Klassische und Relativistische Me-chanik
Othmar Marti | 23. 01. 2008 | Institut für Experimentelle PhysikPhysik, Wirtschaftsphysik undLehramt Physik
Seite 2 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Lösen von Aufgaben
am 25. 1. 2008muss leider ausfallen. Ich muss in die Kuratoriumssitzung desZAWiW
Seite 3 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Flaschenzug
Flaschenzug: Berechnung mit virtuellen Verschiebungen.
Seite 4 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Virtuelle BewegungVirtuell heisst, die Bewegungen müssen mit denZwangsbedingungen vereinbar sein. Das bedeutet, dass beieiner durch Führungen vorgegebenen Bahn (Wasserrutsche imSchwimmbad) alle betrachteten Bewegungen dem Weg derWasserrutsche folgen müssen. Wir betrachten zuerst einmalalle Teile des Systems als unabhängig. Die verschiedenenmöglichen Verschiebungen i sind dann durch die Koordinatenxi gegeben. Diese werden zuerst als unabhängig angesehen.Die Energieerhaltung fordert aber, dass
δE =∑ ∂E
∂xiδxi = 0
ist.Dabei ist ∂E
∂xi= 0 die Gleichgewichtsbedingung.
Seite 5 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Kurbelwelle
Kurbelwelle und Pleuel berechnet mit virtuellenVerschiebungen.
Seite 6 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
KurbelwelleFür die virtuellen Verrückungen (Arbeit) bekommt man
F2rδϕ = F1δx1
Weiter verwenden wir die Beziehung zwischen den Grössen
l2 = x21 + r2 + 2xr cosϕ
Daraus kann x1 als Funktion von ϕ dargestellt werden.
x1 = −r cosϕ+√
l2 − r2 sinϕ
und für die virtuelle Verschiebung
δx1 = r sinϕ
1− rcosϕ√
l2 − r2 sin2 ϕ
δϕ
Seite 7 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Kurbelwelle
Also ist die Kraft auf die Kurbelwelle
F2 = F1δx1
rδϕ= F1 sinϕ
1− rl
cosϕ√1−
( rl
)2 sin2 ϕ
Wenn r � l ist, dann ist F2 = F1 sinϕ.
Seite 8 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Deformationen
Arten der Deformation eines deformierbaren Körpers
Seite 9 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Elastomechanik
Allgemeine Kräfte an einem Würfel
Seite 10 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Elastomechanik
I An jeder der 6 Flächen können
I 3 unabhängige Kräfte (2 parallel zur Fläche, eine senkrecht dazu) und
I 3 unabhängige Deformationen, die aus einer Kompression oder Dilatation sowie zwei
Scherungen bestehen.
I Da keine Netto-Kraft auf den Würfel wirken soll, müssen die Kräfte in die x-, y -, oder z-Richtung aufgegenüberliegenden Seiten gegengleich sein.
I Wir können also 3 mal 3 Kräfte spezifizieren.I Ebenso müssen die Deformationen auf gegenüberliegenden Seiten gegengleich sein.
I Wir haben also als Resultat der 3 mal 3 Kräfte 3 mal 3 Deformationen.I Kräfte und Deformationen sind jeweils 3 mal 3 Matrizen, die über einen Tensor 4. Stufe (eine 3 mal 3 mal 3
mal 3 Matrix) miteinander verbunden sind.
Seite 11 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Elastomechanik
Formal können wir schreiben
σi , j =∑
k
∑`
Ei , j , k , `εk , ` mit i , j , k , ` = x , y , z
Seite 12 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Elastomechanik
I Würfel soll drehmomentenfrei sein.I Drehmoment um die 3-Achse⇒ Kräftepaar auf in
2-Richtung auf der 1-Fläche oder Kräftepaar in 1-Richtungauf 2-Fläche herrühren.
I beiden Kräfte positiv⇒ kein Netto-Drehmoment um die3-Achse
I Analog bei den beiden anderen DrehachsenI Fi , j = Fj , i ⇒ F1, 1, F2, 2, F3, 3, F1, 2, F2, 3, F3, 1)
6unabhängige Kräfte.I 6 unabhängige Spannungen (σ1, 1, σ2, 2, σ3, 3, σ1, 2, σ2, 3,σ3, 1)
Seite 13 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Elastomechanik
I Von den neun Deformationen εk , ` sind sechs unabhängigI Die Deformationen mit den gleichen Indizes bedeuten
Dehnungen und StauchungenI Die anderen sechs bedeuten Scherungen.I ε1, 2 Scherung der 1-Achse gegen die 2-Achse (Änderung
des Zwischenwinkels)I ε2, 1 Scherung der 2-Achse gegen der 1-Achse (Änderung
des Zwischenwinkels)I Dies ist aber in beiden Fällen der gleiche Winkel.I εk , ` = ε`, k für k 6= `.I sechs unabhängige Deformationen (ε1, 1, ε2, 2, ε3, 3, ε1, 2,ε2, 3, ε3, 1)
Seite 14 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Elastomechanik
Es bleiben also noch 6 · 6 = 36 unabhängige Komponenten imTensor übrig.
Seite 15 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
ElastomechanikI kleine Deformationen εk , ` ⇒ potentielle Energie wie bei
Feder eine quadratische Funktion der DehnungenI Spannungen durch die Ableitung der Energie nach den
Deformationen berechnetI ⇒ 21 unterschiedliche Komponenten des
Elastizitätstensors
Die Deformation des allgemeinsten Materials wird durch 21 Para-meter beschrieben
Je höher die Symmetrie eines Materials ist, desto weniger unab-hängige Konstanten gibt es. Im Grenzfall des isotropen Mediumsbleiben zwei, E und G.
Seite 16 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Dehnung und KompressionZieht man an einem Draht (Länge `, Querschnitt d undQuerschnittsfläche A = π
4 d2), dann vergrössert sich die Längeum ∆` und verringert sich (meistens) der Querschnitt um ∆d .
∆` = ε`
−∆d = µεd
Es sindI ε die relative DehnungI µ die Poisson-Zahl
Wir definieren nun die Spannung
σ =FA
dabei ist F die an der Querschnittsfläche A wirkende Kraft .
Seite 17 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Dehnung und Kompression
Das Hookesche Gesetz verknüpft Spannung σ undDehnung ε
σ = Eε
E ist eine Materialkonstante, der Elastizitäts- oder derDehnungsmodul (im englischen Young’s Modulus genannt).Einheiten
I ε: dimensionslosI σ: N
m2
I E : Nm2
Seite 18 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Dehnung und Kompression
δ` =1E`FA
Aus Änderung des Querschnitts und der Länge können wir dieVolumenänderung berechnen. Wir setzen an, dass V = `d2 ist
∆V = d2∆`+ 2`d∆D = V∆`
`+ 2V
∆dd
Umgeschrieben erhalten wir
∆VV
=∆`
`+ 2
∆dd
= ε− 2µε = ε(1− 2µ) =σ
E(1− 2µ)
Wir sehen, dass für positives ∆V die Poisson-Zahl derUngleichung µ ≤ 0.5 genügen muss. In speziellen fällen kann µauch grösser als 0.5 sein.Wir haben hier σ und ε als Skalare angenommen.
Seite 19 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Scherung
Scherung eines Würfels
Seite 20 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Verdrillung
Verdrillung. Zur Berechnung wird der Draht in koaxialeZylinder unterteilt.
Seite 21 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Balkenbiegung
Biegebalken
Seite 22 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
AFM-Sensor
REM (Rasterelektronenmikroskop)-Bilder des Balkens a) undder Sonde b) eines AFM-Sensors (W. Noell Dissertation Ulm
und IMM Mainz)
Seite 23 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Scherung und Dehnung
Zusammenhang zwischen Scherung und Dehnung
Seite 24 Physik | Klassische und Relativistische Mechanik | 23. 01. 2008
Anelastisches Verhalten
Spannungs-Dehnungs-Kurven von Stahl und Grauguss