n = n
2 nn
1 1= bn 1 .
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
1.4. KT NEVEZETES HATRRTK ( np
n 1, nn n 1) 15
Termszetesen 1 < bn als becsls is j.
29. Feladat:
an =n2n3 + 3 bn =
n
2n2 + 3
4n2 + n
Megolds. Ezek a pldk csak rendrelvvel oldhatk meg!!!! (Nem tudjk megkerlni.)
n31
an = n2n3 + 3 n
2n3 + 3n3 =
n5 ( nn)3
1 13 = 1= an 1 .
n
2
51
=n
2n2
4n2 + n2 bn = n
2n2 + 3
4n2 + n n
2n2 + 3n2
4n2=
n
5
41
= bn 1 .
Msik megolds: bn := nn
Megmutatjuk, hogy n 12
. . .
Ezrt0.4 < n < 0.6 , ha n > N0 (N0)
Ekkor n0.4 1
< bn =nn N0
= bn 1 (Most is a rendrelvet hasznltuk fel.)
30. Feladat:an =
n2n
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
16 1. FEJEZET: SOROZATOK
Megolds.
an = n
nn
1s n1 1 GY NEM!!!!
Ez gy "letakars". Nem tanultunk olyan ttelt, amely szerint gy csinlhatnnk. Csaka sejtshez hasznlhat a "letakars".Egy helyes megolds:
nn 1 = 0.9 < nn < 1.1 , ha n > N0 (N0)
Ekkor n0.9 1
< an 0) = a2n 7 an + 10 = (an 2) (an 5)? 0
Mivel a)-ban belttuk, hogy 2 an 5 , ezrt az elz teljesl s gy (an)monoton n.
Megmutattuk, hogy a szmsorozat monoton s korltos= (an) konvergens, s fennll:
A = limn
an = limn
(7 10
an
)
A = 7 10A
= A = 5 vagy A = 2.
A = 2 nem lehet, mivel an a1 = 4 , ezrt an nem esik a 2 szm pl. 1 sugarkrnyezetbe. gy A = lim
nan = 5 .
33. Feladat: Vizsglja az albbi sorozatok konvergencijt!
an =2 an1 + 3
a) a1 = 1 : (an) = (1 , 2.236 , 2.73 , )
b) a1 = 5 : (an) = (5 , 3.605 , 3.195 , )
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
1.5. REKURZVE MEGADOTT SOROZATOK 19
Megolds.
A =2A+ 3 = A2 2A 3 = 0 = A = 1 vagy A = 3 .
Most csak A = 3 jhet szba, hiszen an > 0. Ha teht a szmsorozat konvergens,akkor A = 3 . Ezrt dolgozunk majd a korltossgnl is a 3 -mal. A megolds vzlata:
a) Megmutathat teljes indukcival, hogy (an) monoton n s szintn teljes indukci-val, hogy an < 3 . Teht a sorozat konvergens s az elzek miatt A = 3 .(A Segdletben van hasonl plda kidolgozva.)
b) Most teljes indukcival megmutathat, hogy (an) monoton cskken s an > 3 .Teht a sorozat konvergens s az elzek miatt A = 3 most is.
34. Feladat:Gyakorl pldk:
a)
an+1 =8 an 7 , n = 1, 2, s a1 = 4
(an) = (4 , 5 , 5.74 , )a) Bizonytsa be, hogy 1 < an < 7 !
b) Igazolja, hogy a sorozat monoton!
c) Konvergens-e ez a sorozat? Ha igen, mi a hatrrtke?
b)
an+1 =a2n 8
7, n = 1, 2, s a1 = 9
(an) = (9 , 10.43 , 14.4 , )
a) Mely vals szmok jhetnek szba a sorozat hatrrtkeknt?
b) Igazolja, hogy an > 8 , n N+c) Igazolja, hogy a sorozat monoton!
d) Konvergens-e a sorozat!
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
20 1. FEJEZET: SOROZATOK
c) Legyen
a1 = 5, an+1 = 8 12an
rekurzve adott sorozat! (an) = (5 , 5.6 , 5.85 , )a) Mutassa meg, hogy 2 an 6 minden n N -re!b) Indokolja meg, hogy (an) konvergens! A felhasznlt ttelt rja le!c) Hatrozza meg az (an) hatrrtkt!
1.6. (1+x/n)n n ex hatrrtkkel kapcsolatos felada-tok
Elmlimn
(1 +
x
n
)n= ex felhasznlhat.
llaptsuk meg a kvetkez sorozatok hatrrtkt!
35. Feladat:
an =
(1 +
1
6n2
)6n2+2Megolds.
an =
(1 +
1
6n2
)6n2 (1 +
1
6n2
)2 e 12 = e
(en rszsorozatrl van sz.)
36. Feladat:
an =
(n+ 5
n 4)n+3
Megolds.
an =
(1 +
5
n
)n(1 +4n
)n (1 +
5
n
)3(1 +4n
)3 e5e4 1313 = e9
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
1.6. (1 + x/n)n n ex HATRRTKKEL KAPCSOLATOS FELADATOK 21
Ms talaktssal:
an =
(n 4 + 9n 4
)n4+7=
(1 +
9
n 4)n4
(1 +
9
n 4)7 e9 17 = e9
Ez a fajta talakts bizonyos pldknl sokkal hosszabb, ezrt az els mdszert hasz-nlata javasolt, de persze ez nem ktelez.
37. Feladat:
an =
(n2 + 2
n2 + 3
)n2+7Megolds.
an =
(n2 + 2
n2 + 3
)n2(n2 + 2
n2 + 3
)7=
(1 +
2
n2
)n2(1 +
3
n2
)n2 1 + 2n21 +
3
n2
7
e2
e3 17 = 1
e
Msik megolds:
an =
((n2 + 3) 1n2 + 3
)(n2+3)+4=
(1 +
1n2 + 3
)n2+3(1 +
1n2 + 3
)4 e114 = 1
e
38. Feladat:
an =
(3n+ 5
3n 4)3n
, bn =
(3n+ 5
3n 4)2n
Megolds.
an =
1 + 53n1 +43n
3n
e5
e4= e9
bn =
1 + 53n1 +43n
2n
=
1 + 5/3n1 +4/3n
n
2
(
e5/3
e4/3
)2= e6
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
22 1. FEJEZET: SOROZATOK
39. Feladat:Gyakorl pldk:Keresse meg az albbi sorozatok hatrrtkt!
a) an =(1 +
1
n
)5nb) an =
(1 +
1
5n
)nc) an =
(1 +
1
5n
)6nd) an =
((1 +
1
n
)10)n
e) an =
(5 1
n
)n(5 +
1
n
)n f) an =(1 +
8
n
)2n
g) an =(n+ 7
n+ 4
)n+4h) an =
(n+ 7
n+ 3
)ni) an =
(2n+ 7
2n+ 3
)2nj) an =
(2n+ 7
2n+ 3
)n
k) an =(2n+ 7
2n+ 3
)2n+5
40. Feladat:
Gyakorl pldk:A paramterek megadott rtkeire keresse meg az albbi sorozat hatrrtkt!
an =
(3n3 + 5
3n3 + 3
)n3+a) = 3 , = 0 b) = 3 , = 2
c) = 1 , = 0 d) = 6 , = 0
41. Feladat:
an =
(1 +
1
n2
)ntankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
1.6. (1 + x/n)n n ex HATRRTKKEL KAPCSOLATOS FELADATOK 23
Megolds.
GY TILOS! : an =n
(1 +
1
n2
)n2 ne 1
Ez gy "letakars"! Ez a sejtshez hasznlhat:
n
(1 +
1
n2
)n2 ne 1
De preczen meg kell mutatni. (Persze kimondhat lenne hasznlhat ttel, de mi nemmondtunk ki ilyent.)Helyesen:
ne 0, 1 1
< an =
n
(1 +
1
n2
)n2
e
< ne + 0, 1 1
, ha n > N0
= an 1Persze ms becsls is j. Pl.: n
2 an < n
3 stb.
42. Feladat:
an =
(1 +
1
n
)n2Megolds.
an =
((1 +
1
n
)n)n 2n =
spec. rendrelvan
43. Feladat: +++
a) an =
(1 1
n4
)n3b) bn =
(1 1
n4
)n5Megolds.
44. Feladat:
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
24 1. FEJEZET: SOROZATOK
Gyakorl pldk:Keresse meg az albbi sorozatok hatrrtkt!
a) an =(1 +
2
n
)n2b) an =
(1 2
n
)n2
c) an =(n2 + 3
n2 + 5
)n3
45. Feladat:
an =
(4n+ 1
4n+ 5
)n, bn =
(4n+ 1
7n+ 5
)n, cn =
(6n+ 1
4n+ 5
)nMegolds.
an =
(1 +
1/4
n
)n(1 +
5/4
n
)n e1/4e5/4
=1
e
0 < bn =
(4n+ 1
7n+ 5
)n 7
x : x+ 3 > 7
= x > 7 3 = P1()
x : (x+ 3) > 7
= x < (7
+ 3
)= P2()
3. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok
A megfelel defincival bizonytsa be az albbi hatrrtkeket!
a) limx 1
2x 2x 1 + 3x = 5
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
3.1. FGGVNY HATRRTKE 43
3.1. bra. Az f(x) = 12xx+3
fggvny grafikonja.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
f(x)
b) limx2
2x+ 15 =
11
c) limx
(2x3 x2 + 4x+ 7) =
d) limx
31 + 2x =
e) limx
6x+ 1
3 2x = 3
Megolds.. . .
4. Feladat:
f(x) =x2 + 3x 10(x2 4)2 , limx2 f(x) = ? , limx 2 f(x) = ?
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
44 3. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK HATRRTKE, FOLYTONOSSGA
Megolds.
f(x) =(x 2) (x+ 5)(x 2)2 (x+ 2)2
limx2
1
(x+ 2)2 +
x2 + 3x 10(x 2)2 12/16
=
limx 20
x 2(x 2) (x 2) =
1
x 2
x+ 5(x+ 2)2 7/16
=
5. Feladat:
limx
2x5 3x2 + 1x7 + 4x3 + 5
=?
Megolds.
limx
x5
x7=1
x2 0
2 3
x3+
1
x5
1 +4
x4+
5
x7 2
= 0
6. Feladat:
limx 1
x 13x2 + 1 2x =? ,
Megolds.
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
3.1. FGGVNY HATRRTKE 45
limx 1
x 13x2 + 1 2x = limx 1
x 13x2 + 1 2x
3x2 + 1 + 2x3x2 + 1 + 2x
=
= limx 1
(x 1) (3x2 + 1 + 2x)3x2 + 1 4x2 = limx 1
x 1x 1
3x2 + 1 + 2x
(x+ 1) = 1 4
2 = 2
7. Feladat:
limx
x(
x2 + 1 x2 3) =?Megolds.
limx
x(
x2 + 1 x2 3
) x2 + 1 + x2 3x2 + 1 +
x2 3 =
= limx
xx2 + 1 (x2 3)x2 + 1 +
x2 3 =
= limx
xx2
=x
|x| =x
x =1
41 +
1
x2+
1 3
x2
= 1 41 + 1
= 2
8. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok
a) limx
(4x2 + 3x 2x) = ?
b) limx
1
(x2 4x + x) = ?
c) limx
(2x6 x5 + 8x3 5x2 + 1) = ?
Megolds.. . .
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
46 3. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK HATRRTKE, FOLYTONOSSGA
9. Feladat:
a) limx 30
2 + 5{x} =? b) limx 30
[x 1] = ?
Megolds.
limx 3+0
2 + 5{x} = 2 + 5 0 = 0lim
x 302 + 5{x} = 2 + 5 1 = 7
limx 3+0
[x 1] = 2 , mert x (3, 4) esetn x 1 (2, 3) = [x 1] = 2lim
x 30[x 1] = 1 , mert x (2, 3) esetn x 1 (1, 2) = [x 1] = 1
10. Feladat:
+++
Bizonytsa be, hogy limx 0
cos1
xnem ltezik!Elm
Megolds. . . .
11. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok
a) limx
sin 7x2 =?
b) limx
1
xsin 7x2 =?
Megolds.. . .
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
3.2. SZAKADSOK TPUSAI 47
3.2. Szakadsok tpusaiAppElm Hol s milyen szakadsai vannak az albbi fggvnyeknek?
(Mindig hatrozza meg a jobb s bal oldali hatrrtkeket a vizsgland pontokban!)
12. Feladat:
f(x) =x3 + x2 5x+ 3
x2 (x+ 3)
Megolds.
f kt folytonos fggvny hnyadosa, gy csak a nevez nullahelyeinl van szakadsa.Vizsgland pontok: x = 0 , illetve x = 3
limx 0
1
x2+
x3 + x2 5x+ 3
x+ 3 1
= + : x = 0 msodfaj szakadsi hely.
x = 3 -ban a hatrrtk 00
alak, teht a szmllbl is kiemelhet az (x + 3)gyktnyez.
x3 + x2 5x+ 3 = . . . = (x+ 3) (x2 2x+ 1)
limx3
x+ 3
x+ 3 1
x2 2x+ 1
x2 16/9
=16
9: x = 3 -ban megszntethet szakadsa
van.
13. Feladat:
f(x) =x4 3x3|2x2 6x|
Megolds.
f kt folytonos fggvny hnyadosa, gy csak a nevez nullahelyeinl van szakadsa.
f(x) =1
2 x
3
|x| x 3|x 3|
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
48 3. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK HATRRTKE, FOLYTONOSSGA
Vizsgland pontok: x = 0 , illetve x = 3
limx 0+0
1
2 x
3
x=x2 0
x 3|x 3| 1
= 0 limx 00
1
2 x
3
x=x2 0
x 3|x 3| 1
= 0 :
x = 0 megszntethet szakadsi hely.
limx 3+0
1
2 x2 9 x 3x 3 1
=9
2lim
x 301
2 x2 9 x 3(x 3)
1
=92
:
x = 3 -ban vges ugrsa van.
14. Feladat:
f(x) =
1
|4 x| +1
4 x , ha x 2
x2 10xx2 11x+ 10 , ha x < 2
Megolds.
Ha x < 2 : f(x) =x (x 10)
(x 1) (x 10)rtelmezsi tartomny: x 6= 4 , x 6= 1Vizsgland pontok: 1 , 2 , 4
f(1 0) = limx 10
1
x 1
xx 10x 10 = msodfaj (lnyeges) szakads.
f(2 0) = limx 20
x (x 10)(x 1) (x 10) = 2 f(2 + 0) = limx 2+0
(1
|4 x| +1
4 x)
=
1
f -nek x = 2 -ben vges ugrsa van (elsfaj szakads)
f(4 + 0) = limx 4+0
(1
(4 x) +1
4 x)
=0
= 0
f(4 0) = limx 40
(1
4 x +1
4 x)
= limx 40
2
4 x =
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
3.3. limx0
sin xx = 1 HATRRTKKEL KAPCSOLATOS PLDK 49
x = 4 : msodfaj szakadsi hely
15. Feladat:
+++
Hol folytonos, hol milyen szakadsa van?
f(x) =
2x , ha x rac.
x2 , ha x irrac.
Megolds. . . .
3.3. limx0
sinxx = 1 hatrrtkkel kapcsolatos pldk
Elm
16. Feladat:
limx 0
sin 5x2
tg 3x2=?
Megolds.
limx 0
sin 5x2
5x25x2
3x23x2
sin 3x2cos 3x2 = 1 5
3 1 1 = 5
3
17. Feladat:
limx 0
1 cos 9x2x2
=?
Megolds.
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
50 3. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK HATRRTKE, FOLYTONOSSGA
sin2 =1 cos 2
2alapjn: 1 cos 9x2 = 2 sin2 9x2
2
limx 0
2 sin2 9x2
2
x2= lim
x 02
sin 92x2
92x2
9
2sin 9
2x2 = 2 1 9
2 0 = 0
18. Feladat:
limx 0
cos 2 5x 1
sin 3x
=?
Megolds.
Most is az elz azonossgot hasznljuk:
limx 0
2 sin2 5xsin 3x
= limx 0
2(sin 5x
5x
)2( 5x)2
3x
...= 15x 0
3x
sin 3x
= 2 1 0 1 = 0
19. Feladat:Hol s milyen tpus szakadsa van az albbi fggvnyeknek?
f(x) =sin (1 x)x2 1 g(x) =
sin |2 x|x 2
Megolds.
f(x) = sin (1 x)1 x
1
x+ 1
Szakadsi helyek: x = 1 s x = 1
limx 1
f(x) = limx 1
sin (1 x)1 x 1
1
x+ 1 1/2
= 12
: megszntethet szakads
limx10
f(x) = limx10
1
x+ 1
( sin (1 x)
1 x)
sin 2
2< 0
= : msodfaj szakads
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
3.3. limx0
sin xx = 1 HATRRTKKEL KAPCSOLATOS PLDK 51
g(x) =sin |2 x|x 2 =
sin |x 2|x 2
(Nem muszj trni, de gy taln jobban rtik.)
Szakadsi hely: x = 2
g(2 + 0) = limx 2+0
sin (x 2)x 2 = 1
g(2 0) = limx 20
sin ((x 2))x 2 = limx 20
sin (x 2)x 2 = 1
Vges ugrs (elsfaj szakads).
20. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:
a) limx 0
tg 7x
sin 9x=?
b) limx 0
sin 4x2
2x=?
c) limx 0
5x sin 8x7x + sin 2x
=?
d) limx
5x sin 8x7x + sin 2x
=?
e) limx 0
cos 5x 17x2
=?
f) limx 0
cos 2x2 16x3
=?
g) limx 0
1 cos 3x25x
=?
h) limx 0
1 cos 5xsin
3x2
=?
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
52 3. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK HATRRTKE, FOLYTONOSSGA
i) limx
x4 sin2
x4=?
j) limx 0
x4 sin2
x4=?
21. Feladat:Hol s milyen tpus szakadsa van az albbi fggvnynek?
f(x) =sin (x 2)
(x2 + 4)x2 4x+ 4
Megolds.
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4. fejezet
Egyvltozs vals fggvnyekderivlsa
Elm4.1. Differencils a defincival AppA derivlt defincijval hatrozza meg az albbi derivltakat!
1. Feladat:
f(x) =6x+ 1 f (4) = ?
Megolds.
f (4) = limh 0
f(4 + h) f(4)h
= limh 0
6(4 + h) + 1 5
h=
= limh 0
25 + 6h 5
h
25 + 6h + 525 + 6h + 5
=
= limh 0
25 + 6h 25h (25 + 6h + 5)
= limh 0
h
h
625 + 6h + 5
=6
10
2. Feladat:
f(x) =1
2x+ 7f (1) = ?
53
54 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA
Megolds.
f (1) = limh 0
f(1 + h) f(1)h
= limh 0
12(1 + h) + 7
13
h=
= limh 0
3 9 + 2hh 3 9 + 2h
3 +9 + 2h
3 +9 + 2h
= . . . =
= limh 0
23
h
h
19 + 2h (3 +
9 + 2h)
= 127
3. Feladat:
f(x) =1
3x+ 1f (1) = ?
Megolds. . . .
4. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:
A defincival hatrozza meg az albbi derivltakat!
a) f(x) =1 3x f (3) = ?
b) f(x) =1
x 5 f(6) = ?
c) f(x) =x 1x+ 1
f (2) = ?
d) f(x) =x2 4x+ 4 sin (x 2) f (2) = ?
5. Feladat:
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4.2. A DERIVLSI SZABLYOK GYAKORLSA 55
Ttel: (cosx) = sinx , x RBizonytsa be a ttelt!(Hasonlan igazolhat, hogy (sinx) = cos x )
Megolds.
f(x) := cosx
f (x) = limh 0
f(x+ h) f(x)h
= limh 0
cos (x+ h) cosxh
=
= limh 0
cosx cosh sinx sinh cosxh
=
= limh 0
cosx cosh 1h 0
sinx sinhh 1
= sinx
Ugyanis:
limh 0
cosh 1h
= limh 0
2 sin2 h2
h= lim
h 0 sin
h2
h2
sinh
2= 1 0 = 0
4.2. A derivlsi szablyok gyakorlsaApp 1App 2App 3App 4App 5
Szksges ismeretek: derivlsi szablyok, sszetett fggvny derivlsa.Tovbb: ( x) = x1, (sinx) = cosx, (cosx) = sinx.
6. Feladat:
Ttel:
a) (tg x) =1
cos2 x, x 6= pi
2+ kpi
b) (ctg x) = 1sin2 x
, x 6= kpi
Bizonytsa be az lltsokat!
1konstansszoros derivltja2sszeg derivltja3szorzat derivltja4sszetett fggvny derivltja5inverzfggvny derivltja
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
56 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA
Megolds.
A hnyadosfggvny derivlsi szablyt s a fggvnyek defincijt hasznljuk fel.( (uv
)=
u v u vv2
)(tg x) =
(sinx
cosx
)=
(sinx) cosx sinx (cosx)cos2 x
= . . . =1
cos2 x, x 6= pi
2+ kpi
(ctg x) =(cosxsinx
)=
(cosx) sinx cosx (sinx)sin2 x
= . . . = 1sin2 x
, x 6= kpi
7. Feladat:
Derivljuk az albbi (vagy hasonl) fggvnyeket!
x2 2x+ 32x2 + 7
, (x2 + 1)1 + 2x4 ,
x2 + 5x32x6 + 3
, (x3 + 2x2 x)6 ,
sin 3x , sin3 2x , sinx3 , sin5 2x3 , (x3 + cos2 x4)3
Megolds.(x2 2x+ 32x2 + 7
)=
(2x 2) (2x2 + 7) (x2 2x+ 3) 4x(2x2 + 7)2(
(x2 + 1)1 + 2x4
)= (x2 + 1)
1 + 2x4 + (x2 + 1)
(1 + 2x4
) =(1+2x4)1/2
=
= 2x1 + 2x4 + x2
1
2(1 + 2x4)1/2 (1 + 2x4)
=8x3
Most mg ilyen rszletessggel dolgozzanak!(x2 + 5x32x6 + 3
)=
(x2 + 5x3)2x6 + 3 (x2 + 5x3) (2x6 + 3)
(2x6 + 3)2
=
=(2x+ 15x2)
2x6 + 3 (x2 + 5x3) 1
2(2x6 + 3)1/2 12x5
(2x6 + 3
( (x3 + 2x2 x)6 ) = 6 (x3 + 2x2 x)5 (x3 + 2x2 x) =3x2+4x1
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4.2. A DERIVLSI SZABLYOK GYAKORLSA 57
( sin 3x ) = cos 3x 3(sin3 2x
)= 3 sin2 2x (sin 2x)
cos 2x 2
( sinx3 )= cos x3 3x2(
sin5 2x3)
= 5 sin4 2x3 (sin 2x3) cos 2x3 6x2(
(x3 + cos2 x4)3)
= 3 (x3 + cos2 x4)2 (x3 + cos2 x4)
(x3 + cos2 x4)= 3x2 + 2 cosx4 (cosx4)
sinx4 4x3
8. Feladat:
f(x) =
1
cos2 (4x) + 3 8
(x 2)4 , ha x 0
sin2 3x
7x2, ha x < 0
Hatrozza meg a derivltfggvnyt, ahol az ltezik!
Megolds.
f (2) @ , mert a fggvny nem rtelmezett x = 2 -ben.
f(0 + 0) = limx 0+0
(1
cos2 (4x) + 3 8
(x 2)4)
=1
4 1
2= 1
4
f(0 0) = limx 00
sin2 3x
7x2= lim
x 00
(sin 3x
3x
)2 97=
9
76= f(0 + 0)
f (0) @ , mert a fggvny nem folytonos x = 0 -ban (nem ltezik a hatrrtk itt).Ha x 6= 0 s x 6= 2 , akkor f derivlhat, mert derivlhat fggvnyek sszettele.
f (x) =
2 cos 4x ( sin 4x) 4
(cos2 4x+ 3)2 8 (4) (x 2)5 , ha x > 0 s x 6= 2
2 sin 3x cos 3x 3 7x2 sin2 3x 14x49x4
, ha x < 0
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
58 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA
4.3. A derivlsi szablyok + definci gyakorlsaApp
9. Feladat:
f(x) = 3x Mutassuk meg, hogy f (0) @!
Megolds.
f (0) = limh 0
f(h) f(0)h
= limh 0
3h 0h
= limh 0
13h2
= Teht f (0) @ .
10. Feladat:
f(x) = 3x sin
3x2 f (x) = ?
(x = 0 -ban a defincival dolgozzon!)
Megolds.
Ha x 6= 0 , akkor derivlhat fggvnyek sszettele sf (x) =
1
3x2/3 sin 3
x2 + 3
x(cos
3x2) 2
3x1/3
Ha x = 0 , akkor a defincival dolgozunk:
f (0) = limh 0
3h sin
3h2 0
h= lim
h 0
3h
3h
sin3h2
3h2
= 1
11. Feladat:
f(x) = 5x3 tg (5x2) , |x| < 1
5
a) f (x) = ? , ha x 6= 0b) A derivlt defincija alapjn hatrozza meg f (0) rtkt!
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4.3. A DERIVLSI SZABLYOK + DEFINCI GYAKORLSA 59
Megolds.
a) Ha x 6= 0 , akkor ltezik a derivlt, mert derivlhat fggvnyek sszettele:f (x) =
((x3 tg 5x2)
1/5)
=1
5(x3 tg 5x2)
4/5 (x3 tg 5x2)
(x3 tg 5x2)= 3x2 tg 5x2 + x3
1
cos2 5x2 10x
b) f (0) = limh 0
f(h) f(0)h
= limh 0
5h3 tg 5h2 0
h= lim
h 0
5
h3
sin 5h2
cos 5h25h5
=
= limh 0
5h3
5h3 5
sin 5h2
5h2
55
5cos 5h2
= 1 51 55
1= 55
12. Feladat:
f(x) = |x 1| sin (2x 2) f (x) = ?
Megolds.
g(x) := (x 1) sin (2x 2)Ez egy mindentt derivlhat fggvny:
g(x) = 1 sin (2x 2) + (x 1) cos (2x 2) 2g felhasznlsval:
f(x) =
{g(x) , ha x 1g(x) , ha x < 1
Ezrtf (x) =
{g(x) , ha x > 1g(x) , ha x < 1
x = 1-ben legjobb a defincival ellenrizni a derivlhatsgot. (Hasznlhat lenne asegdlet 26. oldaln kimondott ttel is, de taln jobb ilyenkor a definci.)
f (1) = limx 1
f(x) f(1)x 1 = limx 1
|x 1| sin (2x 2) 0x 1 =
= limx 1
|x 1| sin 2(x 1)2(x 1) 2 = 0 1 2 = 0
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
60 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA
13. Feladat:
f(x) =
3x2 sin
1
x, ha x 6= 0
0 , ha x = 0
f (x) = ?
Megolds. . . .
14. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:
a) f(x) = |x2 9| sin (x 3) , f (x) = ?
b) f(x) = |x3 3x2| , f (x) = ?
c) f(x) = 5x2 sin
5x3 , f (x) = ?
d) f(x) =
sin 2x2
7x2, ha x > 0
|x(x 1)| , ha x 0f (x) = ?
e) f(x) =
1
3x 1 , ha x 1
ax + b , ha x < 1
Adja meg a s b rtkt gy, hogy f (1) ltezzen!
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4.4. ELEMI FGGVNYEK 61
4.4. Elemi fggvnyekElmApp 6App 7App 8App 9
15. Feladat:
Rajzolja fel a tg s az arctg fggvnyek grafikonjt! Hatrozza meg rtelmezsitartomnyukat, rtkkszletket, derivltjukat!
16. Feladat:
a) limx 0
arctg x
x=?
b) limx 3+0
arctg1
3 x =? limx 30 arctg1
3 x =?
limx
arctg1
3 x =?
c) limx 0
x arctg1
x=?
d) limx 3
arctgx2 3x3x 9 = ?
e) limx
arctgx2 12x+ 3
=?
Megolds.
6hatvnyfggvnyek7exponencilis fggvnyek8trigonometrikus fggvnyek9hiberbolikus fggvnyek
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
62 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA
a) x = tg u , u = arctg x helyettestssel :
limx 0
arctg x
x= lim
u 0u
tg u= lim
u 0u
sinucosu = 1
b) limx 3+0
arctg1
3 x , mert 1/0 alak
= pi2
limx 30
arctg1
3 x , mert 1/+0 alak
=pi
2
limx
arctg1
3 x = arctg 0 = 0
c) limx 0
x arctg1
x= 0 , mert ( 0 korltos) alak.
d) limx 3
arctgx2 3x3x 9 = limx 3 arctg
x
3
x 3x 3 = arctg 1 =
pi
4
e) limx
arctgx2 12x+ 3
= limx
arctg
(x2
x
1 1x2
2 + 3x
)
=pi
2
17. Feladat:
f(x) = 3x arctg x2 , f (x) = ?
(x = 0 -ban a defincival dolgozzon!)
Megolds.
Fel kell hasznlni, hogy limx 0
arctg x2
x2= 1 az elz pldban ltottak alapjn.
Adjuk fel hzi feladatnak, mert nincs benne mr j dolog!
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4.4. ELEMI FGGVNYEK 63
18. Feladat:
f(x) =
x arctg
1
x, ha x 6= 0
a , ha x = 0
g(x) =
x2 arctg
1
x, ha x 6= 0
b , ha x = 0
a) Hatrozza meg az a s b paramterek rtkt gy, hogy az f s g folytonoslegyen x = 0 -ban!
b) f (0) = ? , g(0) = ?
Megolds.
a) limx 0
x arctg 1x
= 0 , (0 korltos alak)Hasonlan lim
x 0g(x) = 0
Teht a = f(0) := 0 , b = g(0) := 0 . Vagyis
f(x) =
x arctg
1
x, ha x 6= 0
0 , ha x = 0
g(x) =
x2 arctg
1
x, ha x 6= 0
0 , ha x = 0fggvnyek mr mindentt folytonosak.
b) f (0) = limh 0
f(h) f(0)h
= limh 0
h arctg1
h 0
h= lim
h 0arctg
1
h@(
f +(0) =pi
2, f (0) =
pi
2
)
g(0) = limh 0
g(h) g(0)h
= limh 0
h2 arctg1
h 0
h= lim
h 0h arctg 1
h= 0
19. Feladat:
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
64 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA
f(x) =
arctg
1 + x
1 x , ha x 6= 1
, ha x = 1
a) Megvlaszthat-e rtke gy, hogy az f fggvny folytonoslegyen x = 1 -ben?
b) f (x) = ? , ha x 6= 1
c) limx 1
f (x) = ?
Ltezik-e f (1) ?
Megolds.
a) limx 1+0
arctg1 + x
1 x
= pi26= lim
x 10arctg
1 + x
1 x
=pi
2
Mivel x = 1 -ben @ a hatrrtk, ezrt nincs olyan , melyre f folytonos lennex = 1 -ben.
b) Ha x 6= 1 :
f (x) =1
1 +
(1 + x
1 x)2 (1 + x1 x
)= . . . =
1
1 + x2
( (1 + x
1 x)
=1 (1 x) (1 + x) (1)
(1 x)2 =2
(1 x)2)
c) limx 1
f (x) =1
2, de f (1) @ , mert az f fggvny nem folytonos x = 1 -ben.
20. Feladat:
Ismertesse az arcsin fggvny tulajdonsgait (rtelmezsi tartomny, rtkkszlet, bra,derivlt)!
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4.4. ELEMI FGGVNYEK 65
21. Feladat:
f(x) = 3pi 2 arcsin (3 2x)
a) Df =? , Rf =? , f (x) = ?
b) rja fel az x0 =7
4pontbeli rintegyenes egyenlett!
c) Indokolja meg, hogy f -nek ltezik az f1 inverze!f1(x) = ? , Df1 =? , Rf1 =?
Megolds.
a) 1 3 2x 1 . . . = Df = [1, 2]3 2x [1, 1] = arcsin (3 2x)
[pi2,pi
2
]= 2 arcsin (3 2x) [pi , pi] = Rf = [2pi , 4pi]
f (x) = 2 11 (3 2x)2 (2) =
41 (3 2x)2 , x (1, 2)
b) y = f(7
4
)+ f
(7
4
) (x 7
4
)=
10
3pi +
83
(x 7
4
)
c) f (x) > 0, ha x (1, 2) s f folytonos [1, 2] -ben, ezrt f szigoran monoton n Df -en, gy a teljes rtelmezsi tartomnyban invertlhat.
y = 3pi 2 arcsin (3 2x) = . . . f1(x) = 12
(3 sin 3pi x
2
)Df1 = Rf = [2pi , 4pi] , Rf1 = Df = [1, 2]
22. Feladat:
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
66 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA
f(x) = arccos4
x2 pi
2
a) Df =? , Rf =?
b) Adja meg a 5 pontot tartalmaz azon legbvebb intervallumot, melyen finvertlhat!
f1(x) = ? , Df1 =? , Rf1 =?
Megolds.
a) f pros fggvny.
T.: 4x2 1 = |x| 2
0 2.f (x) < 0 , ha x (,2) s f folytonos I = (,2] -n = f szigoranmonoton cskken I -n, teht invertlhat I -n. (5 I)
y = arccos4
x2 pi
2= . . . f1(x) = 2
cos (x+pi
2)
Df1 = Rf =[pi2, 0), Rf1 = Df = (,2]
23. Feladat:
Derivlja az albbi fggvnyeket!
f(x) =
ch 5x2 , ha x 0
sh 2x 3x , ha x < 0; g(x) = (1 + x4)2x
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4.4. ELEMI FGGVNYEK 67
Megolds.
Rajzoljuk fel az shx , chx fggvnyeket!
f(0 + 0) = f(0) = ch 0 = 1 6= f(0 0) = 0 = f nem folytonos x = 0 -ban= f (0) @
Egybknt f derivlhat fggvnyek sszettele s gy derivlhat:
f (x) =
10x sh 5x2 , ha x > 0
2 ch 2x 3 , ha x < 0g exponencilis hatvnyfggvny, ennek megfelelen derivljuk:g(x) = eln (1+x
4)2x = e2x ln (1+x4)
g(x) = e2x ln (1+x4) (2x ln (1 + x4)) = (1 + x4)2x
(2 ln (1 + x4) + 2x
4x3
1 + x4
)
24. Feladat:
f(x) =
x e
1
(x 2)2 , ha x > 2
ch2 (x 2)3 , ha x 2rja fel f (x) rtkt, ahol az ltezik!
Megolds. . . .
25. Feladat:
f(x) = 2 arctg1
x2 pi
Hol s milyen szakadsa van a fggvnynek?rja fel f (x) rtkt, ahol az ltezik!Adjon meg egy intervallumot, melyen ltezik f1 !f1(x) = ? , Df1 =? , Rf1 =?
Megolds. . . .
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
68 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA
4.5. LHospital szablyElmApp
26. Feladat:
a) limx 0
arctg 2x3
arsh 5x3=?
b) limx 0
arcsin 3x2
tg2 x=?
c) limx
x2 e5x =?
d) limx+0
x lnx7 =?
e) limx 1
(x
x 1 1
lnx
)=?
f) limx+0
xtg x =?
g) limx
e8x 2 e3xe5x + e3x
=?
h) limx
sh (3x 2)ch (3x+ 4)
= ?
Megolds.
a) limx 0
arctg 2x3
arsh 5x3LH= lim
x 0
1
1 + (2x3)26x2
11 + (5x3)2
15x2= lim
x 02
5
1
1 + (2x3)2
11 + (5x3)2
=2
5
b) limx 0
arcsin 3x2
tg2 xLH= lim
x 0
11 (3x2)2 6x
2 tg x1
cos2 x
= limx 0
31
1 9x4x
sinxcos3 x = 3
c) limx
x2 e5x = limx
x2
e5xLH= lim
x2x
5 e5xLH= lim
x2
25 e5x= 0
d) limx+0
x lnx7 = lim
x+0lnx7
1x
= limx+0
7 ln x
x1/2LH= lim
x+0
71
x
12x3/2
=
= limx+0
14 x = 0
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4.6. FGGVNYVIZSGLAT 69
e) limx 1
(x
x 1 1
lnx
)= lim
x 1x lnx x + 1(x 1) ln x
LH= lim
x 1
lnx + x1
x 1
lnx + (x 1) 1x
= limx 1
lnx
lnx + 1 1x
LH=
1
x1
x+
1
x2
=1
2
f) limx+0
xtg x = limx+0
elnxtg x
= limx+0
etg x lnx = e0 = 1 , mert
limx+0
tg x lnx = limx+0
lnx
ctg xLH= lim
x+0
1
x1sin2 x
= limx+0
sinxx
sinx = 0
g) A LHospital szably alkalmazsa most nem vezetne eredmnyre.
limx
e8x 2 e3xe5x + e3x
= limx
e3x
e3xe11x 2e8x + 1
= 1 0 20 + 1
= 2
h) Itt sem vezet eredmnyre a LHospital szably. Berva a fggvnyek defincijt, azelz pdhoz hasonlan jrhatunk el:
limx
sh (3x 2)ch (3x+ 4)
= limx
e3x2 e(3x2)e3x+4 + e(3x+4)
= limx
e3x
e3xe2 e6x+2e4 + e6x4
=e2
e4
4.6. Intervallumon derivlhat fggvnyek tulajdons-gai, fggvnyvizsglat
ElmAppApp27. Feladat:
f(x) = (x 3)3 (x+ 5)4
a) Adja meg azokat a legbvebb intervallumokat, melyeken a fggvny szigoran mo-noton!
b) Hol van loklis szlsrtke?
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
70 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA
Megolds.
f (x) = 3(x3)2 (x+5)4 + (x3)34(x+5)3 = . . . = (x 3)2(x+ 5)2 0
(x+ 5)(7x+ 3) rajzoljuk fel!
x (,5) 5(5,3
7
)37
(37, 3
)3 (3,)
f + 0 0 + 0 +f
Teht f szigoran monoton n: (,5) s(37,)
intervallumokon,
f szigoran monoton cskken:(5,3
7
)-en.
x = 5 -ben loklis maximum van, mert f nvekvbl cskkenbe megy t.x = 3
7-ben loklis minimum van, mert f cskkenbl nvekvbe vltozik.
28. Feladat:
f(x) = ln (x2 + 2x+ 2)
Keresse meg azokat az intervallumokat, melyeken a fggvny- monoton n, illetve monoton cskken;- alulrl konvex, alulrl konkv.
Megolds.
f(x) = ln (x2 + 2x+ 2) = ln ((x+ 1)2 + 1) 1
= Df = R
f (x) =2x+ 2
x2 + 2x+ 2
x (,1) 1 (1,)f 0 +f
Teht f (szigoran) monoton cskken (,1) -en s (szigoran) monoton n (1,) -en.
f (x) =2(x2 + 2x+ 2) (2x+ 2)(2x+ 2)
(x2 + 2x+ 2)2=2x (x+ 2)(x2 + 2x+ 2)2
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4.6. FGGVNYVIZSGLAT 71
A nevez 1 , a szmllban lev parabolt pedig rajzoljuk fel!x (,2) 2 (2, 0) 0 (0,)f 0 + 0 f (infl. pont) (infl. pont)
29. Feladat:
f(x) = x e3x
Hol monoton nv, illetve cskken az f fggvny?Hol van loklis szlsrtke?
Megolds.
f (x) = 1 e3x + x e3x (3) = (1 3x) e3x = 0 , ha x = 13.
x
(, 1
3
)1
3
(1
3,)
f + 0 f lok.max.
f
(1
3
)=
1
3e1
30. Feladat:
f(x) = 2x6 15x5 + 20x4Hol konvex, hol konkv a fggvny? Hol van inflexis pontja?
Megolds.
f (x) = 12x5 75x4 + 80x3f (x) = 60x4 300x3 + 240x2 = 60x2
0(x2 5x + 4)
(x1) (x4)
x (, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 4) 4 (4,)f + 0 + 0 0 +f infl.p. infl.p.
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
72 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA
31. Feladat:
f(x) = x ex2
Keresse meg azokat az intervallumokat, amelyeken az f fggvny konvex, illetve konkv!Hol van inflexija az f fggvnynek?
Megolds.
f (x) = ex2+ x ex
2(2x) = ex2 2x2 ex2
f (x) = ex2(2x) 4x ex2 2x2 ex2 (2x) = ex2 (4x3 6x) = ex2 2x (2x2 3)
brzoljuk vzlatosan a 2x (2x2 3) fggvnyt, mert gy knnyebb az eljelvizsglat!
(Harmadfok polinom, nullahelyek:
3
2, 0 ,
3
2;
+ -ben + -hez tart a fggvny s -ben -hez tart a fggvny.)
Ennek alapjn:
x
(,
3
2
)
3
2
(
3
2, 0
)0
(0,
3
2
) 3
2
(3
2,)
f 0 + 0 0 +f infl.p. infl.p. infl.p.
32. Feladat: Hol konvex, hol konkv az
f(x) = x2 ln (ex)
fggvny? Van-e inflexis pontja?
Megolds. Df = (0,)
f (x) = 2x ln (ex) + x21
exe = 2x ln (ex) + x
f (x) = 2 ln (e x) + 2x1
exe + 1 = 2 ln (e x) + 3 = 0
= ln (ex) = 32
= ex = e3/2 = x = e5/2
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4.6. FGGVNYVIZSGLAT 73
x (0 , e5/2) e5/2 (e5/2 , )f 0 +f (infl. pont)
33. Feladat: Vizsglja meg s vzlatosan brzolja az
f(x) =ln (ex)
x
fggvnyt? Konvex-konkv tulajdonsgot, inflexit most ne vizsgljon!
Megolds. Df = (0,)
Nullahely: ex = 1 = x = 1e
limx+0
ln (ex)
x +0
alak
= limx
ln (ex)
x alak
LH= lim
x
1
x1
= 0
f (x) =x1
x ln (ex)x2
=1 ln (ex)
x2= 0 = ln (ex) = 1 = x =
1 , f(1) = 1
x (0 , 1) 1 (1 , )f + 0 f lok. max.
A fggvny grafikonja a 4.1 brn lthat.
34. Feladat:
Vgezzen fggvnyvizsglatot s vzlatosan brzolja a fggvnyt!
a) f(x) = x3 ex
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
74 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA
4.1. bra. Az f(x) = ln(ex)x
fggvny grafikonja.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 2 4 6 8 10
ln(ex)/x
b) f(x) =x2 + x 2
x
Megolds.
a) f(x) = x3 exDf = R ; Nullahely: x = 0
limx
x3 ex = limx
x3
exLH= . . . = 0 lim
xx3 ex =
Nem pros, nem pratlan, nem periodikus.
f (x) = 3x2 ex x3 ex = x2 ex (3 x)
x (, 0) 0 (0, 3) 3 (3,)f + 0 + 0 f lok. max.
f(3) = 27 e3 =27
e3
f (x) = 6x ex 3x2 ex 3x2 ex + x3 ex = x ex (x2 6x+ 6) =0 : x=33
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4.6. FGGVNYVIZSGLAT 75
x (, 0) 0 (0, 33) 33 (33, 3 +3) 3 +3 (3 +3,)f 0 + 0 0 +f infl.p. infl.p. infl.p.
Rf =
( , 27
e3
]
A fggvny grafikonja a 4.2.a) brn lthat.
4.2. bra. A kt vizsglt fggvny grafikonja.
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 0 2 4 6 8 10
a)
x3 e-x
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
b)
(x2+x-2)/xx+1
b) f(x) =x2 + x 2
x= x+ 1 2
x=
(x 1) (x+ 2)x
Df = R \ {0} ; limx+0
(x+ 1 2
x
)= ; lim
x0
(x+ 1 2
x
)= +
limx
(x+ 1 2
x
)=
Nullahelyek: x = 1 , x = 2
f (x) =(x+ 1 2
x
)= 1 +
2
x2> 0
x (, 0) 0 (0,)f + @ +f szak.h.
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
76 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA
f (x) = 4x3
x (, 0) 0 (0,)f + @ f szak.h.
A fggvny grafikonja a 4.2.b) brn lthat.
Megjegyzs:
limx
(f(x) (x+ 1)) = limx
(2x
)= 0 = A fggvny, ha x
egyre kzelebb kerl az y = x+ 1 lineris fggvnyhez ( lineris aszimptota).
35. Feladat:
Van-e lineris aszimptotja az albbi fggvnynek + -ben?
a) f(x) = 2x + x sin 1x
b) f(x) =4x2 + 3x
c) f(x) =2x3 + 1
x2 + x 3
4.7. Abszolt szlsrtkElmApp
36. Feladat:
f(x) = x3 +48
x2
a) Vgezzen fggvnyvizsglatot s vzlatosan brzolja a fggvnyt!
b) Beszlhetnk-e a fggvny maximumrl illetve minimumrl az [1, 3] intervallu-mon? Ha igen, akkor mennyi ezek rtke?
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4.7. ABSZOLT SZLSRTK 77
Megolds.
a) Df = R \ {0} ; limx 0
x3 +48
x2= +
limx
f(x) = + , limx
f(x) = Nem pros, nem pratlan, nem periodikus.
Nullahely: f(x) =x5 + 48
x2= 0 = f( 548) = 0
f (x) = 3x2 96x3
=3 (x5 32)
x3= 0 = x = 2 , f(2) = 20
x (, 0) 0 (0, 2) 2 (2,)f + @ 0 +f szak.h. lok. min.
f (x) = 6x +3 96x4
= 6 x5 + 48
x4= 0 = x = 548 , (f( 548) = 0)
x (, 548) 548 ( 548, 0) 0 (0,)f 0 + @ +f infl.p. szak.h.
A fggvny grafikonja a 4.3 brn lthat.
b) Mivel f folytonos [1, 3] -ban (zrt!) = min., max. ( Weierstrass II. ttele)Mivel f az intervallumon mindentt derivlhat, a szbajhet pontok:- a loklis szlsrtk: f(2) = 20,
- az intervallum vgpontjai: f(1) = 49 , f(3) = 27 +48
9
= minx[1,2]
{f(x)} = 20 , maxx[1,2]
{f(x)} = 49
37. Feladat:
f(x) = x2 e3x
Van-e minimuma, illetve maximuma az f fggvnynek a [0 , 1] intervallumon? (Indo-koljon!)Ha igen, hatrozza meg!
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
78 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA
4.3. bra. A vizsglt fggvny grafikonja.
-60
-40
-20
0
20
40
60
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x3+48x-2
Megolds. . . . f (x) = x e3x (2 3x) . . .
minx[0,1]
{f(x)} = f(0) = 0 , maxx[0,1]
{f(x)} = f(2
3
)=
4
9e2
4.8. Implicit megads fggvnyek derivlsaElm
38. Feladat:
Az y(x) fggvny az x0 = e pont krnyezetben differencilhat s kielgti az
x ln y + y lnx = 1
implicit fggvnykapcsolatot.Hatrozza meg ezen fggvny (e,1) pontjabeli rint egyenesnek egyenlett!
Megolds.
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4.8. IMPLICIT MEGADS FGGVNYEK DERIVLSA 79
Ellenrizzk a pontot!
e ln 1 + 1 ln e ?= 1 Igaz.
Teht az y(x) valban tmegy az adott ponton: y(e) = 1 .
x ln y(x) + y(x) ln x = 1
Mindkt oldalt x szerint derivljuk:
1 ln y(x) + x 1y(x)
y(x) + y(x) lnx + y(x) 1x
= 0
Behelyettestve x = e -t (y(e) = 1) , kapjuk y(e) -t:
ln 1 + e y(e) + y(e) ln e + 1e= 0 = y(e) = 1
e (e + 1)
Az rintegyenes egyenlete:
y = y(e) + y(e)(x e) = 1 1
e (e + 1)(x e)
39. Feladat:
A differencilhat y = y(x) tmegy az x0 = 1 , y0 = 1 ponton s x0 egy krnyezet-ben kielgti az albbi implicit egyenletet:
y2 + 2 y5 + e2x2 (x 1)4 = 0
Van-e ennek a fggvnynek loklis szlsrtke az x0 = 1 pontban?Van-e inflexija a fggvnynek ugyanitt?
Megolds.
1 2 + 1 0 ?= 0 Igaz.Az x -tl val fggst mr nem jellm, gy ttekinthetbb:
2y y + 10y4 y + 2e2x2 4(x 1)3 = 0
Behelyettests: x = 1 , y = 1
2y(1) + 10y(1) + 4 0 = 0 = y(1) = 14
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
80 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA
Mivel y(1) 6= 0 = nincs loklis szlsrtke x = 1 -ben (nem teljesl a szksgesfelttel).
2y y + 2y y + 40y3 y y + 10 y4 y + 4e2x2 12(x 1)2 = 0
x = 1 , y = 1 , y = 14
:
1
8 2 y(1) 40
16+ 10 y(1) + 4 0 = 0
Elg csak felrni, hogy ebbl y(1) = 1364
(ha igaz).Mivel y(1) 6= 0 = nincs inflexis pontja x = 1 -ben (nem teljesl a szksgesfelttel).
4.9. Paramteres megads grbkElmAppApp 40. Feladat:
Legyenx = t + sin 4t , y = t + sin 2t
a) Indokolja meg, hogy a fenti paramteresen megadott grbnek van y = f(x) ell-ltsa a t0 =
pi
8paramterhez tartoz x0 = x(t0) pont egy krnyezetben!
b) f (x0) = ? , f (x0) = ? Van-e loklis szlsrtke, illetve inflexija az f fggvny-nek az x0 pontban?
c) rja fel a t0 paramter pontban az rint egyenes egyenlett!(Descartes koordintkkal.)
Megolds.
a) x(t) = 1 + 4 cos 4t
x(pi8
)= 1 > 0 s x(t) folytonos =
(pi8 , pi
8+ ), ahol x(t) > 0
= itt x(t) szigoran monoton n= inverze : t = t(x) s gy f(x) = y(t(x)) .
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
4.9. PARAMTERES MEGADS GRBK 81
b) y(t) = 1 + 2 cos 2t , y(pi8
)= 1 +
2
x0 = x(pi8
)=pi
8+ sin
pi
2= 1 +
pi
8
f (x0) =y(t0)
x(t0): f
(1 +
pi
8
)=
y(pi8
)x(pi8
) = 1 +2 > 0= f loklisan n x0 -ban. (Nincs loklis szlsrtk itt.)
x = 16 sin 4t , x(pi8
)= 16
y = 4 sin 2t , y(pi8
)= 4
2= 22
f (1 +
pi
8
)=
y x y xx3
t0
=22 (1 +2)(16)
1= 16 + 14
2 > 0
Nincs x0 -ban inflexis pont, mert nem teljesl a szksges felttel (f (x0) 6= 0) .
c) y = f(x0) + f (x0) (x x0) = y(t0) + y(t0)x(t0)
(x x(t0)) =
=pi
8+
12+ (1 +
2)(x (1 + pi
8))
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
5. fejezet
Egyvltozs vals fggvnyekintegrlsa
5.1. Hatrozatlan integrlAppAppAppElm
Szksges fogalmak: primitv fggvny, hatrozatlan integrl.
1. Feladat:
a)
(2x+ 3)5 dx =1
2
2 (2x+ 3)5 dx = 1
2
(2x+ 3)6
6+ C
f f 5
b)
1
(2x+ 3)5dx =
1
2
2 (2x+ 3)5 dx = 1
2
(2x+ 3)4
4 + Cf f5
c)
2
9x+ 1dx =
2
9
9
9x+ 1dx =
2
9ln |9x+ 1| + C
f /f
d)
2
(9x+ 1)2dx =
2
9
9 (9x+ 1)2 dx =
2
9
(9x+ 1)1
1 + Cf f2
82
5.1. HATROZATLAN INTEGRL 83
e)
2
9x2 + 1dx = 2
1
1 + (3x)2dx = 2
arctg 3x
3+ C
f)
2
9x2 + 3dx =
2
3
1
1 + (3x)2
dx =2
3
arctg3x
3+ C
g)
2x
9x2 + 3dx =
1
9
18x
9x2 + 3dx =
1
9ln (9x2 + 3) + C
f /f
h) A kvetkez kt feladatot az elz kett mintjra oldhatjuk meg.2x+ 4
9x2 + 3dx = (Hf.)
7x+ 5
9x2 + 3dx = (Hf.)
i)
2
9x2 + 6x+ 3dx = 2
1
(3x+ 1)2 + 2dx =
2
2
1
1 + (3x+12)2
dx =
=arctg 3x+1
232
+ C
j)
18x+ 8
9x2 + 6x+ 3dx
Felhasznljuk az elz plda eredmnyt:
I =
18x+ 6
9x2 + 6x+ 3dx +
2
9x2 + 6x+ 3dx =
= ln (9x2 + 6x+ 3) +arctg 3x+1
232
+ C
sszefoglalva az elz pldk tanulsgait
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
84 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA
x+
ax2 + bx+ cdx tpus integrlok megoldsa
f(x) := ax2 + bx+ c , D := b2 4acD 0 esetn rszlettrtekre bontssal dolgozunk. ( Ezt ksbb vesszk.)D < 0 esetn az albbi talaktssal dolgozunk:
x+
ax2 + bx+ cdx = k1
f (x)f(x)
dx + k2
1
f(x)dx =
= k1 ln |f(x)| + k2
1
f(x)dx
A megmaradt hatrozatlan integrl meghatrozsa:
A nevezben teljes ngyzett kiegszts s esetleges kiemels utn a kvetkez alakotkapjuk:
1
f(x)dx = k3
1
1 + (...)2dx = k3
arctg (...)
(...)+ C
Itt (...) : xnek lineris fggvnye, gy a nevezbe konstans kerlt.
Ezzel a mdszerrel oldja meg az albbi feladatot!
k)
9x+ 2
9x2 + 6x+ 3dx = (Hf.)
Most ttrnk az
x+ ax2 + bx+ c
dx tpus integrlok szmtsra.
Elszr egyszerbb pldkat csinlunk, majd ezt is megbeszljk ltalnosan.
l)
1x2 4x 12 dx =
1
(x 2)2 16 dx =1
4
1
(x24)2 1
dx =
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
5.1. HATROZATLAN INTEGRL 85
=1
4
arch x24
14
+ C
m)
x 2x2 4x 12 dx =
1
2
(2x 4) (x2 4x 12)1/2 dx =
f f1/2
=1
2
(x2 4x 12)1/212
+ C
n) A kvetkez plda megint az elz kt tpus egyestse, azok eredmnyt felhasznl-juk:
4x 2x2 4x 12 dx = 2
2x 4 + 3x2 4x 12 dx =
= 2
((2x 4) (x2 4x 12)1/2 dx + 3
1
x2 4x 12 dx)
=
= 2
((x2 4x 12)1/2
12
+ 3 14
arch x24
14
)+ C
sszefoglalva az elz pldk tanulsgait:x+ ax2 + bx+ c
dx tpus integrlok megoldsa
f(x) := ax2 + bx+ c
Az albbi talaktssal dolgozunk:
x+ f(x)
dx = k1
f (x) f1/2(x) dx + k2
1f(x)
dx =
= k1f 1/2(x)
1/2+ k2
1f(x)
dx
A megmaradt hatrozatlan integrl kiszmtsa:
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
86 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA
A nevezben teljes ngyzett kiegszts s esetleges kiemels utn a kvetkez esetekegyikt kapjuk:
1f(x)
dx = k3
1
1 (...)2 dx = k3arcsin (...)
(...)+ C
Vagy:1f(x)
dx = k3
1
1 + (...)2dx = k3
arsh (...)
(...)+ C
Vagy:1f(x)
dx = k3
1
(...)2 1 dx = k3arch (...)
(...)+ C
Itt (...) : xnek lineris fggvnye.
Ezzel a mdszerrel oldja meg az albbi feladatot!
o) 1.)
4xx2 + 6x+ 11
dx (Hf.)
2.)
3x+ 1
3 x2 2x dx (Hf.)
2. Feladat:
Gyakorl pldk:cos (x) esinx dx =
1
(1 + x2) arctg xdx =
1
x lnx5dx =
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
5.2. PARCILIS INTEGRLS 87
1
x ln5 xdx =
e4x
(1 + e4x)4dx =
5.2. Parcilis integrlsElm
3. Feladat:
(3x 1) sin (5x+ 3) dx = I
u = 3x 1 , v = sin (5x+ 3)u = 3 , v =
cos (5x+ 3)5
I = (3x 1) cos (5x+ 3)5
+3
5
cos (5x+ 3) dx =
= 15(3x 1) cos (5x+ 3) + 3
5
sin (5x+ 3)
5+ C
x3 ln (2x) dx = I
u = x3 , v = ln (2x)
u =x4
4, v =
1
2x 2 = 1
x
I =x4
4ln (2x) 1
4
x3 dx =
x4
4ln (2x) 1
4
x4
4+ C
arctg 2x dx = I =
1 arctg 2x dx
u = 1 , v = arctg 2x
u = x , v =1
1 + 4x2 2
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
88 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA
I = x arctg 2x
2x
1 + 4x2dx = x arctg 2x 1
4
8x
1 + 4x2dx =
= x arctg 2x 14ln (1 + 4x2) + C
ch 2x sin 5x dx = I
u = ch 2x , v = sin 5x
u = 2 sh 2x , v = cos 5x
5
I = 15ch 2x cos 5x +
2
5
sh 2x cos 5x dx
u = ch 2x , v = sin 5x
u =sh 2x
2, v = 5 cos 5x
I =1
2sh 2x sin 5x 5
2
sh 2x cos 5x dx
A kt egyenletbl kikszblve a fellp idegen integrlt kapjuk I -re a vgeredmnyt:
I =4
29
(54ch 2x cos 5x +
1
2sh 2x sin 5x
)+ C
4. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:
a)
ln (5x) dx =?
b)
(2x+ 3) ln (5x) dx =?
c)
(5x+ 2) sh (4x) dx =?
d)
x2 cos (3x) dx =?
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
5.3. RACIONLIS TRTFGGVNYEK INTEGRLSA 89
e)
arcsin (2x) dx =?
f)
4x arctg (2x) dx =?
5.3. Racionlis trtfggvnyek integrlsaElm
5. Feladat:
x+ 1
x2 + 3xdx =?
Megolds.
x+ 1
x (x+ 3)=
A
x+
B
x+ 3
x (x+ 3)x+ 1 = A(x+ 3) + Bx
x := 3 : 2 = 3B = B = 23
x := 0 : 1 = 3A = A = 13
I =
(1
3
1
x+
2
3
1
x+ 3
)dx =
1
3ln |x| + 2
3ln |x+ 3| + C
6. Feladat:
2x+ 1
x2 5x+ 6 dx =?
Megolds.
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
90 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA
2x+ 1
(x 2) (x 3) dx = (
A
x 2 +B
x 3)
dx =
=
(5 1
x 2 + 71
x 3)
dx = 5 ln |x 2| + 7 ln |x 3| + CUgyanis:
2x+ 1
(x 2) (x 3) =A
x 2 +B
x 3 (x 2) (x 3)
2x+ 1 = A(x 3) + B(x 2)x := 2 : 5 = A = A = 5x := 3 : 7 = B = B = 7
7. Feladat:
1
x3 + 2x2dx =?
Megolds.1
x2 (x+ 2)=
A
x2+B
x+
C
x+ 2
x2 (x+ 2)1 = A(x+ 2) + Bx(x+ 2) + Cx2
Most egytthat sszehasonltssal dolgozunk:1 = (B + C)x2 + (A+ 2B)x + 2A
Innen a kvetkez lineris egyenletrendszer addik:2A = 1A+ 2B = 0B + C = 0
Melynek megoldsa: A =1
2, B = 1
4, C =
1
4
I =
(1
2
1
x2 1
4
1
x+
1
4
1
x+ 2
)dx =
1
2
x1
1 1
4ln |x| + 1
4ln |x+ 2| + C
8. Feladat:
x+ 1
(x 1)2 (x 3) dx =?
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
5.3. RACIONLIS TRTFGGVNYEK INTEGRLSA 91
Megolds.x+ 1
(x 1)2 (x 3) =A
(x 1)2 +B
x 1 +C
x 3 = . . . =1
(x 1)2 +1x 1 +
1
x 3
I = (x 1)1
1 ln |x 1| + ln |x 3| + C
9. Feladat:
a)
x3
x4 16 dx =? b)x5 15xx4 16 dx =?
Megolds.
a)f
falak:
1
4
4x3
x4 16 dx =1
4ln |x4 16| + C
b) ltrt, t kell alaktani:x5 15xx4 16 = x +
x
x4 16x
x4 16 =A
x 2 +B
x+ 2+Cx+D
x2 + 4= . . . =
1/16
x 2 +1/16
x+ 2+1/8 xx2 + 4 (
x +1
16
1
x 2 +1
16
1
x+ 2 1
8
1
2
2x
x2 + 4
)dx =
=x2
2+
1
16ln |x 2| + 1
16ln |x+ 2| 1
16ln (x2 + 4) + C
10. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:
a)
x2
x2 9 dx =?
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
92 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA
b) )
1
(x 1)2 dx =? )
1
x2 1 dx =?
c) )
x2
x3 1 dx =? )
1
x3 1 dx =?
d)x5 + 2x4 + x3 + 3x2 2x+ 2
x3 + 2x2dx =?
5.4. Hatrozott integrlElmAppAppApp
A feladatok megoldshoz a NewtonLeibniz ttelt hasznljuk.
11. Feladat:
pi0
cos2 x dx =?
Megolds.
I =
pi0
cos2 x 1 + cos 2x
2
dx =1
2
(x +
sin 2x
2
)pi0
=1
2(pi + 0 (0 + 0)) = 1
2pi
cos 2x integrlja a megadott intervallumra 0 -nak addott, ami nem meglep, mivel afggvny pi szerint periodikus s egy teljes periodusra integrltunk.
12. Feladat:
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
5.4. HATROZOTT INTEGRL 93
pi/20
cos5 x sin2 x dx =?
Megolds.
I =
pi/20
cosx (cos2 x)2 (1sin2 x)2
sin2 x dx =
=
pi/20
(cosx sin2 x 2 cosx sin4 x + cosx sin6 x) dx =
=sin3 x
3 2 sin
5 x
5+
sin7 x
7
pi/20
=1
3 2
5+
1
7
13. Feladat:
20
e|2x1| dx =?
Megolds.
I =
1/20
e12x dx +
21/2
e2x1 dx =
= 12e12x
1/20
+1
2e2x1
21/2
= 12(1 e) + 1
2(e3 1)
14. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:
a)pi
pi/2
cos3 x dx =?
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
94 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA
b)2
1
|x2 3x| dx =?
c)4
0
x2 4x+ 4 dx =?
d)3
0
sign (x2 4) dx =?
e)1
0
(x+ 5) e3x dx =?
5.5. TerletszmtsElmApp Az f(x) s g(x) "kz" es terlet, ha x [a, b] :
T =
ba
|f(x) g(x)| dx
15. Feladat:
Szmtsa ki az f(x) = x2 + 2x s az g(x) = 4 x2 grbjekztti terletet!
Megolds.
Rajzoljuk fel az f(x) = x(x+ 2) , g(x) = (2 x)(2 + x) grbket.Az 5.1 brbl lthat, hogy :
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
5.5. TERLETSZMTS 95
5.1. bra. Az f s g fggvny kzti terlet.
f(x)g(x)
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-3 -2 -1 0 1 2
T =
12
(4 x2 (x2 + 2x)) dx = 1
2
(2x2 2x + 4) dx = 23x3 x2 + 4x
12
=
. . . = 9
16. Feladat:
Mekkora az y = lnx grbje, valamint az y = 0 , x =1
e, x = e egyenesek
kz es skrsz terlete!
Megolds.
Tekintsk az 5.2 brt!
T = 1
1/e
lnx dx +
e1
lnx dx = . . .
Parcilisan kell integrlni...
17. Feladat:
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
96 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA
5.2. bra. A vizsglt terlet. Integrlskor az x tengely al es terletet negatv eljellelkapjuk meg.
1/ee
ln(x)
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
+-
Mekkora az f(x) = x2 4x+ 3 grbje, valamint az y = 0 , x = 0 , x = 5egyenesek kz es skrsz terlete!
Megolds. . . .
5.6. IntegrlfggvnyElmApp
18. Feladat:
f(x) = sg(x2 5x+ 4)
a) brzolja a fggvnyt!
b) rja fel az
F (x) =
x0
f(t) dt
n. integrlfggvnyt, ha x [0, 3] !
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
5.6. INTEGRLFGGVNY 97
Megolds.
a) Az f(x) = sg ((x 1)(x 4)) fggvny grafikonja az 5.3.a) brn lthat.
5.3. bra. Az f s az F fggvny grafikonja.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1 0 1 2 3 4 5
a)
f(x)x2-5x+4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1 0 1 2 3 4 5
b)
F(x)
b) Az integrlfggvny meghatrozshoz az integrlsi tartomnyt kt rszre bontjuk:
x [0 , 1] : F (x) =x
0
1 dt = x
x (1 , 3] : F (x) =1
0
1 dt +
x1
1 dt = 1 t|x1 = 2 x
Teht:
F (x) =
x , ha 0 x 12 x , ha 1 < x 3
Az F (x) integrlfggvny az 5.3.b) brn lthat.
19. Feladat:
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
98 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA
f(t) =
{2t , ha t [0, 1]2 , ha t > 1
Hatrozza meg az
F (x) =
x0
f(t) dt (x > 0)
integrlt! Hol derivlhat az F fggvny s mi a derivltja?
Megolds.
Az f fggvny grafikonja az 5.4.a) brn lthat.
5.4. bra. Az f s az F fggvny grafikonja.
-1
0
1
2
3
4
5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
a)
f(x)
-1
0
1
2
3
4
5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
b)
F(x)x22x-1
x [0 , 1] : F (x) =x
0
2t dt = t2x0= x2
x > 1 : F (x) =
10
2t dt +
x1
2 dt = 1 + 2t|x1 = 1 + (2x 2)
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
5.6. INTEGRLFGGVNY 99
Teht:
F (x) =
x2 , ha 0 x 1
2x 1 , ha 1 < xAz F intgrlfggvny grafikonjt az 5.4.b) bra mutatja.
Az integrandusz ( f ) folytonossga miatt F derivlhat ( integrlszmts II. alaptte-le) s
F (x) = f(x) =
{2x , ha x [0, 1]2 , ha x > 1
20. Feladat:
G(x) =
4x0
1 + t8 dt , (x > 0) ; G (x) = ?
Megolds.
1. megolds: megfelel helyettestssel integrlfggvnyt kapunk.t := 4u = dt = 4 dut = 0 : u = 0 ; t = 4x : u = x
Elvgezve a helyettestst:
G(x) =
x0
1 + (4u)8 4 dt
Az integrandusz folytonossga miatt G derivlhat ( integrlszmts II. alapttele) s
G(x) =1 + (4x)8 4
2. megolds:
F (x) :=
x0
1 + t8 dt = F (x) =
1 + x8 (az integrandusz folytonos)
Mivel G(x) = F (4x) , felhasznlhatjuk az sszetett fggvny derivlsi szablyt:
G(x) = F (4x) 4 = 1 + (4x)8 4
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
100 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA
21. Feladat:
F (x) =
x0
11 + t4
dt , G(x) =
x30
11 + t4
dt , H(x) =
x3x
11 + t4
dt , (x 6= 0)
Hatrozza meg a derivltfggvnyeket!
Megolds.
f(t) =1
1 + t4folytonossga miatt az F integrlfggvny derivlhat
( integrlszmts II. alapttele) s
F (x) =1
1 + x4
G(x) = F (x3) derivlhat fggvnyek sszettele
= G(x) = F (x3) 3x2 = 11 + x12
3x2
H(x) = F (x3)F (x) = H (x) = F (x3)3x2F (x) = 11 + x12
3x2 11 + x4
22. Feladat:
limx 0
x0
ln (1 + t) dt
x2=?
5.7. Integrls helyettestsselElmApp 23. Feladat:
x2 4 dx =? x
2= ch t helyettestssel dolgozzon!
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
5.7. INTEGRLS HELYETTESTSSEL 101
Megolds.
X := 2
(x2
)2 1 dx :
Helyettestssel:x
2= ch t = x = 2 ch t = dx = 2 sh t dt
(t = arch
x
2
)2
2
ch t 12 sh t dt = 4
2
sh t dt = 4
ch 2t 1
2dt = 2
(ch 2t 1) dt =
= 2
(sh 2t
2 t)
+ C = 2(sh t ch t t) + C = 2(ch2 t 1 ch t t) + C
X = 2
((x2
)2 1 x
2 arch x
2
)+ C = x
(x2
)2 1 2 arch x
2+ C
24. Feladat:
a)
e2x
e2x + 1dx =? b)
e6x
e2x + 1dx =?
Szksg esetn alkalmazza az ex = t helyettestst!
Megolds.
a) Itt nem kell helyettests. f /f alak :1
2
2 e2x
e2x + 1dx =
1
2ln(e2x + 1
)+ C
b) Helyettestssel:
ex = t = dx = 1tdt
X :
t6
t2 + 1
1
tdt =
t5
t2 + 1dt =
(t3 t+ t
t2 + 1
)dt =
=t4
4 t
2
2+
1
2ln (t2 + 1) + C
X =e4x
4 e
2x
2+
1
2ln (e2x + 1) + C
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
102 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA
25. Feladat:
9x
2 3x+ 1 dx =? t =2 3x helyettestssel dolgozzon!
Megolds.
x =2
3 1
3t2 = dx = 2
3t dt
X :
3 (2 t2)t+ 1
(23t
)dt = 2
t3 2tt+ 1
dt = 2
(t2 t 1 + 1
t+ 1
)dt =
= 2
(t3
3 t
2
2 t+ ln |t+ 1|
)+ C
X = 2
(1
3
(2 3x)3 1
2(2 3x) 2 3x + ln (2 3x+ 1)
)+ C
26. Feladat:
3x2 + 1
3x2 + x
dx =? t = 3x helyettestssel dolgozzon!
Megolds.
t = 3x = x = t3 = dx = 3t2 dt
X :
t2 + 1
t2 + t33t2 dt = 3
t2 + 1
t+ 1dt = 3
(t 1 + 2
t+ 1
)dt =
= 3
(t2
2 t+ 2 ln |t+ 1|
)+ C
X = 3
(1
23x2 3x+ 2 ln | 3x+ 1|
)+ C
27. Feladat:
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
5.8. IMPROPRIUS INTEGRL 103
a)
1
3(5x 1)2 dx =? b)
2x
3(5x 1)2 dx =?
Szksg esetn alkalmazza a t =5x 1 helyettestst!
Megolds. . . .
28. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:
a)
e2x + 5ex
e2x + 4ex + 3dx =? ex = t
b) 20
ex 1ex + 1
dx =? ex = t
c) 11
x5 4x dx =? t =
5 4x
5.8. Improprius integrlElmApp
29. Feladat:
1
4
x2 + 2x+ 5dx =?
Megolds.
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
104 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA
1
4
x2 + 2x+ 5dx = lim
1
4
4 + (x+ 1)2dx =
4
4lim
1
1
1 +
(x+ 1
2
)2 dx =
= lim
arctgx+ 1
21
2
1
= 2 lim
(arctg
+ 1
2 arctg 0
)= 2 pi
2= pi
30. Feladat:
4
1
x2 + 2x 3 dx =?
Megolds.
4
1
x2 + 2x 3 dx = lim4
1
x2 + 2x 3 dx = . . . =
= lim
1
4
4
(1
x 1 1
x+ 3
)dx = lim
1
4(ln |x 1| ln |x+ 3|)
4
=
=1
4lim
(ln 5 ln 1 (ln | 1| ln | + 3|)) =
=1
4lim
(ln 5 + ln
+ 3 1) = 14 (ln 5 + ln 1) = 14 ln 5
31. Feladat:
arctg2 2x
1 + 4 x2dx =?
Megolds.
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
5.8. IMPROPRIUS INTEGRL 105
arctg2 2x
1 + 4 x2dx = lim
1 , 2
21
arctg2 2x
1 + 4 x2dx =
=1
2lim
1 , 2
21
21
1 + 4 x22
arctg 2x f f2 alak
dx =
=1
2lim
1 , 2arctg3 2x
3
21
=1
6lim
1 , 2(
3arctg 22
3arctg 21) =
=1
6
((pi2
)3(pi2
)3)=
pi3
24
32. Feladat:
02
64 + 2x
dx =?
Megolds.0
2
64 + 2x
dx = lim 0+0
6 12
02+
2 (4 + 2x)1/2 f f1/2 alak
dx =
= 3 lim 0+0
(4 + 2x)1/2
1
2
0
2+
= 6 lim 0+0
(2 2 ) = 12
33. Feladat:
1/e0
ln2 x
xdx =?
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
106 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA
Megolds.
lim 0+0
1/e
1
xln2 x
f f2 alak
dx = lim 0+0
ln3 x
3
1/e
=1
3lim
0+0
(ln3(1
e
) ln3
)=
Az improprius integrl divergens.
34. Feladat:
20
14x x2 dx =?
Megolds.
20
14x x2 dx = lim 0+0
1
2
2
11
(x 22
)2 dx = 12 lim 0+0 arcsinx 22
1
2
2
=
= lim 0+0
(arcsin 0 arcsin 2
2
)= arcsin (1) = pi
2
35. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:
a)1
x
9 + 4x2dx =?
b)
5
4 + 7x2dx =?
c)0
25
x3 5x2 dx =?
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
5.9. INTEGRLKRITRIUM 107
d)0
4x e2x2
dx =?
e)0
(2x+ 3) e3x dx =?
f)128
x+ 1x 8 dx =? t =
x 8
g)0
ex dx =?
x = t
5.9. IntegrlkritriumElmApp
36. Feladat:
Vizsglja meg konvergencia szempontjbl az albbi sorokat!
a)n=2
2
3n lnn3b)n=2
2
3n (lnn+ 7)3
Konvergencia esetn adjon becslst az s s100 kzelts hibjra!
a) f(x) :=2
3x lnx3=
2
9
1
x lnx, x 2
f pozitv rtk monoton cskken fggvny a [2,) intervallumons f(n) = an > 0 = alkalmazhat az integrlkritrium.2
2
9
1
x lnxdx =
2
9lim
2
1
xlnx
f /f alak
dx =2
9lim
ln lnx|2 =
c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu
108 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA
=2
9lim
(ln ln ln ln 2) =
Az improprius integrl divergens int. kr.= an=2
2
3n lnn3sor is divergens.
b) f(x) :=2
3x (lnx+ 7)3=
2
3
1
x (ln x+ 7)3, x 2
f pozitv rtk monoton cskken fggvny a [2,) intervallumonf(n) = an > 0 = most is alkalmazhat az integrlkritrium.
2
2
3
1
x (ln x+ 7)3dx =
2
3lim
2
1
x(lnx+ 7)3 f f3 alak
dx =
2
3lim
(lnx+ 7)2
22
= 13
lim
(1
(ln + 7)2 1
(ln 2 + 7)2
)=
1
3 (ln 2 + 7)2
Az improprius integrl konvergens int. kr.= an=2
2
3n (lnn+ 7)3sor is konvergens.
Hibaszmts az s s1000 kzeltsre:
0 < H = s s1000
1000
2
3
1
x(lnx+ 7)3 dx =
2
3lim
(lnx+ 7)2
21000
=
= 13
lim
(1
(ln + 7)2 1
(ln 1000 + 7)2
)=
1
3 (ln 1000 + 7)2
tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi
TartalomjegyzkSorozatokSpecilis (vgtelenhez tart) sorozatokNagysgrendek sszehasonltsa Sorozatok hatrrtkeKt nevezetes hatrrtk Rekurzve megadott sorozatok,,Exponencilis'' hatrrtkkel kapcsolatos feladatokLimesz szuperior, limesz inferiorEgy alkalmazs: a kr terlete
SorokNumerikus sorokAlternl sorok, Leibniz sorokMajorns kritrium, minorns kritriumAbszolt konvergencia, feltteles konvergenciaHibaszmts pozitv tag sorokra
Egyvltozs vals fggvnyek hatrrtke, folytonossgaFggvny hatrrtkeSzakadsok tpusaisin(x)/x hatrrtkkel kapcsolatos pldk
Egyvltozs vals fggvnyek derivlsaDifferencils a defincivalA derivlsi szablyok gyakorlsaA derivlsi szablyok + definci gyakorlsaElemi fggvnyekL'Hospital szablyFggvnyvizsglatAbszolt szlsrtkImplicit megads fggvnyek derivlsaParamteres megads grbk
Egyvltozs vals fggvnyek integrlsaHatrozatlan integrlParcilis integrlsRacionlis trtfggvnyek integrlsaHatrozott integrlTerletszmtsIntegrlfggvnyIntegrls helyettestsselImproprius integrlIntegrlkritrium