Lista de Exercícios: soluções - Unidade 3
3.1 Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 15 kg e rigidez k = 600 kN/m. Determinar a amplitude da
resposta a uma força harmônica de amplitude F0= 30 N e freqüência:
(a) = 50 rad/s;
(b) =190 rad/s;
(c) = 500 rad/s
Dados: m = 15 kg,f k = 600 kN/m, F0 = 30 N e freqüência:
(a) = 50 rad/s;
(b) =190 rad/s;
(c) = 500 rad/s
a) m 1033,535015600000
30 6
22
0
mk
FX
b) m 108,51219015600000
30 6
22
0
mk
FX
c) m 10524,950015600000
30 6
22
0
mk
FX
3.2 Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 0,3 kg e rigidez k = 1 kN/m. Determinar a magnitude da
força atuante que produz uma vibração com amplitude 0,5 mm e freqüência 377 rad/s.
Dados: m = 0,3 kg, k = 1 kN/m, X = 0,5 mm e = 377 rad/s.
N 82,203773,01000105,0 232
0 mkXF
3.3 Uma massa m está suspensa por uma mola de rigidez 4 kN/m e é submetida a uma força harmônica com amplitude de
100 N e frequência de 5 Hz. Observa-se que a amplitude do movimento forçado da massa é 20 mm. Determinar o valor
da massa m.
Dados: k = 4 kN/m, F0 = 100 N, f = 5 Hz e X = 20 mm.
20 mkX
F
Solução 1
kg 013,1
52
02,0
1004000
22
0
20
X
Fk
m
mkX
F
massa negativa solução impossível
Solução 2
kg 119,9
52
02,0
1004000
22
0
20
X
Fk
m
mkX
F
3.4 Em um sistema massa-mola é aplicada uma força harmônica F(t) = F0 cost em um ponto da mola localizado a uma
distância de 25% de seu comprimento, como mostra a Fig. 3.1, medida a partir da extremidade fixa. Assumindo que
não há amortecimento, determinar a resposta de regime permanente da massa m.
Figura 3.1
Associação em série kk 41 e kk
3
42
Equação do movimento para força aplicada em 25% do comprimento da mola
xmxxk
xmxxkxktF
02
00020100cos
Da primeira21
20
0
cos
kk
xktFx
Substituindo na segunda
tkk
kFx
kk
kkxm cos
21
20
21
21
Com kk 4
1
e kk
3
42
tF
kk
k
x
kk
kk
xm cos
3
44
3
4
3
44
3
44
0
tF
kxxm cos4
0
Com m
kn
Solução
tmk
Ftx
cos
4 2
0
3.5 Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 6 kg e rigidez desconhecida. Executou-se um teste com
uma força harmônica de amplitude F0 = 1 kN e freqüência = 250 rad/s e a amplitude de vibração medida foi 2,5 mm.
Determinar a rigidez da mola.
Dados: m = 6 kg, F0 = 1 kN, = 250 rad/s e X = 2,5 mm.
20 mkX
F
Solução 1
kN/m 0,7752506105,2
1000 2
3
20
20
mX
Fk
mkX
F
Solução 2
kN/m 00,252506105,2
1000 2
3
20
20
mX
Fk
mkX
F
3.6 Um oscilador harmônico não amortecido sofre a atuação de uma força de magnitude F0 = 30 N. Quando a freqüência
com que a força é aplicada é = 350 rad/s, a amplitude de vibração é 0,2 mm e quando a freqüência muda para =
500 rad/s a amplitude se torna 1,2 mm. Determinar a massa e a rigidez do sistema.
Dados: F0 = 30 N, = 350 rad/s, X1 = 0,2 mm e = 500 rad/s, X2 = 1,2 mm.
2
0
mk
FX
Situação 1: rad/s 500n
2
2
2
0
500
300012,0
350
300002,0
mk
mk
mk
FX
kN/m 1,270k
kg 9804,0m
rad/s 9,524n
Solução possível
Situação 2: rad/s 500350 n
2
2
2
0
500
300012,0
350
300002,0
mk
mk
mk
FX
kN/m 1,318k
kg 373,1m
rad/s 4,481n
Solução possível
Situação 3: rad/s 350n
2
2
2
0
500
300012,0
350
300002,0
mk
mk
mk
FX
kN/m 1,270k
kg 9804,0m
Rigidez e massa negativas, solução impossível.
3.7 Um compressor de refrigeração, mostrado na Fig. 3.2, está montado sobre quatro molas de rigidez k = 20 kN/m cada,
possuindo uma massa m = 55 kg. As molas possuem um amortecimento desprezível. Devido ao projeto do compressor,
existe uma força harmônica vertical de 12 N oscilando na freqüência de operação de 1750 rpm. Determinar a
amplitude da vibração vertical do compressor.
Figura 3.2
Dados: quatro molas, k = 20 kN/m cada, m = 55 kg, amortecimento desprezível, F0 = 12 N e f = 1750 rpm.
n
n
eq
m
k
mk
FX
rad/s 14,3855
80000
m 10791,6
60
1750255200004
12 6
22
0
3.8 Para medir uma força harmônica causada por um desbalanceamento em um compressor de ar de pistão de massa m
= 80 kg, como ilustra a Fig. 3.3, um engenheiro o montou sobre uma plataforma de massa M = 50 kg, que pode oscilar
horizontalmente sem atrito, por meio de um suporte elástico com rigidez na direção horizontal k = 3500 N/m. A
amplitude de vibração medida na freqüência de operação foi 0,0005 m. Calcular a magnitude da força de
desbalanceamento horizontal, desconsiderando o amortecimento.
Figura 3.3
Dados: m = 80 kg, M = 50 kg, k = 3,5 kN/m, X = 0,5 mm e f = 1150 rpm
rad/s 4,12060
115022 f
rad/s 189,55080
3500
mM
kn
n
2
02
0
mkXFmk
FX
N 9,940115060
2508035000005,0
2
0
F
3.9 Um motor elétrico de massa m = 22 kg, mostrado na Fig. 3.4, está localizado no centro de uma viga de aço de seção
transversal retangular, com b = 0,2 m e t = 10 mm, bi-apoiada, de comprimento L = 1 m. A magnitude da força
harmônica vertical (causada por desbalanceamento) é 55 N quando a freqüência de rotação do motor é 58 Hz.
Determinar a amplitude da vibração resultante, desprezando o amortecimento. (E = 210 GPa)
Figura 3.4
Dados: m = 22 kg, b = 0,2 m, t = 10 mm, L = 1 m, F0 = 55 N, f = 58 Hz e E = 210 GPa.
kN/m 0,1681
12
01,02,01021048
483
3
9
3
L
EIk
m 1097,19
58222168000
55 6
22
0
mk
FX
3.10 O núcleo móvel do relé eletromagnético mostrado na Fig. 3.5 possui massa m = 12 gr. Ele está apoiado na extremidade
inferior na mola de rigidez k = 3000 N/m e na extremidade superior, na posição de contato fechado, lâminas elásticas
que proporcionam o contato elétrico possuem rigidez total de 1200 N/m, na direção do movimento do núcleo. Uma
força harmônica causada pelo campo elétrico, de magnitude 1,3 N atua ao longo do eixo do núcleo na freqüência
síncrona de 60 Hz. Determinar a amplitude de vibração do núcleo, desprezando o amortecimento.
Figura 3.5
Dados: m = 12 gr, k2 = 3000 N/m, k1 = 1200 N/m, F0 = 1,3 N e f = 60 Hz.
N/m 42003000120021
kkk
mm 5211,0
602012,04200
3,122
0
mk
FX
3.11 Um sistema massa-mola é submetido a uma força harmônica cuja frequência está próxima à frequência natural do
sistema. Se a frequência com que a força é aplicada é 39,8 Hz e a frequência natural é 40,0 Hz, determinar o período
de batimento.
Dados: fn = 40,0 Hz e f = 39,8 Hz.
s 5,2
8,39402
1
2
1
ffT
n
b
3.12 Um oscilador harmônico possui massa m = 15 kg, constante de amortecimento c = 1200 N.s/m, e rigidez 600000 N/m.
Determinar a amplitude da resposta a uma força harmônica de magnitude F0 = 30 N e freqüência:
(a) = 50 rad/s;
(b) =190 rad/s;
(c) = 500 rad/s
Dados: m = 15 kg, c = 1200 N.s/m e k = 600 kN/m.
a)
m 1003,53
5012005015600000
30 6
222222
0
cmk
FX
rad 1063,05015600000
501200tantan
2
1
2
1
mk
c
b)
m 105,127
190120019015600000
30 6
222222
0
cmk
FX
rad 320,119015600000
1901200tantan
2
1
2
1
mk
c
c)
m 10356,9
500120050015600000
30 6
222222
0
cmk
FX
rad 1882,050015600000
5001200tantan
2
1
2
1
mk
c
3.13 Um oscilador harmônico possui massa m = 0,3 kg, coeficiente de amortecimento c = 21 N.s/m e rigidez k = 1000 N/m.
Determinar a magnitude da força harmônica atuante com uma freqüência = 377 rad/s que resulta em uma amplitude
de vibração de 0,5 mm.
Dados: m = 0,3 kg, c = 21 N.s/m e k = 1000 N/m, = 377 rad/s e X = 0,5 mm.
N 19,21377213773,01000105,0222322
0
2
cmkXF
3.14 Um oscilador harmônico amortecido com fator de amortecimento = 0,2 sofre a ação de uma força harmônica de
amplitude F0 = 30 N. Quando a freqüência com que a força atua é = 350 rad/s a amplitude de vibração é 0,2 mm e
quando a freqüência é = 500 rad/s a amplitude torna-se 0,12 mm. Determinar a massa e a rigidez do oscilador.
Dados: = 0,2, F0 = 30 N, = 350 rad/s X = 0,2 mm e = 500 rad/s X = 0,12 mm.
22
2
0
21
nn
k
F
X
de onde
22
2
0
21
nn
X
F
k
e para os dois valores de freqüência e amplitudes
22
2
3
3502,02
3501
102,0
30
nn
k
22
2
3
5002,02
3001
1012,0
30
nn
k
Resolvendo, chega-se a
rad/s 7,405n
, kN/m 2,349k e m = 2,122 kg
3.15 Um sistema massa-mola-amortecedor está submetido a uma força harmônica. Achou-se uma amplitude na ressonância
de 20 mm e de 10 mm em uma frequência 0,75 vezes a frequência de ressonância. Determinar o fator de
amortecimento do sistema.
Dados: Xres = 20 mm e X = 10 mm com = 0,75 wn
222
0
21 rr
k
F
X
r = 1 X = 0,02 m
2
0
kF
X
r = 0,75 X = 0,01 m
222
0
75,0275,01
k
F
X
Resolvendo, chega-se a
= 0,1180
3.16 Resolver o Problema 3.7 assumindo que o sistema possui amortecimento e que foi medido um decremento logarítmico
de 0,05.
Dados: k = 20 kN/m, m = 55 kg, = 0,05, F0 = 12 N, f = 1750 rpm.
3
222210957,7
05,02
05,0
2
rad/s 14,3855
200004
m
kn
N.s/m 38,331,38551096,722 3
nmc
rad/s 3,18360
21750
m 10791,6
1834,331835580000
12 6
222222
0
cmk
FX
3.17 Resolver o Problema 3.10 assumindo que o sistema está criticamente amortecido.
Dados: m = 12 gr, k2 = 3000 N/m, k1 = 1200 N/m, F0 = 1,3 N, f = 60 Hz e = 1.
rad/s 6,591012,0
12003000
m
kn
rad/s 0,3776022 f
6372,06,591
0,377
n
r
mm 2201,0
6372,0126372,01
42003,1
21222222
0
rr
kF
X
3.18 Em um sistema vibratório, m = 10 kg, k = 2,5 kN/m, e c = 45 N.s/m. Sobre a massa, atua uma força harmônica de
amplitude 180 N e frequência 3,5 Hz. Se o deslocamento inicial e a velocidade inicial da massa são 15 mm e 5 m/seg,
determinar a expressão que representa o movimento da massa.
Dados: m = 10 kg, k = 2500 N/m, c = 45 N.s/m, F0 = 180 N, f = 3,5 Hz. x0 = 15 mm e v0 = 5 m/seg,
rad/s 99,215,322 f
rad/s 81,1510
2500
m
kn
391,18,15
0,22
n
r
1423,08,15102
45
2
nm
c
rad/s 65,151423,0181,151 2 nd
tXteXtx
d
tn coscos00
mm 95,70
391,11423,02391,11
2500180
21222222
0
222
0
rr
kF
cmk
FX
rad 4007,0391,11
391,11423,02tan
1
2tantan
2
1
2
1
2
1
r
r
mk
c
m 3547,0
65,154007,0cos07095,0015,0
4007,0sin07095,099,214007,0cos07095,0015,081,151423,05
65,15
1
cossincos1
22
2
22
0
2
000
dn
d
XxXXxvX
rad 428,1391,11
391,11423,02tan
4007,0cos07095,0015,065,15
4007,0sin07095,099,214007,0cos07095,0015,081,151423,05tan
cos
sincostan
2
1
1
0
001
Xx
XXxv
d
n
3.19 Observou-se que a amplitude de pico de um sistema de um grau de liberdade, sob excitação harmônica é 0,5 cm. Se a
frequência natural do sistema é 5 Hz, e a deflexão estática da massa sob a ação da força máxima é 0,25 cm,
(a) estimar o fator de amortecimento do sistema, e
(b) determinar as frequências correspondentes à amplitude de meia potência.
Dados: Xpico = 0,5 cm, fn = 5 Hz, st = 0,25 cm
(a) Fator de amortecimento
016
12
0025,0
005,0
12
1 24
2
máxst
X
06699,0
9330,0
2
16
11411
2
2
Como 0,933 > 0,5
2588,006699,0
(b) Frequências de meia potência
Hz 657,13313,0
Hz 004,7401,12588,012588,022588,0211221
2
12222
2,1f
fr
3.20 No sistema mostrado na Fig. 3.6, x é o deslocamento da massa m e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade da
mola de rigidez k1). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico y(t) = Y cost, determinar:
(a) a equação do movimento da massa m,
(b) o deslocamento de regime permanente da mesma e,
(c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P,
Figura 3.6
(a) equação do movimento da massa m
xmyxkxcxk 122
tYkxkkxcxm cos1212
(b) deslocamento de regime permanente
22
22
21
11cos
cmkk
tYktx
p
2
21
21
1tan
mkk
c
(c) magnitude da força transmitida ao suporte em P
12122
2
22
21
1
22sincos
tctk
cmkk
YkxcxkF
T
22
22
21
2
2
2
21
cmkk
ckYkF
T
3.21 No sistema mostrado na Fig. 3.7, x é o deslocamento da massa m e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade do
amortecedor de constante c1). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico y(t) = Y cost,
determinar:
(a) a equação do movimento da massa m,
(b) o deslocamento de regime permanente da mesma e,
(c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P,
Figura 3.7
(a) equação do movimento da massa m
xmyxcxcxk 122
tYcycxkxccxm sin11221
(b) deslocamento de regime permanente
221
22
1
11sin
ccmk
tYctx
p
2
2
211
1tan
mk
cc
(c) magnitude da força transmitida ao suporte em P
121
2
2
21
22
2
1
22sincos
tktc
ccmk
YcxcxkF
T
221
22
2
22
2
2
21
ccmk
ckYcF
T
3.22 No sistema mostrado na Fig. 3.8, x é o deslocamento da massa m e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade do da
mola de rigidez k1 e do amortecedor de constante c1). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico
y(t) = Y cost, determinar:
(a) a equação do movimento da massa m,
(b) o deslocamento de regime permanente da mesma e,
(c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P,
Figura 3.8
(a) equação do movimento da massa m
xmyxcyxkxcxk 1122
tYctYkycykxkkxccxm sincos11112121
(b) deslocamento de regime permanente
221
22
21
1111sincos
ccmkk
tYctYktx
p
2
21
211
1tan
mkk
cc
(c) magnitude da força transmitida ao suporte em P
121121
2
21212
21
22
21
22sincos
tckcktcckkccmkk
YxcxkF
T
221
22
21
2
2112
22
2121
ccmkk
ckckcckkYF
T
3.23 Modelou-se um automóvel como um sistema de um grau de liberdade vibrando na direção vertical. Este veículo
trafega em uma estrada cuja elevação varia senoidalmente. A distância entre pico e vale é 0,1 m e a distância ao longo
da estrada entre dois picos é 35 m. Se a frequência natural do automóvel é 1 Hz e o fator de amortecimento dos
absorvedores de choque é 0,15, determinar a amplitude de vibração do automóvel quando está com uma velocidade de
60 km/h.
Dados: 2X = 0,1 m, L = 35 m, fn = 1 Hz, = 0,15 e v = 60 km/h.
s 1,2
3600
60000
350
0
v
Lt
t
Lv
rad/s 992,21,2
22
0
t
rad/s 283,6122 nn
f
4762,028,6
99,2
n
r
m 06423,04762,015,024762,01
4762,015,021
2
1,0
21
21222
2
222
2
rr
rYX
3.24 Um oscilador harmônico possui massa m = 2 kg e rigidez k = 4500 N/m. O suporte vibra na freqüência de 50 Hz com
amplitude 0,5 mm. Determinar a amplitude da vibração resultante não amortecida.
Dados: m = 2 kg, k = 4500 N/m, f = 50 Hz e Y = 0,5 mm.
rad/s 1005022 f
rad/s 43,472
4500
m
kn
623,643,47
100
n
r
m 1066,11
623,61
105,0
1
6
22
3
22
r
YX
3.25 Um oscilador harmônico possui massa m = 15 kg, rigidez k = 6 x 107 N/m e fator de amortecimento = 0,05. O
suporte vibra na freqüência de 200 Hz com amplitude de 1 mm. Determinar
(a) a amplitude da vibração resultante;
(b) A amplitude da força transmitida.
Dados: m = 15 kg, k = 6 x 107 N/m, = 0,05, f = 200 Hz e Y = 1 mm.
(a) Amplitude da vibração resultante rad/s 125720022 f
rad/s 200015
106 7
m
kn
6281,02000
1257
n
r
mm 647,16281,005,026281,01
6281,005,021001,0
21
21222
2
222
2
rr
rYX
(b) Amplitude da força transmitida
kN 01,3900165,0125715 22 XmFT
3.26 Um automóvel de massa m = 1000 kg trafega com uma velocidade de 80 km/h em uma superfície irregular com perfil
senoidal de amplitude 60 mm e distância entre picos 0,3 m. Se a freqüência natural do carro é 0,8 Hz, com
amortecimento crítico, determinar:
(a) a amplitude de vibração vertical;
(b) a força transmitida para o veículo.
Dados: m = 1000 kg, = 1, v = 80 km/h, Y = 60 mm, L = 0,3 m e fn = 0,8 Hz,
(a) Amplitude de vibração vertical
s 0135,0
3600
80000
3,00
0
v
Lt
t
Lv
rad/s 4,4650135,0
22
0
t
rad/s 027,58,022 nn
f
59,9203,5
,465
n
r
m 10296,159,92259,921
59,922106,0
21
21 3
222
2
222
2
rr
rYX
(b) Força transmitida para o veículo
kN 7,280001296,04,4651000 22 XmFT
3.27 Um compressor de ar, pesando 4500 N e operando a 1500 rpm, é montado sobre um isolador. Existem disponíveis
para utilização duas molas helicoidais, uma de rigidez igual a 80 kN/cm e a outra de rigidez igual a 25 kN/cm, e um
absorvedor de choque com fator de amortecimento igual a 0,15. Selecionar o melhor sistema de isolamento para o
compressor.
Dados: W = 4500 N, f = 1500 rpm, k1 = 80 kN/cm, k2 = 25 kN/cm e = 0,15.
O melhor sistema de isolamento é o que transmite a menor força.
rad/s 1,15760
150022 f
1ª opção – usando a mola de menor rigidez sem amortecedor
rad/s 82,73
81,9
4500
1025 5
m
kn
128,282,73
1,157
n
r
kN/m 10209,3128,21
1,15781,9
4500
1
3
2
2
2
2
r
m
Y
FT
2ª opção – usando a mola de maior rigidez sem amortecedor
rad/s 1,132
81,9
4500
1080 5
m
kn
189,11,132
1,157
n
r
kN/m 1029,27189,11
1,15781,9
4500
1
3
2
2
2
2
r
m
Y
FT
3ª opção – usando as duas molas associadas em série
kN/m 10905,1108025
108025 3
5
10
21
21
kk
kkk
eq
rad/s 44,64
81,9
4500
10905,1 6
m
kn
438,244,64
1,157
n
r
kN/m 10290,2438,21
1,15781,9
4500
1
3
2
2
2
2
r
m
Y
FT
Como em todos os casos 2r , o acréscimo de amortecimento aumentará a força transmitida. Desta forma a melhor
solução é a 3ª opção.
3.28 Um sistema torsional consiste de um disco com momento de inércia de massa J0 = 10 kg.m2, um amortecedor torsional
de constante c = 300 N.m.s/rad, e um eixo de aço de diâmetro igual a 4 cm e comprimento de 1 m (fixo em uma
extremidade e contendo o disco na outra extremidade), com G = 85 GPa. Observou-se uma amplitude de regime
permanente de 2o quando um torque de magnitude 1000 N.m foi aplicado no disco. Determinar:
(a) a frequência com que o torque foi aplicado;
(b) o máximo torque transmitido ao suporte.
Dados: J0 = 10 kg.m2, c = 300 N.m.s/rad, d = 4 cm, l = 1 m, G = 85 GPa, = 2
o e T0 = 1000 N.m.
(a) Frequência com que o torque foi aplicado
47
44
m 10513,232
04,0
32
d
I
kN.m/rad 36,211
10513,21085 79
l
GIk
t
rad/s 22,4610
103,21 3
0
J
kt
n
3245,022,46102
300
20
n
J
c
222
2
0
222
0
2121
rrk
T
rr
kT
t
t
222
2
3
21798,1
1036,21180
2
1000rr
Resultando na equação
07983,0579,1 24 rr
Cuja solução é dada por
4029,0
982,1
2
7983,04579,1579,1 2
2r
Só a primeira solução é possível
408,1r
Conduzindo a
rad/s 06,6522,46408,1 n
r
(b) Máximo torque transmitido ao suporte
kN.m 10010,1180
206,653001036,21 322322
ckTtT
3.29 Um eixo de aço vazado (E = 210 GPa), de comprimento 2,5 m, diâmetro externo 10 cm e diâmetro interno 9 cm,
contém um rotor de turbina que pesa 2200 N, no centro de seu comprimento e está apoiado em mancais de rolamento
nas suas extremidades. A folga entre o rotor e o estator é 1,25 cm. O rotor tem uma excentricidade equivalente a um
peso de 2 N situado em um raio de 5 cm. Foi instalado um sistema que interrompe a rotação do rotor sempre que o
mesmo estiver na iminência de tocar o estator. Se o rotor operar na ressonância, quanto tempo levará para que o
sistema de proteção seja ativado? Assumir que as condições iniciais são nulas.
Dados: E = 210 GPa, l = 2,5 m, de = 10 cm, di = 9 cm, W = 2200 N, X = 1,25 cm, mg = 2 N e e = 5 cm.
46
44444
m 10688,164
09,01,0
64
iedd
I
kN/m 10089,15,2
10688,1102104848 3
3
69
3
l
EIk
rad/s 69,692200
81,910089,1 6
W
gkn
m 1045,4510089,1
69,6905,081,9
2
6
6
2
2
k
men
st
Na ressonância o movimento é
tt
tsenx
txtxn
nst
n
n
n
sin
2cos 0
0
Com condições iniciais nulas
tt
txn
nst
sin2
Limitando o deslocamento na ressonância em 0,025 m, o mesmo será atingido no tempo t0, calculado por
00
3
00
6
2,69sin10584,169,69sin2
69,691045,450125,0 tttt
s 09194,00t
3.30 Uma hélice do rotor traseiro de um helicóptero tem uma massa desbalanceada m = 0,5 kg a uma distância e = 0,15 m
do eixo de rotação, como mostra a Fig. 3.9. A cauda (tail section) do helicóptero tem um comprimento de 4 m, uma
massa de 240 kg, uma rigidez flexional (EI) de 2,5 MN.m2, e um fator de amortecimento de 0,15. A massa do rotor
traseiro, incluindo as lâminas e o motor, é 20 kg. Determinar a resposta de regime permanente da cauda quando as
lâminas giram a 1500 rpm.
Figura 3.9
Dados: m = 0,5 kg, e = 0,15 m, l = 4 m, Mcauda = 240 kg, EI = 2,5 MN.m2, = 0,15, Mrotor = 20 kg e f = 1500 rpm
rad/s 5060
150022 f
kN/m 2,1174
105,2333
6
3
l
EIk
kg 1003
cauda
rotoreq
MMM
rad/s 23,34100
1017,1 5
eq
nM
k
589,42,34
157
n
r
mm 7855,0
59,415,0259,41
1017,1
15715,05,0
21222
5
2
222
2
rr
k
me
X
rad 06853,059,41
59,415,02tan
1
2tan
2
1
2
1
r
r
mm 06853,050cos7855,0cos ttXtx
3.31 Um eixo possui uma rigidez no seu centro k = 1,2×106 N/m possuindo neste ponto um disco de massa m = 200 kg. O
eixo gira a 3600 rpm, possui fator de amortecimento = 0,05, e uma massa desbalanceada me = 50 gr com uma
excentricidade e = 0,20 m. Determinar a amplitude de vibração.
Dados: k = 1,2×106 N/m, m = 200 kg, f = 3600 rpm, = 0,05, me = 50 gr e e = 0,20 m.
rad/s 12060
360022 f
rad/s 46,77200
102,1 6
m
kn
867,45,77
377
n
r
m 1019,52
867,405,02867,41
200
867,42,005,0
21
6
222
2
222
2
rr
m
erm
X
e
3.32 Um motor elétrico de velocidade variável, desbalanceado, é montado sobre um isolador. Quando é dada partida ao
motor, observou-se que as amplitudes de vibração são de 1,4 cm na ressonância e 0,4 cm bem acima da ressonância.
Determinar o fator de amortecimento do isolador.
Dados: Xres = 1,4 cm e Xr>>1 = 0,4 cm.
Na ressonância
m 014,02
1
M
me
Xr
Bem acima da ressonância
M
me
me
MXr
n 004,011
Então o fator de amortecimento é
1429,0014,02
004,0
21
r
X
M
me
3.33 Quando um exaustor de massa 380 kg está apoiado em molas com amortecimento desprezível, a deflexão estática
resultante é 45 mm. Se o exaustor tem um desbalanceamento rotativo de 0,15 kg.m, determinar:
(a) a amplitude de vibração a 1750 rpm e
(b) a força transmitida para a base nesta velocidade.
Dados: m = 380 kg, st = 45 mm, me = 0,15 kg.m e f = 1750 rpm.
rad/s 2,18360
175022 f
rad/s 76,14045,0
81,9
st
n
g
41,125,77
377
n
r
mm 3973,0
41,121
380
41,1215,0
2122
2
222
2
rr
m
erm
X
e
kN/m 82,8476,14380 22 n
mk
N 32,910,397382,84 kXFT
3.34 Uma viga de aço ( = 7800 kg/m3, E = 210 GPa) bi-engastada, com comprimento igual a 5 m, largura de 0,5, e
espessura de 0,1 m, suporta um motor de massa 750 kg operando com uma velocidade de 1200 rpm em seu centro,
como mostra a Fig. 3.10. Uma força rotativa, de magnitude F0 = me2 = 5000 N, se desenvolve devido ao
desbalanceamento no rotor do motor. Determinar a amplitude das vibrações de regime permanente, assumindo que o
fator de amortecimento do sistema é = 0,15.
(a) desconsiderando a massa da viga e
(b) considerando a massa efetiva da viga.
t
F0
l/2 l/2
Figura 3.10
Dados: = 7800 kg/m3, E = 210 GPa, l = 5 m, b = 0,5 m, t = 0,1 m, m = 750 kg, f = 1200 rpm, F0 = me2
= 5000 N e
= 0,15
rad/s 7,12560
120022 f
45
33
m 10167,412
1,05,0
12
bt
I
kN/m 104,1345
1017,4101,2192192 6
3
511
3
l
EIk
(a) desconsiderando a massa da viga
rad/s 9,133750
10344,1 7
m
kn
9387,0134
126
n
r
mm 217,1
9387,015,029387,01
10344,1
5000
21222
7
222
0
rr
k
F
X
(b) considerando a massa efetiva da viga
kg 195051,05,07800 btLVmviga
kg 14003
1950750
3
viga
ef
mmm
rad/s 98,971400
1034,1 7
ef
nm
k
283,10,98
126
n
r
mm 4954,0
283,115,02283,11
10344,1
5000
21222
7
222
0
rr
k
F
X
3.35 Se o motor elétrico do Problema 3.34 é montado na extremidade livre da mesma viga de aço, agora engastada em sua
outra extremidade engastada (Fig. 3.11), determinar a amplitude das vibrações de regime permanente, assumindo que o
fator de amortecimento do sistema é = 0,15
(a) desconsiderando a massa da viga e
(b) considerando a massa efetiva da viga.
t
F0
l
Figura 3.11
Dados: = 7800 kg/m3, E = 210 GPa, l = 5 m, b = 0,5 m, t = 0,1 m, m = 750 kg, f = 1200 rpm, F0 = me2
= 5000 N e
= 0,15
rad/s 7,12560
120022 f
46
33
m 1067,4112
1,05,0
12
bt
I
kN/m 2105
10167,4101,2333
511
3
l
EIk
(a) desconsiderando a massa da viga
rad/s 73,16750
101,2 5
m
kn
510,77,16
126
n
r
mm 4294,0
510,715,02510,71
101,2
5000
21222
5
222
0
rr
k
F
X
(b) considerando a massa efetiva da viga
kg 195051,05,07800 btLVmviga
kg 14003
1950750
3
viga
ef
mmm
rad/s 25,121400
101,2 5
ef
nm
k
26,102,12
126
n
r
mm 2282,0
26,1015,0226,101
101,2
5000
21222
5
222
0
rr
k
F
X
3.36 Uma bomba centrífuga pesando 600 N e operando a 1000 rpm, é montada em seis molas de rigidez 6000 N/m cada,
associadas em paralelo, com amortecimento = 0,2. Determinar a máxima excentricidade permissível para o rotor, de
forma que a amplitude de regime permanente se limite a 5 mm pico a pico.
Dados: W = 600 N, f = 1000 rpm, k = 6 × 6000 N/m, = 0,2 e 2 X = 5 mm
kg 16,6181,9
600
g
Wm
rad/s 7,10460
100022 f
rad/s 26,242,61
106,3 4
m
kn
316,43,24
105
n
r
222
2
21 rr
M
mer
X
Com M = m
mm 377,2316,42,02316,41318,4
0025,021
222
2
222
2
rr
r
Xe