PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE GOIS
ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: ENG2033 TEORIA DAS ESTRUTURAS II
Prof. Luiz lvaro de Oliveira Jnior
AULA 4B COEFICIENTES DE RIGIDEZ
Sistemas local e global de coordenadas
Como vimos anteriormente, as estruturas reticuladas planas so formadas por elementos de
eixo reto que podem ser elementos de barra, quando possuem apenas dois graus de liberdade
translacionais em cada extremidade, elementos de prtico, quando possuem dois graus de
liberdade translacionais e um rotacional em cada extremidade ou elementos de grelha,
quando possuem um grau de liberdade translacional e dois rotacionais.
Independentemente do tipo, cada elemento possui um sistema local de coordenadas, que no
necessariamente paralelo com o sistema global de coordenadas. Por exemplo, para um
elemento genrico de prtico plano, a Figura 1 apresenta os sistemas local e global de
coordenadas.
Figura 1 Sistemas de coordenadas local e global de um elemento genrico de eixo reto.
Alinhados com o sistema local de coordenadas, esto as deslocabilidades de cada elemento
genrico. No caso do elemento de prtico plano, essas deslocabilidades so duas translaes
(direes x e y) e uma rotao em z em cada n.
Funes de forma para configuraes deformadas elementares
As configuraes deformadas elementares de uma barra isolada correspondem s elsticas
que resultam da imposio individual de deslocamentos ou rotaes nas extremidades da
barra. Esses deslocamentos so impostos em direes paralelas aos eixos locais das barras, de
modo que o eixo x possui a direo longitudinal e eixo y possui a direo transversal, como
mostra a Figura 2.
Figura 2 Elemento de prtico e suas deslocabilidades.
A Figura 2 apresenta os deslocamentos e rotaes nas extremidades (ns) de um elemento de
prtico plano. Esses deslocamentos e rotaes so as deslocabilidades nodais e esto
mostrados na Figura 2 com seus sentidos positivos (translaes positivas nos sentidos
apontados pelos eixos locais e rotao positiva no sentido anti-horrio).
Uma elstica elementar da barra de prtico definida no sistema local pelo deslocamento
axial e pelo deslocamento transversal . Da Hiptese de Pequenos Deslocamentos,
podemos admitir que os deslocamentos axial e transversal so independentes, o que significa
que o deslocamento axial s depende das deslocabilidades e , e que o deslocamento
transversal s depende das deslocabilidades , , e . A partir de agora, chamaremos
esses dois deslocamentos de campos de deslocamentos, por se tratarem de funes.
Admitindo que no exista carregamento axial no interior da barra, podemos concluir que o
deslocamento constante. Assim, empregando a equao (1) encontramos uma funo
polinomial do primeiro grau para o deslocamento , dada pela equao (2).
(1)
(2)
Por outro lado, empregando a equao de Navier (equao (3)), obtemos uma funo
polinomial de ordem 3 para o campo de deslocamentos , se considerarmos que no h
carregamento transversal atuando na barra de prtico. Essa funo dada
(3)
(4)
A elstica descrita por esses dois campos de deslocamento pode ser escrita de uma forma
alternativa, como mostra a equao (5).
(5)
(6)
As funes so chamadas de funes de forma e definem a elstica elementar do elemento
isolado.
As equaes (2) e (5) so equivalentes. A diferena que os parmetros que definem a
elstica na equao (2) so meros coeficientes de um polinmio, enquanto na equao (5) so
parmetros que possuem significado fsico: representam as deslocabilidades axiais do
elemento. De forma anloga, o mesmo pode ser dito sobre as equaes (4) e (6).
Como vemos pelas equaes (5) e (6), cada deslocabilidade possui uma funo de forma
associada. No caso das deslocabilidades axiais, as funes de forma podem ser obtidas
diretamente da equao (2) impondo condies de contorno adequadas para obter os
coeficientes do polinmio ( e para obter e e para
obter ).
a) Clculo de :
b) Clculo de :
Para os deslocamentos transversais podemos empregar procedimento anlogo. Vamos
utilizar a equao (4) e impor as condies de contorno adequadas para obter seus
coeficientes. Assim:
a) Clculo de :
b) Clculo de :
c) Clculo de :
d) Clculo de :
Coeficientes de rigidez de barra no articuladas
Uma vez conhecidas as funes de forma, podemos empregar o princpio dos deslocamentos
virtuais (PDV) para obter os coeficientes de rigidez de barra de um elemento de prtico plano.
Esses coeficientes representam as foras e momentos que devem atuar nas extremidades da
barra isolada, paralelamente aos seus eixos locais, para equilibr-la quando um deslocamento
(ou rotao) imposto isoladamente em uma das suas extremidades. As funes de forma
obtidas definem elsticas correspondentes a essas foras e momentos para um elemento de
prtico plano.
Cada coeficiente de rigidez no sistema local representado pela notao , em que i indica
que o coeficiente a fora (ou o momento) que deve atuar em uma extremidade da barra na
direo da deslocabilidade para equilibr-la quando uma deslocabilidade imposta.
A Figura 3 apresenta a configurao deformada de uma barra isolada de prtico plano e o
conjunto de foras e momentos que atuam nas extremidades da barra paralelamente aos seus
eixos locais, para equilibr-la nessa configurao.
Figura 3 Configurao deformada e sistema de foras e momentos em um elemento de barra.
A superposio de todas as configuraes deformadas elementares resulta em uma relao
entre cada fora nodal generalizada, que representa a fora (ou momento) que atua na direo
de uma determinada deslocabilidade para equilibrar a barra isolada, e as deslocabilidades da
barra. Por exemplo, a fora f1 obtida somando as foras axiais na extremidade esquerda da
barra, resultando em: . Todas as outras foras generalizadas podem ser
encontradas de maneira anloga. Assim, temos o sistema de foras dado pela equao (17),
que na forma matricial dado pela equao (18).
(17)
(18)
O sistema na forma matricial composto, como se pode ver, por dois vetores e uma matriz
que nos dizem que o vetor de foras atuante em uma barra igual ao produto de uma matriz
pelo vetor de deslocamentos, sendo essa matriz denominada de matriz de rigidez.
Para determinar o valor de cada termo dessa matriz, vamos utilizar o PDV. Por este princpio,
temos:
(19)
Assim, os termos , , e , so dados por:
Para os outros coeficientes, temos pelo PDV a equao (21):
(20)
Assim, o termo da matriz de rigidez dado por:
Aps empregar a equao (20) para encontrar os outros termos, dados abaixo, chegamos
forma final da matriz de rigidez de um elemento de prtico plano no sistema local de
coordenadas.
Como podemos observar, a matriz de rigidez simtrica. Isso decorre da validade do Teorema
da Reciprocidade de Maxwell que nos diz que: o deslocamento provocado em i por uma fora
aplicada em j igual ao deslocamento em j provocado por uma fora aplicada em i, isto ,
.
Coeficientes de rigidez de barra articuladas
Em muitos casos, as estruturas reticuladas apresentam barras articuladas em uma
extremidade ou em ambas. No modelo estrutural, a articulao representada por uma rtula
que libera a continuidade de rotao nessa extremidade com as outras barras adjacentes ou
com os apoios. A obteno dos coeficientes de rigidez de barras desse tipo pode ser feita da
mesma forma empregada para as barras no articuladas, isto , determinar funes de forma
e usar o PDV para encontrar os coeficientes de rigidez. No entanto, podemos obter o mesmo
resultado de maneira simplificada.
Por exemplo, seja a barra da Figura 4, que possui uma articulao no n A. Vamos substituir
essa barra por outra sem articulaes e utiliz-la para estudar duas situaes distintas: a)
rotao unitria no n B e b) momento MA no n A, as quais sero superpostas depois.
Na situao (a) aplicamos sobre o n B uma rotao unitria. Pelo que vimos na deduo dos
coeficientes de rigidez de uma barra de prtico plano, surgir nesse n um momento cujo
valor 4EI/L no sentido anti-horrio e uma reao para baixo igual a 6EI/L2. Fazendo o
equilbrio de momentos no n A, encontramos nesse n um momento igual a 2EI/L. Pelo
equilbrio de foras verticais, a reao no n A igual do n B, mas com sentido contrrio.
Na situao (b) aplicamos o momento MA no n A com o sentido contrrio de modo que este
momento anule o momento que havia no n A da barra estudada na situao (a). Vimos que
quando o n sofre uma rotao unitria, surge um momento igual a 4EI/L no n. Entretanto,
estamos agora aplicando metade desse momento, de modo que se a barra for constituda de
material elstico-linear, os esforos que vo surgir so iguais metade dos esforos que
surgiram na situao (a), mas com sentidos opostos.
Figura 4 Barra articulada.
Assim, somando os efeitos obtidos nas situaes (a) e (b), encontramos os coeficientes de
rigidez indicados na Figura 5, e verificamos a condio de momento fletor nulo na rtula. De
modo anlogo, os coeficientes de rigidez que surgem nos ns de uma barra de prtico quando
a rtula est no n da direita so iguais.
Figura 5 Coeficientes de rigidez de uma barra articulada na extremidade.
Procedimentos anlogos podem ser feitos para determinar os outros coeficientes de rigidez
da barra com articulao na esquerda. Os resultados disso esto mostrados na Figura 6.
Figura 6 Coeficientes de rigidez para uma barra com articulao na extremidade esquerda
(MARTHA, 2010).
Calculando agora para uma barra com articulao no n direito, obtemos os coeficientes de
rigidez indicados na Figura 7.
Figura 7 Coeficientes de rigidez para uma barra articulada na extremidade direito
(MARTHA, 2010).
No mtodo dos deslocamentos comum lidarmos com barras definidas por ns
completamente engastados (barras internas do sistema hipergeomtrico) ou barras
engastadas-rotuladas (barras do sistema hipergeomtrico ligadas aos apoios reais). Nesses
casos, precisamos ter em mente que nos engastes das barras duplamente engastadas, a rigidez
vale 4EI/L, sendo o coeficiente de transmisso igual a 0,5, isto , no n que sofre o giro
causado pela deslocabilidade rotacional, a rigidez vale 4EI/L enquanto no n oposto da
mesma barra a rigidez vale 2EI/L. De maneira anloga, uma barra engastada-rotulada possui
rigidez rotacional igual a 3EI/L no n engastado. Por outro lado, se a barra sofrer um recalque
em um dos apoios, a rigidez que surge no outro apoio igual a 6EI/L2 se a barra for
duplamente engastada, ou 3EI/L se a barra for engastada-rotulada.
Tabela 1 Coeficientes de rigidez para elementos de prtico engastados e engastados-
rotulados (Sssekind, 1973).
Esforos de engastamento perfeito
Alm dos coeficientes de rigidez, precisamos tambm dos esforos de engastamento perfeito
para aplicar o mtodo dos deslocamentos na anlise de estruturas reticuladas. Esses esforos
so aqueles obtidos em barras biengastadas ou em barras engastadas-apoiadas para
diferentes tipos de carregamento externo. Uma tabela com os momentos de engastamento
perfeito pode ser encontrada em Pinheiro et al. (2010).
Bibliografia
Martha, L. F., Mtodos bsicos de anlise estrutural. Rio de Janeiro, Elsevier, 2010.
Sssekind, J. C. Curso de Anlise Estrutural, V. 3, Rio de Janeiro, Ed. Globo, 1973.
La Rovere, H. L. e Moraes, P. D., Notas de Aula da Disciplina: ECV5220 Anlise Estrutural.
Santa Catarina, 2005.
Pinheiro, L. M. et al. Tabelas de Vigas: Deslocamentos e Momentos de Engastamento Perfeito,
Escola de Engenharia de So Carlos (EESC-USP), 2010, 10 p.