Ligjërata 4:Treguesit e tendencës qendrore dhe kuartilet
Statistika për ekonomiks dhe biznes
Treguesit përmbledhës Treguesit e tendencës qendrore
Mesatarja aritmetike, Mediana, Moda, Mesatarja gjeometrike Kuartilet
Llogaritja e këtyre treguesve Disa çështje etike
Përmbajtja
Treguesit përmbledhës
Mesatarja aritmetike
Mediana
Moda
Përshkrimi numerik i të dhënave
Varianca
Devijimi standard
Koeficienti i variacionit
Rangu
Rangu interkuartal
Mesatarja gjeometrike
Animi
Tendenca qendrore Variacioni FormaKuartilet
Mesatarja e ponderuar
Për këtë do të flasim më vonë
Treguesit e tendencës qendrore
Tendenca qendrore
Mesatarja aritmetike
Mediana Moda Mesatarja gjeometrike
n
XX
n
ii∑
== 1
n/1n21G )XXX(X ×××=
Mesi i vlerave të renditura
Vlera e vrojtuar më së shpeshti
Mesatarja aritmetike
Mesatarja aritmetike është treguesi më i përhapur i tendencës qendrore
Për një mostër me madhësi n (pra me n njësi):
Madhësia e mostrës (numri i vrojtimeve)
n
XXX
n
XX n21
n
1ii +++==
∑=
Vlerat e vrojtuara
Mesatarja aritmetike (2)
Kur themi “mesatare”, i referohemi mesatares aritmetike Mesatarja aritmetike = shuma e vlerave e pjesëtuar me
numrin e vlerave Ndikohet shumë nga vlerat e ekstreme (skajshmërisht të
vogla apo të mëdha)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mesatarja = 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mesatarja = 4
35
15
5
54321 ==++++4
5
20
5
104321 ==++++
Mediana
Në një varg numrash të renditur sipas madhësisë, mediana është numri i “mesit” (50% të numrave janë nën të, e 50% mbi të)
Nuk ndikohet fare nga vlerat ekstreme
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Median = 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Median = 3
7
Gjetja e medianës
Gjetja e medianës në një varg numrash të renditur sipas madhësisë:
Pozicioni i Medianës …në vargun e numrave
Nëse numri i vlerave në varg është tek, mediana është numri i mesit Nëse numri i vlerave në varg është çift, mediana është mesatarja
(aritmetike) e dy numrave të mesit
Vërejtje: nuk është vlera e medianës, por vetëm pozita e
medianës në vargun e të dhënave të renditur sipas madhësisë
2
1+= n
2
1+n
Moda
Tregues i tendencës qendrore Është vlera që përsëritet më së shpeshti Nuk ndikohet nga vlerat ekstreme Mund të përdoret edhe për të dhëna numerike
edhe për kategorike Mund të ketë disa moda në të dhëna Por mund të mos ketë asnjë modë
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Moda = 9
0 1 2 3 4 5 6
S’ka modë
Pesë shtëpi në bregdet, në largësi të ndryshme nga plazhi shiten me çmime të ndryshme:
Shembull
$2,000 K
$500 K
$300 K
$100 K
$100 K
€ 2,000,000
€ 500,000
€ 300,000
€ 100,000
€ 100,000
Shembull (2):
Mesatarja: (€ 3,000,000/5)
= € 600,000
Mediana: vlera që qëndron në mes të vargut të dhënave të rradhitur sipas madhësisë = € 300,000
Moda: vlera më e shpeshtë = € 100,000
Çmimet e shtëpive:
€ 2,000,000 € 500,000 € 300,000 € 100,000 € 100,000
Shuma € 3,000,000
11
Mesatarja përdoret në përgjithësi, përveç nëse ka vlera ekstreme (“skajshme”) në të dhënta
Pastaj mediana përdoret shpesh, pasi që nuk ndikohet vlerat ekstreme P.sh.: Mund të themi se mediana e
çmimeve të shtëpive në një rajon – më pak e ndjeshme ndaj vlerave ekstreme
Cili tregues është “më i mirë”?
12
Kuartilet
Kuartilet e ndajnë vargun e të dhënave (të rradhitura sipas madhësisë) në 4 segmente me numër të njëjtë të vlerave për çdo segment
25% 25% 25% 25%
Kuartilja e parë, Q1, është vlera në krahasim me të cilën 25% të vlerave janë të të vogla, ndërsa 75% janë më të mëdha
Q2 është e njejtë sikur mediana (50% janë të të vogla, 50% janë më të mëdha)
Vetëm 25% të vlerave janë më të mëdha se kuartilja e tretë (Q3)
Q1 Q2 Q3
13
Formulat e kuartileve
Kuartilet gjenden duke gjetur pozitën e duhur në vargun e të dhënave të renditura sipas madhësisë, ku
Pozita e kuartiles së parë: Q1 = (n+1)/4
Pozita e kuartiles së dytë: Q2 = (n+1)/2 (pozicioni i medianës)
Pozita e kuartiles së dytë: Q3 = 3(n+1)/4
ku n është numri i vlerave të vrojtuara
14
Kuartilet: shembull
Të dhënat e renditura sipas madhësisë: 11 12 13 16 16 17 18 21 22
Shembull: Gjej kuartilen e parë
Q1 dhe Q3 janë tregues të pozicionit joqendror Q2 = mediana, është tregues i tendencës qendrore
15
(n = 9)
Q1 është në (pozicionin (9+1)/4 = 2.5 të të dhënave të
renditura sipas madhësisë, kështu që është në mes numrit
të 2-të dhe të 3-të (të vargun të renditur sipas madhësisë),
pra Q1 = 12.5
(n = 9)
Q1 është në pozitën (9+1)/4 = 2.5 të vargut,
pra Q1 = 12.5
Q2 është në pozitën (9+1)/2 = 5th të vargut,
pra Q2 = mediana = 16
Q3 është në pozitën 3(9+1)/4 = 7.5 position të vargut,
pra Q3 = 19.5
Kuartilet: shembull (2)
Shembull:
16
Të dhënat e renditura sipas madhësisë: 11 12 13 16 16 17 18 21 22
Mesatarja gjeometrike
Mesatarja gjeometrike Përdoret për të llogaritur normën e ndryshimit të
variablave gjatë kohës
Mesatarja gjeometrike e normës së kthimit të investimit Mat statusin e investimit gjatë kohës
Ku Ri është norma e kthimit në periudhën i
n/1n21G )XXX(X ×××=
1)]R1()R1()R1[(R n/1n21G −+××+×+=
17
Shembull
Vlera e investimit është ulur nga €100,000 në €50,000 në fund të vitit të parë, dhe pastaj është
kthyer prap në €100,000 në fund të vitit të dytë:
50% ulje 100% rritje
Kthimi i përgjithshëm gjatë dy viteve është zero, sepse ka filluar dhe ka mbaruar në të njejtin nivel.
18
X1 = €100,000 X2 = €50,000 X3 = €100,000
Shembull (2)
Përdor kthimin e vitit 1 për të llogaritur mesataren aritmetike dhe atë gjeometrike:
%0111)]2()50[(.
1%))]100(1(%))50(1[(
1)]R1()R1()R1[(R
2/12/1
2/1
n/1n21G
=−=−×=
−+×−+=
−+××+×+=
%252
%)100(%)50(X =+−=
Mesatarja aritmetike:
Mesatarja gjeometrike:
Rezultat që dezinformon
Rezultat më i saktë
19
Treguesit numerikë për popullacionin
Treguesit përmbledhës për popullacionin quhen parametera
Mesatarja aritmetike e popullacion është shuma e vlerave të
popullacionit e pjesëtuar me madhësinë e popullacionit, N
N
XXX
N
XN21
N
1ii +++==µ
∑=
μ = mesatarja aritmetike e popullacionit
N = madhësia e popullacionit
Xi = vlerat e variablës X për secilin element (i)
Ku
20
Disa çështje etike
Treguesit përshkrues numerik:
Duhet të dokumentojnë edhe rezultatet “e mira” edhe ato të “këqijat”
Duhet të prezentohen në mënyrë të drejtë (fer), objektive dhe neutrale
Nuk duhet të përdoren tregues përmbledhës që nuk janë të përshtatshëm për t’i paraqitur faktet ndryshe nga ç’janë
21
Pyetje dhe Komente?
Chap 3-22