L 24a MO:
identificazione politiche efficienti
Rodolfo Soncini Sessa
MODSSCopyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 2
Analisi a molti attributiSpesso gli obiettivi sono numerosi e incommensurabili.
Esempio Risanamento di un lago inquinato n alternative di intervento
q obiettivi
Quale scegliere?
J2
J1
min [costo]J1
min [impopolarità]J2
min [tempo]J3
min [rischio]J4
a molti attributi
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 3
Il Problema di progetto
xt+1 = ft xt,u
p,ut,wt,εt+1( ) t=0,...,h-1
up ∈U p
mt(xt)@ut ∈Ut up,xt( ) t=0,...,h-1
εt+1 : φt ⋅up( ) t=0,...,h-1
w0h−1 scenario dato
x0 stato dato
p@ mt(g); t=0,...,h-1{ }
eventuali altri vincoli t=0,...,h-1
J (u p*, p*) =min
up ,pE
εt{ }t=1,...,h
i(x0h,up,u0
h−1,w0h−1,ε1
h)⎡⎣
⎤⎦
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 4
Analisi a molti obiettivi
Esempio: Gestione delle acque di un lago regolato: infinite alternative (politiche)
q obiettivi
Vale la pena spostarsi da H ?
H
J2
J1
min [piene a valle]J2
min [deficit agricoli]J3
min [deficit idroelettrici]J4
min [zanzare] J7
min [ostacoli navigazione]J5
min [rischio igienico]J6
min [piene sul lago]J1
a molti obiettivi
5
Il Piano del SinaiObiettivo: migliorare la qualità della vita in Egitto, aumentando la superficie coltivata,
Proposte di progetto: bonifica di zone desertiche (reclaimed lands) nelle 7 aree Zj (j=1,...,7) sfruttando l’acqua dei 4 canali Ss (s=1,...,4) e scegliendo la rotazione Ri colturale e la tecnica irrigua Ih (h=1,2,3) appropriate.
Criterio di valutazione: beneficio netto a regime
economico popolamento della regione socio-politico
e accrescere l’occupazione, presidiando al contempo la regione.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 6
Il Piano del Sinai: Fase2- definizione degli indicatori
Il Progetto comprende 2 obiettivi e non può più essere formulato con l’ACB (richiesta inizialmente dal Ministero).
Oltre all’obiettivo economico ...
va considerato anche quello socio-politico
max B
agr−Cirr −Ctr −Copp
⎡⎣ ⎤⎦
max minj
uijh1
Aj( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑
Massimizzare la più piccola frazione di area bonificata tra tutte le zone.
, pi u w
Area [feddan] da destinare alla rotazione Ri nella zona Zj con la tecnica irrigua Ih.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 7
Il Piano del Sinai: Fase 4 – Progetto delle alternative
Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma
J (u p*) = max
up ,Q1 ,...,Q7
i up,w( )
soggetto ai vincoli
max minj
uijh1
Aj( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
Qj=
[1−αlsj ]usj2Qs
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑
[1−αlsj ]usj2
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑ ∀j
u
sj2 ≤ws
j∈ j: (s, j )∈F{ }
∑ ∀s
u
ijh1 ≤Aj
( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ∀j
(1−αlsj )usj
2
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑ − Wihuijh1
( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ≥0 ∀j
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 8
Il Problema di progetto
xt+1 = ft xt,u
p,ut,wt,εt+1( ) t=0,...,h-1
up ∈U p
mt(xt)@ut ∈Ut up,xt( ) t=0,...,h-1
εt+1 : φt ⋅up( ) t=0,...,h-1
w0h−1 scenario dato
x0 stato dato
p@ mt(g); t=0,...,h-1{ }
eventuali altri vincoli t=0,...,h-1
J (u p*, p*) =min
up ,pE
εt{ }t=1,...,h
i(x0h,up,u0
h−1,w0h−1,ε1
h)⎡⎣
⎤⎦
J (u p*, p*) =minup ,p
J 1(up, p)
J (u p*, p*) =minup ,p
J 1(up, p), J 2(up, p),..., J q(up, p) ⎡⎣
⎤⎦
a MO
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 9
Efficienza = Pareto ottimalità
A
C
J1
J2
A
BC
J2
J1
C e’ preferibile ad A perche’ migliore rispetto a entrambi gli obiettivi
A e’dominato da C
A e B sono semidominati da C
B
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 10
Efficienza = Pareto ottimalità
J2
J1
soluzione efficientesoluzione non dominata da altre soluzioni
J2
J1
l’insieme di queste soluzioni è detto:
frontiera di Paretofrontiera di Pareto
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 11
J (z)
Formalmente
Z
J (z) = J 1(z), J 2(z),.............., J q(z)min
z ∈ Z
spazio delle alternative
J2
J1 spazio degli obiettivi
frontiera di Pareto
* * ( )Z z J z J
J * =J (z) ∃z∈ Z :∃j : J j (z) < J j (z) e J i (z) ≤J i (z)∀i ≠ j
i =1,.......q j =1,........q
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪
Non e’ una relazione biunivoca!!
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 12
Soluzione di un problema a MOSpesso si suddivide la ricerca in 2 fasi:
1) determinazione della Frontiera; (metodo dei pesi, dei vincoli, del punto di riferimento)
L’idea guida è di ricondurre il problema MO a un insieme di problemi a un solo obiettivo.
2) Scelta del miglior compromesso da parte dei DM (o Portatori).Quando il DM è unico si possono “suggerirgli” dei metodi per
scegliere: massima curvatura, utopia, funzione utilità globale.
Esistono anche tecniche che non suddividono la ricerca in due fasigrazie alla partecipazione interattiva con il DM. (ad es. Pareto Race)
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 13
Metodi per la determinazione della frontiera
Metodo lessicografico
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 14
Metodo lessicografico
min J (z)
z ∈ Z
Gli obiettivi Ji possono avere diverse priorità. Esempio:Legge Galli => stabilisce che l’uso dell’acqua per consumo umano
è prioritario rispetto agli altri usi.
Si deve tenerne conto nell’impostazione del problema di controllo. Si avrà un ordinamento degli obiettivi:
obiettivo primario, secondario …..
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 15
Metodo lessicografico
min J (z)
z ∈ ZSupponiamo di avere due obiettivi J1 e J2 così ordinati:
primario J2, secondario J1
1° problema
min J 2(z)
z ∈ Z
J 2
J 1
sottoinsieme Z 2 dove J 2 è minimo
z 2
z 1
2° problema
min J 1(z)
z ∈ Z2
Z
J1e J 2 minimi
J 2 minimo
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 16
Metodo lessicografico
min J (z)
z ∈ ZSe l’ordine è invece:
primario J1, secondario J2
1° problema
min J 1(z)
z ∈ Z
J 2
J 1
z 2
z 1
2° problema
min J 2(z)
z ∈ Z1
Z
sottoinsieme Z 1 dove J 1 è minimoJ 1 minimo
J1e J 2 minimi
estremi della
Frontiera di Pareto
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 17
Metodi per la determinazione della frontiera
Metodo dei pesi
Per un esempio applicativo del metodo dei pesi, si rimanda alla lezione :Analisi a molti obiettivi - esempi
Metodo lessicografico
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 18
min λ i J i (z)i=1
q
∑z∈ Z
Metodo dei pesi
Al variare di {λi} si generano i punti della frontiera.
q-1 gradi di libertà
min J (z)
z ∈ Z
modifico il valore dei pesi
0≤λ i ≤1
λ i
i=1
q
∑ =1J1
J2
λ1J 1 +λ2 J 2 =v
punto paretianopunto paretiano
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 19
Pregi e difetti
Pregio : si ottiene sempre un punto Paretiano
Difetto : non sempre si ottengono tutti i punti
J2
J1
Ciò accade quando la frontiera di Pareto non è convessa.
Punti non ottenibili
Il metodo assomiglia all’Analisi Costi –Benefici.
I pesi corrispondono ai prezzi ombra.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 20
Metodi per la determinazione della frontiera
Metodo dei pesi
Metodo dei vincoli
Per un esempio applicativo del metodo dei vincoli, si rimanda alla lezione :Analisi a molti obiettivi - esempi
Metodo lessicografico
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 21
L2
Metodo dei vincoliMetodo dei vincoli
J1
J2
Al variare delle soglie {Li} si generano i “presunti” punti paretiani.
min J (z)
z ∈ Z
q-1 gradi di libertà
min J r (z)
z ∈ Z
J i (z) ≤Li i =1,...,q i ≠r
“presunto” punto paretiano
modifico il valore della soglia L2
PP
L2
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 22
Pregi e difetti
Difetto: non tutti i punti generati appartengono alla frontiera di Pareto
P può essere semi-efficiente! J2
J1
P
J2 =L2
Se si usa un vincolo di uguaglianza si possono ottenere punti dominati
J2
J1
PPregio: trova punti in zone concave della frontiera
J2
J1
P
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 23
Metodi per la determinazione della frontiera
Metodo dei pesi Metodo dei vincoli
Metodo del punto di riferimento
Per un esempio applicativo del metodo del punto di riferimento, si rimanda alla lezione :
Analisi a molti obiettivi - esempi
Metodo lessicografico
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 24
J1
J2
Metodo del punto di riferimento
• Preso un punto P qualsiasi nel piano (J1,J2), definiamo una misura S:
• Le linee di livello di S sono delle spezzate con vertice lungo la retta inclinata a 45° passante per R.
• Il DM sceglie un punto R nel piano.
R
P
S =max , ⎡⎣ ⎤⎦ 1 1J R
J 2 −R2( )
S
S
P
S
P
S
P
2 2Jz ,R RS J 1 1Jz ,R RS J max i i
iS J z ,R J R
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 25
Metodo del punto di riferimento
L’algoritmo cerca il punto della frontiera di Pareto “più vicino” secondo la metrica S(Ji(z),R).
Modificando R si può esplorare la frontiera di Pareto.
min J (z)
z ∈ Z
minz∈Z
S J z( ),R( ) =
=minz∈Z
maxi
J i −Ri⎡⎣
⎤⎦
R
J1
J2
PR’
Il DM fornisce R.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 26
Pregio: se la trasformazione dell’insieme Z nello spazio degli obiettivi è un insieme non convesso, posso ottenere punti che non giacciono sulla retta passante per R e inclinata di 45°;
N.B.: R può appartenere all’insieme degli obiettivi realizzabili. Infatti S(J,R) non è una distanza e può quindi assumere valori negativi.
J1
J2R
R
Pregi e difetti
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 27
Scelta del miglior compromesso
La scelta di un punto sulla frontiera di Pareto non è una decisione tecnica, ma politica. Deve essere dunque fatta dal DM o dai decisori.
L’analista deve solo assistere (supportare) il DM nella sua scelta o gestire gli aspetti tecnici della negoziazione tra i decisori.
I metodi suggeriti nelle prossime diapositive devono essere visti come esempi di supporto al DM. La Pareto race può essere utilizzata anche nel caso di molti decisori. Si veda il Progetto Verbano.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 28
Scelta del migliore compromesso criterio della max curvatura
In C la curvatura è max:non conviene spostarsi da lì per cercare una soluzione migliore.
J2
J1
C
Per migliorare di poco un obiettivo si peggiorerebbe di molto l’altro.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 29
Scelta del migliore compromessocriteri dell’utopia
L’utopia U rappresenta i minimi assoluti (e indipendenti) degli obiettivi (per questo non è quasi mai realizzabile).
J2
J1
UC
Partendo da un punto H storico
J2
J1
U
H
C
Minima distanza
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 30
Scelta del migliore compromessocurve di indifferenza
La scelta del miglior compromesso dovrebbe rispecchiare i meccanismi di preferenza del DM.
Si utilizzano tecniche basate sui test o sulle interviste per ottenere le curve di indifferenza.
Luogo dei punti equivalentiper il DM: linee di livello della funzione utilità globale.
J2
J1
C
Il punto di compromesso è il punto C in cui una curva di indifferenza è tangente alla
frontiera di Pareto.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 31
Scelta del migliore compromessoPareto race
Dato un punto R1 proposto dal DM, si determina un punto paretiano.
Si itera permettendo così al DM di esplorare la frontiera di Pareto e di assumere la decisione.
J1
J2
R1R2
In base al risultato il DM propone uno spostamento; tenendo conto di questa indicazione si individua un punto R2 e quindi un nuovo punto paretiano.
32
328R1
Scelta del migliore compromessoPareto race
Il decisore non e’ soddisfatto: vuole un valore di J2 molto più basso.E’ ancora insoddisfatto: vuole un valore di J1 più basso.
Si itera permettendo così al DM di esplorare la frontiera di Pareto edi assumere la decisione.
0510152025303540
J1 J2
J2
J1
P2
P3
P1
Calcolo Punto di vista DM
15 40
R1
35 2028 25
R3R2
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 33
Dalla teoria alla pratica
Se il Problema è di Pianificazione pura, la scelta dell’uno o dell’altro dei tre metodi visti è a discrezione dell’Analista: con tutti è possibile risolvere il Problema mono-obiettivo risultante.
Se invece il Problema è di Controllo, la soluzione del Problema mono-obiettivo è “facile” solo se l’obiettivo aggregato è separabile.
Ciò richiede una scelta oculata del metodo, ma esploreremo questi aspetti nel corso specialistico. Qui ci limitiamo a considerare solo il Problema di Pianificazione Puro.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 34
Problema di Pianificazione puro
La scelta del metodo dipende dalla particolare forma del Problema considerato.
Lo mostreremo analizzando il Piano del Sinai.
35
Il Piano del SinaiObiettivo: migliorare la qualità della vita in Egitto, aumentando la superficie coltivata,
Proposte di progetto: bonifica di zone desertiche (reclaimed lands) nelle 7 aree Zj (j=1,...,7) sfruttando l’acqua dei 4 canali Ss (s=1,...,4) e scegliendo la rotazione Ri colturale e la tecnica irrigua Ih (h=1,2,3) appropriate.
Criterio di valutazione: beneficio netto a regime
economico popolamento della regione socio-politico
e accrescere l’occupazione, presidiando al contempo la regione.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 36
Il Piano del Sinai: Fase2- definizione degli indicatori
Il Progetto comprende 2 obiettivi e non può più essere formulato con l’ACB (richiesta inizialmente dal Ministero).
Oltre all’obiettivo economico ...
va considerato anche quello socio-politico
max B
agr−Cirr −Ctr −Copp
⎡⎣ ⎤⎦
max minj
uijh1
Aj( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑
Massimizzare la più piccola frazione di area bonificata tra tutte le zone.
, pi u w
Area [feddan] da destinare alla rotazione Ri nella zona Zj con la tecnica irrigua Ih.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 37
max minj
uijh1
Aj( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
Il Piano del Sinai: Fase 4 – Progetto delle alternative
Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma
soggetto ai vincoli
La presenza del minimo crea qualche difficoltà: riformulare
l’indicatore
Qj=
[1−αlsj ]usj2Qs
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑
[1−αlsj ]usj2
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑ ∀j
u
sj2 ≤ws
j∈ j: (s, j )∈F{ }
∑ ∀s
u
ijh1 ≤Aj
( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ∀j
(1−αlsj )usj
2
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑ − Wihuijh1
( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ≥0 ∀j
J (u p*) = max
up ,Q1 ,...,Q7
i up,w( )
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 38
Il Piano del Sinai: Fase 4- Progetto delle alternative
L’obiettivo socio-politico
Massimizzare la più piccola frazione di area bonificata tra tutte le zone.
può essere così riformulato:
Si massimizzi essendo il minimo rapporto, tra tutte le zone, tra l’area bonificata e la massima area bonificabile (Aj) in ciascuna di esse..
max
max minj
uijh1
Aj( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑
uijh1
Aj( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ≥
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 39
Il Piano del Sinai: Fase4 – Progetto delle alternative
Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma
soggetto ai vincoli
Qj=
[1−αlsj ]usj2Qs
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑
[1−αlsj ]usj2
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑ ∀j
u
sj2 ≤ws
j∈ j: (s, j )∈F{ }
∑ ∀s
u
ijh1 ≤Aj
( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ∀j
(1−αlsj )usj
2
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑ − Wihuijh1
( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ≥0 ∀j
max minj
uijh1
Aj( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥
J (u p*) = maxup ,Q1 ,...,Q7
i up,w( )
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 40
Qj=
[1−αlsj ]usj2Qs
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑
[1−αlsj ]usj2
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑ ∀j
u
sj2 ≤ws
j∈ j: (s, j )∈F{ }
∑ ∀s
u
ijh1 ≤Aj
( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ∀j
(1−αlsj )usj
2
s∈ s: (s, j )∈F{ }
∑ − Wihuijh1
( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ≥0 ∀j
Il Piano del Sinai: Fase4 – progetto delle alternative
Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma
soggetto ai vincoli Problema di Programmazione Matematica non-lineare
55 variabili di decisione
80 vincoli
Conviene risolverlo con il metodo dei vincoli:
si fissa un valore per e si risolve il problema mono-obiettivo che ne
consegue. + 7
⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
J (u p*) = maxup ,Q1 ,...,Q7
i up,w( )
uijh1
Aj( i,h)∈ ( i,h): ( i, j ,h)∈F{ }
∑ ≥
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 41
Il Piano del Sinai: la frontiera di Pareto
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 42
Il Piano del Sinai: Analisi di sensitivitàrispetto al costo opportunità Os dell’acqua della sorgente s
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 43
Il Piano del Sinai: Analisi di Sensitivitàrispetto alle perdite dei canali
(conviene impermeabilizzarli?)
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 44
Discretizzazione delle alternative
Per determinare la frontiera di Pareto la soluzione del problema andrebbe effettuata per tutti i possibili valori del parametro (ad esempio λ).
In pratica è impossibile e si deve risolverlo solo per alcuni valori.
Come sceglierli?
Una griglia uniforme in λ raramente produce una griglia uniforme sulla frontiera.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 45
Discretizzazione delle alternativeSPAZIO DEI PESI
Alternative di compromesso tra J1 e J2
λ2
λ1
λ2= 0
λ1= 0
J2
J1
Alternativa estrema: conta solo J1
SPAZIO DEGLI OBIETTIVI
Alternativa estrema: conta solo J2
Verbace
Un esempio di un caso reale:
http://baobab.elet.polimi.it/iwrmwiki/VerbaCeCollab:Negoziazione:2012-12-04/it
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 46
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 47
Leggere
MODSS Cap. 17