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Lista de Exercícios: soluções - Unidade 3

3.1 Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 15 kg e rigidez k = 600 kN/m. Determinar a amplitude da

resposta a uma força harmônica de amplitude F0= 30 N e freqüência:

(a) = 50 rad/s;

(b) =190 rad/s;

(c) = 500 rad/s

Dados: m = 15 kg,f k = 600 kN/m, F0 = 30 N e freqüência:

(a) = 50 rad/s;

(b) =190 rad/s;

(c) = 500 rad/s

a) m 1033,535015600000

30 6

22

0

mk

FX

b) m 108,51219015600000

30 6

22

0

mk

FX

c) m 10524,950015600000

30 6

22

0

mk

FX

3.2 Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 0,3 kg e rigidez k = 1 kN/m. Determinar a magnitude da

força atuante que produz uma vibração com amplitude 0,5 mm e freqüência 377 rad/s.

Dados: m = 0,3 kg, k = 1 kN/m, X = 0,5 mm e = 377 rad/s.

N 82,203773,01000105,0 232

0 mkXF

3.3 Uma massa m está suspensa por uma mola de rigidez 4 kN/m e é submetida a uma força harmônica com amplitude de

100 N e frequência de 5 Hz. Observa-se que a amplitude do movimento forçado da massa é 20 mm. Determinar o valor

da massa m.

Dados: k = 4 kN/m, F0 = 100 N, f = 5 Hz e X = 20 mm.

20 mkX

F

Solução 1

kg 013,1

52

02,0

1004000

22

0

20

X

Fk

m

mkX

F

massa negativa solução impossível

Solução 2

kg 119,9

52

02,0

1004000

22

0

20

X

Fk

m

mkX

F

3.4 Em um sistema massa-mola é aplicada uma força harmônica F(t) = F0 cost em um ponto da mola localizado a uma

distância de 25% de seu comprimento, como mostra a Fig. 3.1, medida a partir da extremidade fixa. Assumindo que

não há amortecimento, determinar a resposta de regime permanente da massa m.

Figura 3.1

Associação em série kk 41 e kk

3

42

Equação do movimento para força aplicada em 25% do comprimento da mola

xmxxk

xmxxkxktF

02

00020100cos

Da primeira21

20

0

cos

kk

xktFx

Substituindo na segunda

tkk

kFx

kk

kkxm cos

21

20

21

21

Com kk 4

1

e kk

3

42

tF

kk

k

x

kk

kk

xm cos

3

44

3

4

3

44

3

44

0

tF

kxxm cos4

0

Com m

kn

Solução

tmk

Ftx

cos

4 2

0

3.5 Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 6 kg e rigidez desconhecida. Executou-se um teste com

uma força harmônica de amplitude F0 = 1 kN e freqüência = 250 rad/s e a amplitude de vibração medida foi 2,5 mm.

Determinar a rigidez da mola.

Dados: m = 6 kg, F0 = 1 kN, = 250 rad/s e X = 2,5 mm.

20 mkX

F

Solução 1

kN/m 0,7752506105,2

1000 2

3

20

20

mX

Fk

mkX

F

Solução 2

kN/m 00,252506105,2

1000 2

3

20

20

mX

Fk

mkX

F

3.6 Um oscilador harmônico não amortecido sofre a atuação de uma força de magnitude F0 = 30 N. Quando a freqüência

com que a força é aplicada é = 350 rad/s, a amplitude de vibração é 0,2 mm e quando a freqüência muda para =

500 rad/s a amplitude se torna 1,2 mm. Determinar a massa e a rigidez do sistema.

Dados: F0 = 30 N, = 350 rad/s, X1 = 0,2 mm e = 500 rad/s, X2 = 1,2 mm.

2

0

mk

FX

Situação 1: rad/s 500n

2

2

2

0

500

300012,0

350

300002,0

mk

mk

mk

FX

kN/m 1,270k

kg 9804,0m

rad/s 9,524n

Solução possível

Situação 2: rad/s 500350 n

2

2

2

0

500

300012,0

350

300002,0

mk

mk

mk

FX

kN/m 1,318k

kg 373,1m

rad/s 4,481n

Solução possível

Situação 3: rad/s 350n

2

2

2

0

500

300012,0

350

300002,0

mk

mk

mk

FX

kN/m 1,270k

kg 9804,0m

Rigidez e massa negativas, solução impossível.

3.7 Um compressor de refrigeração, mostrado na Fig. 3.2, está montado sobre quatro molas de rigidez k = 20 kN/m cada,

possuindo uma massa m = 55 kg. As molas possuem um amortecimento desprezível. Devido ao projeto do compressor,

existe uma força harmônica vertical de 12 N oscilando na freqüência de operação de 1750 rpm. Determinar a

amplitude da vibração vertical do compressor.

Figura 3.2

Dados: quatro molas, k = 20 kN/m cada, m = 55 kg, amortecimento desprezível, F0 = 12 N e f = 1750 rpm.

n

n

eq

m

k

mk

FX

rad/s 14,3855

80000

m 10791,6

60

1750255200004

12 6

22

0

3.8 Para medir uma força harmônica causada por um desbalanceamento em um compressor de ar de pistão de massa m

= 80 kg, como ilustra a Fig. 3.3, um engenheiro o montou sobre uma plataforma de massa M = 50 kg, que pode oscilar

horizontalmente sem atrito, por meio de um suporte elástico com rigidez na direção horizontal k = 3500 N/m. A

amplitude de vibração medida na freqüência de operação foi 0,0005 m. Calcular a magnitude da força de

desbalanceamento horizontal, desconsiderando o amortecimento.

Figura 3.3

Dados: m = 80 kg, M = 50 kg, k = 3,5 kN/m, X = 0,5 mm e f = 1150 rpm

rad/s 4,12060

115022 f

rad/s 189,55080

3500

mM

kn

n

2

02

0

mkXFmk

FX

N 9,940115060

2508035000005,0

2

0

F

3.9 Um motor elétrico de massa m = 22 kg, mostrado na Fig. 3.4, está localizado no centro de uma viga de aço de seção

transversal retangular, com b = 0,2 m e t = 10 mm, bi-apoiada, de comprimento L = 1 m. A magnitude da força

harmônica vertical (causada por desbalanceamento) é 55 N quando a freqüência de rotação do motor é 58 Hz.

Determinar a amplitude da vibração resultante, desprezando o amortecimento. (E = 210 GPa)

Figura 3.4

Dados: m = 22 kg, b = 0,2 m, t = 10 mm, L = 1 m, F0 = 55 N, f = 58 Hz e E = 210 GPa.

kN/m 0,1681

12

01,02,01021048

483

3

9

3

L

EIk

m 1097,19

58222168000

55 6

22

0

mk

FX

3.10 O núcleo móvel do relé eletromagnético mostrado na Fig. 3.5 possui massa m = 12 gr. Ele está apoiado na extremidade

inferior na mola de rigidez k = 3000 N/m e na extremidade superior, na posição de contato fechado, lâminas elásticas

que proporcionam o contato elétrico possuem rigidez total de 1200 N/m, na direção do movimento do núcleo. Uma

força harmônica causada pelo campo elétrico, de magnitude 1,3 N atua ao longo do eixo do núcleo na freqüência

síncrona de 60 Hz. Determinar a amplitude de vibração do núcleo, desprezando o amortecimento.

Figura 3.5

Dados: m = 12 gr, k2 = 3000 N/m, k1 = 1200 N/m, F0 = 1,3 N e f = 60 Hz.

N/m 42003000120021

kkk

mm 5211,0

602012,04200

3,122

0

mk

FX

3.11 Um sistema massa-mola é submetido a uma força harmônica cuja frequência está próxima à frequência natural do

sistema. Se a frequência com que a força é aplicada é 39,8 Hz e a frequência natural é 40,0 Hz, determinar o período

de batimento.

Dados: fn = 40,0 Hz e f = 39,8 Hz.

s 5,2

8,39402

1

2

1

ffT

n

b

3.12 Um oscilador harmônico possui massa m = 15 kg, constante de amortecimento c = 1200 N.s/m, e rigidez 600000 N/m.

Determinar a amplitude da resposta a uma força harmônica de magnitude F0 = 30 N e freqüência:

(a) = 50 rad/s;

(b) =190 rad/s;

(c) = 500 rad/s

Dados: m = 15 kg, c = 1200 N.s/m e k = 600 kN/m.

a)

m 1003,53

5012005015600000

30 6

222222

0

cmk

FX

rad 1063,05015600000

501200tantan

2

1

2

1

mk

c

b)

m 105,127

190120019015600000

30 6

222222

0

cmk

FX

rad 320,119015600000

1901200tantan

2

1

2

1

mk

c

c)

m 10356,9

500120050015600000

30 6

222222

0

cmk

FX

rad 1882,050015600000

5001200tantan

2

1

2

1

mk

c

3.13 Um oscilador harmônico possui massa m = 0,3 kg, coeficiente de amortecimento c = 21 N.s/m e rigidez k = 1000 N/m.

Determinar a magnitude da força harmônica atuante com uma freqüência = 377 rad/s que resulta em uma amplitude

de vibração de 0,5 mm.

Dados: m = 0,3 kg, c = 21 N.s/m e k = 1000 N/m, = 377 rad/s e X = 0,5 mm.

N 19,21377213773,01000105,0222322

0

2

cmkXF

3.14 Um oscilador harmônico amortecido com fator de amortecimento = 0,2 sofre a ação de uma força harmônica de

amplitude F0 = 30 N. Quando a freqüência com que a força atua é = 350 rad/s a amplitude de vibração é 0,2 mm e

quando a freqüência é = 500 rad/s a amplitude torna-se 0,12 mm. Determinar a massa e a rigidez do oscilador.

Dados: = 0,2, F0 = 30 N, = 350 rad/s X = 0,2 mm e = 500 rad/s X = 0,12 mm.

22

2

0

21

nn

k

F

X

de onde

22

2

0

21

nn

X

F

k

e para os dois valores de freqüência e amplitudes

22

2

3

3502,02

3501

102,0

30

nn

k

22

2

3

5002,02

3001

1012,0

30

nn

k

Resolvendo, chega-se a

rad/s 7,405n

, kN/m 2,349k e m = 2,122 kg

3.15 Um sistema massa-mola-amortecedor está submetido a uma força harmônica. Achou-se uma amplitude na ressonância

de 20 mm e de 10 mm em uma frequência 0,75 vezes a frequência de ressonância. Determinar o fator de

amortecimento do sistema.

Dados: Xres = 20 mm e X = 10 mm com = 0,75 wn

222

0

21 rr

k

F

X

r = 1 X = 0,02 m

2

0

kF

X

r = 0,75 X = 0,01 m

222

0

75,0275,01

k

F

X

Resolvendo, chega-se a

= 0,1180

3.16 Resolver o Problema 3.7 assumindo que o sistema possui amortecimento e que foi medido um decremento logarítmico

de 0,05.

Dados: k = 20 kN/m, m = 55 kg, = 0,05, F0 = 12 N, f = 1750 rpm.

3

222210957,7

05,02

05,0

2

rad/s 14,3855

200004

m

kn

N.s/m 38,331,38551096,722 3

nmc

rad/s 3,18360

21750

m 10791,6

1834,331835580000

12 6

222222

0

cmk

FX

3.17 Resolver o Problema 3.10 assumindo que o sistema está criticamente amortecido.

Dados: m = 12 gr, k2 = 3000 N/m, k1 = 1200 N/m, F0 = 1,3 N, f = 60 Hz e = 1.

rad/s 6,591012,0

12003000

m

kn

rad/s 0,3776022 f

6372,06,591

0,377

n

r

mm 2201,0

6372,0126372,01

42003,1

21222222

0

rr

kF

X

3.18 Em um sistema vibratório, m = 10 kg, k = 2,5 kN/m, e c = 45 N.s/m. Sobre a massa, atua uma força harmônica de

amplitude 180 N e frequência 3,5 Hz. Se o deslocamento inicial e a velocidade inicial da massa são 15 mm e 5 m/seg,

determinar a expressão que representa o movimento da massa.

Dados: m = 10 kg, k = 2500 N/m, c = 45 N.s/m, F0 = 180 N, f = 3,5 Hz. x0 = 15 mm e v0 = 5 m/seg,

rad/s 99,215,322 f

rad/s 81,1510

2500

m

kn

391,18,15

0,22

n

r

1423,08,15102

45

2

nm

c

rad/s 65,151423,0181,151 2 nd

tXteXtx

d

tn coscos00

mm 95,70

391,11423,02391,11

2500180

21222222

0

222

0

rr

kF

cmk

FX

rad 4007,0391,11

391,11423,02tan

1

2tantan

2

1

2

1

2

1

r

r

mk

c

m 3547,0

65,154007,0cos07095,0015,0

4007,0sin07095,099,214007,0cos07095,0015,081,151423,05

65,15

1

cossincos1

22

2

22

0

2

000

dn

d

XxXXxvX

rad 428,1391,11

391,11423,02tan

4007,0cos07095,0015,065,15

4007,0sin07095,099,214007,0cos07095,0015,081,151423,05tan

cos

sincostan

2

1

1

0

001

Xx

XXxv

d

n

3.19 Observou-se que a amplitude de pico de um sistema de um grau de liberdade, sob excitação harmônica é 0,5 cm. Se a

frequência natural do sistema é 5 Hz, e a deflexão estática da massa sob a ação da força máxima é 0,25 cm,

(a) estimar o fator de amortecimento do sistema, e

(b) determinar as frequências correspondentes à amplitude de meia potência.

Dados: Xpico = 0,5 cm, fn = 5 Hz, st = 0,25 cm

(a) Fator de amortecimento

016

12

0025,0

005,0

12

1 24

2

máxst

X

06699,0

9330,0

2

16

11411

2

2

Como 0,933 > 0,5

2588,006699,0

(b) Frequências de meia potência

Hz 657,13313,0

Hz 004,7401,12588,012588,022588,0211221

2

12222

2,1f

fr

3.20 No sistema mostrado na Fig. 3.6, x é o deslocamento da massa m e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade da

mola de rigidez k1). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico y(t) = Y cost, determinar:

(a) a equação do movimento da massa m,

(b) o deslocamento de regime permanente da mesma e,

(c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P,

Figura 3.6

(a) equação do movimento da massa m

xmyxkxcxk 122

tYkxkkxcxm cos1212

(b) deslocamento de regime permanente

22

22

21

11cos

cmkk

tYktx

p

2

21

21

1tan

mkk

c

(c) magnitude da força transmitida ao suporte em P

12122

2

22

21

1

22sincos

tctk

cmkk

YkxcxkF

T

22

22

21

2

2

2

21

cmkk

ckYkF

T

3.21 No sistema mostrado na Fig. 3.7, x é o deslocamento da massa m e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade do

amortecedor de constante c1). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico y(t) = Y cost,

determinar:

(a) a equação do movimento da massa m,

(b) o deslocamento de regime permanente da mesma e,

(c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P,

Figura 3.7

(a) equação do movimento da massa m

xmyxcxcxk 122

tYcycxkxccxm sin11221

(b) deslocamento de regime permanente

221

22

1

11sin

ccmk

tYctx

p

2

2

211

1tan

mk

cc

(c) magnitude da força transmitida ao suporte em P

121

2

2

21

22

2

1

22sincos

tktc

ccmk

YcxcxkF

T

221

22

2

22

2

2

21

ccmk

ckYcF

T

3.22 No sistema mostrado na Fig. 3.8, x é o deslocamento da massa m e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade do da

mola de rigidez k1 e do amortecedor de constante c1). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico

y(t) = Y cost, determinar:

(a) a equação do movimento da massa m,

(b) o deslocamento de regime permanente da mesma e,

(c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P,

Figura 3.8

(a) equação do movimento da massa m

xmyxcyxkxcxk 1122

tYctYkycykxkkxccxm sincos11112121

(b) deslocamento de regime permanente

221

22

21

1111sincos

ccmkk

tYctYktx

p

2

21

211

1tan

mkk

cc

(c) magnitude da força transmitida ao suporte em P

121121

2

21212

21

22

21

22sincos

tckcktcckkccmkk

YxcxkF

T

221

22

21

2

2112

22

2121

ccmkk

ckckcckkYF

T

3.23 Modelou-se um automóvel como um sistema de um grau de liberdade vibrando na direção vertical. Este veículo

trafega em uma estrada cuja elevação varia senoidalmente. A distância entre pico e vale é 0,1 m e a distância ao longo

da estrada entre dois picos é 35 m. Se a frequência natural do automóvel é 1 Hz e o fator de amortecimento dos

absorvedores de choque é 0,15, determinar a amplitude de vibração do automóvel quando está com uma velocidade de

60 km/h.

Dados: 2X = 0,1 m, L = 35 m, fn = 1 Hz, = 0,15 e v = 60 km/h.

s 1,2

3600

60000

350

0

v

Lt

t

Lv

rad/s 992,21,2

22

0

t

rad/s 283,6122 nn

f

4762,028,6

99,2

n

r

m 06423,04762,015,024762,01

4762,015,021

2

1,0

21

21222

2

222

2

rr

rYX

3.24 Um oscilador harmônico possui massa m = 2 kg e rigidez k = 4500 N/m. O suporte vibra na freqüência de 50 Hz com

amplitude 0,5 mm. Determinar a amplitude da vibração resultante não amortecida.

Dados: m = 2 kg, k = 4500 N/m, f = 50 Hz e Y = 0,5 mm.

rad/s 1005022 f

rad/s 43,472

4500

m

kn

623,643,47

100

n

r

m 1066,11

623,61

105,0

1

6

22

3

22

r

YX

3.25 Um oscilador harmônico possui massa m = 15 kg, rigidez k = 6 x 107 N/m e fator de amortecimento = 0,05. O

suporte vibra na freqüência de 200 Hz com amplitude de 1 mm. Determinar

(a) a amplitude da vibração resultante;

(b) A amplitude da força transmitida.

Dados: m = 15 kg, k = 6 x 107 N/m, = 0,05, f = 200 Hz e Y = 1 mm.

(a) Amplitude da vibração resultante rad/s 125720022 f

rad/s 200015

106 7

m

kn

6281,02000

1257

n

r

mm 647,16281,005,026281,01

6281,005,021001,0

21

21222

2

222

2

rr

rYX

(b) Amplitude da força transmitida

kN 01,3900165,0125715 22 XmFT

3.26 Um automóvel de massa m = 1000 kg trafega com uma velocidade de 80 km/h em uma superfície irregular com perfil

senoidal de amplitude 60 mm e distância entre picos 0,3 m. Se a freqüência natural do carro é 0,8 Hz, com

amortecimento crítico, determinar:

(a) a amplitude de vibração vertical;

(b) a força transmitida para o veículo.

Dados: m = 1000 kg, = 1, v = 80 km/h, Y = 60 mm, L = 0,3 m e fn = 0,8 Hz,

(a) Amplitude de vibração vertical

s 0135,0

3600

80000

3,00

0

v

Lt

t

Lv

rad/s 4,4650135,0

22

0

t

rad/s 027,58,022 nn

f

59,9203,5

,465

n

r

m 10296,159,92259,921

59,922106,0

21

21 3

222

2

222

2

rr

rYX

(b) Força transmitida para o veículo

kN 7,280001296,04,4651000 22 XmFT

3.27 Um compressor de ar, pesando 4500 N e operando a 1500 rpm, é montado sobre um isolador. Existem disponíveis

para utilização duas molas helicoidais, uma de rigidez igual a 80 kN/cm e a outra de rigidez igual a 25 kN/cm, e um

absorvedor de choque com fator de amortecimento igual a 0,15. Selecionar o melhor sistema de isolamento para o

compressor.

Dados: W = 4500 N, f = 1500 rpm, k1 = 80 kN/cm, k2 = 25 kN/cm e = 0,15.

O melhor sistema de isolamento é o que transmite a menor força.

rad/s 1,15760

150022 f

1ª opção – usando a mola de menor rigidez sem amortecedor

rad/s 82,73

81,9

4500

1025 5

m

kn

128,282,73

1,157

n

r

kN/m 10209,3128,21

1,15781,9

4500

1

3

2

2

2

2

r

m

Y

FT

2ª opção – usando a mola de maior rigidez sem amortecedor

rad/s 1,132

81,9

4500

1080 5

m

kn

189,11,132

1,157

n

r

kN/m 1029,27189,11

1,15781,9

4500

1

3

2

2

2

2

r

m

Y

FT

3ª opção – usando as duas molas associadas em série

kN/m 10905,1108025

108025 3

5

10

21

21

kk

kkk

eq

rad/s 44,64

81,9

4500

10905,1 6

m

kn

438,244,64

1,157

n

r

kN/m 10290,2438,21

1,15781,9

4500

1

3

2

2

2

2

r

m

Y

FT

Como em todos os casos 2r , o acréscimo de amortecimento aumentará a força transmitida. Desta forma a melhor

solução é a 3ª opção.

3.28 Um sistema torsional consiste de um disco com momento de inércia de massa J0 = 10 kg.m2, um amortecedor torsional

de constante c = 300 N.m.s/rad, e um eixo de aço de diâmetro igual a 4 cm e comprimento de 1 m (fixo em uma

extremidade e contendo o disco na outra extremidade), com G = 85 GPa. Observou-se uma amplitude de regime

permanente de 2o quando um torque de magnitude 1000 N.m foi aplicado no disco. Determinar:

(a) a frequência com que o torque foi aplicado;

(b) o máximo torque transmitido ao suporte.

Dados: J0 = 10 kg.m2, c = 300 N.m.s/rad, d = 4 cm, l = 1 m, G = 85 GPa, = 2

o e T0 = 1000 N.m.

(a) Frequência com que o torque foi aplicado

47

44

m 10513,232

04,0

32

d

I

kN.m/rad 36,211

10513,21085 79

l

GIk

t

rad/s 22,4610

103,21 3

0

J

kt

n

3245,022,46102

300

20

n

J

c

222

2

0

222

0

2121

rrk

T

rr

kT

t

t

222

2

3

21798,1

1036,21180

2

1000rr

Resultando na equação

07983,0579,1 24 rr

Cuja solução é dada por

4029,0

982,1

2

7983,04579,1579,1 2

2r

Só a primeira solução é possível

408,1r

Conduzindo a

rad/s 06,6522,46408,1 n

r

(b) Máximo torque transmitido ao suporte

kN.m 10010,1180

206,653001036,21 322322

ckTtT

3.29 Um eixo de aço vazado (E = 210 GPa), de comprimento 2,5 m, diâmetro externo 10 cm e diâmetro interno 9 cm,

contém um rotor de turbina que pesa 2200 N, no centro de seu comprimento e está apoiado em mancais de rolamento

nas suas extremidades. A folga entre o rotor e o estator é 1,25 cm. O rotor tem uma excentricidade equivalente a um

peso de 2 N situado em um raio de 5 cm. Foi instalado um sistema que interrompe a rotação do rotor sempre que o

mesmo estiver na iminência de tocar o estator. Se o rotor operar na ressonância, quanto tempo levará para que o

sistema de proteção seja ativado? Assumir que as condições iniciais são nulas.

Dados: E = 210 GPa, l = 2,5 m, de = 10 cm, di = 9 cm, W = 2200 N, X = 1,25 cm, mg = 2 N e e = 5 cm.

46

44444

m 10688,164

09,01,0

64

iedd

I

kN/m 10089,15,2

10688,1102104848 3

3

69

3

l

EIk

rad/s 69,692200

81,910089,1 6

W

gkn

m 1045,4510089,1

69,6905,081,9

2

6

6

2

2

k

men

st

Na ressonância o movimento é

tt

tsenx

txtxn

nst

n

n

n

sin

2cos 0

0

Com condições iniciais nulas

tt

txn

nst

sin2

Limitando o deslocamento na ressonância em 0,025 m, o mesmo será atingido no tempo t0, calculado por

00

3

00

6

2,69sin10584,169,69sin2

69,691045,450125,0 tttt

s 09194,00t

3.30 Uma hélice do rotor traseiro de um helicóptero tem uma massa desbalanceada m = 0,5 kg a uma distância e = 0,15 m

do eixo de rotação, como mostra a Fig. 3.9. A cauda (tail section) do helicóptero tem um comprimento de 4 m, uma

massa de 240 kg, uma rigidez flexional (EI) de 2,5 MN.m2, e um fator de amortecimento de 0,15. A massa do rotor

traseiro, incluindo as lâminas e o motor, é 20 kg. Determinar a resposta de regime permanente da cauda quando as

lâminas giram a 1500 rpm.

Figura 3.9

Dados: m = 0,5 kg, e = 0,15 m, l = 4 m, Mcauda = 240 kg, EI = 2,5 MN.m2, = 0,15, Mrotor = 20 kg e f = 1500 rpm

rad/s 5060

150022 f

kN/m 2,1174

105,2333

6

3

l

EIk

kg 1003

cauda

rotoreq

MMM

rad/s 23,34100

1017,1 5

eq

nM

k

589,42,34

157

n

r

mm 7855,0

59,415,0259,41

1017,1

15715,05,0

21222

5

2

222

2

rr

k

me

X

rad 06853,059,41

59,415,02tan

1

2tan

2

1

2

1

r

r

mm 06853,050cos7855,0cos ttXtx

3.31 Um eixo possui uma rigidez no seu centro k = 1,2×106 N/m possuindo neste ponto um disco de massa m = 200 kg. O

eixo gira a 3600 rpm, possui fator de amortecimento = 0,05, e uma massa desbalanceada me = 50 gr com uma

excentricidade e = 0,20 m. Determinar a amplitude de vibração.

Dados: k = 1,2×106 N/m, m = 200 kg, f = 3600 rpm, = 0,05, me = 50 gr e e = 0,20 m.

rad/s 12060

360022 f

rad/s 46,77200

102,1 6

m

kn

867,45,77

377

n

r

m 1019,52

867,405,02867,41

200

867,42,005,0

21

6

222

2

222

2

rr

m

erm

X

e

3.32 Um motor elétrico de velocidade variável, desbalanceado, é montado sobre um isolador. Quando é dada partida ao

motor, observou-se que as amplitudes de vibração são de 1,4 cm na ressonância e 0,4 cm bem acima da ressonância.

Determinar o fator de amortecimento do isolador.

Dados: Xres = 1,4 cm e Xr>>1 = 0,4 cm.

Na ressonância

m 014,02

1

M

me

Xr

Bem acima da ressonância

M

me

me

MXr

n 004,011

Então o fator de amortecimento é

1429,0014,02

004,0

21

r

X

M

me

3.33 Quando um exaustor de massa 380 kg está apoiado em molas com amortecimento desprezível, a deflexão estática

resultante é 45 mm. Se o exaustor tem um desbalanceamento rotativo de 0,15 kg.m, determinar:

(a) a amplitude de vibração a 1750 rpm e

(b) a força transmitida para a base nesta velocidade.

Dados: m = 380 kg, st = 45 mm, me = 0,15 kg.m e f = 1750 rpm.

rad/s 2,18360

175022 f

rad/s 76,14045,0

81,9

st

n

g

41,125,77

377

n

r

mm 3973,0

41,121

380

41,1215,0

2122

2

222

2

rr

m

erm

X

e

kN/m 82,8476,14380 22 n

mk

N 32,910,397382,84 kXFT

3.34 Uma viga de aço ( = 7800 kg/m3, E = 210 GPa) bi-engastada, com comprimento igual a 5 m, largura de 0,5, e

espessura de 0,1 m, suporta um motor de massa 750 kg operando com uma velocidade de 1200 rpm em seu centro,

como mostra a Fig. 3.10. Uma força rotativa, de magnitude F0 = me2 = 5000 N, se desenvolve devido ao

desbalanceamento no rotor do motor. Determinar a amplitude das vibrações de regime permanente, assumindo que o

fator de amortecimento do sistema é = 0,15.

(a) desconsiderando a massa da viga e

(b) considerando a massa efetiva da viga.

t

F0

l/2 l/2

Figura 3.10

Dados: = 7800 kg/m3, E = 210 GPa, l = 5 m, b = 0,5 m, t = 0,1 m, m = 750 kg, f = 1200 rpm, F0 = me2

= 5000 N e

= 0,15

rad/s 7,12560

120022 f

45

33

m 10167,412

1,05,0

12

bt

I

kN/m 104,1345

1017,4101,2192192 6

3

511

3

l

EIk

(a) desconsiderando a massa da viga

rad/s 9,133750

10344,1 7

m

kn

9387,0134

126

n

r

mm 217,1

9387,015,029387,01

10344,1

5000

21222

7

222

0

rr

k

F

X

(b) considerando a massa efetiva da viga

kg 195051,05,07800 btLVmviga

kg 14003

1950750

3

viga

ef

mmm

rad/s 98,971400

1034,1 7

ef

nm

k

283,10,98

126

n

r

mm 4954,0

283,115,02283,11

10344,1

5000

21222

7

222

0

rr

k

F

X

3.35 Se o motor elétrico do Problema 3.34 é montado na extremidade livre da mesma viga de aço, agora engastada em sua

outra extremidade engastada (Fig. 3.11), determinar a amplitude das vibrações de regime permanente, assumindo que o

fator de amortecimento do sistema é = 0,15

(a) desconsiderando a massa da viga e

(b) considerando a massa efetiva da viga.

t

F0

l

Figura 3.11

Dados: = 7800 kg/m3, E = 210 GPa, l = 5 m, b = 0,5 m, t = 0,1 m, m = 750 kg, f = 1200 rpm, F0 = me2

= 5000 N e

= 0,15

rad/s 7,12560

120022 f

46

33

m 1067,4112

1,05,0

12

bt

I

kN/m 2105

10167,4101,2333

511

3

l

EIk

(a) desconsiderando a massa da viga

rad/s 73,16750

101,2 5

m

kn

510,77,16

126

n

r

mm 4294,0

510,715,02510,71

101,2

5000

21222

5

222

0

rr

k

F

X

(b) considerando a massa efetiva da viga

kg 195051,05,07800 btLVmviga

kg 14003

1950750

3

viga

ef

mmm

rad/s 25,121400

101,2 5

ef

nm

k

26,102,12

126

n

r

mm 2282,0

26,1015,0226,101

101,2

5000

21222

5

222

0

rr

k

F

X

3.36 Uma bomba centrífuga pesando 600 N e operando a 1000 rpm, é montada em seis molas de rigidez 6000 N/m cada,

associadas em paralelo, com amortecimento = 0,2. Determinar a máxima excentricidade permissível para o rotor, de

forma que a amplitude de regime permanente se limite a 5 mm pico a pico.

Dados: W = 600 N, f = 1000 rpm, k = 6 × 6000 N/m, = 0,2 e 2 X = 5 mm

kg 16,6181,9

600

g

Wm

rad/s 7,10460

100022 f

rad/s 26,242,61

106,3 4

m

kn

316,43,24

105

n

r

222

2

21 rr

M

mer

X

Com M = m

mm 377,2316,42,02316,41318,4

0025,021

222

2

222

2

rr

r

Xe