Kuliah Umum:LINGKARAN
DAN SEGI TAK TERHINGGA
Hendra GunawanCampus Center ITB, 18 April 2015
Yang Mana Lingkaran, danYang Mana Segi Tak Terhingga?
0 ½ 1¼ 81
18 April 2015 2(C) Hendra Gunawan
18 April 2015 (C) Hendra Gunawan 3
metro.co.uk
LINGKARAN
18 April 2015 (C) Hendra Gunawan 4
Beberapa sifat istimewa lingkaranyang diketahui saat ini antara lain:• Di antara bangun datar yang luasnya
sama, lingkaran mempunyai kelilingminimum.
• Lingkaran merupakan bentuk yang cocok untuk penutup lubang saluranair (ia takkan jatuh ke lubangnya).
Sejak 2500 tahun silam, bentuk lingkaran dianggapsebagai bentuk yang paling sempurna.
dev.physicslab.org
Apa yang Diketahui Orang Mesir Kunodan Babilonia tentang Lingkaran
Mesir Kuno (~1650 SM):Luas = (4/3)4r2.
Babilonia (~1000 SM):Keliling = 50r/8.
r
18 April 2015 5(C) Hendra Gunawan
Temuan Archimedes (287-212 SM)tentang Lingkaran
Luas = Kr2, denganK = keliling : diameter ≈ 22/7.
Archimedes menaksir K dengan segi-96 beraturan(mulai dgn segi-6, lalu segi-12, segi-24, segi-48, danakhirnya segi-96 beraturan).
r
18 April 2015 6(C) Hendra Gunawan
Archimedes juga menemukan rumus volume dan luas permukaan bola.
Bilangan π (BC, before calculator*)
Lambang bilangan π pertama kali dipakai olehWilliam Jones pada 1706.
π = keliling : diameter.
Mesir Kuno: π ≈ (4/3)4 ≈ 3,16.Babilonia: π ≈ 25/8 = 3,125.Archimedes: π ≈ 22/7 ≈ 3,14.
18 April 2015 7(C) Hendra Gunawan
Bilangan π (AD, after decimals*)
π ≈3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067082148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891249721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534646208046684259069491293313677028989152104752162056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236480665499119881834797753566369807426542527862551818417574672890977772793800
Claudius Ptolemy
Zu Chongzi
Al-Khasi
Christoph Grienberger
Madhava
Gottfried W. Leibniz
Isaac Newton
John Machin
Daniel Ferguson
Yasumada Kanada
Shigeru Kondo12,1 triliun angka(2013)
18 April 2015 8(C) Hendra Gunawan
1 1 1arctan1 1 ...4 3 5 7π= = − + − +
33r
Berapa Banyak Sisi dan Titik Sudut(a) Persegi (b) Lingkaran
4 sisi, 4 titik sudut ??
18 April 2015 9(C) Hendra Gunawan
Apakah Lingkaran MempunyaiTak Terhingga Sisi dan Titik Sudut?
titik sudut?
bukan titik sudut?
satu sisi?
tak terhingga sisi?
½
Apa yang dimaksud dengan sisi dan titik sudut?18 April 2015 10(C) Hendra Gunawan
Kita Perlu Definisi Sisi dan Titik Sudutuntuk Bangun Datar Sembarang*
*KECUALI:
18 April 2015 11(C) Hendra Gunawan
Berapa Banyak Sisi dan Titik Sudut
4 sisi, 4 titik sudut
4 sisi, 4 titik sudut
3 sisi, 3 titik sudut
2 sisi, 2 titik sudut
1 sisi, 1 titik sudut
1 sisi, 0 titik sudut
18 April 2015 12(C) Hendra Gunawan
Sisi
• Bangun datar yang kita bahas dikelilingi olehsuatu lintasan tertutup sederhana yang ke-banyakan terdiri dari sejumlah kurva mulus.
18 April 2015 13(C) Hendra Gunawan
• Sebagai contoh, bangun persegidikelilingi oleh suatu lintasan yang terdiri dari dari 4 kurva mulus, sementara lingkaran hanya terdiridari 1 kurva mulus.
• Nah, kurva-kurva mulus itulah yang kemudian kitadefinisikan sebagai sisi-sisi bangun datar tersebut.
Titik Sudut
• Di titik lainnya yang bukan titik singular, lintasannyamulus, tidak patah. Di sekitar titik ini, walau kurva-nya melengkung, ia sangat mirip dengan garis lurus tidak membentuk sudut!
18 April 2015 14(C) Hendra Gunawan
• Pada bangun datar yang dikelilingi olehsuatu lintasan yang terdiri sejumlahterhingga kurva mulus, titik sudutadalah titik singular pada lintasan tsb.
• Di titik singular, lintasannya tidak mulus tetapi‘patah’ alias membentuk sudut (bukan 180o).
titik singular
Menghitung Banyak Sisidan Titik Sudut
12 sisi, 12 titik sudut
4 sisi, 4 titik sudut
2 sisi, 2 titik sudut
2 sisi, 2 titik sudut
2 sisi, 2 titik sudut
1 sisi, 1 titik sudut
18 April 2015 15(C) Hendra Gunawan
18 April 2015 (C) Hendra Gunawan 16
Lingkaran hanya mem-punyai 1 sisi dan tidakmempunyai titik sudut.
Mark Twain: A circle is a round straight line with a hole in the middle.
Bangun Apa Ini?
0 ½ 1¼ 81
Let’s zoom8x
18 April 2015 17(C) Hendra Gunawan
Apa ygterjadidi sini?
Bangun Apa Ini?
18 April 2015 (C) Hendra Gunawan 18
0 641
81
161
321
Hasilzoom 8x
SEGI TAK TERHINGGABangun inimemiliki takterhingga sisidan tak ter-hingga titiksudut.Tetapi, apakahO merupakantitik sudut?
0 ½ 1¼ 81
18 April 2015 19(C) Hendra Gunawan
Definisi Titik Sudut dan Sisiyang Lebih Umum
Pertama kitaidentifikasi
setiap titik padalintasan tepi:
apakah iamemiliki rank 0
atau rank 1.
rank 1 rank 0
ϒ
Titik x є ϒ memiliki rank 1apabila ϒ mempunyai garissinggung di titik x tersebut.
Bila tidak, maka x memilikirank 0 (titik singular).
18 April 2015 20(C) Hendra Gunawan
Definisi Titik Sudut dan Sisiyang Lebih Umum
Selanjutnya, kitadefinisikan relasi
ekuivalen di antaradua titik yang
memiliki rank 1: A ~ B apabila kita dapat
menelusuri ϒ dari A keB tanpa melalui titik
yang memiliki rank 0.
rank 1
ϒ
rank 1
A B
A ~ B
Sisi yang memuat A didefinisikansebagai:{P є ϒ | P memiliki rank 1 dan P ~ A}
Jika A ~ B, maka sisi yang memuat A identik dengan sisi yang memuat B.
18 April 2015 21(C) Hendra Gunawan
Definisi Titik Sudut dan Sisiyang Lebih Umum
Ada duakemungkinan utk
titik yang memilikirank 0: atau
merupakan titiksudut, atau titik
singular yang tidakmembentuk sudut.
0 ½ 1¼ 81
O bukantitik sudut!
18 April 2015 22(C) Hendra Gunawan
Bagaimana dengan Bangun Ini?
0 ½ 1¼ 81
161
Titiksudut
O jugatitik sudut!
tak terhinggabanyaknya
18 April 2015 23(C) Hendra Gunawan
y = √x
Kasus Menarik pada Segi Tak Terhingga
O memiliki rank 1, tapi terisolasi!
18 April 2015 24(C) Hendra Gunawan
18 April 2015 (C) Hendra Gunawan 25
TITIK PADA TEPI BANGUN DATAR
MEMILIKI RANK 1
MEMILIKI RANK 0
BAGIAN DARI SISI YANG MEMILIKI PANJANG POSITIF
TERISOLASI; “SISI YANG MEMILIKI PANJANG NOL”
BUKAN TITIK SUDUT
TITIK SUDUT
Serpihan Salju Koch
…
Pada Serpihan Salju Koch, setiap titik memilikirank 0, tetapi bukan titik sudut! Serpihan SaljuKoch tidak mempunyai sisi maupun titik sudut!
18 April 2015 26(C) Hendra Gunawan
Georg Cantor:The essence of mathematics is its freedom!
TERIMA KASIH ATAS PERHATIANNYA!
18 April 2015 27(C) Hendra Gunawan
Materi presentasi ini dicuplik dandikembangkan dari buku “Lingkaran: Menguak Misteri Bilangan π, Bangun
Datar dan Bangun Ruang Terkaitdengan Lingkaran” (Graha Ilmu, 2015)
*Istilah Before Calculator dan After Decimals digunakan oleh E. Bombieri & A.J. van der Poorten