Der LIBORMaximale Entropie
DatenanalyseConclusion
LIBOR Prediction and Manipulation
Thomas Spanninger
9. Dezember 2016
Thomas Spanninger LIBOR Prediction and Manipulation
Der LIBORMaximale Entropie
DatenanalyseConclusion
Inhaltsverzeichnis
1 Der LIBOR
2 Maximale Entropie
3 Datenanalyse
4 Conclusion
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Der LIBORMaximale Entropie
DatenanalyseConclusion
Based on:
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Der LIBOR
Der LIBOR (London Interbank Offered Rate) ist eine Zinsrate, dieeine gewisse Indikation uber den Zustand des Finanzmarktes gebenkann. Diese Rate wurde 1986 von der Britsh Banking Association(BBA) ins Leben gerufen mit der Definition:
...the rate at which an individual Contributor Panel bank couldborrow funds, were it to do so by asking for and then acceptinginter-bank offers in reasonable market size, just prior to 11:00[a.m.] London time.
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LIBOR as percentage
Timeline of the LIBOR:
Quelle: https://fred.stlouisfed.org
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Bedeutung des LIBOR
Der LIBOR hat unter anderem folgende drei Eigenschaften:
1 Er wurde als Maß der Kreditkosten auf dem Interbankenmarktangesehen.
2 Vor der Finanzkrise wurde der LIBOR als risikofreie Zinsratebetrachtet.
3 Er bildet ein Signal der weltweiten Finanzmarkte, weil erBewertungsgrundlage fur Finanzprodukte im Wert mehrererBillionen Dollar ist.
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Eigenheiten des LIBOR
Das spezielle am LIBOR ist, dass er nicht auf Grund tatsachlicherTransaktionen gebildet wird, sondern aus den Angaben von denvon der BBA ausgewahlten Banken ihrer erwartetenKreditkostenschatzung, die wie folgt spezifiziert werden:
At what rate could you borrow funds, were you to do so by askingfor and then accepting inter-bank offers in a reasonable market sizejust prior to 11 am?
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Glaubwurdigkeit und Transparenz
Bis zum 29. Mai 2009 wurder der LIBOR als glaubwurdigeIndikation der Kreditkosten unter Banken angesehen. Andiesem Tag publizierte Carrick Mollenkamp and MarkWhitehouse einen Artikel, in dem Bedenken uber dieTransparenz und Glaubwurdigkeit des LIBORs geaußertwurden.
Einige Institutionen deckten in weiterer Folge Manipulationendes LIBORs auf. Nachdem einige Banken um Nachsichtgeboten haben, bemuhten die Juristen das Sprichwort:confessio est probatio probatissima, ubersetzt: Das Gestandnisist der beste Beweis.
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Wieso Manipulation?
Grunde und Nutzen einer falschlichen Angabe einer Bank:
1 Mit der Angabe niedriger Zinssatze gibt die Bank Signaleeiner gesunden finaziellen Situation an.
2 Durch eine Angabe niedriger Zinssatze konnten gewissePortfolioteile, die uber den LIBOR bewertet werden, hoherenGewinn abwerfen.
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Die Idee - der Outcome
Ursprungliche Idee des Papers: Prognose des LIBOR
Erkenntnis des Papers: Manipulationsidikationsmethode furLIBOR
Verwendeter Ansatz: Prinzip der Maximalen EntropieM.T. Martin, A. Plastino, V. Vampa, and G. Judge. A parametric,information-theory model for predictions in time series. Physica A:Statistical Mechanics and its Applications, 405(0):63 – 69, 2014.
Quelle: http://sayitwithscience.tumblr.com/post/26114861112/maximum-entropy-distributions-entropy-is-an
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Die Zeitreihe - prognostiziert
Folgende Zeitreihe mit Beobachtungen des LIBOR wird betrachtet:
([tk , v(tk)] |k = 1, 2, ...,T ) (1)
Man sucht eine Funktion F : Rn → R, v(t) 7→ v(t + T ), die einenzukunftigen Wert der Zeitreihe aus der Vergangenheit beschreibt(Das Takens Theorem von 1981 garantiert die Existenz):
v(t + T ) = F (v(t))) (2)
mit v(t) = (v1(t), v2(t), ..., vd(t)) (3)
und vi (t) = v(t − (i − 1) ·∆) (4)
∆... Zeitdifferenz zwischen 2 beobachteten Werten (aquidistant)T ... Antizipationszeit (Prognosehorizont)
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Die Zeitreihe - prognostiziert
Bei der Auswahl der Funktionen beschankt man sich auf jene derForm:
F ∗(v(t)) = a0 + ai1 · vi1(t) + ai1,i2 · vi1(t)vi2(t)+
+ ai1,i2,i3 · vi1(t) · vi2(t) · vi3(t)+
+ ai1,i2,...,inp · vi1(t) · vi2(t) · ... · vinp (t)
mit 1 ≤ ik ≤ d und 1 ≤ k ≤ np
Einsteinsche Summenkonvention(einfachster Fall): Uber doppeltauftretende Indizes innerhalb eines Produkts wird summiert.
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Prognosefunktion
Die Anzahl der Koeffizienten ergibt sich durch Kombinationen mitWiederholungen (Reihenfolge egal):(
d
k
)∗=
(d + k − 1)!
k! · (d − 1)!(5)
In Summe sind also Nc Parameter zu schatzen.
Nc =
np∑k=1
(d
k
)∗(6)
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Prognosefunktion
Ausgehend von den Daten
{v(tn), v(tn + T )}, n = 1, ...,M (7)
wird die Funktion uber die Bedingungen:
F ∗(v(tn)) = v(tn + T ), n = 1, ...,M (8)
bestimmt. Dies kann in Matrixschreibweise erfasst werden:
W · a = vT (9)
wobei W eine Matrix der Große M × Nc ist.
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Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
Jeder Parametersatz a wird mit Wahrscheinlichkeit P(a)angenommen. Eine normalisierte Wahrscheinlichkeitsverteilungerfullt: ∫
IP(a) da = 1 (10)
mit da = da1da2 · · · daNc
Jedem Parametersatz a wird fur Shanon’s entropy dessenInformationsgehalt −ln(a) zugeordnet
Es wird dann die Entropie H maximiert, um jeglicheVerzerrung zu vermeiden.
Shannon’s Entropie ist gegeben durch
H(a) = −∫IP(a) ln(P(a)) da (11)
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Shannon’s Entropie
Sofern sie exisitiert ist
H = −∫IP(a) ln
P(a)
P0(a)da (12)
die Relativentropie, der eine A-priori Wahrscheinlichkeitsverteilungvon a zu Grunde gelegt wird.
Die Lagrangemethode wird in weiterer Folge bemuht, um dieWahrscheinlichkeitsverteilung des maximalen Wertes zu finden.
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Die Lagrange-Methode
Die Lagrange-Funktion lautet:
J = −[ ∫
IP(a) ln
P(a)
P0(a)da+
+ λ0
[∫IP(a) da− 1
]+
+ λt
∫I
[WP(a)a− vT ] da]
Daraus folgt die Funktionalableitung:
∂J
∂P(a)= ln
(P(a)
P0(a)
)+ 1 + λ0 + λtW a = 0 (13)
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Ergebnisse
Die Umformumg der FOC impliziert folgendeWahrscheinlichkeitsverteilung:
P(a) = exp(−λ0 − 1) · exp(λtW a)P0(a) (14)
Wenn P0(a) proportional zu exp(−12a
t [σ2]−1a) gewahlt wird,impliziert dies eine Normalverteilung von P(a) mit Erwartungswert:
〈a〉 = −σWtλ (15)
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Ergebnisse
Mit W · a = vT kann der Lagrange-Multiplier eleminiert werden:
λ = −σ−1(WW t
)−1vT (16)
Daraus ergibt sich der Erwartungswert:
〈a〉 = W t(WW t
)−1vT (17)
Diese Matrix W t (WW t)−1 ist als Moore-Penrose-Pseudoinversevon W bekannt. Dieses Resultat zeigt zudem, dass der Ansatz dermaximalen Entropie mit dem Least-Square Methode zu demselbenErgebnis fuhrt.
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Prognose
Neue Zeitreihenpunkte (zukunftige) konnen somit wie folgtberechnet werden:
(v(tn + T ))n=1,...,Mp= W a (18)
wobei W eine Matrix der Große Mp × Nc ist.
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Untersuchte Daten - Modellspezifikationen
LIBOR Zeitreihe
LIBOR in pound Sterling
Zeitraum: 1.1.1999 bis 21.10.2008
2560 Datenpunkte
DataStream
Modellspezifikationen
Einbettungsdimension d = 4
Polynomieller Grad np = 2
Nc = 15 Parameter
M = 700 Datenpunkte Trainingszeitraum (bis ca. Mitte 2001)
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Prognosedarstellung
Originale und prognostizierte Werde des LIBOR
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Prognosedarstellung
Originale und prognostizierte Werde des LIBOR
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Prognosedarstellung
Die relativen Mean Square Errors
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Erkenntnisse
Schlechte Prognosequalitat von 2002 bis 2007 (Zeitraum 1)
Gute Prognosequalitat von 2002 bis 2007 (Zeitraum 2)
Wold Zerlegung eines stationaren Prozesses in regularen undsingularen Teil
Vermutung:
In Zeitraum 1 dominiert regularer AnteilIn Zeitraum 2 dominiert singularer (deterministischer) Anteil
Manipulation des LIBOR umfasst auch Kontamination derZeitreihe mit deterministischem Werkzeug
Indirekter Nachweis der LIBOR Manipulation
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Conclusion
Maximale Entropie als Prognosetool
LIBOR Untersuchung von 1999 bis 2008
Nachweis der Manipulation in den Jahren 2007 und 2008
Mogliche Methode, um Manipulationen zu erkennen
Einsetzbar fur Markuberwachungsbehorden
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