OBGETIVO GENERAL :
REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO
POLITCNICOSANTIAGO MARIOEXTENSIN-MATURN
MANUAL TERICO-PRCTICO DE CENTROIDE, CENTRO DE MASA Y CENTRO DE
GRAVEDAD
Trabajo de Nivelacin de ndice
Autor: Sara SanguinoTutor: Ing. Lorenzo Mantilla
Maturn, mayo de 2015
NDICE
Pp.
INTRODUCCIN .3
CAPTULO I .5
Planteamiento del Problema ......5
Objetivos de la Investigacin
.................................................6
Objetivo General ..6
Objetivos Especficos ...6
CAPTULO II ..................................7
Desarrollo ...................................7
Centro de Masa 7
Centro de Gravedad ..11
Centroide ..14
Resultados .17
CONCLUSIN..40
RECOMENDACIONES ...41
REFERENCIAS............42
INTRODUCCIN
El primer paso de toda Ciencia consiste en la aplicacin de una
minuciosa Observacin de un objeto de estudio determinado, teniendo
para ello una gran variedad de campos donde llevar el planteo de
una tcnica cientfica que posteriormente ser aplicada con un mtodo
cientfico, que con la ayuda de respetar las condiciones de trabajo
propuestas y garantizando la repeticin de los ensayos, nos dar
lugar al arribo de una conclusin y la enunciacin de lo que ser una
ley o principio que ser aplicable a un caso en particular o a un
gran nmero de casos.En el caso de la Fsica, el objeto de estudio
est justamente en la Materia, analizando sus distintas cualidades y
propiedades como tambin a todos los factores que puedan generarle
una modificacin sin que esta pierda su Esencia Material (es decir,
que siga siendo el mismo objeto pero con otras condiciones)Adems de
analizar estas propiedades, tambin tiene como objeto de estudio la
Energa y todos los intercambios que las distintas materias realizan
entre s o envan hacia el medio, como tambin el anlisis del tiempo
en conjuncin del espacio, la trayectoria que describe un objeto
determinado como tambin otras operaciones derivadas de la
combinacin de distintos conceptos. La utilizacin de la fsica en la
vida cotidiana quiz pasa desapercibida, pero lo cierto es que la
utilizamos muy a menudo, contando por ejemplo con la medicin de una
velocidad cuando utilizamos algn vehculo, cuando nos tomamos el
peso corporal utilizando una balanza o bien todo lo relativo a la
energa elctrica aplicado a los dispositivos electrnicos.Tambin es
aplicada no solo en la industria sino tambin en la arquitectura e
ingeniera, sin la cual no podramos tener hogares ni realizar
emplazamientos de grandes estructuras sin el riesgo de que colapsen
o existan fallas en su diseo y conformacin. Tomando en cuenta lo
descrito, se lleva a cabo el presente trabajo de nivelacin de
ndice, con el fin de elaborar un manual terico-prctico para el
conocimiento del centroide, centro de masa y de gravedad. El mismo
consta de dos (2) captulos, el Captulo I, donde se muestran el
planteamiento del problema, objetivo general y especficos. Captulo
II, conformado por el desarrollo y resultados de la investigacin.
Seguidamente se muestran las conclusiones, recomendaciones y
referencias.
CAPTULO I
Planteamiento del Problema
La fsica, la materia que estudia las caractersticas y
comportamientos fsicos de un objeto, entre estos entran varios
captulos pero en sntesis el presente trabajo se refiere a 3 de esas
muchas caractersticas que tienen los cuerpos, estas son por
consiguiente el centro de masa (CM), el centro de gravedad (CG), y
el centroide. Estos 3 temas son estudiados para que el estudiante
valindose de estos conocimientos pueda resolver ejercicios que
tengan un grado de complicacin que sirva para demostrar que los
conocimientos adquiridos de este trabajo son correctos.Elcentro de
gravedades el punto de aplicacin de la resultante de todas las
fuerzas de gravedad que actan sobre las distintas masas materiales
de un cuerpo. Por otra parte, el centroide, el centro de gravedad y
el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir
entre s. En stos casos es vlido utilizar estos trminos de manera
intercambiable. El centroide es un concepto puramente geomtrico,
mientras que los otros dos trminos se relacionan con las
propiedades fsicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con
el centro de masas, el objeto tiene que tener densidad uniforme, o
la distribucin de materia a travs del objeto debe tener ciertas
propiedades, tales como simetra.As mismo, elcentro de masasde un
sistema de partculas es un punto que, a muchos efectos, se mueve
como si fuera una partcula de masa igual a la masa total del
sistema sometida a la resultante de las fuerzas que actan sobre el
mismo. Se utiliza para describir el movimiento de traslacin de un
sistema de partculas.
Objetivos de la Investigacin
Objetivo General
Elaborar un manual terico-prctico de centroide, centro de masa y
centro de gravedad, con la finalidad de ofrecer a los estudiantes
una herramienta para el conocimiento del tema.
Objetivos Especficos
1. Describir los elementos que conforman el centriode, centro de
masa y de gravedad.2. Analizar los usos y aplicaciones del
centroide, centro de masa y de gravedad en la fsica.3. Desarrollar
ejercicios basados en la aplicacin del centroide, centro de masa y
de gravedad.
CAPTULO II
Desarrollo
Centro de Masa
La conservacin del momento total nos da un mtodo para analizar
un sistema de partculas. Un sistema tal puede ser virtualmente
cualquier cosa. Otro concepto importante nos permite el anlisis del
movimiento general de un sistema de partculas. Comprende la
representacin del sistema entero, como una partcula sencilla cuyo
concepto se iniciar aqu.Si no hay alguna fuerza externa que acte
sobre una partcula, su cantidad demovimiento lineales constante. En
una forma similar, si no hay alguna fuerza que acte sobre un
sistema de partculas, la cantidad de movimiento lineal del sistema
tambin es constante. Esta similitud significa que un sistema de
partculas se puede representar por una sola
partculaequivalente.Objetos mviles taIes como pelotas, automviles y
dems, se pueden considerar en la prctica como sistemas de partculas
y se pueden representar efectivamente por partculas simples
equivalentes cuando se analiza su movimiento. Tal representacin se
hace por del concepto de centro de masa (CM).El Centro de masa es
el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de
un objeto o de un sistema. Aun si el objeto esta en rotacin, el
centro de masa se mueve como si fuera partcula. Algunas veces el
centro de masa se describe como si estuviera en el punto de
equilibrio de un objeto slido. Por ejemplo, si se equilibra un
metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera est
localizada directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar
concentrada ahLa segunda ley de Newton se aplica a un sistema
cuando se usa el centro de masa:
En donde F es la fuerza externa neta,Mes la masa total del
sistema o la suma masas de las partculas del sistema(M = m1+m2+ m3
+...+ mn), donde el sistema tienenpartculas), y ACM es la
aceleracin del centro de masa. La ecuacin dice que el centro de
masa de un sistema de partculas se mueve como si toda la masa del
sistema estuviera concentrada all, y recibiera la accin de la
resultante de las fuerzas externas.As mismo, si la fuerza externa
neta que acta sobre un sistema de partcula cero, la cantidad de
movimiento lineal total del centro de masa se conserva dado que
como para una partcula. Esto significa que el centro de masa se
mueve con una velocidad constante o permanece en reposo. Aunque
usted puede visualizar con ms facilidad el centro de masa de un
objeto slido, el concepto del centro de masa se aplica a cualquier
sistema de partculas u objetos, aunque est en estado gaseoso. Para
un sistema denpartculas dispuestas en una dimensin, a lo largo del
eje de las x, la posicin del centro de masa est dada porEsto es,
Xcm eslacoordenada x del centro de masa de un sistema de partculas.
En una notacin corta en donde la sumatoria, indica la suma de los
productosm1x1.Para i partculas (i= 1, 2, 3,..., n). Si sumatoria
x1m1= 0, entonces Xcm= O, y el centro de masa del sistema
unidimensional est localizado en el origen. Otras coordenadas del
centro de masa para sistemas de partculas se definen en forma
similar. Para una distribucin bidimensional de masas, las
coordenadas Iro de masa son (Xcm, ; Ycm)Un concepto especialmente
til al analizar el movimiento de un sistema de muchas partculas, o
un cuerpo finito, es el deCentro de masa,abreviado CM de aqu en
adelante. Aunque el CM es muy til al tratar la rotacin, tambin
simplifica considerablemente el anlisis de los choques, y por tanto
introduciremos este concepto. La posicin del CM de un sistema de N
partculas de masasm1,m2,... mnen lugaresdados por sus vectores R1,
R2, ............Rnest dada por
MRcm= m1R1+m2R2+......................+mnRn
en donde M(=M1 + M2 + .........Mn) es la masa total del
sistema.
Cuando esas partculas se mueven bajo la influencia de fuerzas
externas e internas, su posicin cambia con el tiempo. Si en el
breve intervalo delta t, la posicin de los vectores a delta R1,
delta R2.............delta Rn,la localizacin del CM estar dada
por
M(Rcm + delta Rcm) = M1(R1+delta1) + M2(R2+delta2) +
Mn(Rn+deltan)
De la ecuacin se despeja
Pcm= P1+P2+.......+Pn
Sabiendo que cuando no actan fuerzas externas, la cantidad total
de movimiento de un sistema permanece constante. Como Pcm es, de
hecho, igual a la cantidad de movimiento total del sistema,
concluimos que en ausencia de fuerzas externas, el CM de un sistema
en reposo permanece en reposo, y si el CM est en movimiento
mantendr ese movimiento. Es ms si una fuerza externa neta acta, el
CM se mover de acuerdo a la segunda ley de Newton. En especial, si
la masa total no cambia con el tiempo, la aceleracin del CM estar
dada por
acm= F. ExtM
En donde F.extes la fuerza externa neta que acta sobre el
sistema.
Aplicaciones del Centro de Masa
El centro de masa casi siempre se refiere a cuerpos que constan
de 2 dimensiones o, es decir son figuras que tienen caractersticas
de ser finas es der no tienen profundidad, entonces el CM, nos
sirve para, para determinar en esos cuerpos el punto donde se
concentra toda la masa, y esto nos ayuda a determinar el punto en
el que si aplicamos una fuerza no nos dar torque alguno.
Relacin del Cm con el momntum
El CM se relaciona con el momntum en la forma que nos ayuda a
encontrar el CM de un sistema, es decir que esto nos ayuda a
encontrar el punto en que no hay torque alguno por parte del
sistema. En este punto de aqu la hoja no dara torque alguno si
tuviera un sustento.El Centro de masa de un objeto puede quedar
fuera del cuerpo del objeto. El centro de masa de un anillo
homogneo est en su centro. La masa de cualquier seccin del anillo
es cancelada por la masa de una seccin equivalente directamente a
travs del anillo, y por simetra el centro de masa est en el centro.
Para un objeto en forma de L con ramas iguales el centro de masa
queda en una lnea que forma un ngulo de45con las ramas. Su posicin
se puede determinar con facilidad si se suspende la L desde un
punto en una de las ramas, y se anota en donde la lnea vertical a
partir de ese punto interseca la lnea diagonal.No olvide que la
posicin del centro de masa o centro de gravedad de un objeto
depende de la distribucin de la masa. Por lo tanto, para un objeto
flexible como es el cuerpo humano, la posicin del centro de
gravedad cambia a medida que el objeto cambia su configuracin
(distribucin de masa). Para determinar la posicin del centro de
masa por suspensin:El Centro demasa de un objeto plano de forma
irregular se puede encontrar suspendiendo el objeto de dos o ms
puntos. El CM (y el CG) quedan sobre una lnea vertical bajo
cualquier punto de suspensin, as la interseccin de dos de tales
lneas marca la posicin media entre el espesor del cuerpo. El centro
de masa puede estar localizado fuera de un cuerpoEl centro de masa
puede quedar dentro o fuera de un cuerpo, dependiendo de la
distribucin de su masa. 1. Para un anillo uniforme, el centro de
masa est en su centro. 2. Para un objeto en forma de L, si la
distribucin de la masa es uniforme y las ramas son de igual
longitud, el centro de masa queda en la diagonal entre las
ramas.Generalmente, las partes individuales de un sistema
interaccionan entre s por medio de fuerzas internas, cambiando por
lo mismo sus velocidades y cantidades de movimiento individuales
cuando transcurre el tiempo. Sin embargo, esas interacciones no
influyen sobre el movimiento del CM. Siempre que se puedan separar
las fuerzas que actan sobre un sistema de dos o ms partculas en
fuerzas internas y fuerzas externas, se puede simplificar la
dinmica del problema preguntando y contestando a dos preguntas
distintas:Cal es el movimiento del CM?
Centro de Gravedad
LA fuerza ms corriente que acta sobre un cuerpo es su propio
peso. En todo cuerpo por irregular que sea, existe un punto tal en
el que puedo considerarse en l concentrado todo su peso, este punto
es considerado el centro de gravedad. El centro de gravedad puede
ser un punto exterior o interior del cuerpo que se considere. El
conocimiento de la posicin de los centros de gravedad, es de suma
importancia en la resolucin de problemas de equilibrio, porque son
los puntos de aplicacin de los vectores representativos de los
respectivos pesos.El centro de gravedad de una lnea est en el punto
de aplicacin de un sistema de fuerzas paralelas aplicadas a cada
uno de los fragmentos elementales en que se puede considerar
descompuesta la misma y proporcionales respectivamente a las
longitudes de estos elementos de lnea. Si se trata de un elemento
rectilneo, el centro de gravedad se halla en su punto medio. El de
un arco de circunferencia puede calcularse mediante recursos de
clculo referencial, y se encuentra situado sobre el radio medio, a
una distancia del centro.En conclusin el centro de gravedad es el
punto en el que se encuentran aplicadas las fuerzas gravitatorias
de un objeto, o es decir es el punto en el que acta el peso.
Siempre que la aceleracin de la gravedad sea constante, el centro
de gravedad se encuentra en el mismo punto que el centro de masas.
El equilibrio de una partcula o de un cuerpo rgido tambin se puede
describir como estable o inestable en un campo gravitacional. Para
los cuerpos rgidos, las categoras del equilibrio se pueden analizar
de manera conveniente en trminos delcentro de gravedad. El Centro
de gravedad es el punto en el cual se puede considerar que todo el
peso de un cuerpo est concentrado y representado como una partcula.
Cuando la aceleracin debida a la gravedad sea constante, el centro
de gravedad y el centro de masa coinciden.En forma anloga, el
centro de gravedad de un cuerpo extendido, en equilibrio estable,
est prcticamente cuenco de energa potencial. Cualquier
desplazamiento ligero elevar su centro de gravedad, y una fuerza
restauradora lo regresa a la posicin de energa potencial mnima.
Esta fuerza es, en realidad, una torca que se debe a un componente
de la fuerza peso y que tiende a hacer rotar el objeto alrededor de
un punto pivote de regreso a su posicin original.Un objeto est en
equilibrio estable mientras su Centro de gravedad quede arriba y
dentro de su base original de apoyo. Cuando ste es el caso, siempre
habr una torca de restauracin. No obstante cuando el centro de
gravedad o el centro de masa cae fuera de la base de apoyo, pasa
sobre el cuerpo, debido a una torca gravitacional que lo hace rotar
fuera de su posicin de equilibrio.Los cuerpos rgidos con bases
amplias y centros de gravedad bajos son, por consiguiente ms
estables y menos propensos a voltearse. Esta relacin es evidente en
el diseo de los automviles de carrera de alta velocidad, que tienen
neumticos y centros de gravedad cercanos al suelo. El centro de
gravedad de este auto es muy bajo por lo que es casi imposible que
se voltee.Tambin la posicin del centro de gravedad del cuerpo
humano tiene efectos sobre ciertas capacidades fsicas. Por ejemplo,
las mujeres suelen doblarse y tocar los dedos de sus pies o el
suelo con las palmas de las manos, con ms facilidad que los
hombres, quienes con frecuencia se caen al tratar de hacerlo. En
general, los hombres tienen el centro de gravedad ms alto (hombros
ms anchos) que las mujeres (pelvis grande), y es por eso que es ms
fcil que el centro de gravedad de un hombre quede fuera de apoyo
cuando se flexiona hacia el frente.Cuando el centro de gravedad
queda fuera de la base de soporte, el objeto es inestable (hay una
torsin desplazadora). En los circos usualmente hay actos de
acrbatas y lo que sucede es que el acrbata, cualquiera sea el acto
que haga tiene una base de soporte muy angosta, o sea el rea pequea
del contacto de su cuerpo con su soporte. Mientras que elcentro de
gravedad permanezca sobre esta rea, l est en equilibrio, pero un
movimiento de unos cuantos centmetros sera suficiente para
desbalancearlo.
Aplicacin del Centro de Gravedad
El centro de gravedad sirve para calcular el equilibrio de un
sistema, este sistema puede ser infinidad de cosas, por ejemplo una
casa, y aqu el centro de gravedad ayudara a calcular a la persona
que gua la construccin, los puntos en los cuales poner las columnas
y /o la columna principal..
Relacin con el Momntum
En algunos problemas que contienen de materia o en ellos
interfiere el momento lineal, o tal vez se resuelven por sumatoria
de momentos, el centro de gravedad ayuda a simplificar notablemente
estos ejercicios.
Centroide
Siempre que la densidad de un cuerpo tenga el mismo valor en
todos los puntos, la misma figurar como factor constante, de los
numeradores y denominadores de las ecuaciones, y por tanto
desparecer. Las expresiones definen entonces una propiedad del
cuerpo puramente geomtrico, sin referencia alguna a sus propiedades
fsicas, cuando el clculo se refiera nicamente a una figura
geomtrica, se utilizar el trmino centroide. Si una figura geomtrica
posee un centro de simetra, este punto es elcentroidede la figura.
Cuando se hable de un cuerpo fsico real, hablaremos de centro de
masa. Si la densidad de la misma en todos los puntos, las
posiciones del centroide y el centro de masa coinciden, mientras
que si la densidad vara de unos puntos a otros, aquellos no
coincidirn, en general. Los clculos relacionados con los centroides
caen dentro de 3 categoras claramente definidas segn que la forma
del cuerpo en cuestin pueda ser representada por una lnea, una
superficie o un volumen
Para lneas
En x = (Distancia del eje X x (derivada de la lnea))/masaEn y =
(Distancia del eje Y x (derivada de la lnea))/masaEn z = (Distancia
del eje Z x (derivada de la lnea))/masa
Para superficies
En x = (Distancia del eje X x (derivada del rea))/masaEn y =
(Distancia del eje Y x (derivada del rea))/masaEn z = (Distancia
del eje Z x (derivada del rea))/masa
Para volmenes
En x = (Distancia del eje X x (derivada del volumen))/masaEn y =
(Distancia del eje Y x (derivada del volumen))/masaEn z =
(Distancia del eje Z x (derivada del volumen))/masaSi una figura
geomtrica posee un eje de simetra, el centroide de la figura
coincide con este eje.
Volumen
Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la
localizacin del centroide para el volumen del objeto se puede
determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los
ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:
X = "x dvY = "y dvZ = "z dv" dv " dv " dv
rea
De manera semejante, el centroide para el rea para el rea
superficial de un boleto, como una palanca o un casco puede
encontrase subdividiendo el rea en elementos diferentes dA y
calculando los momentos de estos elementos de rea en torno a los
ejes de coordenadas a saber.
X = "x dAY = "y dAZ = "z dA" dvA " dA " dA
Lnea
Si la geometra del objeto tal como una barra delgada un alambre,
toma la forma de una lnea, la manera de encontrar su centoide es el
siguiente:X = "x dLY = "y dLZ = "z dL" dL " dL " dLEn todos los
casos anteriores la localizacin del centroide no est necesariamente
dentro del objeto. Tambin los centroides de algunas formas pueden
especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de
simetra. En los casos en los que la forma tiene un eje de simetra
el centroide de la forma estar lo largo del eje.
Definicin para los Momentos de Inercia para las reas
El momento de inercia de una rea se origina cuando es necesario
calcular el momento de una carga distribuida que varia linealmente
desde el eje de momento. Un ejemplo caracterstico de esta clase de
carga lo tenemos en la carga de presin debida a un lquido sobre la
superficie de una placa sumergida.
Teorema de los Ejes Paralelos
Si se conoce el momento de inercia de una rea alrededor de un
eje que pasa por su centroide, conviene determinar el momento d
inercia del rea en torno al eje correspondiente paralelo usando el
teorema de los eje paralelos. Para deducir este teorema,
consideramos la determinacin del momento de inercia de la regin
sombreada que se muestra en la figura, alrededor del eje x. En este
caso, un elemento diferencial dA del rea se localiza a una
distancia arbitraria y a partir del eje centroidal x' mientras que
la distancia fija entre los ejes paralelos x y x' se define como
dy. Como el momento de inercia de dA alrededor del eje x es dlx=(y'
+ dy)2 entonces para la totalidad del rea:
Ix ="A (y' + dy)2 dAIy ="A y'2 dA + 2dy "A y' dA + dy2 "A dA
RESULTADOS
Ejercicio 1
Encontrar el cmTres masas, de 2.0 kg, 3.0 kg y 6.0 kg, estn
localizadas en posiciones (3.0, 0), (6.0, 0) y (4.0,0),
respectvamente, en metros a partr del origen En dnde est el centro
de masa de este sistema?
Solucin
Dados: m1=2.0kgEncontrar:Xcm (coordenadas CM)m2 =3,0 kgm3 = 6,0
kgx1 = 3,0 mx2 = 6,0 mx3 = -4,0 m
Luego, simplemente realizamos la sumatoria Xcm = Sumatoria m1x1M
(2,0 kg)(3,0 m) + (3,0 kg)(6,0 m) + (6,0 kg)(4,0 m)2,0kg + 3,0kg +
6,0kgLa resolucin = 0, por lo que sabemos que el centro de masa est
en el origen
Ejemplo 2
Centro de masa y marco de referencia. Una pesa tiene una barra
de conexin de masa despreciable. Encuentre la posicin del centro de
masa (a) si m1 ym2tienen cada una 5,0 kg, y (b) si m2es de 5,0 kg y
m2 es de 10,0 kg.
Solucin
Dados:(a)m1=m2=5,0kg Encontrar. (a)(Xcm, Ycm) (coordenada)x1
-0,25m (b) (Xcm, Ycm)x2 -0,75mY1= Y2= 0,25m(b)m1=5 kgm2=10 kg
Note que cada masa se considera una partcula localizada en el
centro de la su centro de masa.
Al encontrarXcmtenemos
Xcm =m1x1+ m2X2m1+ m2Xcm = (5,0 kg)(0,25 m) + (5,0 kg)(0,75
m)5,0kg + 5,0kgXcm = 0,5 mEn forma similar, es fcil encontrar que
YCM = 0,25 m. (Tal vez ya se dio cuenta de esto ya que cada centro
de masa est a esta altura. El centro de masa de la pesa est
localizado entonces en (Xcm, YCM) = (0,50 m, 0,25 m) o a medio
camino entre las masas de los extremos.
Con m2=10.0kg
Xcm= m1x1+ m2x2m1+ m2Xcm = (5,0 kg)(0,25 m) + (10,0 kg)(0,75
m)5,0kg + 10,0kgXcm = 0,58 mLo cual es 1/3 de la longitud de la
barra a partir dem2.(Usted puede esperar en este caso que el punto
de equilibrio de la pesa est ms cerca dem2.) El que la posicin del
centro de masa no dependa del marco de referencia sepuede demostrar
colocando el origen en el punto en que la masa de 5.0 kg toca el
eje de las x. En este caso, x1 = O y x2 = 0.50 m, y
Xcm = (5,0 kg)(0) + (10,0 kg)(0,50 m) =0,33m5,0kg + 10,0kg
La coordenada Y del centro de masa es de nuevo Ycm = 0.25 m,
como ya hemos comprobado. En el ejemplo 2, cuando el valor de una
de las masas cambi, la coordenada x del centro de masa cambi. Usted
podra haber esperado que tambin cambiara el eje de las y. Sin
embargo; los centros de las masas de los extremos estuvieron an a
la misma altura, y Ycm permaneci igual. Para incrementar Ycm se
deben elevar una o las dos masas de los extremos, lo que requerira
de un trabajo en contra de la gravedad y resultara en un aumento en
la energa potencial.Como usted ya sabe, la masa y el peso estn
relacionados directamente. Asociado aen forma estrecha con el
centro de masa est el Centro de gravedad(CG),el punto en el que se
puede considerar que se concentra el peso de un objeto al
representar ese objeto como una partcula. Al tomar la aceleracin
debida a la gravedad como constante, cosa que generalmente se hace
cerca de la superficie de la Tierra, podemos reescribir la ecuacin
principal como
MgXcm=X,m,x,
Entonces todo el peso,Mg,est concentrado en Xcm, y el centro de
masa y el centro de gravedad coinciden.
Ejemplo 3
Una masa de 4,00 kg est en x =0,20 m, y =z= Orn, y una segunda
masa de 6,00 kg est en x = 0,80 m,y = z =0 m. Localizar el CM.
Solucin
Laecuacin principal es, como todas las ecuaciones vectoriales en
realidad un conjunto de tres ecuaciones, una para cada coordenada.
Como las coordenadas x, y, z de las dos masas son cero, Ycm =Zcm=
0. La ecuacinXcm:(10,0 kg)Xcm = (4,00 kg)(0,20 m) + (6,00 kg)(0,80
m)quedando que el Cm estaen el eje de las x a 0,56 m
Ejemplo 4
Una masa de 2.00 kg en reposo que contiene una pequea carga
explosiva de masa despreciable se desintegra en tres fragmentos.
Dos de ellos tienen masas idnticas de 0.50 kg cada uno; el tercero
tiene una masa de 1.00 jg. Las velocidades de los fragmentos de
0.50 kg hacen un ngulo de 60 entre si y la magnitud de dichas
velocidades es de 100 m/s. Cul es la velocidad del fragmento de
1.00 kg?
Solucin
El eje y es la lnea que bisecta el ngulo entre las velocidades
de los fragmentos de 0.50kg.Como Vcm = O antes de la explosin
tambin debe ser cero despus de ella.De la ecuacin de CM, tenemos
que(0.50 kg)v1 + (0.50 kg)v2 + (1.00 kg)v3 = O kg.m/so bien, en
forma de componentes,(0.50 kg)(v1x + v2x) + (1.00 kg)v3x = 0 kg
m/s(0.50 kg)(v1y+v2y)+ (1.00 kg)v3y= O kg m/sComo V1x = -V2x , v3x
O m/s. Tambin,V1y=V2y= (100 m/s) cos 30 = 86.6 m/sPor tanto,V3y
=-86.6 m/s
Ejemplo 5
Como un ejemplo ms de la aplicacin del concepto del CM,
pondremos como ejemplo para resolver un problema de colisin de
frente en el caso general de una masa m1 que se mueve con una
velocidad inicial Vo.contra otra masam2que estaba en reposo.
Solucin
Para evitar utilizar demasiados subndices, usaremos el
smboloupara las velocidades en el marco de referencia del centro de
masa. De acuerdo con la ecuacin de CM, el centro de la masa se
mueve inicialmente a una velocidad m1voVcm = m1+ m2 y debe mantener
esa velocidad durante el proceso porque no actan fuerzas externas
sobre el sistema. Recordemos que la velocidad v de una partcula en
un marco de referencia estacionario se relaciona a su velocidad con
respecto a un marco de referencia en movimiento mediante
V = Vr + VR
En dondeVRes la velocidad del marco de referencia. En este
caso,VRes la velocidad del centro de masa, vcm, y hemos usado el
smbolo u paraVr.De aqu que
V = u + Vcm;U = V Vcm
Si pasamos al sistema del CM, las velocidades iniciales dem1y
m2son entonces.
Uo= ((Vo - m1)/(m1+m2))xVo = ((m2)/(m1+m2)) xVo
Como el choque es inelstico, la EC enelmarco del CM antes y
despus de la colisin debe ser la misma. Adems, el CM, en ese marco
de referencia, queda en reposo. Esas dos condiciones slo se pueden
satisfacer si las velocidades finales de los dos objetos en el
marco de referencia del CM son o bien las mismas que antes del
choque, o inversas. Si las velocidades no cambian, los dos objetos
no han chocado, y as podemos considerar esta solucin como no
compatible con el enunciado del problema. Por ello, despus del
choque,
Ujf = - Uo = -m2 x Vom1+ m2U2f = - U2o = -m1 x Vom1+ m2
Para completar la solucin se transforma el marco de referencia
del laboratorio agregando a las velocidades U1f Y U2f la velocidad
del CM, siendo el resultado
V1f = ((m1-m2)/(m1+m2)) x Vo y V2f = ((2m1)/(m1+m2)) x Vo
Ejemplo 6
Calcule las fuerzas que se aplican al siguiente sistema.-L/3
L/2FA 10kg 20 kg FBPor momento.-Sumatoria Fy = 0FA +FB - 10 -196 =
0FA + FB = 206
Sumatoria de momentos desde el punto A = 0
10x (L/3) + 196(L/2) - FB. L =0L(10/3 + 196/2 - FB) = 020 + 588
- 6 FB =0608/6 = FB = 101,3 NFA=206-101,3FA=104,7 N
Por centro de gravedad
Sacamos el CG = (L/3 x10 + L/2 x 20)/(10 + 20) =(10/3 L + 10
L)/30 = (40/3 L)/ 30 =4/9 L = 0,444444Centro de gravedad =
X/masas0,444444L = FB/30 FB= 101,3 N
Por lo que vemos que podemos resolver por cualquiera de los
mtodos.
Ejemplo 7
Si tenemos un grupo de bloques idnticos, de 20 cm de largo, se
apilan de modo que cada uno sobresalga del bloque anterior 4.0 cm,
y se coloca uno encima de otro. Cuntos bloques se podrn apilar de
esta forma antes de que la pila se caiga?La pila se caer cuando su
centro de masa no est ms sobre su base de apoyo. Todos los
ladrillos tienen la misma masa, y el centro de masa de cada uno est
colocado en su punto medio. Si tomamos el origen en el centro del
ladrillo inferior, la coordenada horizontal o de masa (o centro de
gravedad) para los primeros dos ladrillos del rimero est dada por
la ecuacin de CM en dondem1=m2= my x2 es el desplazamiento del
segundo ladrillo:
Xcm2 =(mx1+mx2)/ (m + m)Xcm2=m(x1+x2)/ 2m = (x1+x2)/2 = (0+4.0
cm)/2 = 2.0 cm
Las masas de los ladrillos se cancelan (debido a que todas ellos
tiene la misma masa)Para tres ladrillos,Xcm3=m(x1+x3+x2)/ 3m = =
(0+4.0+8.0)/3 = 4.0 cmPara cuatro ladrillos,Xcm4=m(x1+x3+x4+x2)/4m=
(0+4.0+8.0+12)/4 = 6.0 cmY as se sigue sucesivamente.
Esta serie de resultados demuestra que el centro de masa del
rimero se mueve horizontalmente, 2.0 cm por cada ladrillo que se
agregue. Para una pila de seis, el centro de masa estar a 10 cm del
origen, directamente sobre el borde del ladrillo inferior (2.0 cm x
5 ladrillos adicionados= 10 cm, que es la mitad de la longitud del
ladrillo), de modo que el primero estar en equilibrio inestable.
Esto significa que la pila puede no caerse si colocamos el sexto
ladrillo con mucho cuidado, pero es muy difcil que en la prctica se
pueda lograr. En cualquier caso, el sptimo definitivamente har que
la pila se caiga.
Ejercicio 8
Localice el Centroide del rea plana de la siguiente Figura.
Rectngulo 1:
Rectngulo 2:
Triangulo 1:
Triangulo 2:
ComponenteA, ,mm,mm
. A,
.A,
Rectngulo 1144-4.514-6482016
Rectngulo 219261411522688
Triangulo 127-32-8154
Triangulo 2364214472
Q(x)=576mm Q(x)= Y.A
Q(y)=4830mm Q(y)= X.A
(399)=576
=1,4mm
(399)=4830
=12,10mm
Ejercicio 9
Localice el Centroide del rea plana de la siguiente Figura.
Cuarto de Circulo 1:
Cuarto de Crculo 2:
Cuarto de Crculo 3:
Cuarto de Crculo 4:
ComponenteA, ,in,in
. A,
.A,
Cuarto de Circulo 128,26-2,542,54-71,7871,78
Cuarto de Circulo 2-12,56-1,691,6921,22-21,22
Cuarto de Circulo 328,262,542,5471,7871,78
Cuarto de Circulo 4-12,561,691,69-21,2221,22
Q(x)= 0 Q (x)= Y.A
Q(y)=101,12in Q (y)= X.A =0 (31,4)= 101,12
= 3,22in.
Ejercicio 10
Localice el Centroide del rea plana de la siguiente Figura.
Y
12in6in 8in 16in X
Rectngulo 1:
Rectngulo 2:
ComponenteA, ,in,in
. A,
.A,
Rectngulo 148-49-192432
Rectngulo 21928615361152
Q(x)= 1344in Q(x)= Y.A
Q(y)= 1584in Q(y)= X.A
(240)=1344
=5,6in
(240)=1584
=6,06in
Ejercicio 11
Localice el Centroide del rea plana de la siguiente Figura
r=60mm
Y 80mm
120mm X 120mm
Rectngulo 1:
Semicrculo:
=0
ComponenteA, ,mm,mm
. A,
.A,
Rectngulo 240006010014400002400000
Semicrculo-2826025,470-71978,22
Q(x)=2328021,8mm Q(x)= Y.A
Q(y)=1440000mm Q(y)= X.A
(21174)=1440000
=68,007mm
(21174)= 2328021,8
=109,94mm
Ejercicio 12
Localice el Centroide del rea plana de la siguiente Figura
Y 60mm 105mm
75mm
X
Rectngulo:
Triangulo:
ComponenteA, ,mm,mm
. A,
.A,
Rectngulo 7875112,537,5885937,5295312,5
Triangulo225020254500056250
Q(x)=930937,5mm Q(x)= Y.A
Q(y)=351562,5mm Q(y)= X.A
(10125)=930937,5
=91,94mm
(10125)= 351562,5
=34,72mm
CONCLUSIONES
1. Los trminos "centro de masa" y "centro de gravedad ", se
utilizan como sinnimos en un campo gravitatorio uniforme, para
representar el punto nico de un objeto o sistema que se puede
utilizar para describir la respuesta del sistema a
lasfuerzasyparesexternos. El concepto de centro de masa es el de un
promedio de las masas, factorizada por sus distancias a un punto de
referencia. En un plano, es como el punto de equilibrio o de pivote
de un balancn respecto de los pares producidos.2. El centro de masa
es el punto en el que se puede considerar que est "concentrada"
toda la masa, con el objetivo de calcular por ejemplo, el "primer
momento", o sea, el producto de la masa por la distancia.3. En
Matemticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren
al punto en el cual todas las lneas de la figura correspondiente se
intersectan unas con otras de tal manera que dividen la figura en
dos partes iguales en los momentos equivalentes.
RECOMENDACIONES
1. Ofrecer a los alumnos guas de estudio para mejorar el nivel
de comprensin de la materia.2. Dictar talleres para aquellos
estudiantes que presentes debilidades en el tema, a fin de
solventarlas.3. Desarrollar otros manuales para las materias y/o
temas de gran complejidad.
REFERENCIAS
Selby, Samuel M, STANDARD MATHEMATIC TABLES, The chemical Rubber
Co. Ohio, USA. 1964, 1965, 1967, 1969, diez y siete ava
edicin.Wilson, Jerry D, FISICA, Prentice Hall, Segunda Edicin, Tomo
1, Mxico, 194-198. 260-261.Blatt, Frank J. FUNDAMENTOS DE FISICA,
3ra edicin, Prentice Hall, Mxico,
129-136.www.monografias.comwww.altavista.comhttp://www.geocities.com/Athens/Delphi/8951/
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