Massivbau III
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Inhaltsverzeichnis
1. Wände und wandartige Träger 2 1.1 WÄNDE 2 1.2 WANDARTIGE TRÄGER 7 2 Deckengleiche Unterzüge 18 3 Treppen 24 4 Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit 28 4.1 BEGRENZUNG DER RISSBREITEN 29 4.1.1 Nachweis der Mindestbewehrung (DIN EN 1992-1-1;. 7.3.2) 30 4.1.2 Berechnung der Rissbreite (DIN EN 1992-1-1, 7.3.4) 35 4.1.3 Begrenzung der Rissbreite ohne direkte Berechnung (DIN 1045-1, 11.2.3) 40 4.2 REALISTISCHE ABSCHÄTZUNG DER ZWANGSPANNUNGEN 43 4.2.1 Bodenplatten 43 4.2.2 Aufgehende Wände auf vorab fertiggestellten Fundamenten 46 4.3 BEGRENZUNG DER SPANNUNGEN 48 4.4 BEGRENZUNG DER VERFORMUNGEN 49 5 Torsion 49 5.1 KOMBINIERTE BEANSPRUCHUNG: QUERKRAFT + TORSION + BIEGUNG 57 5.1.1 Vereinfachtes Verfahren 57 5.1.1 Genaues Verfahren 58
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1. Wände und wandartige Träger
1.1 Wände Wände sind flächige Bauteile, deren größere Querschnittsabmessung das Vierfache der kleineren übersteigt. Sie sind kontinuierlich gestützt.
Tabelle NA.9.3 - Mindestwanddicken für tragende Sta hlbetonwände
Wandkonstruktion mit Decken
nicht durchlaufend durchlaufend ≥ C16/20 Ortbeton 120 mm 100 mm
Fertigteil 100 mm 80mm
Es gelten die Mindestwanddicken gemäß Tabelle NA.9.3. Diese Mindestwanddicken sollten im Allgemeinen nicht ausgenutzt werden!
Im Allgemeinen sind Wände in ihrer Ebene belastet. Andernfalls sind sie wie Platten zu behandeln (z.B. erddruckbelastete Kellerwände). Die Bemessung bewehrter Wände erfolgt wie für Stützen (für 1 m Länge). Bei schlanken Wänden müssen wie für Stützen die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung berücksichtigt werden. → Modellstützenverfahren
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Die Schlankheit wird hierbei wie folgt ermittelt:
Bei der Berechnung der Beiwerte β ist zu beachten, dass die Wand zwei-, drei- oder vierseitig gehalten sein kann: Tabelle 12.1 - Werte tür ß bei verschiedenen Randbedingungen
Den Angaben in Tabelle 12.1 liegt zugrunde, dass die Wand keine Öffnung aufweist, deren Höhe 1/3 der lichten Wandhöhe lw oder deren Fläche 1/10 der Wandfläche überschreitet. Werden diese Grenzen nicht eingehalten, sind in der Regel bei 3- oder 4-seitig gehaltenen Wänden die zwischen den Öffnungen liegenden Teile als nur an zwei Seiten gehalten zu betrachten und entsprechend
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zu bemessen. Die ß-Werte sind zu vergrößern, wenn die Querbiegetragfähigkeit durch Schlitze oder Aussparungen beeinträchtigt wird. Eine Querwand gilt dann als aussteifend, wenn
─ ihre Länge lht mindestens lw/5 der lichten Höhe lw der auszusteifenden ─ Wand ist, ─ sie keine Öffnungen aufweist und gleich hoch ist wie die auszusteifende
Wand ─ sie mindestens halb so dick ist wie die auszusteifende Wand.
Bei zweiseitig gehaltenen Wänden, die am Kopf- und Fußende durch Ortbeton und Bewehrung biegesteif angeschlossen sind, so dass die Randmomente vollständig aufgenommen werden können, darf ß nach Tabelle 12.1 mit dem Faktor 0,85 abgemindert werden. Für die lotrechte Bewehrung gelten folgende Vorschriften:
Allgemein:
Querschnitt
l w
auss
teife
nd
e
Wa
nd
lht ≥lw/5
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Wenn ccdEd Af3,0N ⋅⋅≥ oder bei Wänden, die unter Berücksichtigung der
Auswirkungen der Theorie II. Ordnung zu bemessen sind:
Höchstbewehrungsgrad:
Die Bewehrung ist gleichmäßig auf beide Außenseiten zu verteilen. Im Bereich von Übergreifungsstößen darf der Höchstwert von 4% auf 8% verdoppelt werden.
Für die horizontale Bewehrung gilt:
Allgemein:
Wenn |���| � 0,3 � ��� � � oder bei Wänden, die unter Berücksichtigung der Auswirkungen der Theorie II. Ordnung zu bemessen sind:
Die horizontale Bewehrung liegt i. a. außen, die druckbeanspruchte knickgefährdete lotrechte Bewehrung innen. Um die lotrechte Bewehrung gegen Ausknicken zu sichern, werden je m2 4 S-Haken angeordnet. Bei Tragstäben ds ≤ 16 mm dürfen S-Haken entfallen, wenn gleichzeitig für die Betondeckung gilt ≥ 2 ds. In diesem Fall und immer bei Matten dürfen die lotrechten Stäbe auch außen liegen. In jedem Wandbereich, in dem der Gesamtquerschnitt der vertikalen Bewehrung beider Wandseiten 0,02·Ac übersteigt, ist die Querbewehrung mit Bügeln nach den Bestimmungen für Stützen einzulegen. Entsprechend sind die Bügelabstände unmittelbar über und unter aufliegenden Platten über eine Höhe gleich der 4fachen Wanddicke zu vermindern.
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An freien Rändern von Wänden mit einer Bewehrung As ≥ 0,003Ac je Wandseite müssen die Eckstäbe durch Steckbügel gesichert werden. Weiterhin gelten folgende Regeln:
Lotrechte Stäbe:
Horizontale Stäbe:
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1.2 Wandartige Träger Bei der Bemessung von Balken war eine der grundlegenden Annahmen das Ebenbleiben der Querschnitte (→ Bernoulli-Hypothese). Damit ergab sich eine lineare Dehnungsverteilung über die Querschnittshöhe. Diese Annahme ist nur gerechtfertigt solange das Bauteil schlank ist (Stützweite des Bauteils groß im Verhältnis zur Querschnittshöhe). Bei nicht schlanken Biegebauteilen sind die Dehnungen nicht mehr linear über die Querschnittshöhe verteilt. Man spricht dann von einer Scheibe oder einem wandartigen Träger.
≥ 3h < 3h
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Die genaue Abgrenzung zwischen schlanken Biegebauteilen (= Balken) und gedrungenen Biegebauteilen (=wandartige Träger) sind gemäß Heft 240 des DAfStb:
Einfeldträger: Grenze
Zweifeldträger bzw. Endfeld Durchlaufträger
Innenfeld Durchlaufträger:
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Kragträger:
Wandartige Träger können nach 2 Verfahren berechnet werden:
1) Elastische Scheibentheorie (FE-Modelle, Tabellenwerke)
2) Fachwerkmodelle
Zu 1)
Es werden Hauptzugspannungen ermittelt (beispielsweise mit Hilfe der FE-
Methode), zu Hauptzugkräften zusammengefasst und durch die
Bewehrung abgedeckt.
Heft 240 des DAfStb gibt Hinweise, wie für verschiedene Systeme und
Belastungsarten ohne Verwendung eines FE-Programmes die
Hauptzugkräfte zu ermitteln sind.
Dabei sind vor allem der Hebelarm der inneren Kräfte und die Verteilung
der Zugbewehrung über die Höhe von Interesse.
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Heft 240 enthält Tafeln für verschiedene Systeme und Belastungsarten.
Feld: Stütze:
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System Geometrie Hebelarm der inneren Kräfte z
Einfeldträger 0,5 � � � 1,0 �� � 0,3 � � � �3 � � �
� � 1,0 �� � 0,6 � Zweifeldträger
Endfeld Durchlaufträger
0,4 � � � 1,0 �� � �� � 0,5 � � � �1,9 � � �
� � 1,0 �� � �� � 0,45 � Innenfeld
Durchlaufträger
0,3 � � � 1,0 �� � �� � 0,5 � � � �1,8 � � �
� � 1,0 �� � �� � 0,4 � Kragträger
1,0 � � � � 2,0 �� � 0,65 � � � 0,1 � �
� � � 2,0 �� � 0,85 � �
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Mit Hilfe von Heft 240 wird die Bemessung also wie folgt vorgenommen:
− Berechnung der Biegemomente (nach Elastizitätstheorie)
− Ermittlung des jeweiligen Hebelarms der inneren Kräfte z
− Ermittlung der Zugbewehrung � � �� ���⁄
Die Feldbewehrung ist über die Höhe � � 0,1 � � bzw. � � 0,1 � zu
verteilen (der kleinere Wert ist maßgebend).
Die ermittelte Stützbewehrung ist gemäß den Angaben in Heft 240 über
die Höhe zu verteilen.
Auch die Auflagerkräfte können näherungsweise nach der Balkentheorie
ermittelt werden. Im Falle von Mehrfeldträgern sind die Endauflagerkräfte
mit folgenden Faktoren zu erhöhen.
h/l 0,3 0,4 0,7 1,0
Erhöhungsfaktor 1,0 1,08 1,13 1,15
Zu 2)
Als Alternative kann der Kräfteverlauf mit Hilfe von Fachwerkmodellen
dargestellt werden. Das gewählte Fachwerk sollte sich an den
Spannungstrajektorien der Elastizitätstheorie orientieren, um übermäßig
breite Risse zu vermeiden.
Geeignete Fachwerkmodelle: Schlaich/Schäfer
Konstruieren im Stahlbetonbau, Betonkalender 2001 Teil II
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Beispiel:
Für das gleiche System ergibt sich bei unten angehängter Last folgendes
Fachwerkmodell:
Die Last muss also zunächst über eine Aufhängebewehrung über eine
Höhe l ≤ h zu den Druckstreben geführt werden.
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Bei hohen Einzellasten entstehen an der Einleitungsstelle Spaltzugkräfte.
Diese werden direkt unterhalb der Last vom Druckgewölbe überdrückt.
Etwas weiter unten entsteht jedoch bereits eine „lokale Zugzone“.
Die Größe und Stelle der Zugkräfte ist BK2001 (oder vergleichbarer
Literatur) zu entnehmen. Die Zugkräfte sind durch die Bewehrung
abzudecken.
Der Nachweis der Druckstreben wird wie folgt geführt:
Die Breite der Druckstrebe a ergibt sich aus der Größe des Auflagers, der Höhe der Zugbewehrung und der Druckstrebenneigung:
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z. B.:
Wandartige Träger müssen wie auch Wände Mindestdicken gemäß EC2
Tabelle NA.9.3 einhalten. Allgemein sollten Wanddicken ≥ 15 cm
verwendet werden.
An beiden Wandaußenflächen ist ein rechtwinkliges Bewehrungsnetz
vorzusehen.
Je Wandaußenfläche und je Wandrichtung gilt:
min �,��� � � 0,075 % → d.h. insgesamt 0,15% min �,��� �� � 1,5 #$²/$ max ) � *300 $$2 � �� + → wie für lotrechte Bewehrung von Wänden
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3 Merkregeln
1. Angehängte Decken bei wandartigen Trägern nicht vergessen.
→ Decke über EG „hängt sich an
den wandartigen Träger“!
→ Als Belastung nicht vergessen!
→Aufhängebewehrung nicht
vergessen!
2. Wandartige Träger möglichst nur über ein Geschoss ausbilden
→ Ab einer bestimmten Höhe
bewirkt eine weitere
Vergrößerung der
Querschnittshöhe keine
Vergrößerung des Hebelarms der
inneren Kräfte mehr
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� , ��
Zudem müssen die Unterstützungen im Bauzustand stehen bleiben, bis
der wandartige Träger über die gesamte Höhe ausgehärtet ist. Deshalb
sollte man WAT über 2 oder mehr Geschosse möglichst vermeiden.
3. Das Zugband des wandartigen Trägers liegt in Höhe der angehängten
Decke. Die Bewehrung muss deshalb im Bewehrungsplan der Decke
mit vorgesehen sein.
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2 Deckengleiche Unterzüge
Bei linienförmig gelagerten Platten kommt es vor, dass die Stützung
unterbrochen ist, weil
− eine Tür- oder Fensteröffnung in der unterstützenden Wand
angeordnet wird
− und kein Balken zur Stützung der Decke in diesem Bereich
angeordnet werden soll/kann.
Es wird dann in diesem Bereich ein sogenannter „deckengleicher
Unterzug“ ausgebildet.
Fehlt die Stützung nur auf kurzer Länge, so können die Schnittgrößen und
die Bewehrung mit Hilfe des Näherungsverfahrens in Heft 240 DAfStb
ermittelt werden.
Bei größerer Länge der fehlenden Stützung (leff > 15 hDecke) können die
Schnittgrößen und die Bemessung nicht mehr mit dem
Näherungsverfahren durchgeführt werden (→ in diesem Fall muss eine
genaue Berechnung z.B. mit einem FEM-Programm durchgeführt werden).
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1) Geringe Länge der fehlenden Stützung (leff ≤ 7 hDecke)
Bei geringer Länge und wenn keine wesentlichen zusätzlichen
Auflasten vorhanden sind, genügen konstruktive Stabstahlzulagen:
2 Ø10 oder 2 Ø12 oben + unten
Die oberen Stäbe sollten zur Abdeckung des Einspannmomentes mxre
ausreichend lang gewählt werden (ca. 1,5 lb).
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2) Mäßige Länge der fehlenden Stützung (7 hDecke ≤ leff ≤ 15 hDecke)
a) Bemessung in Richtung der unterbrochenen Stützung
Pos. 1 + 1a:
��� � � � ������
Häufig vereinfachend: ��� � 1,05 · �
eff
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Pos. 2 + 2a:
��� � � � ������
Häufig vereinfachend: ��� � 1,05 · �
Für die Ermittlung der Schnittgrößen wird mit einseitiger oder
beidseitiger Einspannung gerechnet. Für die Lasteinzugsflächen wird
mit einem Winkel von 60° gerechnet. Häufig wird auc h vereinfachend
mit einer Gleichlast mit der maximalen Ordinate der Dreieckslast
gerechnet.
Für die Bemessung dürfen je nach Schnittgrößen unterschiedliche
mitwirkende Breiten angesetzt werden:
Endauflager (Pos. 1+2) ����,� � 0,25 � ��� .�/ 0$1$/234 ����,� � 0,125 � ��� .53ü3�$1$/234 ����,� � 7 � ������2 .89/:;:7�34
Zwischenauflager (Pos. 1a+2a) ����,� � 0,5 � ��� .�/ 0$1$/234 ����,� � 0,25 � ��� .53ü3�$1$/234 ����,� � 7 � ������ .89/:;:7�34
eff
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b) Bewehrung rechtwinklig zur unterbrochenen Stützung
Rechtwinklig zur unterbrochenen Stützung sind lediglich konstruktive
Maßnahmen erforderlich.
Die Stützbewehrung der Decke ist im Auflagerbereich
folgendermaßen zu verstärken:
Es ergibt sich:
leff/Decke as‘
≤ 10 1,00·as
11 1,08·as
12 1,16·as
13 1,24·as
14 1,32·as
15 1,40·as
as = erforderliche
Stützbewehrung im Bereich
durchgehender Stützung
0,2 leff 0,2 leff 0,4 leff
leff
as' = as + ∆as
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Bei unterbrochenen Stützungen am Endauflager (Pos. 1+2) von
Platten ist im Endfeld die Feldbewehrung ungeschwächt bis über das
Auflager durchzuführen.
3) Größere Länge der fehlenden Stützung (leff > 15 hDecke)
Das Näherungsverfahren darf nicht angewendet werden. Schnittgrößen
und Bewehrung sind mit Hilfe der Plattentheorie (z.B. FEM-Programme)
zu ermitteln.
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3 Treppen
Treppen können mit verschiedenen Querschnittsgeometrien konstruiert
werden.
Üblicherweise wird eine Betonplatte
mit aufbetonierten Stufen ausgeführt.
s = Steigung
a = Auftritt
Es gilt die Schrittmaßregel:
2s + a = 63
Die Lastabtragung erfolgt in der Regel in Längsrichtung des
Treppenlaufes.
Als Verkehrslasten werden in Wohngebäuden 3,5 kN/m², in öffentlichen
Gebäuden 5,0 kN/m² angesetzt.
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Alle Lasten werden auf die Grundrisslänge projiziert. Somit ergeben sich
folgende Belastungssituationen:
Eigengewicht Podest: < � � · 25,0 ;�/$²
Eigengewicht Lauf: <� � �� · 25,0cos @ ;�/$²
Eigengewicht Stufen: <� � )2 · 25,0 ;�/$²
Verkehrslast: A � 3,5 … 5,0 ;�/$²
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Folgende statische Systeme werden bei der Berechnung von Treppen
üblicherweise verwendet:
• Wenn keine tragenden Längswände vorhanden sind
• Podeste übernehmen die Lasten der Treppenläufe
Große Spannweite → erfordert große Plattendicke
beff = 40 cm … 100 cm ≤ bPodest
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• Podeste übernehmen die Lasten der Treppenläufe als
Randbelastung
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4 Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
Bisher wurden ausschließlich die Nachweise im Grenzzustand der
Tragfähigkeit behandelt. Ebenso wichtig sind jedoch auch die Nachweise
im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit.
Zu ihnen zählen:
− Begrenzungen der Spannungen
− Begrenzung der Rissbreiten
− Begrenzung der Verformungen
Die Nachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit werden für
eine der folgenden Einwirkungskombinationen geführt:
− Seltene Einwirkungskombination
− Häufige Einwirkungskombination
− Quasi-ständige Einwirkungskombination
Die Teilsicherheitsbeiwerte auf der Lastseite betragen alle 1,0!
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4.1 Begrenzung der Rissbreiten
Falls keine besonderen Anforderungen an die Gebrauchseigenschaften gestellt werden (Wasserundurchlässigkeit), gelten die Anforderungen der Tabellen 7.1 DE der DIN 1992-1-1.
Tabelle NA.7.1 - Rechenwerte für Wmax (in Millimeter)
Expositions- klasse
Stahlbeton und Vorspannung ohne Verbund
Vorspannung mit nachträg-
lichem Verbund
Vorspannung mit sofortigem Verbund
mit Einwirkungskombination
quasi-ständig häufig häufig selten
XO, XC1 0,4 a 0,2 0,2 -
XC2 -XC4
0,3 0,2 b,c
0,2 b
XS1 -XS3 Dekom- pression
0,2 XD1, XD2,
XD3d
a) Bei den Expositionsklassen XO und XC1 ; hat die Rissbreite keinen Einfluss auf die Dauerhaftigkeit und dieser Grenzwert wird i. Allg.zur Wahrung eines akzeptablen Erscheinungsbildes gesetzt. Fehlen entsprechende Anforderungen an das Erscheinungsbild, darf dieser Grenzwert erhöht werden
b) Zusätzlich ist der Nachweis der Dekompression unter der quasi-ständigen Einwirkungskombination zu führen c) Wenn der Korrosionsschutz anderweitig sichergestellt wird (Hinweise hierzu in den Zulassungen der Spannverfahren),
der Dekompressionsnachweis entfallen. d) Beachte 7.3.1 (7) Bei Bauteilen der Expositionsklasse XD3 können besondere Maßnahmen erforderlich werden. Die
der entsprechenden Maßnahmen hängt von der Art des Angriffsrisikos ab.
Zum Nachweis der Begrenzung der Rissbreite gemäß DIN 1992-1-1, 7.3
gehören 3 Elemente:
− Nachweis der Mindestbewehrung gemäß DIN EN 1992-1-1; 7.3.2
− Berechnung der Rissbreite gemäß DIN EN 1992-1-1; 7.3.4
− Begrenzung der Rissbreite ohne direkte Berechnung gemäß DIN EN
1992-1-1; 7.3.3
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4.1.1 Nachweis der Mindestbewehrung (DIN EN 1992-1- 1;. 7.3.2)
Zur Aufnahme von Zwangeinwirkungen ist immer eine Mindestbewehrung anzuordnen. Diese muss so bemessen sein, dass sie in der Lage ist, die im Zustand I im Beton vorhanden Zugkräfte beim Übergang in den Zustand II zu übernehmen.
Es werden die beiden Grenzfälle „zentrischer Zwang“ und „Biegezwang“ betrachtet. Zentrischer Zwang: Zustand I
Bei Erreichen der Risskraft FRiss Übergang in den Zustand II:
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Risskraft: �� �� � ���� � �� → erforderliche Bewehrung:
/:�� � �� ��C��� � ���,��� � ���C���
Man führt einen Beiwert kc ein, der die Spannungsverteilung erfasst, um eine allgemeine Formel für verschiedene Belastungsarten zu erhalten. D /:�� � ;� � ���,��� � ���C���
Mit kc = 1,0 für zentrischen Zug Biegezwang:
Bei Erreichen des Rissmomentes MRiss erfolgt der Übergang in den Zustand II:
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E� �� � ���,��� � F� � � � C��� � ��� D /:�� � F� � ���,���C��� � ���
Für Rechteckquerschnitte gilt:
��� , 0,85 � �
und F� � � � �²6 � � � �6 � 2 � ��� � �6 � ��� � �3
D /:�� � F� � ���,���C��� � ���
Der Beiwert kc ist für Biegezwang somit 0,4!
Für die Berechnung der Mindestbewehrung für Zwang gemäß
DIN EN 1992-1-1 führt man noch einen Faktor k ein, der den Effekt der
Eigenspannungen erfasst.
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Eigenspannungen entstehen, wenn sich beispielsweise aufgrund nichtlinearer über den Querschnitt verteilter Temperatur eine nichtlineare Dehnungsverteilung einstellen will. Die Eigenspannungen zwingen in diesem Fall die Querschnittsfasern auf die lineare Dehnungsverteilung zurück (→ Bernoulli-Hypothese)
Eigenspannungen bewirken feine Risse und somit eine „Vorschädigung“ des Querschnittes. Sie reduzieren somit den auftretenden Zwang.
Somit ermittelt man die Mindestbewehrung mit: �,� � � ;� � ; � ���,��� � ��C�
kc der Beiwert zur Berücksichtigung des Einflusses der Spannungsverteilung innerhalb des Querschnitts vor der Erstrissbildung sowie der Änderung des inneren Hebelarmes:
mit
mit C� Betonspannung in Höhe der Schwerlinie des
(Teil-)Querschnittes im ungerissenen Zustand
k1 der Beiwert zur Berücksichtigung der Auswirkungen der Normalkräfte auf die Spannungsverteilung
k1 = 1,5 für die Drucknormalkraft k1 = 2 h* /(3h) für die Zugnormalkraft
h* h* = h für h < 1,0 m h* = 1,0 für h ≥ 1,0 m
bei Rechteckquerschnitten und Stegen von Hohlkästen oder T-Querschnitten
bei Gurten von Hohlkästen- oder T-Querschnitten
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k der Beiwert zur Berücksichtigung von nichtlinear verteilten Eigenspannungen, die zum Abbau von Zwang führen
+k = 0,8 für h ≤ 300 mm k = 0,5 für h ≥ 800 mm G bei direktem Zwang!
Zwischenwerte werden interpoliert!
; � 1,0 �ü: H20H:/;3/2 IF72<
Direkter Zwang: Ursache und Auswirkung liegen im selben Bauteil
Indirekter Zwang: Ursache und Auswirkung liegen nicht im selben Bauteil
Fcr der Absolutwert der Zugkraft im Gurt unmittelbar vor Rissbildung infolge des mit fct,eff berechneten Rissmoments fct,eff die wirksamen Zugfestigkeit des Betons zum Zeitpunkt t, die beim Auftreten der Risse zu erwarten ist:
Wie groß ist die anzusetzende wirksame Betonzugfestigkeit fct,eff?
Im Allgemeinen gilt: fct,eff = fctm (DIN EN-1-1, Tabelle 3.1)
Bei einer Rissbildung in den ersten 3 bis 5 Tagen kann als wirksame Betonzugfestigkeit fct,eff = 0,5·fctm angesetzt werden.
Dies ist z.B. der Fall bei Zwang aus abfließender Hydratationswärme.
Tritt der Zwang nicht mit Sicherheit innerhalb der ersten 28 Tage auf, ist folgende Mindestzugfestigkeit anzusetzen.
Normalbeton: fctm = 3,0 N/mm²
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4.1.2 Berechnung der Rissbreite (DIN EN 1992-1-1, 7 .3.4)
Gegeben sei ein Stahlbetonstab, der zentrisch gezogen wird:
Zunächst befindet sich der Stab im Zustand I. Bei steigender Last wird an
einer Stelle (der zufällig schwächsten Stelle) die Betonzugfestigkeit
überschritten. Dieser Prozess setzt sich fort.
Zwischen zwei Rissen gibt es zu diesem Zeitpunkt noch Bereiche, in denen Stahl- und Betondehnung übereinstimmen → εs = εc
(Genau genommen ist dies die Definition für Zustand I) Man bezeichnet diesen Zustand als Einzelrissbildung.
In diesem Zustand ergibt sich die mittlere Rissbreite zu F� � 2 � � � .J�� � J��4
lt lt lt lt lt : Eintragungslänge
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Steigert man die Normalkraft weiter, so erreicht man einen Zustand, in
dem an keiner Stelle mehr Betondehnung und Stahldehnung
übereinstimmen.
Man spricht dann von abgeschlossener Rissbildung. srm bezeichnet den mittleren Rissabstand. F� � )�� � .J�� � J��4 Der mittlere Rissabstand lässt sich wie folgt eingrenzen: � K )� K 2 � � Erklärung: frühestens im Abstand � kann der nächste Riss erzeugt werden. Wenn der Abstand größer als 2 � � wäre, wäre in diesem Bereich noch J� � J�. In diesem Bereich könnte noch ein weiterer Riss zum abgeschlossenen Rissbild entstehen.
lt lt
srm
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Da sowohl bei Einzelrissbildung als auch bei abgeschlossenem Rissbild die größte Rissbreite beim Rissabstand sr,max = 2 · lt entsteht, wird diesbezüglich bei der Berechnung der Rissbreiten keine Unterscheidung gemacht. Bezüglich der Berechnung von l t selbst wird jedoch unterschieden: Einzelrissbildung: � � C� � Ø4 � M��
mit M�� � 1,8 � ���,��� � , C� � Ø7,2 � ���,���
mit )�,��� � 2 � � D )�,��� � C� � Ø3,6 � ���,���
Abgeschlossene Rissbildung: � � Ø � ���,���4 � M�� � N���
mit M�� � 1,8 � ���,���
)�,��� � 2 � �� D )�,��� � Ø3,6 � N���
Daraus ergibt sich die Regelung nach DIN EN 1992-1-1: )�,��� � Ø3,6 � N��� K C� � Ø3,6 � ���,���
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Mittlere Dehnungsdifferenz zwischen Stahl und Beton ergibt sich mit:
J�� � J�� � C� � ;� � ���,���N��� � O1 � @� � N���PQ� � 0,6 � C�Q� In diesen Gleichungen ist:
σs = die Spannung in der Zugbewehrung unter Annahme eines gerissenen Querschnitts
kt = der Faktor, der von der Dauer der Lasteinwirkung abhängt, kt= 0,4 bei langfristiger Lasteinwirkung
@� = Verhältnis der Elastizitätsmodule Q� Q��⁄
N,��� = effektiver Bewehrungsgrad � �,���⁄ ; Ac,eff = hc,eff · b
Bild 7.1 - Wirkungsbereich der Bewehrung (typische Fälle)
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Ac,eff . ist die Betonfläche um die Zugbewehrung mit der Höhe hc,ef hc,ef = 2,5· (h - d) ≤ ( h – x ) / 3 ) x – Druckzonenhöhe im Zustand I
≤ h / 2 Der Ansatz für den Wirkungsbereich der Bewehrung AC.ef mit 2,5(h - d) gilt nur für eine konzentrierte Bewehrungsanordnung und dünne Bauteile mit h / (h - d) ~ 10 bei Biegung und h / (h - d) ~ 5 bei zentrischem Zwang hinreichend genau. Bei dickeren Bauteilen kann der Wirkungsbereich bis auf 5(h - d) anwachsen (siehe Bild 7.1 d)).
Bild NA.7.1d) - Vergrößerung der Höhe h c,ef des Wirkungsbereiches der Bewehrung bei zunehmender
Bauteildicke Wenn die Bewehrung nicht innerhalb des Grenzbereiches (h - x) / 3 liegt, sollte dieser auf (h - x) / 2 vergrößert werden.
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4.1.3 Begrenzung der Rissbreite ohne direkte Berech nung
(DIN 1045-1, 11.2.3)
Wie erwähnt errechnet sich die Rissbreite wie folgt:
F� � 0�3,6 � N��� � C� � 0,4 � ���,���N��� � O1 � @� � N���PQ�
Vereinfachend setzt man @� · N��� � 0 und stellt die Gleichung nach Øs um.
� � 3,6 � F� � N��� � Q�C� � 0,4 � ���,���N���
Setzt man die Spannung im Stahl so an, dass gerade im wirksamen
Betonquerschnitt die Zugfestigkeit erreicht wird, so bedeutet das
� � C� � �,��� � ���,���
bzw. N��� � ��,��� � ���,���C�
Setzt man dies ein, so ergibt sich
� � 3,6 � F� � ���,��� � Q�C�� � .1 � 0,44 � 6 � F� � ���,��� � Q�C��
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Somit lässt sich für eine vorgegebene Betonzugfestigkeit (z.B. fct,eff = 3,0 MN/m²) ein Zusammenhang zwischen Øs, wk und σs auftragen. Die Grenzdurchmesser Ø*
s lassen sich für eine vorgegebene Rissbreite wk und eine Stahlspannung σs aus Tabelle 7.2DE der DIN EN1992-1-1 ablesen.
Wenn die Betonzugfestigkeit geringer als fct,eff = 3,0 MN/m² ist, so muss der Grenzdurchmesser im Verhältnis ���,��� 3,0⁄ modifiziert werden.
Zusätzlich darf der Grenzdurchmesser in Abhängigkeit von der Bauteilhöhe modifiziert werden.
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Bei Lastbeanspruchung gilt � � �� � C� � �4 � .� � 04 � � R 2,9 � �� � ���,���2,9
bei Zwangbeanspruchung für Biegung Ø� � Ø�� � ;� � ; � ��� � ���,���4 � .� � 04 � 2,9 � Ø�� � ���,������,�
bei Zwangbeanspruchung für zentrischer Zug Ø� � Ø�� � ;� � ; � ��� � ���,���8 � .� � 04 � 2,9 � Ø�� � ���,������,�
mit � = der modifizierte Durchmesser
�� = Grenzdurchmesser zur Ablesung aus Tab. 7.2DE
��� = Höhe der Zugzone im Querschnitt im Zustand I unter quasi ständiger Einwirkungskombination
d = die statische Nutzhöhe bis zum Schwerpunkt der außenliegenden Bewehrung
In gleicher Weise kann man für einlagige Bewehrung einen Zusammenhang zwischen Stababstand, Rissbreite und Stahlspannung aufstellen. Tabelle 7.3N, DIN EN 1992-1-1
Stahlspannuq/ Höchstwerte der Stababstände [mm]
[N/mm2] Wk=O,4 mm wk=0,3 mm wk=0,2 mm
160 300 300 200
200 300 250 150
240 250 200 100
280 200 150 50
320 150 100 -
360 100 50 -
Tabelle 7.3N Höchstwerte der Stababstände zur Beg renzung der Rlssbrelten
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4.2 Realistische Abschätzung der Zwangspannungen
Bisher wurde die Mindestbewehrung ermittelt, indem die theoretisch
maximal mögliche Zwangbeanspruchung ermittelt und dafür die
erforderliche Bewehrung gewählt wurde.
Die theoretisch maximale Zwangbeanspruchung, die sich bei zentrischem
Zug aufbauen kann, beträgt:
��� � ;� � ; � ���,��� � ��
Im Sinne einer wirtschaftlichen Betrachtung sollte jedoch überprüft werden,
ob diese maximale Zwangkraft überhaupt entstehen kann.
Bauteile, bei denen die Zwangkraft aus wirtschaftlichen Gründen genauer
abgeschätzt werden sollte, sind
− Bodenplatten
− Aufgehende Wände auf fertiggestellten Fundamenten
4.2.1 Bodenplatten
Könnte sich die Bodenplatte frei verformen, so entstünde keinerlei
Zwangbeanspruchung. Die Zwangbeanspruchung entsteht nur durch die
Reibung der Bodenplatten auf dem Baugrund (sofern keine Vertiefungen
vorhanden sind!). Somit kann die Zwangbeanspruchung auch nicht größer
sein als die Reibungskraft.
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���,��� � S � T � �
mit l´ = l/2
S � Bauwerkslast zum Zeitpunkt des Auftretens der Zwang- beanspruchung (z. B. Eigengewicht der Bodenplatte)
T � Reibungsbeiwert
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Durch die Wahl von Betonierabschnitten lässt sich die auftretende
Zwangbeanspruchung gezielt steuern.
1. Betonierabschnitt: ���,��� � S � T � 4⁄ � N � � � T � 4⁄
2. Betonierabschnitt: ���,��� � N � � � T � 4⁄
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4.2.2 Aufgehende Wände auf
Bei Wänden, die auf vorab fertiggestellten Fundamenten hergestellt
werden, wird die freie Verf
Fundament behindert.
• Am Wandfuß ist die Verformung vollständig behindert
• Im oberen Wandbereich hängt die Größe der
Zwangbeanspruchung vom Verhältnis l/h der Wand ab
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Aufgehende Wände auf vorab fertiggestellten Fundamenten
Bei Wänden, die auf vorab fertiggestellten Fundamenten hergestellt
werden, wird die freie Verformung durch das bereits erhärtete
Fundament behindert.
Am Wandfuß ist die Verformung vollständig behindert
Im oberen Wandbereich hängt die Größe der
Zwangbeanspruchung vom Verhältnis l/h der Wand ab
l/h ≤ 2
l/h > 8
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fertiggestellten Fundamenten
Bei Wänden, die auf vorab fertiggestellten Fundamenten hergestellt
ormung durch das bereits erhärtete
Am Wandfuß ist die Verformung vollständig behindert
Zwangbeanspruchung vom Verhältnis l/h der Wand ab
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Bei langen Wänden entsteht im oberen Wandbereich infolge des
Abfließens der Hydratationswärme eine hohe Zugbeanspruchung.
Bei kurzen Wänden entsteht im oberen Bereich nur eine geringe
Zugbeanspruchung (oder sogar eine Druckbeanspruchung).
Für die Zwangbemessung werden daher 3 Bereiche unterschieden:
Bereich h1: Die Verformung wird durch das Fundament vollständig
behindert. Es wird keine Bewehrung benötigt, um die Risse
infolge Zwang zu verteilen („das Fundament verteilt die
Risse“!)
� � 0,6 � ������ !"
Es wird in diesem Bereich eine Bewehrung für Biegezwang
angeordnet.
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� � 0,4 � ; � ���,��� � #��$�
Bereich h2: In diesem Bereich entsteht die volle Zwangspannung. Die
Rissbreite muss durch die Bewehrung begrenzt werden,
die für zentrischen Zwang bemessen wird.
� � 1,0 � ; � ���,��� � #��$�
Bereich h3: In diesem Bereich wird die Verformung kaum behindert.
Die Betonspannung ist kleiner als die Betonzugfestigkeit.
Die Höhe h1+h2 und damit auch h3 = h - (h1+h2) wird
gemäß Heft 466 ermittelt.
Es wird eine Bewehrung für Biegezwang angeordnet.
� � 0,4 � ; � ���,��� � #��$�
4.3 Begrenzung der Spannungen
Hohe Stahlspannungen führen zu breiten Rissen; hohe
Betondruckspannungen führen ggf. zu Rissen parallel zur Druckrichtung.
Daher sind Spannungen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit zu
begrenzen.
Betondruckspannungen:
Für Expositionsklassen XD, XF oder XS:
|C�| K 0,6 � ��� für die seltene Einwirkungskombination
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Alternativ: Betondeckung erhöhen oder Bügel im Abstand ≤ 12 dsl einlegen
(Umschnürungswirkung)
Wenn Kriechverformungen relevant sind für die Gebrauchstauglichkeit,
Tragfähigkeit oder Dauerhaftigkeit: |C�| K 0,45 � ���
Stahlspannung (Betonstahl):
Unter Last |C�| K 0,8 � ��� für die seltene Einwirkungskombination
Unter Zwang |C�| K 1,0 � ���
Für Spannstahl siehe Vorschriften gemäß Vorlesung „Spannbetonbau“.
Die Nachweise der Spannungen können entfallen für nicht vorgespannte
Tragwerke des üblichen Hochbaus, wenn gilt, dass
− die Schnittgrößen nach Elastizitätstheorie um nicht mehr als 15%
umgelagert werden und
− die Durchbildung nach Kapitel 9. der DIN EN 1992-1-1 durchgeführt
wurde.
4.4 Begrenzung der Verformungen
Vereinfachter Nachweis durch Begrenzung der Biegeschlankheit �/� � � · �11 � 1,5���� ��� � 3,2 · ���� ���� � 1����
wenn � � ��
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bzw. �/� � � · �11 � 1,5���� �����´ � ��� · ������´�� �
wenn � � ��.
Hierbei sollten die Biegeschlankheiten allgemein auf die Maximalwerte l / d ≤ K · 35 und bei Bauteilen, die verformungsempfindliche Ausbauelemente beeinträchtigen können, auf l / d ≤ K² � 150 / l begrenzt werden.
Kann der Nachweis zur Begrenzung der Verformungen nicht über die Begrenzung der Biegeschlankheit erbracht werden, so ist die Durchbiegung zu berechnen. Generell ist zwischen der „Durchbiegung“ und dem „Durchhang“ zu unterscheiden.
Der Durchhang ist auf 250⁄ zu begrenzen.
Wenn Schäden an angrenzenden Bauteilen auftreten können
(verformungsempfindliche Trennwände)
→ Durchbiegung (nach dem Einbau der verformungsempfindlichen
Trennwände) begrenzen auf 500⁄ .
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5 Torsion
Ein Nachweis der Torsionstragfähigkeit ist nur erforderlich, wenn das
statische Gleichgewicht von der Torsionstragfähigkeit abhängt
(Gleichgewichtstorsion). Wenn das System auch ohne Aufnahme der
Torsionsmomente im Gleichgewicht ist, kann die Torsionswirkung beim
Nachweis im Grenzzustand der Tragfähigkeit vernachlässigt werden
(Verträglichkeitstorsion).
Gleichgewichtstorsion: Verträglichkeitstorsion:
Kragplatte tordiert Unterzug
→ Sonst kein Gleichgewicht
möglich!
Platte tordiert Unterzüge, aber
Torsionsmomente für Gleichgewicht
nicht erforderlich
→ Gleichgewicht ist auch bei gelenkiger
Lagerung gegeben!
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Ähnlich wie bei Querkraftbeanspruchung lässt sich der Kraftfluss bei
Torsion anschaulich anhand eines Stabtragwerkmodells zeigen.
Idealerweise besteht dies aus wendelartig verlaufenden Druck- und
Zugstreben.
Da man keine wendelartige Bewehrung einbauen möchte, deckt man die
Zugwirkung durch Bügel sowie eine (zusätzlich zur Biegebewehrung
eingebaute) Längsbewehrung ab. Es entsteht folgendes Stabwerkmodell:
Die wendelartig verlaufenden Betondruckstreben stehen in den
Knotenpunkten mit der Bügelbewehrung und mit den Längsstäben im
Gleichgewicht.
Die Beanspruchungen infolge Torsion werden nur durch die Randzone des
jeweiligen Stahlbetonquerschnittes aufgenommen. Vollquerschnitte (z.B.
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Rechteckquerschnitte) werden daher als „Ersatzhohlkastenquerschnitte“
berechnet.
Die Mittellinie des Ersatzhohlkastens verläuft durch die Mitte der
Längsstäbe in den Ecken.
Bei „tatsächlichen“ Hohlkastenquerschnitten darf tef natürlich nicht größer
als die wirkliche Wanddicke gewählt werden.
d k
tef / 2 tef / 2
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Es gilt:
�� � 2 � M�� � 3�� � 0� � ��2 � 2 � M�� � 3�� � �� � 0�2 � 2 � M�� &3�� �
mit � � �� � 0�
und M�� � Schubspannung
Die durch die Tragfähigkeit der Druckstreben bedingte Grenze für die
Torsionstragfähigkeit ergibt sich aus dem Stabwerkmodell wie folgt:
Knoten 1: ∑V = 0 3�� � M�� � 0� � V��2� � 0� � C� � �� � 3�� � sin W
mit �� � 0� � cos W
und
Schubkraft pro Seitenwand
Schubkraft pro Wand oben + unten
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sin W � cos W � 1cot W � tan W
D C� � V��2� � 3�� � .cot W � tan W4
Da die maximale zulässige Betondruckspannung
C� � @�,��� � ���
beträgt, ergibt sich
��,��� � @�,��� � ��� � 2� � 3��cot W � tan W
bzw. für W � 45° Τ��,��� � @�,��� � ��� � � � 3��
@�,��� � @� bei Kastenquerschnitten mit Bewehrung an Innen- und
Außenseite der Wände @�,��� � 0,7 � @� allgemein
(@� � 0,75 für Normalbeton, @� � Z � 0,75 für Leichtbeton)
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Durch die Bügelbewehrung ergibt sich folgende Begrenzung der
Torsionstragfähigkeit:
3�� � M�� � 0� � V�� � 0�2� � 7�� � ��� � 0�tan W
7�� � V��2� � ��� � tan W
bzw. für W � 45° 7�� � V��2� � ���
Merke:
− Es müssen geschlossene Bügel (mit Übergreifungslänge ls
geschlossen!) verwendet werden
− Die erforderliche Bügelbewehrung darf „beim Ablesen nicht durch 2
geteilt werden“.
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Zusätzlich ergibt sich eine über den Umfang zu verteilende
Längsbewehrung von:
�' � V��2� � ��� � tan W � 9�
mit 9� � 2 � .0� � ��4 = Umfang von Ak
5.1 Kombinierte Beanspruchung: Querkraft + Torsion + Biegung
Im Allgemeinen tritt Torsion in Kombination mit Querkraft und Biegung auf.
In diesem Fall stehen 2 Verfahren zur Bemessung zur Verfügung.
5.1.1 Vereinfachtes Verfahren
Die Bemessung der Torsionsbewehrung (Bügel + Längsbewehrung) wird
unter der Annahme einer Druckstrebenneigung von W � 45° gemacht.
Diese Bewehrung wird zur Bewehrung aus Querkraft + Biegung addiert.
Der Nachweis der Druckstrebe wird mit Hilfe folgender Formel geführt:
S��S��,��� � Τ��Τ��,��� K 1,0 für Hohlkastenquerschnitte
[ S��S��,���\� � [ Τ��Τ��,���\� K 1,0 für Vollquerschnitte
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5.1.1 Genaues Verfahren
Die Torsionsbemessung und die Querkraftbemessung werden unter
Verwendung des gleichen gemeinsamen Druckstrebenwinkels geführt.
Hierfür wird die Schubbeanspruchung innerhalb der Wände des ideellen
Hohlkastenquerschnittes infolge Torsion und infolge Querkraft ermittelt.
S��,� � S�� � 3�����
S��," � V�� � �2�
- Mit Hilfe der Beanspruchung wird die Druckstrebenneigung ermittelt
gemäß
cot W � 1,2 � 1,4 � C�����1 � S��,�S��,�("
- Mit dieser Druckstrebenneigung wird die erforderliche Torsions- und Querkraftbewehrung ermittelt.
- Vereinfachend darf die Bewehrung für Torsion allein unter der Annahme von θ = 45° ermittelt und zu der nach DIN EN 1992-1-1; 6 .2,3 ermittelten Querkraftbewehrung addiert werden, -
- Der Nachweis der Druckstrebe erfolgt mit den Interaktionsformeln wie
zuvor.
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Bei rechteckigen Vollquerschnitten kann gemäß DIN EN 1992-1-1, 6.3.2
(4) ein rechnerischer Nachweis der Torsions- und Querkraftbewehrung
entfallen, wenn folgende beiden Bedingungen gelten:
�� K S�� � ��4,5
S�� � �1 � 4,5 � V��S�� � ��� K S��,�
In diesem Fall ist nur die Mindestbewehrung vorzusehen.