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Lei dos Senos e dos Cossenos
1. (G1 - cftrj 2014) Considerando que ABC é um triângulo tal que AC 4 cm, BC 13 cm e
A 60 , calcule os possíveis valores para a medida do lado AB.
2. (Ufpr 2014) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma
velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto? a) 10 km. b) 14 km. c) 15 km. d) 17 km. e) 22 km.
3. (G1 - ifsp 2014) A base de um triângulo isósceles mede 3 3 cm e o ângulo oposto à base
mede 120°. A medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é a) 3. b) 2.
c) 3.
d) 1 3.
e) 2 3. 4. (Unicamp 2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de
bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo ˆCAB 30 . Portanto, o comprimento do segmento
CE é:
a) 5
a3
b) 8
a3
c) 7
a3
d) a 2
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5. (Ufsm 2013) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com
frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura.
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? a) 2,29. b) 2,33. c) 3,16. d) 3,50. e) 4,80. 6. (Ufrgs 2013) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é
a) 2 2 3.
b) 2 3.
c) 4 2 3.
d) 2 2 3.
e) 4 2 3.
7. (Epcar (Afa) 2013) Um triângulo é tal que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética e as medidas de seus lados constituem uma progressão geométrica. Dessa maneira, esse triângulo NÃO é a) acutângulo. b) equilátero. c) obtusângulo. d) isósceles. 8. (Unicamp 2013) Um satélite orbita a 6.400 km da superfície
da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km. a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?
b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( ) 3 / 4.θ
Determine a distância d entre o ponto C e o satélite.
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9. (Unesp 2013) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de
São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as
cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dos
alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.
Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de
a) 80 2 5 3
b) 80 5 2 3
c) 80 6
d) 80 5 3 2
e) 80 7 3
10. (Uepb 2012) A diagonal menor de um paralelogramo divide um de seus ângulos internos
em dois outros. Um β e o outro 2 .β A razão entre o maior e o menor lado do paralelogramo é
a) 2senβ
b) 1
2cosβ
c) 2cosβ
d) 1
2senβ
e) tgβ
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11. (Uftm 2012) Na figura, AEFG é um quadrado, e BD divide o ângulo ˆABC ao meio.
Sendo CD 2 3 cm, o lado do quadrado AEFG, em centímetros, mede
a) 3 1
.2
b) 3 1.
c) 6( 3 1)
.5
d) 4( 3 1)
.3
e) 3( 3 1)
.2
12. (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que
AB 80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a
medida de R é igual a:
a) 160 3
m3
b) 80 3
m3
c) 16 3
m3
d) 8 3
m3
e) 3
m3
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13. (Ufg 2012) Observe a figura a seguir, em que estão indicadas as medidas dos lados do
triângulo maior e alguns dos ângulos.
O seno do ângulo indicado por α na figura vale:
a) 4 3 3
10
b) 4 3
10
c) 4 3 3
10
d) 4 3 3
10
e) 4 3 3
10
14. (Uem 2012) Sejam A, B e C os vértices de um triângulo retângulo, sendo  o ângulo reto e
AC medindo o triplo de AB. Considerando agora os pontos D e E no segmento AC, de modo que AD = DE = EC, e F sendo o ponto médio do segmento BC, assinale o que for correto.
01) cos(B) = 10
10.
02) Os triângulos BDC e FEC são congruentes.
04) sen(BDC) = 2
2.
08) Os triângulos EDF e BDF são semelhantes.
16) cos(EFC) = 5
5.
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15. (Unesp 2012) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com
intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.
(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos 0,934 , onde é o ângulo
Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 8 22 3 93,4 215 100 , a velocidade média, em km/h, com
que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 250. e) 600. 16. (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.
Visada Ângulo
^
ACB 6π
^
BCD 3π
^
ABC 6π
a) Calcule a distância entre A e B. b) Calcule a distância entre B e D.
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17. (Fgv 2012) a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os
décimos. Se quiser, use algum destes dados: 235 1225 ; 236 1296 ; 237 1369 .
b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com
as seguintes medidas dos lados: 6 cm , 8 cm , e 16 cm . Ele conseguirá fazer o cartaz? Por
quê? 18. (Uftm 2012) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas
por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km.
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a
a) 8 17.
b) 12 19.
c) 12 23.
d) 20 15.
e) 20 13. 19. (Pucrj 2012) Seja um hexágono regular ABCDEF. A razão entre os comprimentos dos
segmentos AC e AB é igual a:
a) 2
b) 3
2
c) 1 5
2
d) 3 e) 2
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20. (Ufsm 2011) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região
metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A mede 45° e o ânguloC mede 75°.
Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é
a) 8 6
3
b) 4 6
c) 8 2 3
d) 8( 2 3)
e) 2 6
3
21. (G1 - cftmg 2011) Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do acampamento A.
Dado: sen 20º 0,342
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° em relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente, a) 190. b) 234. c) 260. d) 320.
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22. (Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio
e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que
se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e
valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura:
a) 12,5.
b) 12,5 2 . c) 25,0.
d) 25,0 2 . e) 35,0.
23. (Ita 2011) Num triângulo AOB o ângulo AÔB mede 135° e os lados AB e OB medem
2 cm e 2 3cm , respectivamente. A circunferência de centro em O e raio igual a medida
de OB intercepta AB no ponto C (≠ B).
a) Mostre que mede 15°.
b) Calcule o comprimento de AC
24. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa
circunferência λ de raio R
Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência á de raio r, então a razão entre os
quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a
a) 2 2
b) 2 2 2
c) 2 2 2
d) 2 2 25. (Fuvest 2011) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o
ponto médio de AB , N é o ponto médio de BC e 14MN4
.Então, DM é igual a
a) 2
4 b)
2
2 c) 2 d)
3 2
2 e)
5 2
2
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26. (G1 - ifal 2011) Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30° e os lados que formam
cada um desses ângulos medem 3 3 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais
desse paralelogramo.
a) 6 cm
b) 3 cm
c) 3 3 cm
d) 7 cm
e) 15 3 cm 27. (Ufpb 2011) Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas
paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: • o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma
parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C); • o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem
parada intermediária.
Supondo que AB 300 3 m, BC 200 m, BÂP = 20º e ˆCBN 50 , é correto afirmar que
a distância entre os pontos A e C é de: a) 700 m b) 702 m c) 704 m d) 706 m e) 708 m
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Gabarito: Resposta da questão 1:
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABC, temos:
2 2 2
2
2
13 4 x 2 4 x cos60
113 15 x 8x
2
x 4x 3 0
Resolvendo a equação do segundo grau, temos x = 1 ou x = 3. Resposta: 1 cm ou 3 cm. Resposta da questão 2: [B] Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N1) terá percorrido 16 km e o navio 2 (N2) terá
percorrido 6 km.
Temos, então, a seguinte figura:
Sendo d a distância entre os navios, temos:
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2 2 2
2
2
d 16 6 2 16 6 cos60
1d 256 36 192
2
d 196
d 14km
Resposta da questão 3: [A]
Aplicando o teorema dos cossenos, temos:
2 2 2
2 2
2
2
3 3 x x 2 x x cos120
127 2x 2x
2
27 3x
x 9
x 3
Logo, a medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 3 cm.
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Resposta da questão 4:
[C]
2 2 2
2 22
2
a 3 a 2aNo CMB : cos30° x
x 2 x 3
a3 a a2No ENB : cos30° y
y 2 2y 3
ˆCBE 180 30 30 120
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos:
CE x y 2.x.y.cos120
4a a 2a a 1CE 2
3 3 23 3
5aCE
Δ
Δ
2 2
22
2a
3 3
7aCE
3
7CE a.
3
Resposta da questão 5:
[D] Pela Lei dos Cossenos, obtemos:
2 2 2
2 2
BC AC AB 2 AC AB cosBAC
(0,8) 1 2 0,8 1 cos150
30,64 1 2 0,8
2
1,64 0,8 1,7
3.
Logo, BC 1,7 e, portanto, o resultado é 1 0,8 1,7 3,5.
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Resposta da questão 6:
[C] Considere a figura.
Como AB AD 4 u.c. e BAD 30 , pela Lei dos Cossenos, obtemos
2 2 2
2 2
BD AB AD 2 AB AD cosBAD
34 4 2 4 4
2
2 16 16 3.
Portanto,
BD 4 2 3 u.c.
Resposta da questão 7:
[C] Os ângulos internos deste triângulo poderão ser representados por x – r, x, x + r. Somando x – r + x + x + r = 180° x = 60°.
Escrevendo os lados em P.G., temos a seguinte figura:
Aplicando, agora, o teorema dos cossenos no triângulo acima, temos:
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2
22 a a 1a a q 2 a q
q q 2
Dividindo ambos os membros da equação por a
2, temos:
2 2
2
4 2
22
2
11 q 1 ( q )
q
q 2q 1 0
q 1 0
q 1 0
q 1
Logo, o triângulo é equilátero de lados a, a e a. E o triângulo equilátero jamais será obtusângulo. Resposta da questão 8: a) No triângulo assinalado:
R é a medida do raio da terra.
R 1cos 60
R R 2α α
Portanto, o arco AB mede 120° e seu comprimento será dado por:
2 R 2 6400 12800km.
3 3 3
π π π
b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:
2 2 2
2 2 2
2
d R (2R) 2.R.2R.cos
d 5R 4.R .(3/4)
d 2.R
d R 2
d 6400. 2 km
θ
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Resposta da questão 9:
[B]
Sejam S,P,G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São
Paulo, Guaratinguetá e Campinas.
Sabendo que SPC 60 e CPG 90 , vem SPG 150 . Logo, aplicando a Lei dos Cossenos
no triângulo SPG, encontramos
2 2 2
2 2
SG SP PG 2 SP PG cosSPG
80 160 2 80 160 cos150
36400 25600 2 12800
2
6400 (5 2 3)
Portanto, SG 80 5 2 3 km.
Resposta da questão 10:
[C] Sejam x e y, respectivamente, as medidas do maior lado e do menor lado do paralelogramo.
Desse modo, num dos triângulos determinado pela diagonal menor do paralelogramo, tem-se
2β oposto a x e β oposto a y. Assim, aplicando a Lei dos Senos, obtemos
x y x 2sen cos
sen2 sen y sen
x2cos .
y
β β
β β β
β
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Resposta da questão 11:
[E] Seja o lado do quadrado.
Como AEFG é um quadrado, segue que o triângulo ABC é retângulo. Logo, ˆABC 60 . Além
disso, sabemos que BD é bissetriz de ˆABC e, portanto, ˆ ˆABD CBD 30 . Daí, segue que
ˆBDC 120 .
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo BCD, obtemos
BC CD BC 2 3BC 6cm.
ˆ ˆ 1senBDC senCBD 3
22
Assim, no triângulo ABC, temos que
ABˆcosABC AB 6 cos60 3cm.BC
Por conseguinte, do triângulo BGF, vem
GF 3 3( 3 1)ˆtgABD cm.3 3 2BG
Resposta da questão 12: [B] Pela Lei dos Senos, segue que:
AB 80 80 3 80 32R 2R R m.
sen60 33 3 3
2
Resposta da questão 13:
[A]
Considere a figura, na qual AB 6, AC 10 e BC 8.
Do triângulo retângulo ABD, obtemos
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BDtgBAD BD AB tg30
AB
3BD 6
3
BD 2 3.
Além disso, pelo Teorema do Ângulo Externo, segue que
ADC DAB ABD
30 90
120 .
Portanto, pela Lei dos Senos, vem
CD AC 8 2 3 10
sen sen120senDAC senADC
4 3sen sen60
5
4 3 3sen
5 2
4 3 3sen .
10
Resposta da questão 14:
01 + 04 = 05. Dados Iniciais
(01) Verdadeiro.
2 2
2 2 2 2BC (AC) (AB) BC (3x) (x) BC 10 x
Logo, x 10
cosB1010x
(02) Falso. Dois triângulos são denominados congruentes quando têm a mesma forma e as
mesmas dimensões. Logo, os triângulos BDC e FEC não são congruentes, pois não possuem o mesmo tamanho.
(04) Verdadeiro.
22 2
22 2
2 2 2 2
BC (BD) (DC) 2(BD)(DC)cos(BDC)
10x (x 2) (2x) 2(x 2)(2x)cos(BDC)
10x 2x 4x 4 2x cos(BDC)
2 2cosBDC senBDC
2 2
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(08) Falso. Dois triângulos são denominados semelhantes se possuem seus três ângulos
congruentes e seus lados proporcionais. Logo, os triângulos EDF e BDF não são semelhantes,
(16) Falso.
22 2
2 2
2
2 22 2
EC (EF) (FC) 2(EF)(FC)cos(EFC)
x 2 x 10 x 2 x 10x 2 cos(EFC)
2 2 2 2
x 5x1x x 5 cos(EFC)
2 2
2 5cosEFC
5
Resposta da questão 15:
[E] Considere a figura.
Sabendo que ET 360km, ST 320km, cos 0,934 e que 8 22 3 93,4 215100, pela Lei
dos Cossenos, vem
2 2 2
2 2 2
2 2 2 5
2 8 2
2
ES ET ST 2 ET ST cos
ES 360 320 2 360 320 0,934
ES 129600 102400 2 2 3 2 93,4
ES 232000 2 3 93,4
ES 232000 215100
ES 16900 ES 130km.
Portanto, como 13
13min h,60
temos que a velocidade média pedida é dada por
130600km h.
13
60
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Resposta da questão 16:
a)
No triângulo ABC assinalado, temos:
2 2 2
2 2
2
2
15 x x 2 x x cos120
1225 2x 2x
2
225 3x
x 75
x 5 3m
b)
No triângulo BDC, temos:
2 2 2
2
y 15 10 2 15 10 cos60
y 225 100 150
y 175
y 5 7m
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Resposta da questão 17:
a) Calculando a medida x do lado que falta temos:
x2 = 6
2 + 8
2 – 2 6 8 cos60°
x = 52
x = 2 13
x 2 3,6 (de acordo com as aproximações dadas)
x 7,2
Portanto, o perímetro das figuras será dado por P = 6 + 8 + 7,2 = 21,2. b) Não, pois 16 > 6 + 8 (a medida do lado de um triângulo deve ser menor que a medida dos outros dois). Resposta da questão 18: [B] Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos
2 2 2
2 2 2
2
BC AB AC 2 AB AC cosBAC
1BC 36 24 2 36 24
2
BC 1296 576 864
BC 2736 12 19 km.
Resposta da questão 19:
[D]
2 2 2AC a a 2 a a cos120 AC a 3
Logo, AC a 3
3.AB a
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Resposta da questão 20:
[B]
α=o o o o180 75 45 60
Aplicando o teorema dos senos, temos:
o o
AC 8
sen60 sen45
2 3AC. 8.
2 2
AC 4 6
Resposta da questão 21:
[B]
Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado, temos:
o
o
x 160
0,342sen150
0,342.x 160.sen150
0,342x 80
x 233,9
Aproximadamente 234m. Resposta da questão 22:
[B]
No triângulo ABC oABC 45 , aplicando o teorema dos senos, temos:
o o
50 BCBC. 2 50 BC 25 2
sen45 sen30
No triângulo BDC, temos: o h 1 h
sen30 h 12,5 2225 2 25 2
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Resposta da questão 23:
a) Utilizando o teorema dos senos, temos:
o
2 3 2 2 3sen
sen 2sen135
Sabendo que 2
32
4
3215
4
2615
2
2
oo sensen , concluímos então que:
= 15o
b) O triângulo ACB é isósceles logo AC = AB = 2 3cm .
Resposta da questão 24: [C] A razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências é igual a razão entre os quadrados dos raios. Observe a figura.
Na figura, temos:
No ΔOMB temos: 2 2x R r
Aplicando agora o teorema dos cossenos no ΔOAB:
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2 2 2 o
2 2 2 2
2 2
2
2
2
2
2x R R 2.R.R.cos 45
4(R r ) 2.R R . 2
R (2 2) 4.r
R 4
2 2r
R2.(2 2)
r
Resposta da questão 25:
[B]
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos:
2 2 214 1 1 1 1
2. . .cos4 2 2 2 2
Resolvendo, temos
3cos
4 e que cos
o3( 180 )
4
Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos:
222
222
1 1(AD) 1 2. .1.cos
2 2
1 1 3(AD) 1 2. .1.
2 2 4
AD = 1 3
14 4
AD = 2
2
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Resposta da questão 26:
[D] Aplicando o teorema dos cossenos, temos:
d2 = 5
2 + ( 3 3 )
2 – 2.5. 3 3 .cos30o
d2 = 25 + 27 -30
33.
2
d2 = 52 – 45
d = 7
Resposta da questão 27: [A]
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:
2
2 2
2
3AC 300 3 200 2.300 3.200.
2
AC 270000 40000 180000
AC 490000
AC 700m