Kesikli Şans Değişkenleri İçin;
• Olasılık Dağılımları
• Beklenen Değer ve Varyans
• Olasılık Hesaplamaları
1
Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın
yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.
Şans Değişkenleri
Kesikli Şans Değişkenleri Sürekli Şans Değişkenleri
2
Kesikli Şans Değişkeni Örnekleri
Deney
Şans Değişkeni
Mümkün Değerler
100 Satış yapmak Satış sayısı 0, 1, 2, ..., 100
70 radyoyu muayene etmek Kusurlu sayısı 0, 1, 2, ..., 70
33 soruya cevap vermek Doğru sayısı 0, 1, 2, ..., 33
11:00 ile 13:00 arasında
gişedeki araba sayısı
Gelen araba
sayısı 0, 1, 2, ...,
3
Kesikli Şans Değişkenlerinin Olasılık Fonksiyonları
X, şans değişkeni ve x1,x2,..,xn bu tesadüfi değişkenin
alabileceği değerler olsun X tesadüfi değişkeninin
herhangi bir x değerini alma olasılığı
Pr{X=x}
şeklinde gösterilir. Bu olasılık X in dağılım ya da
olasılık kanunu diye adlandırılır. Kesikli X değişkeninin
hangi değerleri hangi olasılıklarla alacağını gösteren
fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. Bir dağılımın
kesikli olasılık fonksiyonu olabilmesi için
1. P(x) 0 , tüm x değerleri için
2.
şartlarını sağlaması gerekir.
Tümx
xP 1)(
4
Örnek: Hilesiz bir zarın atıldığında x şans değişkeni üst
yüze gelen sayıyı ifade etmek üzere bu x şans değişkeninin
olasılık fonksiyonunu elde ediniz.
S = { x / 1,2,3,4,5,6 } P ( X = xi ) = 1 / 6
X 1 2 3 4 5 6
P ( X = xi ) 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6
dd
x
x
x
x
x
x
xXP
.0
661
561
461
361
261
161
)(
İki farklı şekilde ifade edilen x
şans değişkeninin dağılımına
bakıldığında P(Xi) ≥ 0 ve tüm x
değerleri için ∑P(X=x)= 1 şartları
sağlandığı görülmekte ve
P(X=x) ‘in bir olasılık fonksiyonu
olduğu sonucu ortaya
çıkmaktadır.
5
Beklenen Değer
Bir şans değişkeninin herhangi bir olasılık fonksiyonunda almış olduğu tüm değerlerin ortalaması o şans değişkeninin beklenen değeridir.
X şans değişkeninin beklenen değeri;
E (x)
ile gösterilir.
• Bir şans değişkenin beklenen değeri o şans değişkeninin ortalamasına eşittir.
• E (x) = µ
6
Beklenen Değer Kullanarak
Varyansın Elde Edilmesi
22 )]([)()( xExExVar
222 )]([)( xExE
E(x2) : x şans değişkeninin karesinin beklenen değeri
2)()( xExVar
7
Kesikli Şans Değişkenleri İçin
Beklenen Değer ve Varyans
Tümx
iixPxxE )()(
22 )]([)()( xExExVar
2
2 )()()(
xtüm
ii
xtüm
ii xPxxPxxVar
Tümx
iixPxxE )()( 22
8
Kesikli şans değişkeninin beklenen değer
ve varyansı ile ilgili bir örnek
1 1 2 2( ) ... n nE x x P x P x P
• Beklenen değer:
1
( )n
i i
i
E x x P
X= x f(x)
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
5 1/6
1
( ) 1.1/6 2.1/6 ... 6.1/6 3.50E x
• Bir zar atılıyor. Anlaşmaya göre Ali
babasından her atışta kaç gelirse o
kadar TL para alacaktır. Atış başına Ali
nin beklediği parayı bulunuz.
Ali’nin atış başına ortalama kazancı 9
• Varyans: 2
2 2
( ) [ ( )]
( ) ( ) [ ( )]
V X E X E X
V X E X E X
Örnek: Bir kitaptaki bir sayfadaki yanlış sayısı ile ilgili X’in
olasılık fonksiyonu şöyledir:
• P(x=0)=0.81 hiç yanlış olmaması
• P(x=1)=0.17 bir yanlış olması
• P(x=2)=0.02 iki yanlış olması
Sayfa başına ortalama yanlış sayısını
bulunuz.
( ) . 0.(0.81) 1.(0.17) 2.(0.02) 0.21i iE x x P Sayfa başı ortalama 0.21 yanlış bulunur.
10
• Varyansını bulunuz.
2 2 2 2 2( ) . 0 (0.81) 1 .(0.17) 2 .(0.02) 0.25i iE X x P
2 2 2( ) ( ) [ ( )] 0.25 [0.21] 0.2059V X E X E X
( ) 0.2059 0.45x V X
Sayfa başına yanlış sayısının varyansı
11
Örnek: Bir otomobil bayisinin günlük araba satışlarının
dağılımının aşağıdaki gibi olduğunu ifade etmektedir.
Bu dağılışa göre bayinin;
a) 5 ten fazla araba satması olasılığını bulunuz
P(X = 6) + P ( X = 7 ) + P ( X = 8 ) = 0,15
b) Satışların beklenen değerini hesaplayıp yorumlayınız.
E(X) = = (0)(0,02)+(1)(0,08)+(2)(0,15)+….+(8)(0,01) =3,72
Bayinin 100 günde 372 araba satışı yapması beklenir.
c) Satışların varyansını bulunuz.
E(X2) = =(02)(0,02)+(12)(0,08)+… ….+ (82)(0,01) = 16,68
Var(X)= E(X2) - [E(X)] 2 = 16,68 - (3,72)2 = 2,84
)( ixxP
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8
P(X) 0,02 0,08 0,15 0,19 0,24 0,17 0,10 0,04 0,01
)(2
ixPx
12
KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN
OLASILIK DAĞILIMLARI
• Bernoulli Dağılımı
• Binom Dağılımı
• Poisson Dağılımı
13
Bernoulli Dağılımı
• Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için
ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının
sağlanması gereklidir.
Bernoulli Deneyinin Varsayımları:
1. Deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliğine sahip
olmalıdır.
2. Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu olması gereklidir.
3. Başarı olasılığı (p), deneyden deneye değişmemektedir
(Başarısızlık olasılığı q = 1-p ile gösterilir)
4. Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır. 14
Örnekler:
• Bir fabrikada üretilen bir ürünün hatalı veya sağlam olması,
• Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı veya tura gelmesi,
• Hilesiz bir zar atıldığında zarın tek veya çift gelmesi,
• Bernoulli deneyinde ortaya çıkan sonuçlardan
biri tanesi başarı durumu, diğeri ise
başarısızlık olarak ifade edilir. Bernoulli şans
değişkeninin dağılımı ifade edilirken deneyin
sadece 1 kez tekrarlanması gereklidir.
15
Bernoulli dağılışında X şans değişkeni başarı
durumu için 1, başarısızlık durumu için ise 0 değerini
alır.
• S = { x / 0,1 }
Bernoulli Dağılımının Olasılık Fonksiyonu;
= E ( x ) = p 2= Var ( x ) = p (1-p) = pq
dd
xppxXP
xx
.0
1,0)1()(
1
16
Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as
olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı
olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu
oluşturunuz.
x = 0 (as gelmemesi) x = 1 ( as gelmesi)
S = { x / 0,1 }
P( X = 0 ) = 48 / 52 P( X = 1 ) = 4 / 52
dd
xxXP
xx
.0
1,052
48
52
4
)(
1
17
Binom Dağılımı • Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin bir
araya gelmesi sonucunda binom deneyi gerçekleşir.
• Binom deneyinin gerçekleşmesi için bernoulli
deneyinin bütün varsayımlarının sağlanması gereklidir.
• Binom şans değişkeni X, n adet denemedeki başarı
sayısını ifade etmektedir.
• n denemede en az 0, en fazla n adet başarı
gözlenebileceğinden
S = { x / 0,1,2,……,n }
olur. 18
Binom Olasılık Fonksiyonunun
Elde Edilmesi
Gerçekleştirilen her bir Bernoulli deneyi birbirinden
bağımsızdır ve olasılık fonksiyonu
olarak ifade edilmiş idi. Bernoulli deneyi n defa
tekrarlandığı durumda toplam x adet başarı olmasının
olasılığı, x adet başarı olasılığı (p) ile
n - x adet başarısızlık olasılığının (q=1-p) çarpımını
içermelidir.
0,11 xq.pP(x) xx
19
Başarı ve başarısızlıkların oluşum sırası yani
sıralama önemsiz ise faklı şekilde ortaya
çıktığı için ;
xnCx
n
dd
nxp..px
n
xXP
xnx
.0
,....,2,1,0)1()(
olarak elde edilir. 20
Örnekler:
• Bir fabrikanın deposundan seçilen 10 üründen
2’sinin hatalı olması ,
• Bir madeni para 5 kez atıldığında hiç tura
gelmemesi, üst yüze yazı veya tura gelmesi,
• Hilesiz bir zar 4 kez atıldığında zarın en çok 1
kez çift gelmesi,
21
Binom Dağılımının
Karakteristikleri
Aritmetik Ortalama
Varyans
2
E X np
( )
npqpnp )1(
22
Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6’sının hatalı olduğu
bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5 üründen,
a)1 tanesinin hatalı olmasının olasılığını,
b) En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını hesaplayınız.
p = 0,06 1- p = 0,94 n = 5
a)P ( X = 1 ) = ?
b)P ( X ≥ 4 ) = ?
P ( X ≥ 4 ) = P ( X = 4) + P ( X = 5 )
23,0)94,0()06,0(1
5)1( 41
..XP
0514 )94,0()06,0(5
5)94,0()06,0(
4
5....
23
Örnek: Metal hilesiz bir para 10 kez fırlatılıyor
(n=10 p=q=1/2=0.5)
a)bir kez yazı gelmesi olasılığı
1 9 10 1010 10! 10.9!
1 . 0,5 . 0,5 (0.5) (0.5)1 1!9! 9!
p x
b) hiç yazı gelmemesi olasılığı
0 10 1010
0 . 0,5 . 0,5 0,50
p x
c) en az 2 kez yazı gelmesi olasılığı
10...22 xpxpxp
24
1 9 0 10
10 10 10 10
1 2
1 1
1 1 0
10 101 . 0,5 . 0,5 . 0,5 . 0,5
1 0
1 10.(0.5) (0.5) 1 (0.5) (10 1) 1 11(0.5)
p x
p x
p x p x
25
Poisson Dağılımı
• Kesikli Şans değişkenlerinin olasılık
dağılımlarından en önemlilerinden biri Poisson
Dağılımıdır.
• Günlük hayatta ve uygulamada çok sayıda
kullanım alanı bulunmaktadır.
• Ünlü Fransız matematikçisi Poisson tarafından
bulunmuştur.
• Belirli bir alan içerisinde rasgele dağılan veya
zaman içerisinde rasgele gözlenen olayların
olasılıklarının hesaplanabilmesi için çok kullanışlı bir
modeldir. 26
Poisson Sürecinin Varsayımları
1.Belirlenen periyotta meydana gelen ortalama
olay sayısı sabittir.
2. Herhangi bir zaman diliminde bir olayın meydana
gelmesi bir önceki zaman diliminde meydana
gelen olay sayısından bağımsızdır.(periyotların
kesişimi olmadığı varsayımı ile)
3.Mümkün olabilecek en küçük zaman aralığında
en fazla bir olay gerçekleşebilir.
4. Ortaya çıkan olay sayısı ile periyodun uzunluğu
doğru orantılıdır.
27
Örnekler
• Bir şehirde bir aylık süre içerisinde meydana gelen
hırsızlık olayların sayısı,
• Bir telefon santraline 1 dk. içerisinde gelen telefon
çağrılarının sayısı,
• Bir kitap içindeki baskı hatalarının sayısı,
• İstanbul’da 100 m2’ye düşen kişi sayısı,
• Ege Bölgesinde 3 aylık sürede 4,0 şiddetinden
büyük olarak gerçekleşen deprem sayısı.
28
Poisson Dağılımının Olasılık Fonksiyonu
l : belirlenen periyotta ortaya çıkan olay sayısı
x : ortaya çıkma olasılığı araştırılan olay sayısı
S = { x / 0,1, 2, 3, ….., }
durumlardadiger
xx
e
xXP
x
0
,...2,1,0!)(
ll
29
Poisson Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı
Beklenen Değer
Varyans
l )(xE
l)(xVar
• Beklenen değeri ve varyansı birbirine eşit
olan tek dağılıştır. 30
Örnek: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 dakikada ortalama olarak 4 müşteri gelmektedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya,
a) 5 dakika içinde 1 müşteri gelmesi olasılığını,
b)Yarım saate 2’den fazla müşteri gelmesi olasılığını,
ÖDEV: 1 saatte en çok 1 müşteri gelmesinin olasılığını hesaplayınız.
a) l 4 P ( x = 1 ) = ? 4
14
4!1
4)1(
ee
XP
24224124024
3131!2
24
!1
24
!0
241
e
eee
b) 5 dk’da 4 müşteri gelirse, 30 dk’da 24 müşteri gelir.
l 24 P ( x > 2 ) = ?
P( x > 2 ) = 1 – [P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)]
31