LIBOR Prediction and Manipulation - TU Wiensgerhold/pub_files/sem16/v_spanninger.pdf · Der LIBOR hat unter anderem folgende drei Eigenschaften: 1 Er wurde als Maˇ der Kreditkosten

Der LIBORMaximale Entropie

DatenanalyseConclusion

LIBOR Prediction and Manipulation

Thomas Spanninger

9. Dezember 2016

Thomas Spanninger LIBOR Prediction and Manipulation



Inhaltsverzeichnis

1 Der LIBOR

2 Maximale Entropie

3 Datenanalyse

4 Conclusion




Based on:




Der LIBOR

Der LIBOR (London Interbank Offered Rate) ist eine Zinsrate, dieeine gewisse Indikation uber den Zustand des Finanzmarktes gebenkann. Diese Rate wurde 1986 von der Britsh Banking Association(BBA) ins Leben gerufen mit der Definition:

...the rate at which an individual Contributor Panel bank couldborrow funds, were it to do so by asking for and then acceptinginter-bank offers in reasonable market size, just prior to 11:00[a.m.] London time.




LIBOR as percentage

Timeline of the LIBOR:

Quelle: https://fred.stlouisfed.org




Bedeutung des LIBOR

Der LIBOR hat unter anderem folgende drei Eigenschaften:

1 Er wurde als Maß der Kreditkosten auf dem Interbankenmarktangesehen.

2 Vor der Finanzkrise wurde der LIBOR als risikofreie Zinsratebetrachtet.

3 Er bildet ein Signal der weltweiten Finanzmarkte, weil erBewertungsgrundlage fur Finanzprodukte im Wert mehrererBillionen Dollar ist.




Eigenheiten des LIBOR

Das spezielle am LIBOR ist, dass er nicht auf Grund tatsachlicherTransaktionen gebildet wird, sondern aus den Angaben von denvon der BBA ausgewahlten Banken ihrer erwartetenKreditkostenschatzung, die wie folgt spezifiziert werden:

At what rate could you borrow funds, were you to do so by askingfor and then accepting inter-bank offers in a reasonable market sizejust prior to 11 am?




Glaubwurdigkeit und Transparenz

Bis zum 29. Mai 2009 wurder der LIBOR als glaubwurdigeIndikation der Kreditkosten unter Banken angesehen. Andiesem Tag publizierte Carrick Mollenkamp and MarkWhitehouse einen Artikel, in dem Bedenken uber dieTransparenz und Glaubwurdigkeit des LIBORs geaußertwurden.

Einige Institutionen deckten in weiterer Folge Manipulationendes LIBORs auf. Nachdem einige Banken um Nachsichtgeboten haben, bemuhten die Juristen das Sprichwort:confessio est probatio probatissima, ubersetzt: Das Gestandnisist der beste Beweis.




Wieso Manipulation?

Grunde und Nutzen einer falschlichen Angabe einer Bank:

1 Mit der Angabe niedriger Zinssatze gibt die Bank Signaleeiner gesunden finaziellen Situation an.

2 Durch eine Angabe niedriger Zinssatze konnten gewissePortfolioteile, die uber den LIBOR bewertet werden, hoherenGewinn abwerfen.




Die Idee - der Outcome

Ursprungliche Idee des Papers: Prognose des LIBOR

Erkenntnis des Papers: Manipulationsidikationsmethode furLIBOR

Verwendeter Ansatz: Prinzip der Maximalen EntropieM.T. Martin, A. Plastino, V. Vampa, and G. Judge. A parametric,information-theory model for predictions in time series. Physica A:Statistical Mechanics and its Applications, 405(0):63 – 69, 2014.

Quelle: http://sayitwithscience.tumblr.com/post/26114861112/maximum-entropy-distributions-entropy-is-an




Die Zeitreihe - prognostiziert

Folgende Zeitreihe mit Beobachtungen des LIBOR wird betrachtet:

([tk , v(tk)] |k = 1, 2, ...,T ) (1)

Man sucht eine Funktion F : Rn → R, v(t) 7→ v(t + T ), die einenzukunftigen Wert der Zeitreihe aus der Vergangenheit beschreibt(Das Takens Theorem von 1981 garantiert die Existenz):

v(t + T ) = F (v(t))) (2)

mit v(t) = (v1(t), v2(t), ..., vd(t)) (3)

und vi (t) = v(t − (i − 1) ·∆) (4)

∆... Zeitdifferenz zwischen 2 beobachteten Werten (aquidistant)T ... Antizipationszeit (Prognosehorizont)




Die Zeitreihe - prognostiziert

Bei der Auswahl der Funktionen beschankt man sich auf jene derForm:

F ∗(v(t)) = a0 + ai1 · vi1(t) + ai1,i2 · vi1(t)vi2(t)+

+ ai1,i2,i3 · vi1(t) · vi2(t) · vi3(t)+

+ ai1,i2,...,inp · vi1(t) · vi2(t) · ... · vinp (t)

mit 1 ≤ ik ≤ d und 1 ≤ k ≤ np

Einsteinsche Summenkonvention(einfachster Fall): Uber doppeltauftretende Indizes innerhalb eines Produkts wird summiert.




Prognosefunktion

Die Anzahl der Koeffizienten ergibt sich durch Kombinationen mitWiederholungen (Reihenfolge egal):(

d

k

)∗=

(d + k − 1)!

k! · (d − 1)!(5)

In Summe sind also Nc Parameter zu schatzen.

Nc =

np∑k=1

(d

k

)∗(6)




Prognosefunktion

Ausgehend von den Daten

{v(tn), v(tn + T )}, n = 1, ...,M (7)

wird die Funktion uber die Bedingungen:

F ∗(v(tn)) = v(tn + T ), n = 1, ...,M (8)

bestimmt. Dies kann in Matrixschreibweise erfasst werden:

W · a = vT (9)

wobei W eine Matrix der Große M × Nc ist.




Die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Jeder Parametersatz a wird mit Wahrscheinlichkeit P(a)angenommen. Eine normalisierte Wahrscheinlichkeitsverteilungerfullt: ∫

IP(a) da = 1 (10)

mit da = da1da2 · · · daNc

Jedem Parametersatz a wird fur Shanon’s entropy dessenInformationsgehalt −ln(a) zugeordnet

Es wird dann die Entropie H maximiert, um jeglicheVerzerrung zu vermeiden.

Shannon’s Entropie ist gegeben durch

H(a) = −∫IP(a) ln(P(a)) da (11)




Shannon’s Entropie

Sofern sie exisitiert ist

H = −∫IP(a) ln

P(a)

P0(a)da (12)

die Relativentropie, der eine A-priori Wahrscheinlichkeitsverteilungvon a zu Grunde gelegt wird.

Die Lagrangemethode wird in weiterer Folge bemuht, um dieWahrscheinlichkeitsverteilung des maximalen Wertes zu finden.




Die Lagrange-Methode

Die Lagrange-Funktion lautet:

J = −[ ∫

IP(a) ln

P(a)

P0(a)da+

+ λ0

[∫IP(a) da− 1

]+

+ λt

∫I

[WP(a)a− vT ] da]

Daraus folgt die Funktionalableitung:

∂J

∂P(a)= ln

(P(a)

P0(a)

)+ 1 + λ0 + λtW a = 0 (13)




Ergebnisse

Die Umformumg der FOC impliziert folgendeWahrscheinlichkeitsverteilung:

P(a) = exp(−λ0 − 1) · exp(λtW a)P0(a) (14)

Wenn P0(a) proportional zu exp(−12a

t [σ2]−1a) gewahlt wird,impliziert dies eine Normalverteilung von P(a) mit Erwartungswert:

〈a〉 = −σWtλ (15)




Ergebnisse

Mit W · a = vT kann der Lagrange-Multiplier eleminiert werden:

λ = −σ−1(WW t

)−1vT (16)

Daraus ergibt sich der Erwartungswert:

〈a〉 = W t(WW t

)−1vT (17)

Diese Matrix W t (WW t)−1 ist als Moore-Penrose-Pseudoinversevon W bekannt. Dieses Resultat zeigt zudem, dass der Ansatz dermaximalen Entropie mit dem Least-Square Methode zu demselbenErgebnis fuhrt.




Prognose

Neue Zeitreihenpunkte (zukunftige) konnen somit wie folgtberechnet werden:

(v(tn + T ))n=1,...,Mp= W a (18)

wobei W eine Matrix der Große Mp × Nc ist.




Untersuchte Daten - Modellspezifikationen

LIBOR Zeitreihe

LIBOR in pound Sterling

Zeitraum: 1.1.1999 bis 21.10.2008

2560 Datenpunkte

DataStream

Modellspezifikationen

Einbettungsdimension d = 4

Polynomieller Grad np = 2

Nc = 15 Parameter

M = 700 Datenpunkte Trainingszeitraum (bis ca. Mitte 2001)




Prognosedarstellung

Originale und prognostizierte Werde des LIBOR




Prognosedarstellung

Originale und prognostizierte Werde des LIBOR




Prognosedarstellung

Die relativen Mean Square Errors




Erkenntnisse

Schlechte Prognosequalitat von 2002 bis 2007 (Zeitraum 1)

Gute Prognosequalitat von 2002 bis 2007 (Zeitraum 2)

Wold Zerlegung eines stationaren Prozesses in regularen undsingularen Teil

Vermutung:

In Zeitraum 1 dominiert regularer AnteilIn Zeitraum 2 dominiert singularer (deterministischer) Anteil

Manipulation des LIBOR umfasst auch Kontamination derZeitreihe mit deterministischem Werkzeug

Indirekter Nachweis der LIBOR Manipulation




Conclusion

Maximale Entropie als Prognosetool

LIBOR Untersuchung von 1999 bis 2008

Nachweis der Manipulation in den Jahren 2007 und 2008

Mogliche Methode, um Manipulationen zu erkennen

Einsetzbar fur Markuberwachungsbehorden


LIBOR Prediction and Manipulation - TU Wiensgerhold/pub_files/sem16/v_spanninger.pdf · Der LIBOR hat unter anderem folgende drei Eigenschaften: 1 Er wurde als Maˇ der Kreditkosten

Documents