magnetyzm cd.
ver-10.01.12
F
dx
⊗B
praca przemieszczenia obwodu w polu B
praca wykonana jest kosztem źródła prądu!
F= ΙlB
B⊥j
dW=Fdx= Ι lBdx= Ι BdS
ΦB=∫ B⋅d S=∫ BdS
dΦ B=BdS
dW= ΙdΦ B
= Ι B⋅d S
W= Ι∫dΦB= Ι Φ2−Φ1
W=q ϕ2−ϕ1
(siła Ampere’a)
strumień
dla obwodu:
dywergencja pola magnetycznego
(monopol magnetyczny Diraca?)
ΦB=∮S
B⋅d S=0
∇⋅B=0 div B≡0
nie istnieją ładunki magnetyczne!
pole bezźródłowe:
∫V
∇⋅BdV=0Gauss:
rotacja pola magnetycznego
rdα – rzut dl na B
∮Γ
B⋅d l=∮Γ
μ0
4π2Ιr
rd α
∮Γ
B⋅d l=μ0 Ι
2π ∮Γdα=μ0 Ι ∮
Γ
dα=2π
∮Γ
B⋅d l=μ0∫S
j⋅d S
∇×B=μ0j rot B=μ0
j
pole wirowe
ale Stokes:
B
dlr
jdα
Γ
⊗
∫S
∇×B ⋅d S=μ0∫S
j⋅d S
podsumowanie własności pól wektorowych
pole bezwirowe, istnieje potencjał skalarny:
∇⋅E=
0
∇×E≡0}E=−∇ ϕ
B= ∇×A
coraz bliżej do równań Maxwella!
pole bezźródłowe, istnieje potencjał wektorowy:
∇⋅B≡0∇×B=0
j }
cewka indukcyjna (selenoid)
a
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
ʘʘʘʘʘʘʘʘʘʘʘ
B1
B2
⊗⊗⊗
pole jednorodne (prawie)
∮ B⋅d l=B1−B2 a=0 ⇒ B1=B2
selenoid
R ϑ1ϑ2 x
n - gęstość zwojów
dB=−μ0
2nI
R sin ϑ
r2 dx
x=Rctg ϑ
dx=−R1
sin2ϑdϑ
r=R / sinϑ
B=−μ0
2nI∫
ϑ 1
ϑ2
−sin ϑ dϑ=μ0
2nΙ cos ϑ1−cos ϑ2
na zewnątrz: B = 0ϑ10o
ϑ2180o } B=μon Ι
toroid (pierścień Rowlanda)
[µ0] = Tm/A
∮ B⋅d l=2π rB=μ0 2π RnI
B=μ0nΙRr≈μ0nΙ
Rr ≈1
SI
pole magnetyczne w materii
↑ ↑ pole wewnętrzne (uśrednione)
B=B0B '
pole zewnętrzne
teoria Ampère’a magnetyzmu:prądy elementarne
J =def 1
ΔV∑ pm
P=def 1
ΔV∑ΔV
p
∇⋅B=∇⋅B0∇⋅B'
=0
namagnesowanie:
natężenie pola magnetycznego
↑ prądy elementarne
∇×B=∇×B0∇×B '
=μ0 jj '
można wykazać, że: j '= ∇×J ρ'=−∇⋅P
∇×B=μ0jμ0
∇×J
∇× Bμ0
−J =j
H =def B
μ0
−J ∇× H=j- natężenie pola magnetycznego
D=def
ε0EP ∇⋅D= ρ
cd.
np.: dla prądu prostego:
∮Γ
H⋅d l=∫S
j⋅d S=∑k
Ι k
J=0, H=Bμ0
H=14π
2Ib
[H] = [J] = A/m
Stokes:
w próżni:
SI
cd.
- przenikalność magnetyczna, może być > 1 lub < 1
J= χ H P=κε0 E
H=Bμ0
− χ H H=B
μ0 1 χ
μ =def
1 χ
H=B
μ0 μD=ε0 ε E
namagnesowanie wiąże się z natężeniem pola
↑ podatność magnetyczna
ośrodek izotropowy
stała bezwymiarowa
(ferro: zależy od H)
χ (podatność) może być dodatnia lub ujemna
warunki brzegowe
w magnetyku o większym µ linie zagęszczają się
∇⋅B=0∇× H=j
B1,n=B2,n
μ2 B1, t=μ1 B2, t
μ1 H 1,n=μ2 H 2,n
H 1, t=H 2, t
magnetyki
χ<0 diamagnetyki µ<1 B<B0 J↑↓H
χ>0 paramagnetyki µ>1 B>B0 J↑↑H
χ>>0 ferromagnetyki µ>>1 B>>B0 χ=χ(H)
diamagnetyki: brak własnego momentu magnetycznego, precesja Larmora ωL = eB/2m, indukuje przeciwne pole
magnetyczne, (Bi, Zn, Pb, Ag, Au, Hg)
paramagnetyki: własny moment magnetyczny ustawiający się zgodnie z zewnętrznym polem, χ~1/T, (Mn, Sn, Al, Pt)
ferromagnetyki
histereza
ferromagnetyki: spontaniczne namagnesowanie domen (10µm), niejednoznaczna funkcja B = µ0(H+J), (Fe, Ni, Co),
punkt Curie (np.: TC = 768oC)
B
H
Br
Hk
Br - pozostałość
magnetyczna
Hk - koercja
domeny
B
magnetyzm ziemski
magnetyzm ziemski
indukcja elektromagnetyczna
indukcja elektromagneczna
1831 (Michael Faraday 1791-1867)
zmiana strumienia B powoduje indukowanie prądu w obwodzie
reguła Lenza (przekory): kierunek prądu indukowanego powoduje przeciwdziałanie zmianom.
http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/faraday/
http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/faraday2/
prawo Faradaya
B vdt
dS
⊗1
2
l v
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
B=const
F=q v×B
ε i=∮ v×B ⋅d l=∫1
2
v×B ⋅d l=v×B ⋅l
=ddt
l×v ⋅B dt=−d Sdt
⋅B=−dΦB
dt ε i=−dΦB
dt
v
↑ ↑ ↑ praca w polu B ↑ ↑ praca na pokonanie oporu (ciepło) ↑ praca wykonana przez ogniwo
ε Ι dt= Ι 2 Rdt Ι dΦ
Ι=ε dt−dΦ
Rdt=
ε−dΦdt
R=εε i
RHelmholtz
B
dl
SEM w poruszającym się przewodzie
powstaje ∆ϕ
równowaga gdy
obwód otwarty
F=evB
E=Δϕl
eE=evB
Δϕl=v B Δϕ=− ε
εi=−Blv=−Bl
dsdt=−
dΦdt
szybkość przecinania linii B przez obwód
v
FB
dl
cd
pole wirowe!
∮Γ
E⋅d lε i
=−ddt∫S
B⋅d S=−∫S
∂ B∂ t
⋅d S
∇×E=−∂ B∂ t
↑ przy stałej geometrii
prądnica
Φ=BS cosα
ε i=−dΦdt
=BS sin αdαdt
=BS ωsin α
B
ε i={εmax=BS α=π /2
0 α=0
x
prąd zmienny
α=ω t
ε=ε0sinωt
tT
εmax
ε
B
α
x
t
t
t
ε
B
samoindukcja
prąd w obwodzie ↓strumień indukcji ΦB
↓I(t) → ΦB (t) → SEM
↓indukcyjność obwodu [L] = Tm2/A = Wb/A = H henr
ΦB=L Ι
(Joseph Henry 1797-1878)
SI
ΦB=∫ B⋅d S
B=μ0
4πΙ∫
Γ
μd l×r
r 3
ΦB=∫S
μ0
4πΙ ∫ μ
r3d l×r d S
= Ιμ0
4π∫d S∫ μr3
d l×r
L
x
(Emilij Ch. Lenc 1804-1865, Heinrich Friedrich Lenz), est, rus
geometria
ε i=−dΦdt
=−ddt
L Ι =−LdΙdt
− ΙdLdt
=0
ε i=−LdΙdt
=gen−L Ι
dLdt dΙdt
magnetyczne własności ośrodka
L
= const jeśli sztywny obwód i bez ferromagnetyków
‘–‘ reguła przekory Lenza
Эмилий Христианович Ленц
zamykanie i otwieranie obwodu
γγγγγγγγγγγγ
R
L Ι 0=εR
Rw << R
Ι t R=εi
Ι t R=−LdΙdt
dΙΙ=−
RLdt
ln Ι=−RLtconst
Ι= Ι 0e−
RLt= Ι 0 e
−tτ
τ=L /R
otwieranie:
stała czasowa obwodu
cd.
I0
I
t
zamykanie:
Ι t R=εε i=ε−LdΙdt
dΙdt
RLΙ=
εL
Ι= Ι 0const e−
RLt
Ι= Ι 01−e
−RLt
energia pola magnetycznego
γγγγγγγγγγγγ
R
L
NB: energia pola selenoidu –
dW=ε Ι dt=−dΦdt
Ι dt=−ΙdΦ
L Ι =const
dΦ=Ld Ι
dW=−LΙdΙ
W=−∫I
0
LΙdΙ=LΙ 2
2
Em=LΙ 2
2
ale dla selenoidu: L=μ0n2V B=μ0n I
Em=B2
2 μ0
Vczyli: a gęstość energii: wm=B2
2 μ0
jednostki w magnetyzmie
F=qvB
T=N
Cms
=kg
As2
B – wektor indukcji magnetycznej
tesla
ΦB – strumień indukcji magnetycznej
ΦΒ=B⋅S
weber Wb=T ⋅m2
ΦΒ=L⋅Ι
H=WbA
=T⋅m2
A
L – indukcyjność
henr
SI
jednostki w magnetyzmie
H – wektor natężenia pola magnetycznego
J=ISV
Am
H=14π
2Ιb
AmJ – wektor namagnesowania
stałe w magnetyzmie
μ0=4π⋅10−7 Hm
ε0 μ0=1
c2
J= χ HB=μ H
stała magnetyczna:
stałe materiałowe:
µ – podatność magnetyczna (bezwym.)χ – przenikalność magnetyczna (bezwym.)
koniec