Introdução
Reta r, s, p,...
PontoA, B, C,...
•
Planoß,Ω,...
Relação entre um ponto e uma reta
r •
O ponto A pertence à reta rO ponto B não pertence à reta r
•
B
A
Relação entre pontos
AB
C•
••
D
EF
•
•
•
Os pontos A, B e C são colineares (existe uma reta que passa pelos três)Os pontos D, E e F são colineares (não existe reta que passa pelos três
simultaneamente)
Relação entre duas retas de um planoc
m
ben
p
r
a
No exemplo anterior, temos:
As retas c e m são distintas e paralelas;As retas b e e são concorrentes e oblíquas;As retas a e r são coincidentes (paralelas iguais);As retas p e n são concorrentes e perpendiculares.
Ponto e Reta e Ponto e PlanoDado um ponto P e uma reta r, temos P ɛ r ou P ɇ rDado um ponto P e um plano α, temos P ɛ α ou P ɇ α
•
••
••
•
B
A
CD
XE
Exemplo:
No exemplo anterior, temos:
B ɛ r; B ɇ s; D ɛ s;D ɇ r; A ɛ r;
A ɛ s, E ɇ r; E ɇ s
Posições de pontos no espaço
Pontos colineares
A• B • C•
Pontos tais que existe uma reta à qual eles pertençam simultaneamente.
Pontos coplanares
•X •L •A
Pontos tais que existe um plano que os contém simultaneamente.
Posições relativas de 2 retas
no espaçoDuas ou mais retas são coplanares quando
existe um plano que contém todas elas.
AB,BC,CD,DA e AC são coplanares porque o
plano (ABCD) as contém.
CD e GH, AD e EH, CG e DH
Retas coplanares que não têm ponto comum são chamadas de retas paralelas
distintas.
FG e GH, CG e FG, AD e DH, etc.
Retas que têm um único ponto comum são chamadas retas concorrentes.
Observações:
Duas retas concorrentes são sempre coplanares.
Dadas duas retas, quando não existe um plano contém as duas, elas são chamadas
de retas reversas (ou não coplanares)
Duas retas
no
espaço
Coplanares
Não coplanares (reversas)
Concorrentes
Coincidentes ( iguais)
DistintasParalelas
Determinação de um plano
Um único plano passa por três pontos não colineares. Um plano, também pode ser
determinado por:
uma reta e um ponto
não-pertencente a
essa reta:
duas retas
distintas
concorrentes:
duas retas
distintas:
Posições relativas entre dois planos no espaço
Dois planos irão assumir no espaço as seguintes posições relativas entre si:Planos paralelos, Planos secantes e
Planos coincidentes.
Planos paralelos
Dois planos são considerados paralelos se não possuírem pontos em comum ou se uma reta pertencente ao plano α for paralela a uma
reta pertencente ao plano β.
Planos secantes
Dois planos são secantes quando forem distintos e a intersecção entre eles formar
uma reta.
Planos coincidentes
Planos coincidentes equivalem a um mesmo plano.
Ou seja, todos os seus infinitos pontos e planos pertencem ao outro.
Posições relativas de uma reta
e um plano
Existem três tipos de posições, sendo:
contida, incidente e paralela.
ContidaQuando a reta estiver contida no plano , ou
seja, quando todos os pontos de r pertencerem ao plano a.
a e r tem em
comum todos os
pontos de r
IncidenteQuando a reta tem somente um ponto uniforme com o plano. Ou seja, quando a reta r tem o ponto P em comum com o plano a, ela intersecta o plano em um determinado ponto.
ParalelaQuando a reta não tem nenhum ponto em comum com o plano, ou seja, a reta r está paralela ao plano a. r e a não tem pontos
em comum.
Paralelismo no espaço
Regra
As retas só são paralelas quando na possuem nenhum ponto em comum com a outra. Ou seja, duas retas distintas somente são paralelas quando não possuem pontos em comum.
Exemplo Em dois planos paralelos podem existir retas que não sejam paralelas. Retas paralelas podem existir em planos que não sejam paralelos.
1ª Propriedade
Quando dois planos distintos estão paralelos, qualquer reta pertencente a um
deles é paralela a o outro plano.
2ª Propriedade
Quando a reta é paralela a um plano, ela é paralela a pelo menos uma reta deste
plano.
3ª Propriedade
Quando uma reta não estiver contida num plano ela vai estar paralela a uma reta do
plano e ao plano.
4ª Propriedade
Quando um plano intersecta (“fura”) dois planos paralelos, as intersecções vão
formar duas retas paralelas.
5ª Propriedade
Quando um plano possui duas retas concorrentes, paralelas a um outro plano, logo os planos considerados também são
paralelos.
Perpendicularismo no Espaço
Em geometria, perpendicularidade (ou ortogonalidade, cujo símbolo é ) é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) fazem um ângulo de 90º.
Retas perpendiculares
Z e Y são retas concorrentes e
perpendiculares Z Y
Retas ortogonais
Retas que determinam quatro ângulos congruentes.
Se forem concorrentes, serão perpendiculares e retas ortogonais são retas que determinam quatro ângulos
congruentes.
Reta e plano perpendiculares
Uma reta que intersecta um plano é perpendicular a ele se ela é perpendicular a todas as retas desse plano que passam pelo
ponto de intersecção.
Gráfico 1
Gráfico 2
Se uma reta intersecta um plano e não é perpendicular a ele, dizemos que ela é
obliqua ao plano.
No Gráfico 1, t é perpendicular a αe no Gráfico 2 R é oblíqua a α
Para uma reta ser perpendicular a um plano
α é preciso ser perpendicular a duas retas concorrentes contidas em α, ou seja, são necessárias duas retas porque uma reta não é suficiente para garantir o perpendicularismo.
Por outro lado, bastam duas retas concorrentes,
ou seja, elas são suficientes, pois essas duas concorrentes já determinam o plano α.
1ª Propriedade
Para que uma reta seja perpendicular a um plano, é necessário e suficiente que
ela seja perpendicular a duas retas concorrentes contidas nesse plano.
Ǝ r, s e t | s ⊂α, t ⊂α, s ∩ t = P,
r s e r t ⇔ r α
2ª Propriedade
Dados um ponto P e uma reta r, existe um único plano que passa por P e é
perpendicular a r.
P e r Ǝ α | P € α e r α⇒
3ª Propriedade
Se uma reta é perpendicular a um plano, qualquer reta paralela a ela também é
perpendicular ao plano.
r α e s // r s α ⇒
4ª Propriedade
Se dois planos são paralelos, toda reta perpendicular a um deles é também perpendicular ao outro.
α // β e r α r β ⇒
Retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas.
Planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos.
Planos PerpendicularesUm plano é perpendicular a outro quando e
somente quando existe uma reta contida em um deles e perpendicular ao outro.
β α Ǝ r β | r α ⇔ ⊂
Se dois planos concorrentes não são
perpendiculares, dizemos que são oblíquos.
Quando uma reta é perpendicular a um plano,
todos os planos que a contêm são
perpendiculares ao plano inicial.
Se dois planos α e β são oblíquos e a reta r está
contida em α, então r não é perpendicular a β.
1ª Propriedade
Se uma reta r e um plano α são ambos perpendiculares a um plano β, a reta r é
paralela ao plano α.
2ª Propriedade
Se dois planos α e β se intersectam segundo uma reta r e se y é um outro perpendicular a
cada m dos planos α e β. Então y é perpendicular à reta r.
Teorema das 3 Perpendiculares
Dados: uma reta r perpendicular a um plano α no ponto P;
uma reta s, contida em α, que não passa por P;
uma reta t, contida em α, que passa por P e é perpendicular a s no ponto A.Então, se B é um ponto de r, a
reta AB é perpendicular à reta s.
Simbolicamente: r α, r ∩ α = P
s ⊂ α, P ∉ st ⊂ α, P ∈ t, t s, t ∩ s =
A B ∈ r
Projeção ortogonal
Postulados/Axiomas
Ocorre quando há intersecção de um plano com sua reta
perpendicular através de um ponto, formando assim uma
projeção ortogonal de um ponto sobre o plano, ou seja, o ponto P’ é a projeção ortogonal do ponto P
sobre o plano α.
Obs: Quando o P ϵ α, os
pontos P’ e P coincidem,
ou seja, P’ = P
De uma figura qualquer sobre um plano
Ocorre quando as projeções de uma figura geométrica (qualquer
conjunto de pontos) sobre um plano, formando uma projeção
ortogonal de todos os pontos sobre o plano.
Exemplo:Há uma projeção ortogonal da figura
geométrica F sobre o plano α.
Casos particulares
1º - A projeção ortogonal de uma reta sobre uma plano pode ser tanto uma
reta como um ponto
2º - A projeção ortogonal de um segmento sobre um plano pode ser um
segmento ou um ponto.
A distância entre dois pontos distintos pode formar um segmento.
Dados os pontos a e b, a distância entre eles forma o segmento A8B, se A e B coincidirem, dizemos que a distância
entre eles é zero.
Distâncias
A
B
•
•
Distância de um ponto a uma reta
Tendo um ponto P e uma reta r, podemos traçar uma reta que passa por P sendo
perpendicular a r, no ponto A. A distância do ponto P à reta r é a distância
entre os pontos P e A.
Distância de um ponto a um plano
Dados um ponto P e um plano α, podemos determinar P’, que é a projeção ortogonal de P
sobre α. A distância do ponto P ao plano α é igual a distância entre os pontos P e P’.
Distância entre duas retas distintas e paralelas
A distância entre duas retas paralelas pode formar um reta perpendicular a partir de qualquer
ponto entre as retas paralelas. Dadas as r e s paralelas, os pontos A e B formam outra reta
perpendicular.
Distância entre uma reta a um planoQuando a reta é paralela ao plano e não está
contida nele
A distância entre uma reta paralela e um plano pode formar outra reta, que estará contida entre a reta paralela e o plano, a partir de qualquer ponto da reta paralela.
A distância da reta r e o
plano α paralelos da
origem a reta P e P’ a
partir do ponto P da reta r.
Distância entre dois pontos distintos e paralelos
Distância formada a partir de qualquer ponto de dois planos distintos e paralelos.
Dados os planos α e β
distintos e paralelos forma-se
uma reta entre os pontos P do
plano α e P’ do plano β.
Distância entre duas retas reversas
Distância formada a partir de qualquer ponto da reta r reversa e o plano α paralelo, que contem s. A distância entre r e s é a distância desse ponto a
esse plano.
O método dedutivo:algumas demonstrações
Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma, e somente uma, reta que
os contém.
Postulados/Axiomas
Dados 3 pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um,
plano que os contém.
Propriedades aceitas como verdadeiras sem demonstração
Teoremas
Demonstrados a partir dos postulados e de outros teoremas já demonstrados, usando
argumentação lógica.
Demonstração
Existe um único plano α que contém uma reta r e um ponto pertencente a
ela.
•P
ExistênciaP não pertence a r;
A e B são distintos pertencentes a r;P, A e B são colineares.
•P
Como, por um postulado, existe um único plano α contendo A, B e P, e como a reta r tem dois de seus pontos (A e B) em α, r está contida em α. Assim, de fato existe um plano contendo r e P.
UnicidadeTodo plano que contiver r e P, conterá A e
B. Logo, será o plano α.
Dados uma reta r e um ponto A não pertencente a r, existe uma reta que
passa por A e é paralela a r.
•P
Centro Educacional Monteiro Lobato
MATEMÁTICAProfessor Renilson Ribeiro
Ana LuízaAnne Lula
Jamille Marina Amorim
Tarciso ReisVinícius David
Grupo
Brumado/BA,Jun/2012
2º ano EM