Zur Kontrolle kann die Kruumlmmung in beiden Teilquerschnitten bestimmt werden Es darf kein Knick im Dehnungsverlauf auftreten ebenso kein Sprung am Verbindungspunkt Dieses kann durch die Bedingung εc1uz = εc2oz uumlberpruumlft werden
bestimmt werden wobei βBI die Vergroumlszligerung der Biegesteifigkeit infolge der Ortbetonergaumln-
Somit kann jede Dehnung in Abhaumlngigkeit von κz und xz angegeben werden )()( zz xzz minussdot= κε (635)
Die Gesamtdehnungen und ebenso die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B erhaumllt man durch Addition der Anteile ε0 und εz bzw κ0 und κz
Zwischen den beiden Betonschichten tritt zu Beginn des Kriechvorganges ein Spannungs-sprung auf Der Beton des Fertigteils ist dabei wesentlich houmlher ausgelastet da er neben der Eigenlast auch die Last der Betonergaumlnzung bis zum Erhaumlrten mittragen muss Der Ortbeton erhaumllt seine Spannung nach dem Erhaumlrten zum Zeitpunkt t = B zunaumlchst nur aus einem Anteil der zusaumltzlichen Last die auf den Verbundquerschnitt aufgebracht wird Da die Teil-querschnitte kraftschluumlssig miteinander verbunden sind wird zeitabhaumlngig durch Kriechen ein Teil der Spannung aus dem TQS2 in den TQS1 als Ortbetonergaumlnzung umgelagert
Das Ebenbleiben des Verbundquerschnittes muss eingehalten werden ebenso darf zwi-schen den Teilquerschnitten kein Dehnungssprung vorhanden sein Die Berechnung erfolgt unter der Annahme dass die gedachte Dehnung des TQS1 zum Zeitpunkt t = 0 keinem Kriechen ausgesetzt ist fuumlr t gt 0 vergroumlszligern sich im TQS1 die Dehnungen aus der Zusatzlast und im TQS2 aus der Gesamtlast um den Faktor ρ sdot ϕ1 bzw ρ sdot ϕ2
Es ergeben sich als freie Verformungen ( ) Lococzuc sdotsdotsdot+minussdotsdot= 202021110 )( ϕρεεϕρεδ (636) ( ) Lzz sdotsdotsdot++sdotsdotminus= 20120 )( ϕρκκϕρκδ (637)
Die unbekannten Kraftgroumlszligen Xi werden analog zu Abschnitt 622 berechnet Mit den zusaumltzlichen Faktoren kAi und kIi (Betonkriechen)
62 Berechnung im Zustand I 79
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdot=
20
2221
121431
121
11
11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (641)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
2221
121431
121
11
11111hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAzuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (642)
02222 42
21232
222
22
21222 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABoccoc ϕϕϕϕϕϕρεε (643)
02222 42
21232
222
22
21222 sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdot+sdotsdot= XhkzkXhkXhkhkX IsAIIABuccuc ϕϕϕϕϕϕρεε (644)
131 Scs kX sdotminus=ε (645)
242 Scs kX sdotminus=ε (646)
Die Kruumlmmung wird dann aus der Dehnungsdifferenz an Ober- und Unterkante bestimmt
21
12
hhccocccuc
c +minus
=εε
κ (647)
624 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)
Vereinfachend wird angenommen dass das Schwinden in beiden Teilquerschnitten zeit-gleich einsetzt Der unbewehrte Beton wuumlrde sich in TQS1 um εcs1 und im TQS 2 um εcs2 ver-kuumlrzen Dieses wird sowohl durch die Bewehrung als auch durch die kraftschluumlssige Verbin-dung der beiden Querschnitte behindert Analog zu dem in Abschnitt 622 dargestellten Ver-fahren koumlnnen die freien Verformungsgroumlszligen wie folgt dargestellt werden
( ) Lcscs sdot+minus= 2110 εεδ (648) 020 =δ (649)
Lcs sdotminus= 230 εδ (650) Lcs sdotminus= 140 εδ (651)
Die Kraftgroumlszligen Xi werden wie zuvor definiert so dass die Verformungsgroumlszligen δij uumlbernom-men werden koumlnnen Zur Beruumlcksichtigung des Kriechens werden alle Betonverformungen mit dem Faktor (1 + ρ sdot ϕi) multipliziert
Mit den Faktoren ki und ki
cicmi
iAi AE
ksdotsdot+
=+
ϕρϕ
11
cicmi
iIi IE
ksdotsdot+
=+
ϕρϕ
11
betragen die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (652)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (653)
02222 42
1211232
1222
122
12122 sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (654)
02222 42
1211232
1222
122
12122 sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+minussdotminus= +++++ XhkzkXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (655)
131 Sss kX sdot=ε (656)
242 Sss kX sdot=ε (657)
Die Kruumlmmung wird uumlber die bezogene Dehnungsdifferenz zweier Punkte bestimmt
21
12
hhcsoccsuc
s +minus
=εε
κ (658)
80 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Zur Kontrolle kann auch die Kruumlmmung in den einzelnen Teilquerschnitten berechnet und verglichen werden Es muss κ1s = κ2s ebenso gelten wie εc1us = εc2os
Alternativ wird zur Berechnung der Querschnittskruumlmmung das in Abschnitt 52 dargestellte Verfahren auf zwei verschiedene Betonquerschnitte erweitert so dass die aufwendige Aufloumlsung des oben genannten Gleichungssystems entfaumlllt
Der Gesamtquerschnitt wird in Teilquerschnitte unterschiedlicher Materialeigenschaften un-terteilt den beiden Betonquerschnitten (Ortbetonergaumlnzung Fertigteil) und dem Bewehrungs-querschnitt Zunaumlchst werden die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte bestimmt
ndash Bewehrung 12
112122 )(
ss
ssssSs AA
AdhhAdz+
sdotminus++sdot= (659)
ndash TQS1 211 hzSc = ndash TQS2 2212 hhzSc +=
Abb 64 Schwerpunkte Kraumlfte und Momente beim Betonschwinden
In diesen Schwerpunkten wirken jeweils die Laumlngskraumlfte Ns Nc1 Nc2 sowie die Momente Ms Mc1 und Mc2 Sie sind zunaumlchst unbekannt und werden uumlber Gleichgewichts- und Verfor-mungsbedingungen ermittelt Dazu werden folgende geometrische Parameter benoumltigt
ndash Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2 = h2 sdot b2 ndash Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1
3 Ic2 = 112 sdot b2 sdot h23
Die Dehnungen und Kruumlmmungen in den Schwerpunkten sind
ss
ss AE
N=ε
ss
ss IE
M=κ
)1( 111
111 ϕρεε sdot+sdot+=
ccm
ccsc AE
N )1( 111
11 ϕρκ sdot+sdot=
ccm
cc IE
M
)1( 222
222 ϕρεε sdot+sdot+=
ccm
ccsc AE
N )1( 222
22 ϕρκ sdot+sdot=
ccm
cc IE
M
Zusaumltzlich kann die Querschnittskruumlmmung aus den Dehnungsdifferenzen bestimmt werden Uumlber die Bedingung dass der Querschnitt eben bleibt erhaumllt man
21
21
2
2
1
1
ScSc
cc
ScSs
cs
ScSs
cs
zzzzzz minusminus
=minusminus
=minusminus εεεεεε
Um die Querschnittskruumlmmung infolge des Betonschwindens berechnen zu koumlnnen wird zunaumlchst Mc1 und Mc2 sowie Nc1 und Nc2 bestimmt Aus der Kruumlmmung lassen sich die Momente wie folgt bestimmen
1 21 2
1 1 2 21 1 s c c
s s cm c cm c
M M M( ) ( )
E I E I E Iρ ϕ ρ ϕ= sdot + sdot = sdot + sdot rarr
sdot sdot sdot
62 Berechnung im Zustand I 81
1 1 2 21 2
1 21 1cm c cm c
c s c ss s s s
E I E IM M M M
E I ( ) E I ( )ρ ϕ ρ ϕsdot sdot
= =sdot sdot + sdot sdot sdot + sdot
Das Moment Ms kann uumlber die Dehnungsdifferenz der Betonschwerpunkte bestimmt werden
2 1
2 1
1 1 2 22 1 1 2
2 1 2 1 1 1 2 2
1 1
s c c
s s Sc Sc
s s s s c cs c c cs cs
Sc Sc Sc Sc cm c cm c
ME I z z
E I E I N ( ) N ( )M ( )
z z z z E A E A
ε ε
ρ ϕ ρ ϕε ε ε ε
minus= rarr
sdot minussdot sdot sdot + sdot sdot + sdot⎛ ⎞
= sdot minus = sdot minus + minus +⎜ ⎟minus minus sdot sdot⎝ ⎠
Als Momentengleichgewicht bezogen auf den Schwerpunkt der Bewehrung erhaumllt man )()( 221121 SsSccSsSccscc zzNzzNMMM minussdot+minussdot+++ = 0
und aufgeloumlst nach Nc2
22
112
Nc
k
Nc
Nccc F
FFFNN +sdot=
mit ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminussdotsdot
sdot+minusminus= ss
ccmccm
ScScccmScSsNc IEIEIE
zzAEzzF
2
22
1
11
1211
111 11)(
1)(ϕρϕρ
ϕρ (660a)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminussdotsdot
sdot+minusminus= ss
ccmccm
ScScccmSsScNc IEIEIE
zzAEzzF
2
22
1
11
1222
222 11)(
1)(ϕρϕρ
ϕρ (660b)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus
sdot+sdot
minussdot+sdot
minussdotminusminus
= ssccmccm
ScSc
cscsk IEIEIE
zzF
2
22
1
11
12
12
11 ϕρϕρεε (660c)
Das Moment Mc2 kann aus Mc1 bestimmt werden (s vorher)
)1()1(
211
12212 ϕρ
ϕρsdot+sdotsdotsdot+sdotsdot
=ccm
ccmcc IE
IEMM
Es verbleiben die vier Unbekannten Nc1 Mc1 Ns und Ms Zur Loumlsung stehen folgende vier Bedingungen zur Verfuumlgung
(1) 0=sumN
11 1
2 2
1 21 2
0
11
Nc kc c s
Nc Nc
c s k NcNc Nc
F FN N N
F F
N ( N F F )F F
+ sdot + + = rarr
= sdot minus minus+
(2) 0=sumM (hier Moment um Schwerpunkt Sc2)
2 2 11 1 2 1 1 2
1 1 2
1 2 21 2 1 2
2 2 1 1 2 1 2
1 1 2
(1 )( ) ( )
(1 )1 ( ) ( )
(1 ) 1 11
(1 )
cm cs c c s Ss Sc c Sc Sc
cm c
c c k Ncc s s Ss Sc Sc Sc
cm c Nc Nc Nc Nc
cm c
E IM M M N z z N z z
E Iz z F F
M M N z z z zE I F F F FE I
ρ ϕρ ϕ
ρ ϕρ ϕ
sdot sdot + sdot+ + sdot + sdot minus + sdot minus rarr
sdot sdot + sdot⎡ ⎤minus⎛ ⎞
= sdot minus minus sdot minus minus + sdot minus⎢ ⎥⎜ ⎟sdot sdot + sdot + +⎝ ⎠⎣ ⎦+sdot sdot + sdot
(3) In jedem Punkt muss dieselbe Kruumlmmung vorliegen
ss
s
ccm
c
IEM
IEM
sdot=sdot+sdot
sdot)1( 1
11
1 ϕρ
(4) Die Dehnung im Punkt Sc1 kann uumlber die Dehnung im Punkt Ss und die Kruumlmmung bestimmt werden
)()1(
)(
1111
11
11
ScSsss
s
ss
s
ccm
ccs
ScSssc
zzIE
MAE
NAE
Nzz
minussdotsdot
minussdot
=sdot+sdotsdot
+rarr
minussdotminus=
ϕρε
κεε
Durch Einsetzen von (2) in (3) erhaumllt man das Moment Ms in Abhaumlngigkeit von der Kraft Ns
82 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
)( cNssMss FFNFM +sdotminussdot=
mit
1
1 1 2 2
1 2
1 1
1 1
Mss s cm c cm c
FE I E I E I
ρ ϕ ρ ϕ
minus⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= +
sdot sdot sdot⎢ ⎥+⎢ ⎥+ sdot + sdot⎣ ⎦
(661a)
2
22
1
11
21
212
11
1)(
ϕρϕρ sdot+sdot
+sdot+sdot
+minus
minusminus=
ccmccm
NcNc
ScScScSs
Ns IEIEFF
zzzzF (661b)
2
22
1
11
21
221
11
1)(
ϕρϕρ sdot+sdot
+sdot+sdot
+sdotminus
=ccmccm
NcNc
NckScSc
C IEIEFF
FFzzF (661c)
Setzt man das Moment Ms unter Beruumlcksichtigung des Kraumlftegleichgewichts aus Gleichung (1) in Gleichung (4) ein so verbleibt als einzige Unbekannte die Kraft Ns Damit laumlsst sich die Dehnung im Schwerpunkt der Bewehrungslagen berechnen
NsMsss
ScSs
ssccNcNc
CMsss
ScSs
ccNcNc
Nckcs
sss
FFIEzz
AEAEFF
FFIEzz
AEFFFF
AE sdotsdotsdot
minusminus
sdotminus
sdotsdot+
sdot+
minus
sdotsdotsdot
minusminus
sdotsdot+
sdot+
+minussdot
sdot=
1
11
1
21
1
11
1
21
21
111
1
11
1
ϕρ
ϕρεε (662)
Zusaumltzlich kann die Dehnung εc1 bestimmt werden
21
2
11
111 1
1
NcNc
sssNck
ccmcsc FF
AEFFAE +
sdotsdotminusminussdot
sdotsdot+
+=εϕρεε (663)
Aus diesen beiden Dehnungen wird die Querschnittskruumlmmung ermittelt
1
1
ScSs
cscs zz minus
minus=
εεκ (664)
63 Berechnungen im Zustand II
631 Verformung im Bauzustand (t = 0) Im Bauzustand sind die Bewehrungslage As1 und die Betonflaumlche Ac2 vorhanden Fuumlr den Fall dass es beim Aufbringen der Ortbetonschicht zu Rissen im Fertigteil kommt ist die Flaumlche Ac2 = b2 sdot x0 mit x0 als Druckzonenhoumlhe im TQS2 sie wird wie folgt bestimmt (s vorher)
[ ]112222
1122
0 )(2)(1ssscmssss
cm
AEdhbEAEAEbE
x sdotsdotminussdotsdotsdot+sdot+sdotminussdotsdot
= (665)
Bezieht man x0 auf die Querschnittshoumlhe h2 so erhaumllt man
2122
12212212
2
0 12)( sEs
sEsE hd
hx ραραρα sdotsdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot+sdot+sdotminus= (666)
( 212 sE ρα siehe Abschnitt 622) Aus dem Momentengleichgewicht wird die Kruumlmmung ermittelt zu
IIxccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (667)
mit 12
302
2xbI xc
sdot= und
2660
1
0
20 minussdotminussdot=
xd
xh sIIβ
63 Berechnung im Zustand II 83
632 Elastische Verformung nach Erhaumlrten des Ortbetons (t = B)
Die zusaumltzliche Belastung zum Zeitpunkt t = B wird von beiden Teilquerschnitten aufgenom-men I d R entstehen dabei im TQS1 Druckspannungen je nach Groumlszlige der Belastung ggf aber auch Zugspannungen am unteren Rand Die nachfolgenden Ausfuumlhrungen setzten jedoch voraus dass diese die Betonzugfestigkeit nicht uumlberschreiten so dass der Teil-querschnitt 1 ungerissen bleibt Dies ist im Einzelfall ndash insbes bei duumlnnen TQS2 mit dicken Ortbetonergaumlnzungen (TQS1) ndash kritisch zu uumlberpruumlfen Im TQS2 darf nur der durch die Druckzonenhoumlhe x0 definierte Bereich als ungerissen angesetzt werden Bei Belastung durch das Moment Mz vergroumlszligert sich jedoch die Rissbildung dadurch bedingt lagern sich die Kraumlfte in den Restquerschnitt um Die endguumlltige Dehnungsverteilung kann daher nur iterativ berechnet werden
In Abb 65 ist das Spannungsbild an der Uumlbergangsstelle zwischen den beiden Teilquer-schnitten dargestellt Die Spannung σ0 aus der Belastung zum Zeitpunkt t = 0 wirkt nur im TQS 2 Durch die Zusatzlast (Zeitpunkt t = B) entstehen in beiden Querschnitten Span-nungen an der Uumlbergangsstelle entsteht bei unterschiedlichen Elastizitaumltsmodulen ein Sprung Es wird angenommen dass Risse sich bis zum Spannungsnullpunkt im TQS2 entwickeln Bezogen auf die Oberkante des TQS2 erhaumllt man den Nullpunkt aus
)()( σσ σσ xx zo minus= mit 2)()( cmoo Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus M0) 2)()( cmzz Exx sdot= σσ εσ (Spannung aus Mz)
Die Dehnungen werden aus 00 )()( κε σσ sdotminusminus= xxxo und zzz xxx κε σσ sdotminusminus= )()( bestimmt und daraus die Stelle xσ
0 0
0
z z
z
x xxσ
κ κκ κ
sdot + sdot=
+ (668)
Abb 65 Spannungsverlaumlufe im Zustand II
Die Druckzonenhoumlhe xz und die Kruumlmmung κz werden unter der Annahme eines unge-rissenen Querschnitts berechnet der aus Ac1 = h1 sdot b1 und Ac2x = x0 sdot b2 besteht Es koumlnnen also auch fiktive Zugspannungen vom Beton aufgenommen werden solange diese kleiner sind als die Druckspannungen zum Zeitpunkt t = 0 Aus dem Kraumlftegleichgewicht kann die Druckzonenhoumlhe xzrsquo (bezogen auf Oberkante des TQS1 xz = xzrsquo ndash h1) berechnet werden
1)()()2(2
2221221
22221201211
++sdot+sdotsdot+sdotsdot+++sdotsdot
=xsxsExccEc
sxsxsExccEcz AA
ddxhAAhx
ρρααρραα
(669)
Die Kruumlmmung infolge des Momentes Mz betraumlgt
IIxxccm
zz IE
Mβ
κsdotsdot
=22
(670)
84 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Es ist Ic2x = b2 sdot x03 12 die Biegesteifigkeit des auf die Druckzonenhoumlhe x0 reduzierten Fertig-
teilquerschnitts und βxII ein wie folgt zu berechnender Vergroumlszligerungsfaktor
20
22
22220
2
212
12
12
12
12
12
1
)(12)(12
31
21212
3112
xdx
xxd
AA
szxsE
zxsE
xxxxxxxxxxxxxxc
cEc
IIx
minussdotsdot+
minussdotsdot+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +sdotsdotminus++sdot+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +sdotminussdotsdotsdotsdot=
ραρα
ξξξξξξξξξαβ(671)
mit 21 cmcmEc EE=α 22 cmsE EE=α xcsxs AA 2121 =ρ xcsxs AA 2222 =ρ 011 xhx =ξ 0 xxzxx =ξ
Die durch die Verkleinerung des bei t = 0 ungerissenen Bereiches freiwerdende Kraft muss zur Belastung aus Mz addiert werden Die zusaumltzliche Kraft ist
20022002 )()(21 cmocBc ExbxxN sdotsdot+sdotsdotminussdot=minus σσ κε (672)
Der Kraftangriffspunkt befindet sich bei (bezogen auf die Mittelachse des Rest-TQS2)
320
02σσ xxxe Bc
minus+=minus (673)
Das Zusatzmoment das den TQS2 zusaumltzlich belastet betraumlgt dann
020202 minusminusminus sdotminus= BcBcBc eNM (674)
Damit koumlnnen die Dehnungen mit dem zuvor dargestellten Kraftgroumlszligenverfahren (s Abschn 622) bestimmt werden
xccm
Bc
xccm
Bc
ccm
Z
AENx
IEMh
IEM
22
02
22
021
1110 22 sdot
minussdotsdot
+sdotsdot
= minusminus σδ (675)
xccm
Bc
ccm
Z
IEM
IEM
22
02
1120 sdot
+sdot
minus= minusδ (676)
xccm
Bcs
xccm
Bc
AEN
zIE
M
22
021
22
0230 sdot
+sdotsdot
= minusminusδ (677)
211
40 sccm
Z zIE
Msdot
sdotminus=δ (678)
Zu Beruumlcksichtigung des Zustandes II werden Ic2 und Ac2 durch die auf die Nutzhoumlhe xσ be-zogenen Werte Ic2x und Ac2x sowie h22 durch xσ2 ersetzt Mit dem auf die Mittelachse des verbleibenden Querschnittes bezogenen Hebelarm zs1 (es gilt zs1 = h2 ndash xσ2 ndash ds1) koumlnnen die Dehnungen berechnet werden
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminus=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzocε (679)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot=
20
22221
121431
121
11
111
11hkzkXXhkXhkhkXhkM IsAIIAIzzucε (680)
022222 42123222212022022 sdot+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot= minusminus XxkzkXxkXxkxkXxkMkN IsAIIAIBcABczocσσσσσε (681)
0)2
(
)2
()2
(2
)2
(
422123
222222122022022
sdot+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdot+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus
XxhkzkX
xhkXxhkxkXxhkMkN
IsA
IIAIBcABczuc
σ
σσσσε (682)
131 Szs kX sdotminus=ε (683)
242 Szs kX sdotminus=ε (684)
63 Berechnung im Zustand II 85
Durch die zusaumltzliche Belastung aus Nc2B-0 und Mc2B-0 verkleinert sich der ungerissene Be-reich des TQS2 wiederum so dass eine erneute Berechnung erforderlich ist Allerdings sind bedingt durch die geringen Unterschiede zwischen x0 und xσ sowie der relativ kleinen Spannung in der Naumlhe des Nulldurchganges x0 die Veraumlnderungen so klein dass idR eine einmalige Iteration (wie dargestellt) ausreichend genaue Ergebnisse liefert Die zusaumltzliche Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = B betraumlgt somit
21
12
hhzoczuc
z +minus
=εε
κ (685)
633 Verformungen nach Kriechen (t = infin)
Durch das Kriechen veraumlndern sich die Druckzonenhoumlhe und damit die Steifigkeit des TQS2 zusaumltzlich Die Kruumlmmung zum Zeitpunkt t = infin wird ebenfalls iterativ bestimmt
Zunaumlchst werden die Betondehnungen zum Zeitpunkt t = B in einen Spannungszustand um-gewandelt Uumlber die Spannungen σc1B = εc1z sdot Ecm1 und σc2B = (εc20 + εc2z) sdot Ecm2 koumlnnen jeweils die resultierenden Kraumlfte eines Teilquerschnittes bestimmt werden
1111
1 2bhF BucBoc
Bc sdotsdot+
=σσ
(686)
22
2 2bxF Boc
Bc sdotsdot= σ
σ (687)
Mit den Kraftangriffspunkten (bezogen auf die Mittelachse des jeweiligen Teilquerschnitts)
11
1
1
111
2hFI
AF
eBc
c
c
BcBocBc sdot
sdotminussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus= σ (688)
σ
σxF
IAF
eBc
xc
xc
BcBocBc sdot
sdotminussdot⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus=
2
2
2
222
2 (689)
erhaumllt man die beiden Momente Mc1B = Fc1B sdot ec1B und Mc2B = Fc2B sdot ec2B
Im ersten Iterationsschritt werden diese Kraumlfte und Momente als bdquoaumluszligereldquo Schnittgroumlszligen auf die jeweiligen Teilquerschnitte aufgebracht und die daraus resultierenden Dehnungen berechnet Der TQS2 ist dabei bis zur Stelle xc1 = xσ gerissen Mit den bereits bekannten Hilfswerten kAiϕ kIiϕ und kSi erhaumllt man
22 122111221110 cIBcIBcABcABc xkMhkMkFkF sdotsdot+sdotsdot+sdotminussdot= ϕϕϕϕδ (690)
ϕϕδ 221120 IBcIBc kMkM sdot+sdotminus= (691)
1222230 sIBcABc zkMkF sdotsdot+sdot= ϕϕδ (692)
2111140 sIBcABc zkMkF sdotsdotminussdot= ϕϕδ (693)
Die Aufstellung der Koeffizientenmatrix erfolgt wie in Abschnitt 623 Somit koumlnnen die vier Unbekannten Xi berechnet werden Aus diesen ergeben sich wiederum die Dehnungen
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+sdot+sdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+sdotsdotminussdot=2
02222
112143
112
11
111
1111111
hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcoc ϕϕϕϕϕϕϕε (694)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdotminussdot+sdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotminussdot+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ sdotsdot+sdot+sdotsdot+sdot=2
02222
112143
112
11
111
1111111
hkzkXXhkXhkhkXhkMkN IsAIIAIBcABcuc ϕϕϕϕϕϕϕε (695)
02
2222
41
2123
122
12
121
1222212
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotminussdot+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotsdotminusminussdot+sdotsdotminussdot=
Xx
kzkX
xkX
xk
xkX
xkMkN
cIsA
cI
cI
cA
cIBcABcoc
ϕ
ϕϕϕϕϕε (696)
86 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
0)2
(
)2
()2
(2
)2
(
41
22123
1222
122
121
1220220212
sdot+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdot+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+minussdot+minussdotsdot+sdot= minusminus
Xx
hkzkX
xhkX
xhk
xkX
xhkMkN
cIsA
cI
cI
cA
cIBcABcuc
ϕϕ
ϕϕϕϕϕε(697)
Aus den elastischen Dehnungen εc2B und den im ersten Iterationsschritt ermittelten Kriech-dehnungen εc21 ergibt sich folgender Dehnungsnulldurchgang
2122122
1222 )()(
hxucBucocBoc
ocBoc sdot+minus+
+=
εεεεεε
(698)
Allgemein formuliert kann der n-te Iterationsschritt beschrieben werden
2122122
122
)()(hx
nucBucnocBoc
nocBocn sdot
+minus++
=minusminus
minus
εεεεεε
(699)
Mit diesem Nulldurchgang werden alle Steifigkeitsbeiwerte und der Abstand der Beweh-rungslage von Nullpunkt neu bestimmt
ncmA xbE
ksdotsdot
sdot=
22
22
ϕρϕ
12322
22
ncmI xbE
ksdotsdot
sdot=
ϕρϕ 121 2 sns dxhz minusminus=
Der Kraftangriffspunkt wird zu ec2n = ec2B + xσ2 ndash xn2 bestimmt Mit der Normalkraft und dem neu berechneten Moment kann die Ermittlung der Dehnungen in der bereits gezeigten Form erfolgen
Meistens stellt sich bereits nach der dritten bis vierten Iteration der gesuchte Wert ein (vgl Abb 66 mit einer Darstellung der Auswirkungen der Iterationsschritte auf die Druckzonen-aumlnderung einiger Platten und Balken) Ist der endguumlltige Dehnungsverlauf gefunden so kann die Kruumlmmung uumlber die bereits bekannte Beziehung ermittelt werden
21
12
hhnocnuc
c +minus
=εε
κ (6100)
TQS 1 TQS 2
L [m] h [cm] Beton ϕ h [cm] Beton ϕ
Platte 1 5 20 C 2025 3 10 C 3037 25
Platte 2 5 20 C 3037 35 10 C 4050 15
Platte 3 7 20 C 2025 3 20 C 3037 25
Balken 1 5 40 C 2025 3 20 C 3037 25
Balken 2 10 40 C 3037 3 40 C 4050 25
Abb 66 Iterative Ermittlung des Dehnungsnulldurchganges
63 Berechnung im Zustand II 87
634 Verformungen nach abgeschlossenem Schwindvorgang (t = infin)
Im Zustand II wirkt das Betonschwinden des TQS1 auf der gesamten Houmlhe h1 im TQS2 nur auf dem ungerissenen Bereich er wurde in den vorherigen Abschnitten bei Belastungsbe-ginn zu xσ und nach abgeschlossenem Kriechen zu xc bestimmt d h er veraumlndert sich waumlhrend des Schwindvorganges Setzt man diese beiden Werte konstant waumlhrend der ge-samten Schwinddauer an so erhaumllt man einen unteren (fuumlr xc) und einen oberen Grenzwert (xσ) der Kruumlmmung infolge von Schwinden Vergleichsrechnungen zeigen dass sich die Abweichungen dieser Grenzwerte ndash auch bei groumlszligeren Unterschieden von xσ und xc ndash kleiner als fuumlnf Prozent sind so dass vereinfachend und auf der sicheren Seite liegend der Wert xσ fuumlr die gesamte Berechnung angesetzt werden kann Somit sind analog zu 624 die Verformungsgroumlszligen
2110 cscs εεδ +minus= (6101) 020 =δ (6102)
230 csεδ minus= (6103)
140 csεδ minus= (6104)
Die Faktoren kA21+ϕ und kI21+ϕ werden wie folgt angepasst
σϕϕρ xbAmit
AEk xc
xccmA sdot=
sdotsdot+
=+ 2222
212
1 12
1 32
222
212
σϕ
ϕρ xbImitIE
k xcxccm
Isdot
=sdotsdot+
=+
Auch hier erfolgt die Loumlsung des Gleichungssystems nach der bereits bekannten Methode Die Dehnungen am Rand der Teilquerschnitte und in den Bewehrungslagen betragen
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssoc ϕϕϕϕϕεε (6105)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdot+sdotminus= +++++ 2
0222
11121143
1112
111
111111
hkzkXXhkXhkhkX IsAIIAcssuc ϕϕϕϕϕεε (6106)
02222 41211231221212122 sdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotminussdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ sdotsdotminusminussdotminus= +++++ XxkzkXxkXxkxkX IsAIIAcssoc
σϕϕ
σϕ
σϕ
σϕεε (6107)
0)2
(
)2
()2
(2
42121123
212221212122
sdotminus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+sdotminus
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdotminus⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ minussdotsdot+minussdotminus=
++
+++
XxhkzkX
xhkXxhkxkX
IsA
IIAcssuc
σϕϕ
σϕ
σϕ
σϕεε
(6108)
131 Sss kX sdot=ε (6109)
242 Sss kX sdot=ε (6110)
Die Kruumlmmung wird uumlber die Dehnungsdifferenz und deren Abstand bestimmt
21
12
hhcsoccsuc
s +minus
=εε
κ (6111)
Die alternative Loumlsung nach Gl (661) ndash (664) kann auf den Zustand II angepasst werden indem die Bauteilhoumlhe h2 durch die Houmlhe des ungerissenen Bereiches xσ ersetzt wird
Die Schwerpunkte der einzelnen Teilquerschnitte sind damit
- Bewehrung 12
112122 )(
ss
ssssSs AA
AdhhAdz+
sdotminus++sdot= (6112)
- TQS1 211 hzSc = (6113) - TQS2 212 σxhzSc += (6114)
88 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
Die dazugehoumlrigen Querschnittsflaumlchen und Traumlgheitsmomente betragen - Flaumlchen As = As1 + As2 Ac1 = h1 sdot b1 Ac2x = h2 sdot xσ - Flaumlchentraumlgheitsmomente Is = As1 sdot (h1 + h2 ndash zSs ndash ds1)2 + As2 sdot (zSs ndash ds2) Ic1 = 112 sdot b1 sdot h1
3 Ic2x = 112 sdot b2 sdot xσ3
Tauscht man in den Gleichungen (660) bis (664) jeweils die Werte fuumlr Ac2 und Ic2 durch Ac2x und Ic2x aus so erhaumllt man die Kruumlmmung durch Schwinden im Zustand II
64 Besondere Fertigteilvarianten 641 Gittertraumlger mit verstaumlrktem Obergurt
Zum Zeitpunkt t = 0 werden Fertigteil (Ac2) Zugbewehrung im Fertigteil (As1) und Obergurtbe-wehrung des Gittertraumlgers (AOG) belastet Die Berechnung erfolgt uumlber das Kraftgroumlszligen-verfahren mit den in Abb 66 dargestellten Unbekannten Xi
Abb 67 Schematische Darstellung der Gittertraumlgerplatte
Es wird davon ausgegangen dass die Gittertraumlger den Obergurt mit dem Fertigteil biegesteif verbinden Die Abstaumlnde zwischen Zugbewehrung bzw Obergurt und der Mittelachse des TQS2 betragen
2122121 22 ssss dhhzdhz minus+=minus= Die Verformungsgroumlszligen δi0 aus der aumluszligeren Belastung und δij aus den Kraftgroumlszligen Xi ergeben sich zu
LzIE
Ms
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot= 1
22
010δ (6115)
LzIE
Ms
ccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus= 2
22
020δ (6116)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmss
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdot+
sdot= 1
22
1
22111
111δ (6117)
LzIE
zAEAE s
ccm
s
ccmOGs
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdot+
sdot= 2
22
2
2222
111δ (6118)
LzzIEAE ss
ccmccm
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdot== 21
22222112
11δδ (6119)
Aus diesen Gleichungen erhaumllt man die beiden unbekannten Kraftgroumlszligen
12122211
221012201 δδδδ
δδδδsdotminussdotsdotminussdot
=X (6120)
11221212
121011202 δδδδ
δδδδsdotminussdotsdotminussdot
=X (6121)
64 Besondere Fertigteilvarianten 89
Somit betragen die Dehnungen in der Bewehrung und an Ober- und Unterkante des Fertigteils
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdotsdot+sdot
sdotminus=
21
21
22
22
2
222
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccm
s
ccmccmocε (6122)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdotminus
sdotsdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot
sdot+
sdotsdot+sdot
sdot=
21
21
22
22
2
222
2
22
1
221
2
22
002
hIE
zAE
XhIE
zAE
XhIE
M
ccm
s
ccmccm
s
ccmccmucε (6123)
1
101
sss AE
Xsdot
minus=ε (6124)
OGsOG AE
Xsdot
minus= 20ε (6125)
Die Kruumlmmung kann wie folgt berechnet werden
2
02020 h
ocuc εεκ
minus= (6126)
Alternativ kann letztere auch uumlber die Druckzonenhoumlhe x0 und eine ideelle um den Faktor β0I
erhoumlhte Biegesteifigkeit berechnet werden
1)()(2
22212
12221221220 +sdot+sdot
minussdotsdot+minussdotsdot+=
OGEsE
sOGEssE hddhhx
ραραραρα
(6127)
Iccm IE
M
022
00 β
κsdotsdot
= (6128)
mit
48463344
633444
22
22
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
2
12
222
2
1
2
2
1
2
122
222120
+sdotminussdot+⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotsdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=
xxsss
xxxOG
sssxxxsE
I
hd
hh
hd
hh
hd
hh
hd
hd
hd
ξξξξξρ
ξξξραβ
(6129)
Dabei sind 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ 22 cOGOG AA=ρ und 202 hxx =ξ
Im Zustand II muss die Querschnittshoumlhe h2 durch die Druckzonenhoumlhe x0 ersetzt werden Die bezogene Druckzonenhoumlhe ergibt sich zu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ minussdotminus
minussdotsdotsdot++sdot++sdotminus=
2
212
2
12212
2221
222212
2
2)()(h
dhh
dhhx s
OGs
sEOGsEOGsE ρραρραρρα (6130)
Der Faktor β0II wird um den in Gl (6129) vorhandenen Anteil der Betonzugzone reduziert auf
⎥⎥
⎦
⎤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotsdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminussdotsdot+sdot+
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot++sdot+sdotminussdotsdotsdot=
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
12
2
12
222
2
1
2
2
1
2
122
222120
63344
633444
hd
hh
hd
hh
hd
hh
hd
hd
hd
sssxxxOG
sssxxxsE
II
ξξξρ
ξξξραβ
(6131)
Nach Erhaumlrtung der Ortbetonergaumlnzung kann die Verformung mit den Verfahren nach den Ab-schnitten 622 bis 624 bzw 632 bis 634 bestimmt werden Die obere Bewehrung As2 setzt sich aus der Bewehrung des Obergurtes und einer eventuell vorhandenen Zulagebewehrung zusammen die sich etwa in derselben Houmlhenlage wie der Obergurt befinden muss
90 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
642 Plattenbalken aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung
Fertigteilbalken werden mittels einer kraftschluumlssig verbundenen Ortbetonergaumlnzung zu einem Plattenbalkenquerschnitt ergaumlnzt Es kann die oben dargestellte Berechnungsmetho-de verwendet werden da hier schon verschiedene Breiten fuumlr das Fertigteil (b2) und die Ortbetonergaumlnzung (b1) beruumlcksichtigt werden
h 2h 1
Abb 68 Schematische Darstellung des Plattenbalkens
Alternativ wird der Steg des Fertigteils mit einer duumlnnen Platte ausgebildet (als sog Doppelsteg- oder TT-Platten) Dadurch wird eine etwas groumlszligere Steifigkeit zum Zeitpunkt t = 0 erzielt Zur Berechnung werden vereinfachend beide Stege zur einem mit der Breite b2 zusammengefasst Die Gesamthoumlhe des Fertigteils ist h2 und wird in den Steganteil hS und Gurtanteil hG aufgeteilt
h 2h 1
h Sh G
Abb 69 Schematische Darstellung der Doppelsteg-Platte
Ausgehend von den Querschnittsflaumlchen Ac2G = hG middot (b1 ndash b2) und Ac2 = h2 middot b2 sowie den Traumlgheitsmomenten IcG = 112 middot b1 middot hG
3 und Ic2 = 112 middot b2 middot h23 koumlnnen die Druckzonenhoumlhen
zum Zeitpunkt t = 0 wie folgt berechnet werden
- Zustand I
12222
121222220
)(22
ssccmGccm
sssccmGGccmI
AEAEAEdhAEhAEhAE
xsdot+sdot+sdot
minussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot= (6132)
- Zustand II
[
( ) ( )⎥⎦⎤minussdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot
minussdot+sdotsdotsdot
minus=
)(22
1
12122222
122
12222
0
sssGcmGccmssGccm
ssGccmcm
II
dhAEhEAEbAEAE
AEAEEb
x (6133)
Die Kruumlmmung ergibt sich aus dem Moment M0 und der Biegesteifigkeit des Fertigteils
( )222
00
cccGcGcm IIEM
ββκ
sdot+sdotsdot= (6134)
64 Besondere Fertigteilvarianten 91
Hierbei sind
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
minussdotminussdot+sdotminussdot
sdot==12
1452423
xG
xGxGxGIIcG
IcG ξ
ξξξββ (6135)
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdotsdot++sdotminussdot= 33644124
2
2
1
2
1
2
12
222122
222 h
dhd
hd sss
xxsExxIc ξξραξξβ (6136)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdot+sdotsdotsdot= 336444
2
2
1
2
1
2
12
222122 h
dhd
hd sss
xxsEIIc ξξραβ (6137)
mit 22 cmsE EE=α 2121 css AA=ρ GxG hx 0=ξ und 202 hxx =ξ
Zum Zeitpunkt t = B muumlssen die Gleichungen um den Anteil der Ortbetonschicht Ac1 und der Zulagebewehrung As2 ergaumlnzt werden Die Gleichungen aumlndern sich wie folgt
12222111
12122222111
2)(222
ssccmGccmccm
sssccmGGccmccmIz AEAEAEhAE
dhAEhAEhAEhAEx
sdot+sdot+sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot+sdotsdot+sdotsdotminus
= (6138)
[
( )⎥⎥⎦
⎤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
minussdotsdot+minussdotsdot+
sdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdot+sdot+sdot+sdotminus
sdot+sdot+sdot+sdotsdotsdot
minus=
)()(22
2
1
212121
2211122
212211
21221122
ssssss
GcmGcccmcmssGccmccm
ssssGccmccmcm
IIz
dhAEdhAEhEAhAE
EbAEAEAE
AEAEAEAEEb
x
(6139)
( )22211 cccGcGcmccm
zz IIEE
Mβββ
κsdot+sdotsdot+sdot
= (6140)
Dabei ist
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+sdotminus⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot+sdotsdotsdot++sdot+sdotsdot= 336441324
2
1
2
1
2
1
21
21121
21
211 h
dhd
hd sss
xxsExxc ξξραξξβ (6141)
mit 11 cmsE EE=α 1212 css AA=ρ und 11 hxzx =ξ
Die Berechnung der zeitabhaumlngigen Verformungen erfolgt uumlber das zuvor dargestellte Kraft-groumlszligenverfahren Hier werden die geometrischen Groumlszligen des TQS2 durch folgende Werte ersetzt
2212 )( bhhbhA GGc sdotminus+sdot= (6142)
222
322
321
2 32)(2
ccG
c eAhbhbbI sdotminussdot+sdotminussdot
= (6143)
Hierbei bezeichnet ec2 den Schwerpunkt und somit den Kraftangriffspunkt des TQS2 auf den alle Momente bezogen werden muumlssen Er wird wie folgt bestimmt (vgl [Schneider ndash 08])
2
222
221
2 22)(2
c
Gc A
hbhbbesdot
sdot+sdotminussdot= (6144)
Im Zustand II muss unterschieden werden ob sich der jeweilige Nulldurchgang in der Platte oder im Steg befindet Es gilt
⎩⎨⎧
lesdotgtsdotminus+sdot
=G
GGGxc hxfuumlrbx
hxfuumlrbhxbhA
1
212
)( (6145)
⎪⎩
⎪⎨⎧
lesdot
gtsdotminussdot+sdotminussdot
=
G
GxcxcG
xc
hxfuumlrbx
hxfuumlreAxbhbbI
1232)(2
13
222
32
321
2 (6146)
92 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
⎪⎩
⎪⎨⎧
le
gtsdot
sdot+sdotminussdot=
G
Gxc
G
xc
hxfuumlrx
hxfuumlrA
xbhbbe
22
2)(2
2
22
221
2 (6147)
65 Vergleichendes Beispiel
651 Eingangsparameter
Eine Deckenplatte soll als Einfeldtraumlger mit einer Stuumltzweite von 10 Metern ausgefuumlhrt werden Es wird eine Doppelstegplatte (mit b = 225 m) gewaumlhlt Folgende Belastungen treten auf - Eigengewicht gk = Ac sdot 25 [kNm] (Ac Betonflaumlche des gesamten Querschnittes) - Ausbaulast Δg = 15 [kNm2] bzw 338 [kNm] - veraumlnderliche Last qk = 35 [kNm2] bzw 788 [kNm] mit ψ2 = 03 (quasi-staumlndig)
Als Bewehrung sind je 4 ds = 16 in den Stegen vorgesehen (entspricht 2 sdot 804 = 1608 cm2) Als obere Bewehrung werden ds = 6 ndash 250 oben und untern (= 254 cm2) angeordnet
Diese Aufgabenstellung wird in vier Varianten untersucht die Rahmenbedingungen sollen fuumlr alle untersuchten Varianten gleich sein Auszligerdem wird ndash mit Ausnahme der Variante 4 ndash davon ausgegangen dass im Montagezustand aufgrund von Hilfsabstuumltzung keine nennens-werten Verformungen auftreten Die Belastung wirkt also gleichzeitig auf Fertigteil und Ortbeton Um den Einfluss von Kriechumlagerungen zwischen den beiden Teilquerschnitten betrachten zu koumlnnen wird fuumlr das Fertigteil ein spaumlterer Zeitpunkt der Erstbelastung angenommen als fuumlr die Ortbetonergaumlnzung Dies fuumlhrt zusammen mit weiteren Faktoren wie der Betonfestigkeit zu einer kleineren Kriechzahl Im Einzelnen wird untersucht
- Variante 1 Doppelstegplatte nach Abb 610 mit einer Plattenstaumlrke von 5 cm Das Fertigteil wird durch
eine Ortbetonschicht von 13 cm auf eine Plattenhoumlhe von insgesamt 18 cm die Platte ist insges bPlatte = 225 cm breit
Stegabmessungen hSteg = 60 cm bStegu = 19 cm bStego = 25 cm Es wird von folgenden Materialwerten ausgegangen Fertigteil C3545 mit Schwindmaszlig εcs = ndash058 permil Die Erstbelastung erfolgt bei einem
Betonalter von 14 Tagen die Kriechzahl ist ϕ = 22 Ortbeton C2025 mit Schwindmaszlig εcs = ndash067 permil Das wirksame Betonalter bei
Belastungsbeginn ist 7 Tage die Kriechzahl betraumlgt ϕ = 42
605
13 18
Abb 610 Variante 1 (Plattenbalken mit Ortbetonergaumlnzung)
- Variante 2 Plattenbalken bei dem der Balken als Fertigteil und die Platte komplett in Ortbeton ausgefuumlhrt wird Der Balken hat eine Houmlhe von 60 cm die Ortbetonplatte von 18 cm Die Materialparameter sind wie in Variante 1 beschrieben
65 Vergleichendes Beispiel 93
C 2025
C 3545
Abb 611 Variante 2 (Fertigteilbalken mit Ortbetonplatte)
- Variante 3a Die komplette Doppelstegplatte wird als Ortbetonloumlsung ausgefuumlhrt dh sie besteht aus zwei Stegen mit h = 60 cm und einer Platte mit h = 18 cm Als Beton wird ein C 3545 mit den Eigenschaften des Fertigteilbetons aus Variante 1 und 2 verwendet (Belastungs-beginn bei t = 14 Tage) Die Variante 3a dient unter Beibehaltung der uumlbrigen Bedingungen als untere Grenze dieser Verformungsberechnung
- Variante 3b Abmessung wie 3a als Beton wird der C 2025 analog zur Ortbetonergaumlnzung der Varian-
ten 1 und 2 verwendet (Belastungsbeginn bei t = 7 Tage) Somit erhaumllt man die obere Grenze der Verformungen
- Variante 4 Abmessungen Ausfuumlhrung und Materialeigenschaften wie Variante 1 Im Gegensatz zu den
anderen Varianten soll die Montage ohne Hilfsunterstuumltzung erfolgen dh der Fertigteil-querschnitt muss zu Beginn seine Eigenlast und die Last der Ortbetonergaumlnzung tragen
652 Hinweise zur Berechnung
Die beiden Stege werden vereinfachend als zu einem mit der gemittelten Breite von 44 cm zusammengefasst Der Schwind- und Kriechprozess soll zeitgleich mit dem Erhaumlrten der Ort-betonergaumlnzung einsetzen Die verschiedenen Betonalter von Fertigteil und Betonergaumlnzung werden durch die separaten Kriechbeiwerte beruumlcksichtigt
Die Laumlngen der gerissenen Bereiche wurden unter seltener Last bestimmt Bei der Variante 4 wurde zusaumltzlich zwischen Rissbildung im Montagezustand und endguumlltiger Rissbildung unter seltener Last unterschieden Weitere Angaben zur Berechnung einer Verformung aus den in diesem Kapitel beschriebenen Querschnittskruumlmmungen werden im Kapitel 7 gemacht
653 Ausgewaumlhlte Ergebnisse
In Abbildung 612 sind die Verformungen der Varianten dargestellt Sie sind jeweils aufgeteilt in die Einfluumlsse aus Kriechen und Schwinden und der elastischen Verformung zu Belastungs-beginn Wie schon zuvor angesprochen stellen die Varianten 3a und 3b die untere und obere Grenze dar Die unterschiedlichen elastischen Verformungen resultieren aus den verschie-denen Rissmomenten die die Lage des Erstrisses und somit Groumlszlige des gerissenen Bereiches festlegen Die Unterschiede zwischen Variante 1 und 2 resultierenden zum groumlszligten Teil aus den Kriechverformungen Allerdings sind sie recht gering da sich die Druckzone zum groumlszligten Teil in der Ortbetonergaumlnzung befindet
94 Kapitel 6 Ergaumlnzte Querschnitte
0
05
1
15
2
25
3
35
4
Variante 1 Variante 2 Variante 3a Variante 3b Variante 4
Verfo
rmun
g [c
m]
SchwindenKriechen elastischZusatzlastBauzustand
Abb 612 Durchbiegung (in cm) der vorgestellten Varianten in Feldmitte
Vergleicht man Variante 1 und 4 so ist der Einfluss der Montageunterstuumltzung zu erkennen Im Bauzustand wirkt die Belastung aus dem Eigengewicht vom Fertigteil und der Ortbeton-ergaumlnzung nur auf den Fertigteilquerschnitt weshalb gleich zu Beginn eine groumlszligere elastische Durchbiegung (ca 15 cm im Bauzustand) entsteht Der Einfluss des Kriechens ist in Variante 4 kleiner da sich die groszligen Spannungen aus dem Montagezustand mit der Zeit teilweise in die Ortbetonergaumlnzung umlagern koumlnnen
95
7 Verformungsberechnung
71 Allgemeines In Kapitel 5 wurden verschiedene Moumlglichkeiten hergeleitet die Querschnittskruumlmmung im ungerissenen und im gerissenen Zustand zu bestimmen Als Einwirkungen wurden aumluszligere Lasten und Langzeiteinfluumlsse aus Kriechen und Schwinden beruumlcksichtigt In Kapitel 6 wurde die Berechnung auf die Teilfertigung (Fertigteil mit Ortbetonergaumlnzung) erweitert Aus diesen Kruumlmmungen koumlnnen die Verformungen bestimmt werden Es wird zunaumlchst ein Einfeld-traumlger betrachtet anschlieszligend wird das Berechnungsverfahren auf Mehrfeldtraumlger erweitert Wie bereits in Gleichung (52) dargestellt erhaumllt man die Verformung aus der zweifachen Integration der Kruumlmmung
int intint int
int int
==
=sdot
LL
L
dxxdxEI
xMwbzw
dxxMwEI
00
0
)()(
)(
κ
(71)
Fuumlr eine Gleichstreckenlast f mit dem Momentenverlauf (Einfeldtraumlger)
22)(
2xfxLfxM minussdotsdot= (72)
erhaumllt man fuumlr EI = konstant (Zustand I) 2
2 31
1 1 12 2 2 2 3x x f Lw ( x ) f L f dx x x C
EI EI⎛ ⎞ ⎛ ⎞= sdot sdot sdot minus = sdot sdot sdot minus sdot +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠int (73)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +sdot+sdotminussdotsdotsdot= 21
43
121
61
2)( CxCxxL
EIfxw (74)
Uumlber die Randbedingungen dass an der Stelle des Momentenmaximums die Verdrehung wrsquo = 0 und am Auflager die Durchbiegung w = 0 ist werden die Integrationskonstante C1 und C2 ermittelt
3 3 3
1 112 0 0
2 8 24 12f L L Lw (L ) C C
EI⎛ ⎞
= rarr sdot sdot minus + = rarr = minus⎜ ⎟⎝ ⎠
20 0 0w( ) C= rarr =
Die Durchbiegung erhaumllt man dann aus
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdotminussdotsdotsdot= xLxxL
EIfxw
12121
61
2)(
343 (75)
Die groumlszligte Durchbiegung befindet sich in Feldmitte Sie betraumlgt
EILfLw
4
3845)2( sdot
sdot= (76)
711 Verformungsverlauf bei veraumlnderlicher Biegesteifigkeit
Nach Erreichen bzw Uumlberschreiten des Rissmomentes Mcr verringert sich die Biege-steifigkeit Ein Traumlger kann dann in zwei Bereiche aufgeteilt werden einem ungerissenen mit der Laumlnge LI = 2 sdot xcr und einem gerissenen mit LII = L ndash 2 sdot xcr Dabei ist xcr die Koordinate an der der erste Riss auftritt Fuumlr eine Gleichstreckenlast f ergibt sie sich wie folgt
fMLLx cr
cr sdotminus= 242
2
m (77)
96 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Das Rissmoment Mcr ergibt sich mit dem elastischen Widerstandsmoment Wel und der Betonzugfestigkeit fcteff
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot=
ceffctelcr A
NfWM (78)
Fuumlr die Zugfestigkeit fcteff ist die zum Zeitpunkt der Rissbildung vorhandene Biegezugfestig-keit maszliggebend Im Kapitel 411 wurden hierzu verschiedene Ansaumltze vorgestellt Nach-folgend wird hier jedoch die etwas geringere zentrische Zugfestigkeit fctm angesetzt um rechnerisch nicht erfasste Eigenspannungen abzudecken In [KruumlgerMertzsch ndash 06] wird empfohlen die Festigkeit zusaumltzlich um 15 Prozent zu reduzieren um Langzeiteinfluumlsse und die Belastungsgeschichte ndash Rissbildung unter seltener Last waumlhrend die Verformungs-berechnung fuumlr die quasi-staumlndige Last durchgefuumlhrt wird ndash zu beruumlcksichtigen In dieser Arbeit wird jedoch ndash theoretisch genauer ndash die seltene Kombination fuumlr die Bestimmung des gerissenen Bereiches und dann die quasi-staumlndige fuumlr die Verformungsberechnung verwendet Dabei wird unguumlnstig unterstellt dass die seltene Last schon direkt zu Beginn der Belastungsgeschichte vorhanden ist (weitere Hinweise s Abschnitt 713) In Gl (77) ist also fuumlr die Streckenlast f die seltene Last frare einzusetzen
Fuumlr die beiden Bereiche werden die jeweiligen Funktionen des Kruumlmmungsverlaufes ge-sucht Es werden zunaumlchst die Kruumlmmungen an den Stellen x = xcr (Zustand I) und x = L2 (reiner Zustand II) bestimmt Das Mitwirken des Betons zwischen den Rissen (bdquoTension Stiffeningldquo) im Bereich xcr lt x le L2 wird mittels einer mittleren Kruumlmmung κIIm beruumlcksichtigt s Abschnitt 73) Es wird eine nicht gestaffelte Bewehrung unterstellt so dass bei Lastbean-spruchung naumlherungsweise der Verlauf der Kruumlmmung affin zum Momentenverlauf ange-nommen werden kann Bei einer Gleichstreckenlast erhaumllt man also eine Funktion der Form
cxbxax +sdot+sdot= 2)(κ (79)
Die Faktoren a b und c koumlnnen uumlber folgende Randbedingungen ermittelt werden
RB 1 0 0( )κ = 0crarr = RB 2 0(L)κ = a b Lrarr = minus
RB 3a Icr cr( x ) ( x )κ κ=
1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )b a
x ( x L ) x (L x )κ κ
rarr = = minussdot minus sdot minus
RB 3b 2 2IIm(L ) (L )κ κ= 24 2 4 2IIm IIm(L ) (L )b a
L Lκ κsdot sdot
rarr = = minus
Durch die Einteilung in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich kann der Verlauf der Kruumlmmung wie folgt angegeben werden
2
22
01
4 2 4 2 2
I Icr cr
crcr cr cr cr
IIm IIm
cr
( x ) ( x )x x fuumlr x x
x (L x ) x ( x L)( x ) w ( x )
(L ) (L )x x fuumlr x x L LL
κ κ
κκ κ
⎧minus sdot + sdot le lt⎪ sdot minus sdot minus⎪= = ⎨
sdot sdot⎪minus sdot + sdot le le⎪⎩
(710)
Durch zweifache Integration erhaumllt man die Verformungslinie Sie wird in beiden Bereichen durchgefuumlhrt
Bereich 1
xLxx
xxxLx
xxwcrcr
crI
crcr
crI
sdotminussdot
+sdotminussdot
minus=)1(
)()(
)()( 2 κκ
71 Allgemeines
97
3 213 2 1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )w ( x ) x x C
x (L x ) x ( x L)κ κ
= minus sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus
4 31 2
412 6 1
I Icr cr
cr cr cr cr
( x ) ( x )w( x ) x x C x C
x (L x ) x ( x L)κ κsdot
= minus sdot + sdot + sdot +sdot sdot minus sdot sdot minus
Bereich 2
22
4 2 4 2IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x xLL
κ κsdot sdot= minus sdot + sdot
3 232
4 2 2 23
IIm IIm(L ) (L )w ( x ) x x CLL
κ κsdot sdot= minus sdot + sdot +
sdot
4 33 42
2 2 233
IIm IIm(L ) (L )w( x ) x x C x CLL
κ κsdot= minus sdot + sdot + sdot +
sdotsdot
Fuumlr die vier unbekannten Integrationskonstanten muumlssen vier Randbedingungen gefunden werden Im Bereich 1 ist durch das Auflager bei x = 0 die Vertikalverschiebung gleich Null Im Bereich 2 ist bei x = L2 das Momentenmaximum Die Verformungslinie weist am Auflager den Winkel τA auf Als letzte Bedingung gilt dass innerhalb der Verformungsfigur keine Spruumlnge auftreten duumlrfen am Uumlbergang zwischen Bereich 1 und 2 muumlssen die Verformungen gleich sein Die vier Randbedingungen sind also RB 1 0)0(1 =w RB 2 0)2(2 =Lw RB 3 Aw τ=)0(1 RB 4 )()( 21 crcr xwxw =
Zur Berechnung des Winkels τA Die Verdrehung am Auflager A kann mit dem Arbeitssatz der Mechanik bestimmt werden Die Verdrehung bzw der Winkel der Tangente der Verformungsfigur betraumlgt
int sdot=L
A dxxxM0
)()( κτ (711)
Dabei muss der Verlauf der Kruumlmmung in einen ungerissenenen und einen gerissenen Bereich unterteilt werden Durch Uumlberlagerung der in Abb 71 dargestellten Verlaumlufe erhaumllt man
( ) ( ))()(61)2()2(
31)2(
31
crI
crmII
IIImII
III
A xxLLLLLL κκκκκτ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot= (712)
Lxcr xcr
A
__ M(x)
1-xcrL xcr
(xcr) (xcr)(L2) m(xcr) m(L2)m(xcr)
LI2 LIILI2
Abb 71 Berechnung der Verdrehung τA bei Lastbeanspruchung
98 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Die Integrationskonstanten werden somit wie folgt bestimmt
RB 1 0)0(1 =w 02 =rarr C
RB 2 0)2(2 =Lw
3 232
4 2 2 22 2 03
IIm IIm(L ) (L )(L ) (L ) CLLκ κsdot sdot
minus sdot + sdot + =sdot
31 23
IImC L (L )κrarr = minus sdot sdot
RB 3 Aw τ=)0(1
( ) ( ))()(61)2()2(
31)2(
31
1 crI
crmII
IIImII
III xxLLLLLLC κκκκκ minussdotsdot+minussdotsdot+sdotsdot=rarr
RB 4 )()( 21 crcr xwxw =
4 3
4 342
412 6 1
2 2 2 1 23 33
I Icr cr
cr cr A crcr cr cr cr
IIm IImIIm
cr cr cr
( x ) ( x )x x xx (L x ) x ( x L)(L ) (L )x x L (L ) x CLL
κ κτ
κ κ κ
sdotminus sdot + sdot + sdot
sdot sdot minus sdot sdot minussdot
= minus sdot + sdot minus sdot sdot sdot +sdotsdot
3 2
4
4 3 2
2
12 6 1 6 6
2 2 2 2 3 3 33
cr cr II cr II crI IImcr cr
cr cr
cr cr cr crIIm
x x L x L xC ( x ) ( x )(L x ) ( x L )
x x x L x(L ) LL
κ κ
κ
⎛ ⎞sdot sdotrarr = sdot minus + minus + sdot⎜ ⎟sdot minus sdot minus⎝ ⎠
⎛ ⎞sdot sdot sdot+ sdot minus minus +⎜ ⎟sdotsdot⎝ ⎠
Das gleiche Prinzip kann man bei der Ermittlung der Verformungslinie infolge des Betonschwindens anwenden Bei konstanter Bewehrung ergibt sich auch eine konstante Kruumlmmung da das Schwinden lastunabhaumlngig erfolgt Im Zustand I betraumlgt diese κcs
I im Zustand II ist sie κcs
IIm Die Lage und Laumlnge der ungerissenen und gerissenen Bereiche wird aus der vorigen Berechnung uumlbernommen es wird also davon ausgegangen dass die unter Last entstandenen Rissbereiche sich durch Schwinden nicht veraumlndern
⎩⎨⎧
leleltle
==2
0)()(
Lxxfuumlrxxfuumlr
xwxcr
mIIcs
crIcs
cscs κκ
κ (713)
Die Integration wird in beiden Teilbereichen durchgefuumlhrt
Bereich 1
Icscs xw κ=)( 1
Ics csw ( x ) x Cκ= sdot +
2
1 22I
cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +
Bereich 2
mIIcscs xw κ=)( 3
IImcs csw ( x ) x Cκ= sdot +
2
3 42IIm
cs csxw ( x ) C x Cκ= sdot + sdot +
Die vier Randbedingungen koumlnnen aus den Vorhergehenden uumlbernommen werden nur die Auflagerverdrehung τA muss neu bestimmt werden (s Abb 72) Sie betraumlgt
2IImII
cscrIcsA
Lx sdot+sdot= κκτ (714)
Damit erhaumllt man die 4 unbekannten Integrationskonstanten
RB 1 0)0(1 =csw 02 =rarr C
RB 2 0)2(2 =Lwcs 23LC mII
cs sdotminus=rarr κ
71 Allgemeines
99
RB 3 Acsw τ=)0(1 21IImII
cscrIcs
LxC sdot+sdot=rarr κκ
RB 4 )()( 121 crcscrcs xwxw = 2 2
242 2 2 2
cr crIII I IIm IIm IImcs cs cr cs cr cs cs cr
x xL Lx x x Cκ κ κ κ κsdot + sdot + sdot sdot = sdot minus sdot sdot +
( )2
43
2cr I IIm IIm
cs cs cs crx
C L xκ κ κsdot
rarr = sdot minus + sdot sdot
Abb 72 Berechnung der Verdrehung τA bei Schwindbeanspruchung
712 Naumlherungsloumlsung fuumlr Einfeldtraumlger
Die dargestellte Berechnung ist schon fuumlr das einfache Modell eines Einfeldtraumlgers recht aufwendig Wird nur die maximale Verformung in Feldmitte benoumltigt so bietet sich eine direkte Loumlsung mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit nur fuumlr diesen Punkt an
int sdot=L
dxxxMLw0
)()()2( κ (715)
Das Moment aus der bdquo1ldquo-Last ist 2crxM = am Uumlbergang von Zustand I in Zustand II und 4LM = in Feldmitte Somit ist die Durchbiegung
( ) ( )
( ) ( )IIIcrI
crmII
II
IIIImII
III
LLxxL
LLLLLLLLw
sdot+sdotminussdotsdot+
sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=
4)()(481
85)2()2(481)2(
485)2( 2
κκ
κκκ (716)
Abb 73 Ermittlung der Durchbiegung in Feldmitte uumlber das Kraftgroumlszligenverfahren
Eine aumlhnliche Beziehung laumlsst sich fuumlr die Schwindverformung in Feldmitte aufstellen Unter der Annahme dass die Bewehrung uumlber die Traumlgerlaumlnge konstant ist erhaumllt man
100 Kapitel 7 Verformungsberechnung
( ) mIIcs
mIIcs
Icscr LxLw κκκ sdotsdot+minussdotsdot= 22
81
21)2( (717)
Abb 74 Verlauf der Kruumlmmung aus den Schwindverformungen
713 Numerische Integration Eine geschlossene Loumlsung nach Abschn 711 und 712 ist nur dann moumlglich wenn das Trag-werk in maximal zwei Bereiche mit jeweils konstanter Biegesteifigkeit aufgeteilt werden kann Diese Voraussetzung ist schon dann nicht mehr erfuumlllt wenn beispielsweise die Bewehrung gestaffelt wird oder ein Rissmodell zur Anwendung kommt welches zwischen verschiedenen Fortschritten der Rissbildung unterscheidet In solchen Faumlllen kommen numerische Integra-tionsmethoden in Frage
Der Traumlger wird in n Intervalle aufgeteilt Die Funktion der Verschiebungsarbeit wird in jedem Intervall der Groumlszlige [x0 x0 + 2sdoth] durch ein Polynom 2 Grades ersetzt das die Funktion in den Stuumltzstellen x0 x1 = x0 + h und x2 = x0 + 2sdoth schneidet Naumlherungsweise gilt dann
int+
+sdot+sdotasymphx
x
yyyhdxxf2
210
0
0
)4(3)( (718)
mit )()()( xxMxf κsdot= y0 y1 y2 Funktionswerte an den drei Stuumltzstellen
Auf den ganzen Bereich [xo xn] bezogen erhaumllt man die bekannte Simpson-Gleichung (vgl [Bronstein et al ndash 99])
( )nnn
L
yyyyyyyhdxxf +sdot+sdot++sdot+sdot+sdot+sdotasymp minusminusint 1232100
424243
)( (719)
mit h = L n n Gerade Anzahl von Intervallen
Um den Uumlbergang zwischen den Zustaumlnden I und II korrekt zu erfassen sollte eine ausrei-chende Anzahl an Intervallen gewaumlhlt werden IdR ergeben sich ab ca 20 Intervallen keine nennenswerten VeraumlnderungenVerbesserungen der Ergebnisse
In jedem Abschnitt kann durch den Vergleich des aktuellen Momentes zum Rissmoment uumlberpruumlft werden in welchem Zustand sich der Querschnitt befindet Wie vorher be-schrieben sollte dieses uumlber die seltene Einwirkungskombination erfolgen Damit werden von der quasi-staumlndigen Lastfallkombination abweichende Spannungszustaumlnde (bdquoGedaumlcht-nisldquo des Bauteils) erfasst Die Auswirkung des Betonschwindens auf die Rissbildung kann uumlber einen direkten Vergleich der Spannungen beruumlcksichtigt werden Dazu wird an jeder Stuumltzstelle die Betonspannung am aumluszligersten unter Zugspannung stehendem Quer-schnittsrand fuumlr die aumluszligere Last und das Schwinden berechnet (vgl Abschnitt 55) und mit der Zugfestigkeit des Betons verglichen Sobald diese uumlberschritten ist gelten fuumlr die Stuumltz-stelle die Ergebnisse der Kruumlmmungsberechnung im Zustand II Vergleichsrechnungen ha-ben gezeigt dass sowohl die Berechnung des Erstrisses mit der seltenen Einwirkungskom-bination als auch der direkte Vergleich der Spannungen in etwa zum gleichen Ergebnis fuumlhren Besonders bei Platten mit Bewehrungsgraden unter 05 Prozent liegt man bei Schwindzahlen bis ca ndash08 Promille auf der sicheren Seite
72 Durchlauftraumlger 101
Der Verlauf von )(xM kann in einem Einfeldtraumlger wie folgt angegeben werden
⎩⎨⎧
leltminuslele
=LxLfuumlrxL
LxfuumlrxxM
22202
)( (720)
Ein etwas genaueres dafuumlr aber auch aufwendigeres Verfahren stellt die numerische Inte-gration nach der Gauszligschen Quadraturformel dar Hier ist
sumint=
sdot+sdot+sdot+sdotminussdotasympsdotn
iiii
L
hxfxfhxfhdxxxM10
)60(5)(8)60(59
)()( κ (721)
mit h = L 2n und xi = (2sdoti ndash 1) sdot h
72 Durchlauftraumlger Fuumlr die Berechnung der Durchbiegung von Innen- und Randfeldern wird das betrachtete Feld in Abschnitte mit positivem und negativem Moment unterteilt diese wiederum in gerissene und ungerissene Teilbereiche Die Schnittgroumlszligenermittlung selbst erfolgt jedoch vereinfach-end linear-elastisch Die Abweichungen der Berechnung unter tatsaumlchlichen Steifigkeiten zur linearen Berechnung betragen im Gebrauchzustand ca 10 in Ausnahmefaumlllen auch bis zu 20 (nach [ZilchFritsche ndash 95]) Zusaumltzlich wird bei der nun folgenden vereinfachten Louml-sung davon ausgegangen dass an Innenauflagern volle Einspannung (horizontale Tangen-te) und am Endauflager frei drehbare Lagerung vorliegt Der hieraus resultierende Fehler ist gering wenn die staumlndige Last deutlich groumlszliger als die veraumlnderliche ist und die Stuumltzweiten zweier benachbarter Felder zwischen 08 middot l1 lt l2 lt 125 middot l1 liegen
721 Vereinfachte Loumlsung
Fuumlr das Innenfeld eines Durchlauftraumlgers mit den Stuumltzmomenten MSiqs und dem Feldmoment MFqs aus quasi-staumlndiger Last fqs werden zunaumlchst die Momentennulldurchgaumlnge bestimmt
12 1 2 S qs qs F qs qsx V f M f= plusmn sdot (722)
mit 2
121
LfL
MMV qsqsSqsS
qsS
sdot+
minus=
Somit kann das betrachtete Feld in zwei Bereiche mit negativem Moment LKi und einen mit positivem Moment LE unterteilt werden
21 xLK = 12 xLLK minus= 21 xxLLE minusminus=
Die Abschnitte werden jeweils separat als Kragarme bzw Einfeldtraumlger betrachtet An den Ver-bindungsstellen wird die Querkraft V0i uumlbertragen auszligerdem treten dort die Verformungen fKi auf Zusammen mit der Durchbiegung des Einfeldtraumlgers fE erhaumllt man die Gesamtverformung
( )1 2 2K k Ef f f f= + + (723)
MS1 MS2
MF
L
LK1 LE LK2
fK1 fK2
fE
Abb 75 Aufteilung in Feld- und Stuumltzbereiche
102 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Bestimmung der Verformung im Ersatz-Einfeldtraumlger (fE)
Die Berechnung erfolgt analog zu dem in Abschnitt 712 vorgestelltem Verfahren Der Ein-feldtraumlger wird an der Stelle des Rissmomentes Mcr in einen ungerissenen und einen gerissenen Bereich unterteilt Die Uumlbergaumlnge befinden sich bei
22
22
2EcrEE
cr
LfMLL
x lesdot
minus⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛minus= (724)
crIE xL sdot= 2 crE
IIE xLL sdotminus= 2
Die Gleichung (716) wird auf die Laumlnge des Ersatzeinfeldtraumlgers bezogen Sie gibt folgende Durchbiegung an
( ) ( )
( ) ( )crIIEcr
Icr
mIIIIE
crIIEE
IE
mIIIIEEE
IE
xLxxL
xLLLLLLf
sdot+sdotminussdotsdot+
sdot+sdotsdotminussdotsdot+sdotsdot=
8)()(481
165)2()2(481)2(
485 2
κκ
κκκ (725)
Bestimmung der Verformung im Ersatz-Kragarm (fK)
Der Kragarm wird zusaumltzlich zur Streckenlast fqs am Schnittpunkt zum Einfeldtraumlger mit der Querkraft V0 = LE 2 middot fqs belastet
Kqs
crEEcr L
fMLLx le
sdot+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+minus=
222
2
(726)
crIK xL = crK
IIK xLL minus=
Die Verformung am Kragarmende wird mit dem Arbeitssatz berechnet das virtuelle Moment betraumlgt ndashxcr an der Stelle des Erstrisses und ndashLk an der Einspannstelle die Kruumlmmung aus der tatsaumlchlichen Beanspruchung ist κI bzw κIIm Fuumlr die Verformung erhaumllt man
( ))()(4
)(4
22
crmII
crIcr
KmIIK
K xxxLLf κκκ minussdotminussdotminus= (727)
722 Berechnung der Schwindverformung Aufgrund von den vielen Bereichen unterschiedlicher Steifigkeit und der Schnittkraftumlagerung innerhalb des statisch unbestimmten Systems kann die Schwindverformung bei Durchlauftrauml-gern nur mit erheblichem Aufwand berechnet werden Untersuchungen von [ZilchDonau-bauer ndash 06] haben jedoch ergeben dass der Anteil des Schwindens an der Gesamtver-formung in Innenfeldern sehr gering ist Fuumlr Randfelder wird folgende Naumlherung angegeben
22 RF
mIIcsIIRF
IcsIRFcs LkLkf sdotsdot+sdotsdot= κκ (728)
Die Hilfswerte kI und kII koumlnnen in Abhaumlngigkeit vom Anteil der gerissenen Bereiche zur Gesamt-laumlnge des Randfeldes fuumlr symmetrisch bewehrte Querschnitte Tafel 71 entnommen werden
II RF
RF
LL
sum
kI
kII
0 00313 00 005 00462 00022 010 00445 00205 025 00285 00426 033 00215 00503 050 00107 00555
Tafel 71 Beiwerte zur Bestimmung der Schwindverformung
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 103
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 731 Momenten-Kruumlmmungsbeziehung aus der Spannungs-Dehnungslinie
Die Kruumlmmung kann aus der auf die Nutzhoumlhe d bezogenen Stahldehnung εs und der Betonranddehnung der Druckzone εc ermittelt werden
s cd
ε εκ
minus= (729)
Im ungerissenen Zustand gelten die Dehnungen εsI und εc
I des Zustandes I im Riss selbst εsII
und εcII des Zustandes II Im gerissenen Zustand werden jedoch mittlere Kruumlmmungen und
Dehnungen benoumltigt
d
mIIc
mIIsmII εε
κminus
= (730)
Die Bestimmung der mittleren Stahldehnung wurde in Abschnitt 53 ausfuumlhrlich und unter Beruumlcksichtigung verschiedener Ansaumltze erlaumlutert Die Betonstauchung wird auch vom Verlauf der Stahldehnungen und damit dem Verlauf und der Groumlszlige der Verbundspannungen beeinflusst Unter der Voraussetzung dass Beton- und Stahldehnung linear voneinander abhaumlngig sind gilt fuumlr die mittlere Betonstauchung
ζεε
εε
== IIc
mIIc
IIs
mIIs (731)
d h dass ein und derselbe Verteilungsfaktor ζ gelten wuumlrde Die Berechnung der mittleren Kruumlmmung koumlnnte dann direkt uumlber die Kruumlmmungen in den reinen Zustaumlnden I und II erfolgen (vgl Gl (733)) Tatsaumlchlich sind die Dehnungsverlaumlufe im Zustand II jedoch nicht linear und die Annahme nach Gl (731) ist zwischen den Rissen nicht korrekt Durch die konzentrierte Einleitung der Stahlkraumlfte kommt es in der unmittelbaren Umgebung der Be-wehrung zu einem unregelmaumlszligigen Verlauf der Dehnungen den bspw [Castel et al ndash 06] experimentell nachgewiesen haben Die Abweichungen sind fuumlr Belastungen nahe der Riss-last besonders groszlig die mittlere Kruumlmmung wird unterschaumltzt Erst bei deutlich uumlber der Risslast liegender Beanspruchung wird die Abweichung vernachlaumlssigbar klein (vgl Abb 76 s a [KruumlgerMertzsch ndash 06])
Als Alternative kann die Betondehnung des reinen Zustandes II beibehalten werden Nach [Graubner ndash 89] sind die Abweichungen gering und liegen auf der sicheren Seite d h die mittlere Kruumlmmung wird etwas uumlberschaumltzt wenn sie nach folgender Beziehung berechnet wird
d
IIc
mIIsmII εε
κminus
= (732)
1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2
1 15 2 25 3 35 4
M Mcr
Abb 76 Verhaumlltnis der mittleren Kruumlmmungen nach Gl (732) und nach Gl (731) fuumlr eine Platte mit d = 20 cm Bewehrungsgrad 05 Beton C3037
104 Kapitel 7 Verformungsberechnung
In den folgenden Abschnitten wird die mittlere Kruumlmmung fuumlr alle Ansaumltze in einer einheitli-chen Form dargestellt Dabei werden die Kruumlmmungen im Zustand I und im reinen Zustand II sowie ein Verteilungswert ζ verwendet
IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (Abschnitt 7311 ndash 7313) (733) II
smII κζκ sdot= (Abschnitt 7314 ndash 7315) (734)
7311 Berechnung nach [CEBFIP ndash 91] und [DAfStb-H525 ndash 03]
Mit Gl (587) erhaumllt man eine bilineare Spannungs-Dehnungsbeziehung zur Bestimmung der mittleren Stahldehnung in gerissenen Bereichen Unter der Annahme von εsr
IIεsII = εsr
IεsI = σsr
IIσsII
kann man Gleichung (587) wie folgt umstellen
1II II
sr srII m II II I II Is s t s t s s sII II
s s( )
σ σε ε β ε β ε ζ ε ζ ε
σ σ= minus sdot sdot + sdot sdot = sdot + minus sdot (735)
mit IIs
IIsr
t σσ
βζ sdotminus= 1 (736)
Unter Beruumlcksichtigung von Gl (731) erhaumllt man
IIII
cII
cI
sII
smII
dκζκζ
εζεζεζεζκ sdotminus+sdot=
sdotminus+sdot+sdotminus+sdot= )1(
)1()1( (737)
Bei reiner Biegung kann der Verteilungsbeiwert wie folgt angegeben werden
MMcr
t sdotminus= βζ 1 (738)
Der Voumllligkeitsbeiwert βt ist bei einer einmaligen kurzzeitigen Einwirkung βt = 04 und unter andauernder oder sich wiederholender Last βt = 025
Soll gemaumlszlig Gl (732) die Betondehnung durchgehend als εcII angesetzt werden muss zur
Gleichung (737) der Korrekturterm Kε nach Gl (739) addiert werden Dieser hat allerdings nur bei Biegemomenten in der Naumlhe des Rissmomentes einen nennenswerten Einfluss bei deutlich groumlszligerer Belastung wird er vernachlaumlssigbar klein
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1( (739)
Soll die trilineare Spannungs-Dehnungsverteilung angewandt werden so gelten die darge-stellten Beziehungen erst bei abgeschlossener Rissbildung also bei M gt 13 Mcr Im Bereich der Rissbildung muss der Faktor ζ aus Gl (737) ersetzt werden durch
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus=
MM
MM crcr
t 31130
1130
11 βζ (740)
7312 Ansatz in [EN 1992-1-1 ndash 04]
In den Gleichungen Gl (588) bis Gl (591) wurde gezeigt dass im Eurocode 2 ein span-nungsabhaumlngiger Ansatz zur Beschreibung des Voumllligkeitsbeiwertes βt verwendet wird Somit erhaumllt man fuumlr die Berechnung der mittleren Kruumlmmung IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1(
mit M
Mcrt sdotminus= βζ 1 und
MMcr
t sdot= ββ
somit 2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminus=
MMcrβζ (741)
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 105
Der Beiwert β wird bei einmaliger kurzzeitiger Belastung zu 10 und bei andauernder oder sich wiederholender Einwirkung zu 05 gesetzt
Der Korrekturwert Kε kann aus Gl (739) mit dem entsprechenden ζ uumlbernommen werden
7313 Ermittlung nach [KruumlgerMertzsch ndash 06]
Prinzipiell gelten hier die im vorigen Abschnitt dargestellten Beziehungen Allerdings erset-zen die Autoren den konstanten Beiwert β durch den spannungsabhaumlngigen Beiwert βσ
1111 ge⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
yd
IIs
IIsr
IIs
fσ
σσβσ (742)
7314 Ansatz in [Tue ndash 93]
Die Gleichung (582) kann wie folgt umgeschrieben werden II
sssm εζε sdot=
mit IIs
ums F
Tsdotminus= 601ζ (743)
Dabei ist FsII die gesamte Stahlkraft im Riss unter aktueller Belastung die Berechnung der
Verbundkraft Tum kann Gleichung (579) entnommen werden Unter der in Gleichung (731) beschriebenen Bedingung ist die mittlere Kruumlmmung
IIs
mII κζκ sdot= (744)
Wenn die mittlere Kruumlmmung unter einer konstanten Betondehnung von εcII berechnet wer-
den soll ist folgende Korrektur vorzunehmen
d
IIc
sII
smII ε
ζκζκ sdotminus+sdot= )1( (745)
7315 Berechnung nach [Noakowski ndash 88]
Dieser Ansatz beruumlcksichtigt einen konstanten spannungsunabhaumlngigen Beiwert zur Be-stimmung der mittleren Stahldehnung (vgl Gl (596)) Die mittlere Kruumlmmung erhaumllt man durch das Produkt der Kruumlmmung im reinen Zustand II und des Beiwertes ζs
IIs
mII κζκ sdot= mit 580=sζ (746)
Wie schon in den vorigen Ansaumltzen wird die Gleichung durch eine Korrektur in Form eines zusaumltzlichen Summanden Kε ergaumlnzt
εκζκ KIIs
mII +sdot= mit dK II
cs εζε sdot= (747)
732 Zusammenfassung
Die dargestellten Berechnungsmoumlglichkeiten werden nachfolgend in Tafel 72 zusammen-gefasst Dabei werden alle Bezeichnungen einheitlich und ggf abweichend zu den urspruumlnglichen Formelzeichen in der genannten Literatur gewaumlhlt
106 Kapitel 7 Verformungsberechnung
Ansaumltze in der Form IIImII κζκζκ sdotminus+sdot= )1( (+ Kε) [D
AfS
tb-H
525
ndash 03
]
[CEB
FIP
ndash 9
1] M
Mcrt sdotminus= βζ 1 abgeschlossenes Rissbild
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminussdot+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdotsdotminus=
MM
MM crcr
t 31130
1130
11 βζ Rissbildung Mcr lt M lt 13 sdot Mcr
βt = 04 bei kurzer einmaliger Einwirkung βt = 025 bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
[EN
192
2-1-
1 ndash
04]
MMcr
t sdotminus= βζ 1
MMcr
t sdot= 01β bei kurzer einmaliger Einwirkung
MMcr
t sdot= 50β bei langandauernder oder sich wiederholender Einwirkung
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdotminus=
MMcrβζ Zusammenfuumlhrung mit βt dabei ist β = 10 oder = 05
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
[Kruuml
gerM
ertz
sch
ndash 06
]
MMcr
t sdotminus= βζ 1
MM
fcr
yd
IIs
IIsr
IIs
t sdot⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minussdot⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛minus+=
σσσ
β 111
dK
IIc
Ic εε
ζε
minussdotminus= )1(
Ansaumltze in der Form IIs
mII κζκ sdot= (+ Kε)
[Tue
ndash 9
3] II
s
umts F
Tsdotminus= βζ 1
βt = 06 konstanter Beiwert Die Auswirkungen von einmaliger oder langan-dauernder bzw sich wiederholender Belastung gehen bei der Be-rechnung von Tum in Gl (579) ein
dK
IIc
s
εζε sdotminus= )1(
[Noa
kow
ski
ndash 88
]
ts βζ minus= 1
560=tβ bei Erstrissbildung 420560750 =sdot=tβ bei abgeschlossenem Rissbild
dK IIcs )1( εζε sdotminus=
Formelzeichen ζζs Verteilungsbeiwert βt Voumllligkeitsbeiwert Kε Korrekturterm
Tafel 72 Ansaumltze nach Abschnitten 7311 ndash 7315
73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen 107
Die Berechnungen nach [DAfStb-H525 ndash 03] und [Noakowski ndash 88] unterscheiden zwischen Erstriss und abgeschlossenem Rissbild und eignen sich somit sehr gut fuumlr Tragwerke deren Gebrauchslast nur Momente knapp oberhalb des Rissmomentes verursacht Allerdings unterschaumltzt [Noakowski ndash 88] die Kruumlmmung bei deutlich groumlszligeren Momenten Zusaumltzlich gibt es in dem recht einfachen Ansatz keine Moumlglichkeit das bei Dauerbelastung schlechtere Verbundverhalten zu beruumlcksichtigen Hier eignen sich die anderen Ansaumltze deutlich besser [DAfStb-H525 ndash 03] beruumlcksichtigt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert der bei langan- dauernder Belastung mit dem Faktor 23 multipliziert wird [EN 1992-1-1 ndash 04] greift auf einen spannungsabhaumlngigen Voumllligkeitsbeiwert zuruumlck der bei Dauerlast mit dem Faktor 05 multipliziert wird [KruumlgerMertzsch ndash 06] greifen diesen Ansatz auf ersetzen jedoch den Faktor 05 durch einen weiteren vom Abstand der aktuellen Spannung zur Rissspannung bzw zur maximal aufnehmbaren Spannung (Streckgrenze des Stahls) abhaumlngigen Faktor [Tue ndash 90] setzt einen konstanten Voumllligkeitsbeiwert an beruumlcksichtigt jedoch uumlber das Verhaumlltnis der Verbundkraft zur aktuellen Stahlkraft eine andauernde oder sich wieder-holende Beanspruchung Dabei ist besonders erwaumlhnenswert dass bei der Bestimmung der Verbundkraft explizit die Anzahl der Lastwechsel beruumlcksichtigt werden kann
In der nachfolgenden Abbildung sind die mittleren Kruumlmmungen fuumlr einen Plattenstreifen mit bhd = 7516131 cm und ρs1 = 06 zu sehen (vgl [JaccoudFavre ndash 82]) Die im Versuch gemessenen Kruumlmmungen sind mit angegeben
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-0001 0001 0003 0005 0007 0009 0011 0013 0015
mittlere Kruumlmmung
Mom
ent
[DAfStb-H525 - 03] [EN 1992-1-1 - 04][KruumlgerMertzsch - 06] [Tue - 90][Noakowsk- 88]i Versuch nach [JaccoudFavre - 82]
Abb 77 Darstellung der verschiedenen Ansaumltze zur Bestimmung der mittleren Kruumlmmung fuumlr ein Rissmoment von ca 9 kNm bei einem Beton C3037
108 Kapitel 7 Verformungsberechnung
109
8 Auswertung
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln
811 Erforderliche Nutzhoumlhe
Im Kapitel 3 wurden Verfahren gezeigt die Begrenzung der Verformung uumlber zulaumlssige Biege-schlankheiten nachzuweisen Sie gelten teilweise nur fuumlr Platten des uumlblichen Hochbaus mit charakteristischen Werten der veraumlnderlichen Last zwischen q = 2 kNm2 (Wohn- und Buumlro-flaumlchen) und q = 5 kNm2 (Versammlungs- oder Verkaufsraumlume) Der Kombinationsbeiwert ψ2 der den Anteil der Nutzlast im quasi-staumlndigen Lastfall vorgibt nimmt Werte zwischen 03 und 06 an Die Biegeschlankheitsnachweise sind also fuumlr veraumlnderliche Lasten von qperm = 03 middot 20 = 06 kNm2 bis qperm = 06 middot 50 = 3 kNm2 ausgelegt der tatsaumlchliche Wert geht teilweise nicht in den Nachweis ein Eine Ausnahme bildet bspw [EN 1992-1-1 ndash 04] bei der die Belastung indirekt uumlber den Bewehrungsgrad beruumlcksichtigt wird Allerdings wird dadurch nur die Groumlszlige der Gesamtlast erfasst die quasi-staumlndigen Last kann nur indirekt beruumlcksichtigt werden Bei [ZilchDonaubauer ndash 06] ist der Biegeschlankheitsnachweis auf eine maximale Nutzlast von q = 275 kNm2 begrenzt der Kombinationsbeiwert darf ψ2 = 03 nicht uumlberschreiten
Im Folgenden werden die Biegeschlankheitskriterien aus [DIN 1045-1 ndash 08] [EN 1992-1-1 ndash 04] [KruumlgerMertzsch ndash 03] und [ZilchDonaubauer ndash 06] verglichen Die Verformung soll jeweils auf w lt L 250 begrenzt werden Die erforderliche Nutzhoumlhe nach EC 2 wird uumlber Gleichung (35a) (in den Diagrammen mit bdquoEC2 (Gl 35)ldquo gekennzeichnet) und 33a (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) mit der jeweils statisch erforderlichen Bewehrung berechnet Eine Korrektur zur Beruumlcksichtigung der tatsaumlchlichen Stahlspannung wird gem Kap 312 uumlber den Faktor 310σs beruumlcksichtigt so dass eine Iteration erforderlich ist Der Biegeschlankheitsnachweis von KruumlgerMertzsch kann uumlber die entsprechenden Werte aus Tafel 34 angewendet werden Nach der DIN 1045-1 betraumlgt fuumlr allgemeine Anforderungen an die Durchbiegung (d h eine Begrenzung auf L 250) die erforderliche Nutzhoumlhe d = L 35 (vgl Gleichung (31a)) In den Diagrammen wird dieser Grenzwert mit bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo gekennzeichnet Zusaumltzlich ist auch die zweite Bedingung d = L2150 nach Gleichung (31b) beruumlcksichtigt (in den Diagrammen bdquoDIN 1045-1 (Gl 31b)ldquo) Diese Grenze gilt fuumlr erhoumlhte Anforderungen an die Verformungsbegrenzung und braumluchte hier nicht beruumlcksichtigt zu werden Sie wird in den nachfolgenden Beispielen dennoch erfasst da das L35-Kriterium bei groszligen Stuumltzweiten als unzureichend erscheint Gleichung (31b) wird ab einer Stuumltzweite von 428 Metern maszliggebend
In Abb 81 sind die erforderlichen Nutzhoumlhen d fuumlr eine Einfeldplatte mit Laumlngen zwischen 30 und 75 m dargestellt es wird von einer Betonfestigklasse C2025 einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil und einer Kriechzahl ϕ = 25 ausgegangen Die veraumlnderliche Last betraumlgt qk = 20 kNm2 mit ψ2 = 03 auszligerdem wirkt die Eigenlast gk = (d + 0025) middot 25 und eine Aus-baulast Δgk = 10 kNm2
Es ist festzustellen dass nach Eurocode 2 i d R mit einem Faktor σs310 lt 1 korrigiert wird da die Stahlspannung unter quasi-staumlndiger Last kleiner als 310 MNm2 ist
Die Betonfestigkeitsklasse beeinflusst die Verformung Bei einer houmlheren Festigkeitsklasse werden kleinere Durchbiegungen erwartet die Anforderung an die Nutzhoumlhe koumlnnte ent-sprechend gesenkt werden In Abb 82 wurde daher zum Vergleich ein C3037 gewaumlhlt Die Auswirkungen sind bei allen Verfahren zu sehen mit Ausnahme von [DIN 1045-1 ndash 08] bei der die Betonfestigkeit nicht beruumlcksichtigt wird Bei der Berechnung nach Eurocode 2 (s Linie bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) verkleinert sich die erforderliche Nutzhoumlhe um zwei Zentimeter bei einer Stuumltzweite von 3 Metern und um vier Zentimeter bei L = 75 m Bei der Berechnung nach Kruumlger Mertzsch sind die Abweichungen gering (s Faktor kc in Gl (318)) bei Donaubauer sind sie deutlich groumlszliger (bis zu 11 Zentimeter vgl Gl (319))
110 Kapitel 8 Auswertung
0
10
20
30
40
50
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 81 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03
Abb 82 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C3037 qk = 20 kNm2 ψ2 = 03
In Abb 81 und 82 wurde eine relativ kleine veraumlnderliche Last gewaumlhlt Wird die erforder-liche Nutzhoumlhe unter der Nutzlast qk = 50 kNm2 und mit ψ2 = 06 bestimmt werden die Werte nach Eurocode 2 etwas unguumlnstiger (erforderliche Nutzhoumlhe wird um 1 cm (bdquoEC2 (Gl 35)ldquo) bzw 3 cm (bdquoEC2 (Gl 33)ldquo) groumlszliger DIN 1045-1 bleibt wiederum unveraumlndert (s Abb 83) Der Nachweis nach [ZilchDonaubauer ndash 06] ist fuumlr diese Nutzlast nicht mehr zulaumlssig wird jedoch aus Anschauungsgruumlnden mit aufgefuumlhrt
Eine Aumlnderung des statischen Systems wirkt sich in allen Faumlllen etwa gleich aus Dies ist in Abb 84 fuumlr das Randfeld einer durchlaufenden Platte dargestellt Die guumlnstige Wirkung der Einspannung am Zwischenauflager wird in allen betrachteten Biegeschlankheitsnachweisen durch eine Verkleinerung der Stuumltzweite und damit der erforderlichen Nutzhoumlhen beruumlcksichtigt
0
10
20
30
40
50
15 3 45 6 75 9 Stuumltzweite [m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 111
0
10
20
30
40
50
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 83 Erforderliche Nutzhoumlhe Beton C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06
0
10
20
30
40
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
erf
Nut
zhoumlh
e [c
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 84 Erforderliche Nutzhoumlhe Randfeld C2025 qk = 50 kNm2 ψ2 = 06
812 Berechnung der Verformung
Fuumlr die zuvor ermittelten Nutzhoumlhen sollen mit den in Kapitel 5 und 7 beschriebenen Ver-fahren die Durchbiegungen rechnerisch bestimmt werden Die Berechnung der Durchbie-gung erfolgt unter der quasi-staumlndigen Last Die Rissbildung wird jedoch nach drei verschie-denen Ansaumltzen betrachtet
1 Rissbildung wird bei Belastungsbeginn unter seltener Last beruumlcksichtigt das Riss-moment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt (somit Groumlszligtwert der Verformung)
2 Es wird auch fuumlr die Rissbildung nur die quasi-staumlndige Last beruumlcksichtigt das Rissmoment wird mit der zentrischen Zugfestigkeit bestimmt
3 wie 2 das Rissmoment wird jedoch mit der Biegezugfestigkeit bestimmt (Annahme kleine Eigenspannungen keine Vorschaumldigungen)
112 Kapitel 8 Auswertung
Wie in Abschnitt 71 beschrieben stellt eine Berechnung nach 1 die schon bei Erst-belastung die seltene Last beruumlcksichtigt den unguumlnstigsten Fall dar Zusaumltzlich wird auf der sicheren Seite liegend das Rissmoment mit der zentrischen Zugfestigkeit ndash statt mit der etwas houmlheren Biegezugfestigkeit ndash ermittelt um rechnerisch nicht beruumlcksichtigte Zwaumlngun-gen zu erfassen
In Abbildung 85a und 85b sind die nach Ansatz 1 berechneten Verformungen des im vorigen Abschnitt beschriebenen Einfeldtraumlgers dargestellt Bleiben die zeitabhaumlngigen Einfluumlsse unberuumlcksichtigt so erfuumlllen nahezu alle Querschnitte die Verformungsbegrenzung auf L250 Ausnahme ist bei Stuumltzweiten L gt 45 Meter die bdquoDIN 1045-1 (Gl 31a)ldquo Zum Zeitpunkt t = infin (ϕ = 25 εcs = ndash05 permil) ist nur noch bei Platten mit einer Nutzhoumlhe nach den Regeln von [ZilchDonaubauer ndash 06] und mit Einschraumlnkungen nach der Regel d = L20 und Korrekturwert 310σs aus [EN 1992-1-1 ndash 04] die Durchbiegungsbegrenzung erfuumlllt
0
10
20
30
40
50
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
elas
tisch
e Ve
rfor
mun
g [m
m]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Ges
amtv
erfo
rmun
g [m
m]
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch DonaubauerGRENZWERT
Abb 85 Verformung fuumlr die in Abbildung 81 dargestellten Nutzhoumlhen Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentrischer Zugfestigkeit a) Zeitpunkt t = 0 b) Zeitpunkt t = infin (nach Kriechen und Schwinden)
In den Abbildungen 86a bis 86c werden die Verformungen als bezogene Groumlszlige (auf die Laumlnge bezogen) dargestellt die zulaumlssige Grenze kann somit direkt als waagerechte Linie
L250
L250
a)
b)
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 113
bei L250 abgelesen werden Werte oberhalb von 250 erfuumlllen die Verformungskriterien Berechnet wurde die Verformung mit den Nutzhoumlhen nach Abb 81 fuumlr t = infin Abb 86a zeigt die Werte nach Ansatz 1 Abb 86b nach Ansatz 2 und Abb 86c nach Ansatz 3
0
250
500
750
1000
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Verfo
rmun
g L
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 86 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 81 dar-
gestellten Nutzhoumlhen a) Rissbildung unter seltener Last Rissmoment mit zentr Zugfestigkeit b) Rissmoment unter zentr Zugfestigkeit c) Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment mit Biegezugfestigkeit
a)
b)
c)
114 Kapitel 8 Auswertung
Wird die Betonfestigkeitsklasse auf C3037 erhoumlht bleibt die erforderliche Nutzhoumlhe nach DIN 1045-1 unveraumlndert Dementsprechend guumlnstiger faumlllt ndash unter den gewaumlhlten Rand-bedigungen ndash die tatsaumlchliche Berechnung der Durchbiegung unter Beruumlcksichtigung einer houmlheren Festigkeit aus Die Berechnungen nach Eurocode 2 zeigen dass der Einfluss der Betonfestigkeit beim Biegeschlankheitskriterium unterschaumltzt wird da die tatsaumlchlichen Verformungen deutlich guumlnstiger beeinflusst werden Bei Donaubauer ist es genau umgekehrt Die unter Ansatz der groumlszligeren Betonfestigkeit ermittelte erforderliche Nutzhoumlhe liefert deutlich groumlszligere Durchbiegungen die Auswirkung der Festigkeit wird also uumlberschaumltzt
0
250
500
750
1000
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Verfo
rmun
g L
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 87 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 82 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit
Nur unter den guumlnstigsten Annahmen nach Ansatz 3 werden bei den meisten Biege-schlankheitskriterien die Verformungen eingehalten Bei groumlszligeren Stuumltzweiten kann es jedoch bei der Wahl der Nutzhoumlhe d = L35 nach DIN 1045-1 und auch nach dem genaueren Nachweis nach Eurocode 2 zu unzulaumlssigen Verformungen kommen Nach DIN 1045-1 gelingt nur mit Li
2150 als Kriterium in den meisten Faumlllen ein Nachweis der Verformungs-grenze L250 allerdings kann es bei groszligen Stuumltzweiten zu deutlich unwirtschaftlichen Loumlsungen kommen Nach Eurocode 2 koumlnnte eine Verbesserung durch eine Erhoumlhung mit dem Faktor L7 ab 7 m Stuumltzweite erzielt werden wie dies bei verformungsempfindlichen Ausbauten vorgesehen ist (in den Diagrammen nicht dargestellt)
Es ist allerdings zu beachten dass als veraumlnderliche Last nur qk = 20 kNm2 (ψ2 = 03) ange-nommen wurde In Abbildung 83 wurden die Nutzhoumlhen fuumlr qk = 50 kNm2 (ψ2 = 06) dargestellt Die sich hierzu ergebende bezogene Durchbiegung nach Ansatz 3 ist in Abbil-dung 88 dargestellt Abgesehen vom Ansatz nach [ZilchDonaubauer ndash 06] der auch bisher sehr konservative Nutzhoumlhen lieferte und somit bei der Verformungsberechnung auf der sicheren Seite lag erfuumlllt nur der nach dem Grenzwert L 20 dimensionierte Querschnitt die Verformungsbegrenzung Somit sind die Anwendungsgrenzen der Biegeschlankheits-nachweise in Frage zu stellen Problematisch ist beispielsweise dass nur die maximale Nutzlast q = 5 kNm2 ohne einen dazugehoumlrigen Kombinationsbeiwert angegeben wird Gerade dieser hat aber einen groszligen Einfluss auf die Verformung da er sich nur auf den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit auswirkt waumlhrend eine Veraumlnderung der Nutzlast auch einen anderen Bewehrungsgrad und somit (bei groumlszligerer Einwirkung) eine groumlszligere Steifigkeit zur Folge hat Letzteres gilt vor allem im Zustand II
81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln 115
In der Abbildung 89 sind die Verformungsberechnungen fuumlr die in Abbildung 84 (Randfeld eines Durchlauftraumlgers) angegebenen Werte durchgefuumlhrt Es ist zu erkennen dass in den meisten Faumlllen deutlich guumlnstigere Verformungen ermittelt wurden Bis auf die nach DIN 1045-1 dimensionierten Querschnitte erfuumlllen alle (knapp) die Anforderung
0
250
500
750
1000
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Verfo
rmun
g L
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer
Abb 88 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 83 dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit
0
250
500
750
1000
15 3 45 6 75 9Stuumltzweite [m]
Verfo
rmun
g L
DIN 1045-1 (Gl 31a) DIN 1045-1 (Gl 31b) EC2 (Gl 35)
EC2 (Gl 33) Kruumlger Mertzsch Donaubauer Abb 89 Auf die Stuumltzweite bezogene Verformung zum Zeitpunkt t = infin fuumlr die in Abbildung 84
dargestellten Nutzhoumlhen Erstriss unter quasi-staumlndiger Last Rissmoment unter Biegezugfestigkeit statisches System Zweifeldtraumlger
116 Kapitel 8 Auswertung
82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1 Wie aus dem vorigen Abschnitt und speziell in den letzten beiden Abbildungen zu erkennen ist die in der aktuell guumlltigen Norm [DIN 1045-1 ndash 08] vorhandene Regel zur Begrenzung der Biegeschlankheit kaum geeignet die Vielzahl von moumlglichen Einfluumlssen zu erfassen Besonders bei groszligen Belastungen fuumlr die der Biegeschlankheitsnachweis gemaumlszlig Norm gerade noch anwendbar ist kann das Einhalten des zulaumlssigen Grenzwertes nicht nachgewiesen werden Zu dem Verfahren ist kritisch anzumerken dass die aus empirischen Studien der sechziger Jahre entnommenen Ergebnisse nicht ohne Einschraumlnkung auf die heutigen Verhaumlltnisse uumlbertragbar sind Hintergrund hierfuumlr ist dass seinerzeit meistens Bewehrungsstahl mit einer niedrigeren Streckgrenze (fyk = 420 Nmm2 oder sogar fyk = 220 Nmm2) zur Anwendung kam Dies bedingt im Vergleich zu einem aktuell mit einem BSt 500 bemessenen Bauteil einen houmlheren Bewehrungsgrad und damit automatisch eine groumlszligere Steifigkeit (insbesondere im Zustand II) Auszligerdem wurden seinerzeit die Querschnitte weniger hoch ausgenutzt da beim damaligen bdquon-gebundenenldquo Bemessungsverfahren auch im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit eine dreieckfoumlrmige Betondruckspannungsverteilung an-genommen wurde Der aktuelle Ansatz mit einem Parabel-Rechteckverlauf nutzt die Druckzone besser aus der innere Hebelarm vergroumlszligert sich so dass sich auch dadurch zu-saumltzlich kleinere Bewehrungsgrade ergeben
Das aktuelle Sicherheitskonzept mit Teilsicherheitsbeiwerten ergibt bei uumlblich beanspruchten Tragwerken ebenfalls eine Bewehrungseinsparung im Vergleich zu einer bdquoaltenldquo Bemessung mit dem damaligen Bemessungskonzept
Auf der anderen Seite gibt es mit den heutigen houmlheren Betonfestigkeiten Effekte die zu geringeren Verformungen fuumlhren Diese Effekte gleichen jedoch die zuvor dargestellten unguumlnstigen Einfluumlsse vielfach nicht aus bzw muumlssen im Einzelfall kritisch uumlberpruumlft werden Es erscheint daher zumindest fraglich ob die damaligen Untersuchungen als Beleg fuumlr eine Dimensionierung heutiger Konstruktionen herangezogen werden koumlnnen
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
831 Veraumlnderung der Stahlfestigkeit
Im Anhang von [MayerRuumlsch ndash 67] sind Angaben zu den verwendeten Stahlsorten der untersuchten Platten enthalten insgesamt wurde in 110 Faumlllen die Streckgrenze der Beweh-rung angegeben Ein Betonstahl BSt IV (entspricht dem heutigen BSt 500 mit einer Streck-grenze von 500 Nmm2) ist nur zweimal vertreten Am haumlufigsten werden die Stahlsorten BSt III (Streckgrenze 420 Nmm2) mit knapp 70 Prozent genannt ein weiterer groszliger Anteil entfaumlllt auf den BSt I (Streckgrenze 220 Nmm2) mit 25 Prozent
In den folgenden Vergleichsrechnungen wurden die Verformungen zu Belastungsbeginn und nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden bestimmt Die erforderliche Bewehrung wurde im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit nach aktueller Norm ermittelt Dabei gehen die Unterschiede der drei oben erwaumlhnten Streckgrenzen direkt in die Bewehrungsmenge ein Der Bewehrungsgrad eines Bauteils mit einem BSt III steigt gegenuumlber dem BSt IV um den Faktor 500420 = 119 bei einem BSt I betraumlgt der Faktor 500220 = 227
Zunaumlchst wird der Sonderfall untersucht dass der betrachtete Plattenstreifen im Zustand I verbleibt (Abb 810 u 811) Gewaumlhlt werden folgende Parameter Stuumltzweite L = 5 m Beton C4050 quasi-staumlndige Last fperm = 66 kNm2 Bemessungslast fEd = 111 kNm2 Kriechzahl ϕ = 25 Unter den genannten Parametern wird die Zugfestigkeit fctm = 35 Nmm2 des Betons nicht uumlberschritten so dass Zustand I zutreffend ist
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 117
Abb 810 Verformung (in mm) eines Plattenstreifens (hbd = 2010017) eines im Zustand I verbleibenden Einfeldtraumlgers ohne Schwinden (links) und mit einem Schwindmaszlig von εcs = ndash05 permil (rechts)
Im Zustand I wird der Verformungswiderstand fast vollstaumlndig vom Betonquerschnitt bestimmt die Bewehrung beteiligt sich nur im geringen Umfang am Lastabtrag In diesem Fall sind die Auswirkungen einer erhoumlhten Bewehrungsmenge bei uumlblichen Plattentrag-werken (Bewehrungsgrad bei BSt 500 lt 05 ) gering Allerdings behindert die Zug-bewehrung das Kriechen des unter Zugspannung stehenden Betons so dass der Einfluss der Bewehrung zum Zeitpunkt t = infin etwas groumlszliger ist als zu Belastungsbeginn (vgl Abb 810 links es ist w_el die elastische Durchbiegung in Feldmitte zum Zeitpunkt t = 0 und w_gesamt zum Zeitpunkt t = infin mit Kriechen) Wie zu erwarten wirkt sich ein houmlherer Bewehrungsgrad guumlnstig aus Beim Schwinden hingegen verhindert die Bewehrung das Verkuumlrzen des Betons Bei Bauteilen ohne Druckbewehrung wirkt sich im Zustand I die Bewehrungsmenge negativ auf die Verformung aus Bei einem houmlheren Bewehrungsgrad nimmt auch der Unterschied zwischen den Dehnungen am oberen und am unteren Querschnittsrand zu d h die Kruumlmmungen und auch die Verformung werden groumlszliger Dieser Effekt ist im rechten Teil der Abb 810 dargestellt
Abb 811 Verformungen w0 und winfin bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbunde-
nen Bewehrungsmengen im Zustand I (bezogen auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens Angabe in Prozent)
000 2000 4000 6000 8000 100001200014000
220 420
bezogener Bewehrungsgrad
Durchbiegung ohne Schwinden
Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10
118 Kapitel 8 Auswertung
In Abb 811 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Bewehrungsgrade (resultierend aus den unterschiedlichen Streckgrenzen des verwendeten Stahls) dargestellt Dabei wird die Durchbiegung des Bauteils mit einem BSt 500 als Bezugsgroumlszlige zu 100 Prozent gesetzt Der Bewehrungsgrad wird wie folgt dargestellt
100)()500(
[]1
11 sdot=
yks
ss fρ
ρρ
In Abb 811 ist der geringe Einfluss auf die Durchbiegung bei einem uumlblichen Schwindmaszlig (hier εcs = minus05 permil) zu erkennen Da auszligerdem Verformungen i d R erst kritisch auftreten wenn der Querschnitt in den Zustand II uumlbergegangen ist kann der Einfluss in den folgenden Uumlberlegungen vernachlaumlssigt werden
In Abbildung 812 wird der gleiche Plattenstreifen allerdings fuumlr einen Beton C2025 be-trachtet Dabei wird dann die Betonzugfestigkeit uumlberschritten so dass eine Untersuchung mit Rissbildung durchzufuumlhren ist Wie schon zuvor ist links die Verformung ohne Schwinden und rechts die Verformung mit einem Schwindmaszlig von minus05 Promille dargestellt
0
5
10
15
20
25
30
Bst 500 025 136 21
Bst 420 03 117 186
Bst 220 057 68 122
1 2 30
5
10
15
20
25
30
Bst 500 025 136 27
Bst 420 03 117 247
Bst 220 057 68 185
r_s1 w_el w_gesamt
Abb 812 Verformung (in mm) des oben beschriebenen Plattenstreifens ohne Schwinden (links) und
mit einem Schwindmaszlig von εcs = minus05 Promille (rechts) Der Plattenstreifen befindet sich teilweise im Zustand II
Abb 813 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene
Gesamtverformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)
000 2000 4000 6000 8000 10000
12000
220 420
bezogener Bewehrungsgrad
Durchbiegung ohne Schwinden
Durchbiegung εcs = ‐05 Durchbiegung εcs = ‐10
83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse 119
Im direkten Vergleich zu Abb 810 ist deutlich die Zunahme der Verformung bei reduzierter Bewehrung zu erkennen sowohl fuumlr t = 0 bei Belastungsbeginn als auch fuumlr t = infin nach abge-schlossenem Kriechen und Schwinden In Abb 813 wird als Bezugsgroumlszlige (= 100 ) wiederum der mit einem BSt 500 bewehrte Plattenstreifen gewaumlhlt Die Verformung ist fuumlr drei verschiedene Schwindmaszlige (0 ndash05 und ndash1 Promille) dargestellt
Um eine allgemeine Aussage uumlber die Vergroumlszligerung der Verformung durch den Einsatz aktueller Stahlsorten machen zu koumlnnen wurden weitere Randbedingungen wie Bauteil-geometrie Betonfestigkeiten und Lastniveau untersucht Die Ergebnisse sind auszugsweise in den Abbildungen 814 und 815 dargestellt Als Bezugsgroumlszlige ist der Kehrwert des Ver-haumlltnisses der Streckgrenze und somit auch des Bewehrungsgrades angegeben Es ist fest-zuhalten dass groumlszligere Bewehrungsmengen stets zu einer erkennbaren Verkleinerung der Verformung fuumlhren Diese laumlsst sich in etwa uumlber folgende Beziehung abschaumltzen
500
500
500330670
5005050
wf
wf
w
yk
ykfyk
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+le
sdot⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛sdot+ge
mit fyk als maszliggebende Streckgrenze in Nmm2
Abb 814 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamtverformung bei unterschiedlichen Betonfestigkeiten und Biegeschlankheiten
Abb 815 Auf die Werte des mit einem BSt 500 bewehrten Plattenstreifens bezogene Gesamt- verformung bei unterschiedlichen Streckgrenzen und den damit verbundenen Bewehrungsmengen (Zustand II)
0
20
40
60
80
100
120
220 420Streckgrenze
bezogener Bewehrungsgradd = L35 C 2025 d = L35 C 3037d = L25 C 2025 d = L25 C 3037
bezo
gene
Dur
chbi
egun
g [
]
0 20
40 60
80 100
120
220 420
Streckgrenze
bezogener Bewehrungsgrad M_perm M_Ed = 05M_perm M_Ed = 06 M_perm M_Ed = 07
bezo
gene
Dur
chbi
egun
g [
]
120 Kapitel 8 Auswertung
832 Einfluss veraumlnderter Bemessungskonzepte
Die Sicherheits- und Bemessungskonzepte haben sich in den letzten 50 Jahren mehrfach geaumlndert Zum Zeitpunkt der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] kam das sog n-gebundene Bemessungsverfahren mit einer dreieckfoumlrmigen Betondruckspannungsver-teilung zur Anwendung Seit 1972 wird mit der heute noch uumlblichen parabelfoumlrmigen Span-nungsverteilung gerechnet allerdings erfolgte die Bemessung mit einem globalen Sicherheitsfaktor γ = 175 Mit der neuen DIN 1045-1 (2001 2008) erfolgt die Bemessung mit Teilsicherheitsbeiwerten Diese Effekte koumlnnen bei uumlblichen Plattentragwerken Bewehrungseinsparungen von 15 bis 20 Prozent ausmachen (vgl [Goris ndash 01] [Voigt ndash 09]) Prinzipiell gelten hierfuumlr die zuvor dargestellten Abhaumlngigkeiten zwischen Bewehrungsgrad und Verformung
84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse Waumlhrend houmlhere Stahlfestigkeiten sowie neuere Bemessungsverfahren und -konzepte zu einer Verringerung der Bewehrungsgrade und somit zu groumlszligeren Durchbiegungen fuumlhren werden nachfolgend Einfluumlsse betrachtet die sich guumlnstig auf die Verformungsberechnung auswirken Im Abschnitt 841 werden die Auswirkungen unterschiedlicher Betonfestigkeiten untersucht Abschnitt 842 behandelt eine konstruktive in der idealisierten Tragwerks-berechnung nicht beruumlcksichtigte Randeinspannung Abschnitt 843 enthaumllt weitere Hin-weise auf guumlnstige Einfluumlsse
841 Rechnerische und tatsaumlchliche Betonfestigkeit
Der Beton wird anhand seiner Druckfestigkeit klassifiziert Aus diesem Wert lassen sich weitere Materialeigenschaften wie Elastizitaumltsmodul und Zugfestigkeit sowie die zur Beschreibung der Langzeiteinfluumlsse notwendige Kriech- und Schwindzahl ermitteln Seit den Untersuchungen von Mayer und Ruumlsch ist die Qualitaumlt von Betonen deutlich gestiegen Man kann davon ausgehen dass im Regelfall die Betonfestigkeit in aktuell geplanten Tragwerken groumlszliger ist als die der seinerzeit betrachteten Platten Zusaumltzlich ist zu beachten dass die Druckfestigkeit des tatsaumlchlich eingebauten Betons von dem der Berechnung zugrunde gelegten Wert abweichen kann In den nachfolgend aufgefuumlhrten Beispielen wurden sie jeweils um zehn und um zwanzig Prozent erhoumlht Die Auswirkungen auf die Verformung werden in Abhaumlngigkeit von den Veraumlnderungen des Elastizitaumltsmoduls der Zugfestigkeit des Schwindmaszliges und der Kriechzahl unterteilt Der Elastizitaumltsmodul wird aus der Druckfestigkeit mit Gleichung (45) berechnet Ein grouml-szligerer Elastizitaumltsmodul verringert die Durchbiegung im Zustand I und II sowohl fuumlr Lasteinwirkungen als auch fuumlr das zeitabhaumlngige Verhalten Die Zugfestigkeit wird uumlber Gleichung (46) aus der Druckfestigkeit ermittelt und ist ndash im Gegensatz zur Biegezugfestigkeit ndash auch nur hiervon abhaumlngig Eine houmlhere Zugfestigkeit wirkt sich auf die Rissbildung und somit auf das Verhaumlltnis von sich im Zustand I oder II befindlichen Bauteilabschnitten aus Zusaumltzlich wird die Verbundspannung und damit auch die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen von der Zugfestigkeit beeinflusst Kriechen und Schwinden werden ebenfalls von der Betonfestigkeit beeinflusst allerdings sind weitere Faktoren zu beruumlcksichtigen (u a Umgebungsbedingungen) vgl Gleichung (412) und (414) sowie Gl (422ff) Um diese Einfluumlsse differenzierter betrachten zu koumlnnen wurden Parameterstudien an Plat-tenstreifen durchgefuumlhrt mit hd = 2017 cm L = 595 m (daraus folgt Ld = 35) einem Be-wehrungsgrad ρs = 0375 und einem Dauerlastanteil der 60 der maximalen Bemes-sungslast entspricht In Abbildung 816 ist das Ergebnis fuumlr ein Innenbauteil mit einer relati-
85 Vergleich und Fazit 121
ven Luftfeuchtigkeit von 50 dargestellt Die Gesamtverformung unter Annahme einer Druckfestigkeit von fck = 20 Nmm2 betraumlgt fuumlr t = infin (abgeschlossenes Schwinden und Kriechen) finfin = 603 mm In linken Teil der Abbildung sind die Differenzen dieses Wertes zu den Verformungen bei einer zehn- bzw zwanzigprozentigen Erhoumlhung von fck angegeben (Hinweis mit einer Erhoumlhung von fck steigt natuumlrlich auch die Zugfestigkeit an) Die rechte Abbildung zeigt die prozentuale Abweichung So fuumlhrt eine Erhoumlhung der Druckfestigkeit um zehn Prozent zu einer Verringerung der Verformung um vier Prozent bei einer Steigerung von zwanzig Prozent reduziert sich die Durchbiegung um knapp acht Prozent Dabei spielt der Einfluss des Schwindens nur eine untergeordnete Rolle da das Schwindmaszlig selbst sich nur wenig bei einer 20igen Erhoumlhung von fck aumlndert (vgl auch Ab-bildung 817a) Hinzu kommt dass die Durchbiegung infolge Schwinden auch von den drei anderen Faktoren (Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit und Kriechzahl) beeinflusst wird Bei der Zugfestigkeit und der Kriechzahl sind die Auswirkungen deutlich erkennbar (s Abb 817a)
0
1
2
3
4
5
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[mm
]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 02 04Kriechzahl 09 17Zugfestigkeit 08 15Elastizitaumltsmodul 05 09
22 24000
200
400
600
800
1000
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 033 067Kriechzahl 152 290Zugfestigkeit 134 255Elastizitaumltsmodul 084 152
22 24
Abb 816 Verkleinerung der Durchbiegung eines Innenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit Ausgangswert C2025 Gesamtdurchbiegung 603 mm (weitere Angaben im Text)
a
80
100
120
20 22 24
Druckfestigkeit
bezo
gene
Abw
eich
ung
Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig
b
80
100
120
20 22 24
Druckfestigkeit
bezo
gene
Abw
eich
ung
Druckfestigkeit E-Modul ZugfestigkeitKriechzahl Schwindmaszlig
Abb 817 Einfluss der Betonfestigkeit a) auf die untersuchten Parameter (C2025 = 100 ) b) Verformungsaumlnderung (Gesamtverformung des C2025 = 100 )
In Abb 818 ist die Berechnung des zuvor beschriebenen Einfeldtraumlgers als Auszligenbauteil mit einer relativen Luftfeuchtigkeit von 80 dargestellt Der Einfluss des Schwindens geht deutlich zuruumlck die Veraumlnderung der Verformung betraumlgt insgesamt weniger als drei Prozent bei fck = 22 Nmm2 und sechs Prozent bei fck = 24 Nmm2
122 Kapitel 8 Auswertung
0
05
1
15
2
25
3
35
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[mm
]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 0 01Kriechzahl 05 1Zugfestigkeit 06 13Elastizitaumltsmodul 03 07
22 24000
100
200
300
400
500
600
700
f_ck
Verk
lein
erun
g de
r D
urch
bieg
ung
[]
Elastizitaumltsmodul Zugfestigkeit Kriechzahl Schwindmaszlig
Schwindmaszlig 000 020Kriechzahl 101 205Zugfestigkeit 122 268Elastizitaumltsmodul 061 143
22 24
Abb 818 Verkleinerung der Durchbiegung eines Auszligenbauteils bei Veraumlnderung der Betonfestigkeit ausgehend von der Durchbiegung unter Verwendung eines C2025
In Abb 819 sind die Verformungen fuumlr verschiedene Betonfestigkeiten und Umgebungs-bedingungen als Absolutwerte dargestellt Es ist festzuhalten dass der zuvor beschriebene Unterschied zwischen Auszligen- und Innenbauteilen bestehen bleibt Insgesamt liegen die Abweichungen jedoch relativ dicht beieinander So verursacht eine zehnprozentige Stei-gerung der Druckfestigkeit in etwa drei- bis fuumlnfprozentige Verkleinerungen der Verformung bei zwanzigprozentiger Abweichung liegen sie bei ca sechs bis neun Prozent
35
45
55
65
100 110 120Festigkeit in []
Dur
chbi
egun
g in
[mm
]
Innenbauteill C 2025 t = 14 Auszligenbauteil C 2025 t = 14Innenbauteill C 2025 t = 7 Auszligenbauteil C 2025 t = 7Innenbauteill C 3037 t = 14 Auszligenbauteil C 3037 t = 14Innenbauteil C 3037 t = 7 Auszligenbauteil C 3037 t = 7
Abb 819 Verformungen in Abhaumlngigkeit von den Umgebungsbedingungen (Innen- Auszligenbauteil) Betonfestigkeiten und Zeitpunkt der Erstbelastung (7 bzw 14 Tage)
Abb 820 stellt die relative Verformung nach abgeschlossenem Kriechen und Schwinden in bezogener Form dar Dabei ist die Bezugsgroumlszlige (100 ) die Verformung bei Annahmen der Ausgangsfestigkeit fck = 20 Nmm2 Dabei ist der uumlberproportionaler Einfluss der Betonfestigkeit festzustellen
85 Vergleich und Fazit 123
Abb 820 Relative Verformungen des untersuchten Plattenstreifens bei verschiedenen Betonfestigkeitsklassen Als Bezugswert dient die Verformung eines C2025
842 Unplanmaumlszligige Randeinspannung
Nach [DIN 1045-1 ndash 08] werden frei drehbar gelagerte Raumlnder von Plattentragwerken i d R so bewehrt dass der Querschnitt ein Randmoment von 25 Prozent des Feldmomentes unter Bemessungslast aufnehmen kann Eine tatsaumlchliche Randeinspannung in dieser Groumlszlige be-einflusst natuumlrlich auch die Verformungen In den folgenden Berechnungen wird die Randein-spannung mit Drehfedern simuliert Der Einspanngrad wird uumlber die linear-elastisch ermittelten Schnittgroumlszligen definiert ein Einspanngrad von 25 bedeutet dabei dass das Verhaumlltnis des Einspannmomentes zum Feldmoment des frei drehbar gelagerten Traumlgers 025 betraumlgt Die nichtlineare Berechnung erfolgt auf der Basis der im Abschnitt 72 dargestellten Zusammenhaumlnge In einem ersten Schritt wird der Zustand I angenommen Treten Risse auf so werden die Verdrehungen der Traumlgerenden neu bestimmt Aus der Differenz der urspruumlnglichen und der neu ermittelten Verdrehung der Federn kann die Veraumlnderung des Randmomentes bestimmt werden Mit den neuen Randmomenten wird uumlberpruumlft ob weitere Bereiche in den Zustand II uumlbergehen Bereits gerissene Bereiche verbleiben im Zustand II auch wenn sich aus der Umlagerung kleinere Momente als das Rissmoment einstellen Die Iteration wird so lange wiederholt bis keine neuen gerissenen Bereiche mehr hinzukommen In Abbildung 821 sind die Verformungen eines Einfeldtraumlgers mit der Laumlnge L = 50 m dar-gestellt Die Biegeschlankheit variiert zwischen 35 30 und 25 Der Bewehrungsgrad betraumlgt ρs = 05 bei Ld = 35 ρs = 03 bei Ld = 30 und ρs = 025 bei Ld = 25 Es wurden drei verschiedene Ausgangssituationen festgelegt Fall 1 Einfeldtraumlger mit frei drehbaren Endauflagern Fall 2 Einfeldtraumlger mit einseitiger Drehfeder (frei drehbarer Lagerung an der anderen Seite) Fall 3 Einfeldtraumlger mit Drehfeder an beiden Enden Die Steifigkeit der Federn wurde so gewaumlhlt dass unter der Bemessungslast im Grenzzu-stand der Tragfaumlhigkeit ein Randmoment entsteht welches 25 Prozent des maximalen Feld-momentes betraumlgt (s vorher) Diese Bedingung ist bei den untersuchten Platten naumlherungs-weise bei einer Federsteifigkeit cw = 6 MNmm erfuumlllt Um den Einfluss der Betonzugfestigkeit bzw der Rissbildung zu erfassen wurde die Berech-nung mit einer Betonfestigkeit C4050 durchgefuumlhrt bei der der betrachtete Plattenstreifen nur bei der Schlankheit Ld = 35 in den Zustand II uumlbergeht Zum Vergleich wurde die Berechnung mit einem C2025 durchgefuumlhrt bei dem in weiten Bereichen mit Rissbildung zu rechnen ist
050
100
150200250300
350400450
10 15 20 25 30 35 40 45 50
fck
Fest
igke
it un
d Ve
rfor
mun
g
in P
roze
nt (a
uf C
20
25 b
ezog
en)
Betonfestigkeit fck 20 relative Verformung w(20)w(fck) 100
124 Kapitel 8 Auswertung
Abb 821 Durchbiegung (in mm) des untersuchten Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser 25-iger Randeinspannung
Im Zustand I (Beton C4050 Ld = 25 und 30) unterscheiden sich die Durchbiegungen bei frei drehbarer Lagerung gegenuumlber der teilweisen Einspannung um ca 15 (Fall 2) bzw 25 (Fall 3) Bei einer Biegeschlankheit von 35 oder generell bei einem Beton C2025 sind die Unterschiede um ein Vielfaches groumlszliger da die untersuchte Platte (Bewehrungsgrade zwischen 025 und 050 d h gering beansprucht) bei frei drehbarer Lagerung auf groumlszligerer Laumlnge in den Zustand II uumlbergeht aber schon bei nur einseitiger teilweiser Randeinspannung die gerissenen Bereiche erheblich kleiner sind bzw mit Rissbildung nicht mehr zu rechnen ist Die bisher verwendete Federsteifigkeit ist auf eine Randeinspannung von 25 abgestimmt Haumlufig liegen die Randeinspannmomente unter diesem Wert In der Abbildung 825 wurde derselbe Traumlger mit einer Federsteifigkeit cw = 24 MNmm berechnet (entspricht einer Randeinspannung von 10 ) Die Auswirkungen einer Endeinspannung sind jedoch noch deutlich erkennbar (s Abb 822) Im Zustand I betragen die Abweichungen etwa zehn bzw zwanzig Prozent Rissbildung tritt jedoch wegen der geringeren Randeinspannung und der damit verbundenen geringeren Entlastung des Feldbereichs auch in den Faumlllen 2 und 3 auf
Der Einfluss der Randeinspannung kann in der Praxis nur schwer korrekt erfassen werden da hierbei die Steifigkeit der einspannenden Bauteile erfasst werden muumlsste Diese ist jedoch von vielen Faktoren abhaumlngig und kann sich durch Rissbildung uauml veraumlndern Wie aus den vorhergehenden Darstellungen zu sehen ist koumlnnen auf der anderen Seite schon kleine Aumlnderungen der Federsteifigkeit groszlige Veraumlnderungen der Verformung ergeben
Abb 822 Durchbiegung des oben beschriebenen Einfeldtraumlgers bei frei drehbarer Lagerung (Fall 1) einseitiger (Fall 2) und beidseitiger (Fall 3) teilweiser Randeinspannung (10 Prozent)
85 Vergleich und Fazit 125
Letzteres gilt ggf auch fuumlr geringe Lasterhoumlhungen In Abb 823 ist der Einfluss einer Last-steigerung bei der betrachtete Ausgangssituation zu sehen dargestellt uumlber die quasi-staumlndige Nutzlast ψ2 middot qk wobei ψ2 zwischen 0 und 1 gewaumlhlt wird die Belastung im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und der Bewehrungsgrad bleiben unveraumlndert Es ist jeweils die Abweichungen der Verformungen mit einseitiger bzw zweiseitiger teilweiser Randeinspannung im Vergleich zu den Verformungen des Ausgangssystems ohne Randeinspannung angegeben Im Einzelnen wird unterschieden
a) cw = 60 Ld = 35 b) cw = 60 Ld = 30 c) cw = 60 Ld = 25 d) cw = 24 Ld = 35 e) cw = 24 Ld = 30 f) cw = 24 Ld = 25
Abb 823 Auf die frei drehbar Lagerung bezogene Durchbiegung bei einseitiger bzw zweiseitiger
teilweiser Einspannung
843 Weitere guumlnstige Effekte
Neben den oben genannten Einfluumlssen gibt es weitere die das Verformungsverhalten eines Bauteils guumlnstig beeinflussen Beispielhaft genannt sei hier eine zweiachsige Lastabtragung
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
einseitig C2025 beidseitig C2025 einseitig C4050 beidseitig C4050
126 Kapitel 8 Auswertung
85 Vergleich und Fazit Die bisherigen Untersuchungen haben gezeigt dass die houmlhere Stahlfestigkeit (BSt 500 statt BSt 420) eine Einsparung von mindestens 15 Prozent der Bewehrung gegenuumlber den bei [MayerRuumlsch ndash 67] zugrunde liegenden Platten ergibt Die Auswirkung des aktuellen Be-messungskonzeptes kann zusaumltzlich mit ca 10 Prozent Einsparung angegeben werden Die zu erwartende Vergroumlszligerung der Verformung aufgrund einer um insgesamt 25 Prozent reduzierten Bewehrungsmenge liegt bei ca 15 ndash 20 Prozent Wenn man den seinerzeitigen Vorschlag zur Biegeschlankheit auf die aktuellen Bedingungen uumlbertragen will muumlsste der Grenzwert Ld = 35 um einen entsprechenden Faktor verkleinert werden In grober Naumlherung kann man sagen dass eine Vergroumlszligerung der Nutzhoumlhe zu einer etwa doppelt so groszligen Verminderung der Verformung fuumlhrt d h steigt die Nutzhoumlhe um 10 Prozent sinkt die Verformung um 20 Prozent Auf den Nachweis der Biegeschlankheit bezogen bedeutet das dass der Grenzwert Ld = 35 um 10 Prozent gesenkt werden muss um die oben beschriebene 20-tige Vergroumlszligerung der Verformung auszugleichen Ein weiterer Nachteil der Untersuchungen von [MayerRuumlsch ndash 67] ist das Fehlen von Angaben zu den zeitabhaumlngigen Verformungen Es ist nicht ersichtlich in welchem Maszlige das Schwinden und Kriechen bei den untersuchten Platten schon fortgeschritten ist Es scheint zunaumlchst geboten den Nachweis der Biegeschlankheit in der aktuellen Norm in einer ersten Naumlherung auf Ld = 30 abzuaumlndern Die Betonfestigkeitsklassen bei den Platten in [MayerRuumlsch ndash 67] liegen in den meisten Faumlllen zwischen einem B160 und einem B300 Nach heutigen Normen entspraumlche das einer Zylinderdruckfestigkeit von fck = 10 Nmm2 bzw fck = 20 Nmm2 d h dass Betonfestigkeiten bis zu einem C2025 damit abgedeckt sind Es zeigt sich damit aber eine Schwaumlche des Nachweises durch das Fehlen eines Faktors der die Betonfestigkeit beruumlcksichtigt koumlnnen die positiven d h verformungsreduzierenden Effekte einer houmlheren Betonfestigkeit nicht be-ruumlcksichtigt werden Der Einfluss der Betonfestigkeit ist im Abschnitt 841 angegeben Die Abweichungen zwischen der erforderlichen Nutzhoumlhe bei einem rechnerischen Nachweis der Verformung und beim Nachweis uumlber die Begrenzung der Biegeschlankheit sind bei groszligen Belastungen besonders hoch Nach [DIN 1045-1 ndash 08] ist daher die Anwendung auf Platten des uumlblichen Hochbaus begrenzt d h Belastung qk le 5 kNm2 Das Verfahren ist daher nur eingeschraumlnkt anwendbar In den Abschnitten 81 (dort speziell in Abbildungen 83 und 811) und 842 wird gezeigt dass der Anteil der quasi-staumlndigen Last an der Bemessungslast von groszliger Bedeutung fuumlr die Biegebemessung sein kann Dieser Anteil ist in der aktuellen Norm uumlber den Kombina-tionswert ψ2 geregelt Bei uumlblichen Wohn- und Buumlroraumlumen liegt er bei 03 Wird ein groumlszligerer dauerhaft vorhandener Anteil der Nutzlast erwartet (bspw bei Ausstellungs- oder Versammlungsraumlumen) kann dieser Wert auf 06 ansteigen Somit verdoppelt sich der Anteil der Nutzlast an der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last Da gleichzeitig die Bemes-sungslast im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit und somit der erforderliche Bewehrungsgrad unveraumlndert bleiben sind groumlszligere Verformungen zu erwarten
Im Folgenden wird ein Vorschlag zur Anpassung des Biegeschlankheitsnachweises fuumlr einachsig gespannte Platten gemacht Die nachzuweisende Verformungsgroumlszlige ist L250 Ausgehend von den zu Beginn dieses Abschnittes aufgestellten Uumlberlegungen werden die Veraumlnderungen von Stahlfestigkeiten und Bemessungskonzept mit
30 ledLi (81)
abgeschaumltzt Die Anforderung an die Nutzhoumlhe gilt nur fuumlr definierte Eingangsparameter Folgende Werte werden als Obergrenze festgelegt
85 Vergleich und Fazit 127
Kriechzahl ϕ le 25 Schwindmaszlig εcs le minus06 permil Ausbaulast Δg le 10 kNm2
Bewehrungsgrad ρ le 05 (d h geringe Beanspruchung)
Als Referenzbeton wird ein C2025 angesetzt Groumlszligere Festigkeiten haben einen guumlnstigen Effekt auf die Verformung (s Gl (82))
Die zulaumlssige Nutzlast qk kann sich im Bereich der Werte des uumlblichen Hochbaus bewegen die obere Grenze liegt hier also bei 50 kNm2 Bei der Berechnung der erforderlichen Bewehrungsmenge ist der Einfluss der Nutzlast aufgrund des Sicherheitsbeiwertes γQ = 15 groszlig waumlhrend sie bei der verformungsrelevanten quasi-staumlndigen Last eher eine unterge-ordnete Rolle spielt Bei der Verformungsberechnung wird eine groszlige Nutzlast also weitestgehend vom erhoumlhten Bauteilwiderstand (erzeugt von der groumlszligeren Bewehrungs-menge) wieder ausgeglichen so dass eine konstante Biegeschlankheitsgrenze bei groszligen Unterschieden der zulaumlssigen Nutzlast gerechtfertigt scheint Anders verhaumllt es sich mit dem Kombinationsfaktor ψ2 (so) Fuumlr diesen und weitere wichtige guumlnstige und unguumlnstige Einfluumlsse werden vier Faktoren eingefuumlhrt Die erforderliche Nutzhoumlhe betraumlgt
ρψ ffffLd CLi sdotsdotsdotsdotge 30 (82) Dabei sind fψ Faktor zur Beruumlcksichtigung der Nutzlastanteile an der quasi-staumlndigen Last 31
2 )302( ψψ minus=f fuumlr 03 le ψ2 le 06 (83) fL Faktor zur Beruumlcksichtigung des uumlberproportionalen Einflusses der Stuumltzweite 21)4( iL Lf = fuumlr Li ge 4 (84) fC Faktor zur Beruumlcksichtigung der Auswirkung unterschiedlicher Festigkeitsklassen 61)20( ckC ff = fuumlr 20 le fck le 50 (Normalbeton) s a [KruumlgerMertzsch ndash 03] (85) fρ Faktor zur Beruumlcksichtigung der guumlnstigen Auswirkung von Bewehrungsgraden die oberhalb der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit ermittelten erforderlichen Bewehrung liegen 41
)( vorhserfsf ρρρ = (86)
Auszliger fρ sind alle Faktoren schon vor der eigentlichen Bemessung bekannt Somit eignet sich die Gleichung (82) auch zur schnellen Vordimensionierung von Deckenplatten In Ab-bildung 824 sind die beiden Faktoren fψ und fL dargestellt die die unguumlnstigen Auswirkungen des Faktors ψ2 und der Stuumltzweite L erfassen Als Grundwert dienen ψ2 = 03 und L = 40 m hier nehmen die Faktoren den Wert 1 an
Abb 824 Vergroumlszligerung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fψ nach Gleichung (83)
(links) und fL nach Gleichung (84) (rechts)
Die in Abbildung 825 dargestellten Faktoren fC und fρ beruumlcksichtigen die guumlnstigen Einfluumlsse von hohen Betonfestigkeiten und Bewehrungsgraden Die Bezugswerte sind eine
128 Kapitel 8 Auswertung
Betonfestigkeit von 20 Nmm2 sowie ein Bewehrungsgrad von 100 der im Grenzzustand der Tragfaumlhigkeit erforderlichen Bewehrung Groumlszligere Werte fuumlhren uumlber die genannten Faktoren zu einer kleineren erforderlichen Nutzhoumlhe
Abb 825 Abminderung der erforderlichen Nutzhoumlhe durch die Faktoren fC nach Gleichung (85) (links) und fρ nach Gleichung (86) (rechts)
Nachfolgend sind die Auswirkungen der Faktoren im Vergleich zu den bereits vorgestellten Methoden zur Bestimmung der erforderlichen Nutzhoumlhe dargestellt Dabei dienen folgende Randbedingungen den Berechnungen als Basis
Geometrie Plattenstreifen mit Breite b = 100 cm Houmlhe h = d + 25 cm und Nutzhoumlhe d in Abhaumlngigkeit zur zulaumlssigen Biegeschlankheit
Belastung Eigengewicht gk = h middot 25 + 05 [kNm2] Nutzlast qk = 20 kNm2
Langzeiteinfluumlsse Kriechzahl φ = 25 Schwindmaszlig ε = ndash05 permil
Variabel quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 Stuumltzweite L Betonfestigkeitsklasse bzw Druckfestigkeit fck
Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung
Die Einfluumlsse der vier Faktoren sollen getrennt betrachtet werden dh es wird jeweils nur eine Variable veraumlndert waumlhrend die anderen konstant bleiben Hier werden folgende Basiswerte zugrunde gelegt
quasi-staumlndiger Anteil der Nutzlast ψ2 = 03 Stuumltzweite L = 40 m Betonfestigkeitsklasse C 2025 bzw Druckfestigkeit fck= 20 Nmm2
Quotient vorhandene Bewehrung zu erforderlicher Bewehrung vorhserfs ρρ = 10
In Abbildung 826 wird der Beiwert ψ2 in den Grenzen von 03 und 06 gewaumlhlt Dieses wird zusaumltzlich zu dem hier vorgestellten Ansatz gemaumlszlig Gleichung (82) nur noch in den Biegeschlankheitsnachweisen des Eurocodes beruumlcksichtigt Hier steigt die erforderliche Nutzhoumlhe durch die houmlhere Stahlspannung im quasi-staumlndigen Bemessungsfall Die bezogene Verformung nimmt bei den uumlbrigen Konstruktionsregeln die den erhoumlhten Nutzlastanteil unberuumlcksichtigt lassen deutlich ab und liegt teilweise unter dem Grenzwert von L 250
85 Vergleich und Fazit 129
Abb 826 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung l w (unten) bei Veraumlnderung des quasi-staumlndigen Anteils der Nutzlast Auswirkung von fψ nach Gl (83)
Der uumlberproportionale Einfluss der Stuumltzweite wird in Abbildung 827 aufgezeigt Hier liegt der Ansatz nach Donaubauer stark auf der sicheren Seite waumlhrend mit den zulaumlssigen Nutzhoumlhen der uumlbrigen Schlankheitsregeln der Grenzwert von L250 bei groszligen Stuumltzweiten nicht eingehalten werden kann Ausnahme sind hier die Konstruktionsregeln nach EC 2 (Gleichung (35)) und der eigene Ansatz mit dem entspr Faktor nach Gleichung (84)
Abb 827 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung
der Stuumltzweite Auswirkung von fL nach Gleichung (84)
d [cm]
d [cm]
L w
L w
ψ
ψ
L [m]
L [m]
130 Kapitel 8 Auswertung
Bei der Variation der Druckfestigkeit - Kriechzahl und Schwindmaszlig bleiben unveraumlndert - sollte der Einfluss auf die Verformung so erfasst werden dass durch Anpassung der erforderlichen Nutzhoumlhe an die Betonfestigkeiten die Verformung selbst unveraumlndert bleibt Dieses ist im Ansatz von KruumlgerMertzsch und auch im eigenen Ansatz sehr gut implementiert (s Abb 828)
Abb 828 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung der Betondruckfestigkeit Auswirkung von fC nach Gleichung (85)
Abb 829 Erforderliche Nutzhoumlhe d in [cm] (oben) und bezogene Verformung (unten) bei Veraumlnderung
des tatsaumlchlichen Bewehrungsgrades Auswirkung von fρ nach Gleichung (86)
d [cm]
d [cm]
L w
L w
fck [Nmm2]
fck [Nmm2]
ρprov ρreq middot 100
ρprov ρreq middot 100
85 Vergleich und Fazit 131
In der Abbildung 829 wird die Bewehrung zwischen 100 und 200 Prozent der statisch erfor-derlichen Bewehrung gewaumlhlt Der guumlnstige Effekt einer groszligen Bewehrungsmenge wird sowohl vom eigenen Ansatz als auch von den Konstruktionsregeln nach Eurocode 2 erfasst (dort uumlber die Stahlspannung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit die uneingeschraumlnkte Anwendung nach Gl (35) erscheint jedoch problematisch s Abbildung)
Zur Vermeidung von Schaumlden an Trennwaumlnden uauml wird eine Verformungsgrenze von L500 verlangt Ein Nachweis uumlber eine zulaumlssige Biegeschlankheit erscheint hier wenig sinnvoll da der beschriebene Grenzwert erst nach Einbau der gefaumlhrdeten Ausbauten eingehalten werden muss Zu diesem Zeitpunkt hat sich bereits die Verformung aus dem Eigengewicht der Deckenplatte selbst eingestellt Die Durchbiegung muss also nur fuumlr die Nutzlast eine eventuelle zusaumltzliche Ausbaulast und die Auswirkungen von Schwinden und Kriechen berechnet werden Dieser Vorgang sollte generell rechnerisch erfasst werden
132 Kapitel 8 Auswertung
133
9 Zusammenfassung und Ausblick
91 Zusammenfassung
Fuumlr die Dimensionierung von Plattentragwerken ist haumlufig die geforderte Begrenzung der Verformungen maszliggebend Der Grenzwert ist von den Anforderungen an das Tragwerk von moumlglichen Folgeschaumlden an Ausbauteilen ua abhaumlngig In dieser Arbeit werden ver-schiedene Auswirkungen von Verformungen erlaumlutert und einige Grenzwerte aus inter-nationalen Normen vorgestellt
Der Nachweis der Verformungsbegrenzung wird in der DIN 1045-1 uumlber eine zulaumlssige Bie-geschlankheit geregelt Diese eignet sich zwar aufgrund der geringen Anzahl von Eingangs-parametern fuumlr eine einfache Vordimensionierung des Bauteils (es kann direkt und ohne Kenntnis der Beanspruchungen eine erforderliche Nutzhoumlhe bestimmt werden) wie Vergleichsrechnungen zeigen werden damit jedoch haumlufig Ergebnisse erzielt die die gefor-derten Durchbiegungsbegrenzungen nicht erfuumlllen Zur rechnerischen Ermittlung der Ver-formungen macht die DIN 1045-1 keine Angaben
In der Literatur und auch in internationalen Normen sind neben Biegeschlankheitsnach-weisen auch Verfahren zur rechnerischen Ermittlung der Durchbiegung aufgefuumlhrt Im Rahmen dieser Arbeit werden die bekannteren Verfahren dargestellt und gegenuumlber gestellt An Beispielen wird gezeigt dass es bei den Biegeschlankheitsnachweisen zu erheblichen Unterschieden bei den erforderlichen Nutzhoumlhen kommen kann Zusaumltzlich kann festgestellt werden dass diese Nachweise oft nur fuumlr einen sehr eng gesteckten Parameterbereich bzw nur fuumlr bestimmte Bauteile (z B Platten) und Belastungsarten gelten Auch genauere Be-rechnungsverfahren sind nicht immer allgemeinguumlltig anwendbar
Fuumlr einen eigenen Ansatz der Verformungsberechnung werden die Eigenschaften des bdquoStahlbetonsldquo mit seinen Inhomogenitaumlten und Streuungen der Betoneigenschaften genauer untersucht Es werden dann verschiedene Ansaumltze uumlber das Verbundverhalten zwischen Beton und Bewehrung dargestellt
Die Verformung wird mittels der Querschnittskruumlmmungen berechnet sie werden fuumlr die aumluszligeren Lasten und fuumlr die Langzeiteinfluumlsse Schwinden und Kriechen bestimmt Der Querschnitt kann gerissen oder ungerissen sein ein Mitwirken des Betons zwischen den Rissen kann uumlber eine mittlere Stahldehnung erfasst werden Hierzu werden verschiedene Ansaumltze vorgestellt und hinsichtlich ihrer Anwendbarkeit miteinander verglichen
Zur Berechnung der Schwindkruumlmmung werden zwei verschiedene jedoch zu identischen Ergebnissen fuumlhrende Verfahren hergeleitet Sie koumlnnen im Zustand I und II angewendet werden und beruumlcksichtigen neben der Zugbewehrung auch eine eventuell vorhandene Druckbewehrung Die Ermittlung der Kriechverformungen bzw der Querschnittskruumlmmung infolge Kriechen erfolgt mit dem Kraftgroumlszligenverfahren (wie auch beim Schwinden als eine Variante) Die Guumlltigkeit der aufgestellten Kruumlmmungsbeziehungen wird durch Gleichge-wichtsbetrachtungen uumlberpruumlft
Nettoquerschnitte koumlnnen beruumlcksichtigt werden die Auswirkungen auf die Querschnitts-kruumlmmungen werden untersucht Es kann festgestellt werden dass der Einfluss bei Normalbeton bis C 5060 und uumlblichen Bewehrungsgraden gering ist
Die hergeleiteten Kruumlmmungsansaumltze gelten zunaumlchst nur fuumlr Querschnitte die in einem Guss hergestellt werden bzw die aus nur einer Betonsorte bestehen mit je einer Lage Druck- und Zugbewehrung Fertigteile benoumltigen weitere Uumlberlegungen wenn sie in Teilfertigung (d h als ergaumlnzte Querschnitte aus Fertigteil und Ortbetonergaumlnzung) herge-stellt werden Grundsaumltzlich muss unterschieden werden ob der Teilquerschnitt die Eigen-
134 Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausblick
last der Konstruktion allein aufnehmen muss oder ob Montageunterstuumltzungen vorhanden sind (im zweiten Fall wird die Gesamtlast von Beginn an von beiden Querschnittsteilen auf-genommen) In beiden Faumlllen lagern sich jedoch die Spannungen zeitabhaumlngig nicht nur vom Beton auf die Bewehrung sondern auch zwischen den beiden Betonteilen um Dabei koumlnnen die beiden Betone unterschiedliche Festigkeiten sowie Schwind- und Kriechzahlen auf-weisen Fuumlr einige gaumlngige Ausfuumlhrungsvarianten werden Bemessungsansaumltze hergeleitet An einem abschlieszligenden Beispiel wurde deutlich gemacht dass sich die Verformung gegenuumlber monolithisch hergestellten Bauteilen unguumlnstig veraumlndern kann
Fuumlr Einfeld- und Durchlauftraumlger wird ein Naumlherungsverfahren vorgestellt mit dem aus den Kruumlmmungen im Zustand I und II sowie einem geeigneten Verteilungsfaktor zur Beruumlck-sichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen eine Verformung ermittelt werden kann Zusaumltzlich werden numerische Verfahren angegeben mit denen komplizierte Schnittgroumlszligenverlaumlufe gestaffelte Bewehrung und aumlhnliche Unregelmaumlszligigkeiten erfasst werden koumlnnen Die bereits bekannten Methoden zur Bestimmung von mittleren Stahl-dehnungen konnten hier in die angesprochenen Verteilungsfaktoren umgewandelt werden
Die zu Beginn der Arbeit dargestellten Biegeschlankheitskriterien werden mit den herge-leiteten Berechnungsmethoden kritisch uumlberpruumlft Es wird festgestellt dass sie nur eingeschraumlnkt den Anforderungen genuumlgen Besonders der aktuell guumlltige Nachweis nach DIN 1045-1 befindet sich idR deutlich auf der unsicheren Seite Die Gruumlnde hierfuumlr werden insbesondere in den houmlheren Stahlfestigkeiten und den geaumlnderten Bemessungskonzepten gesehen die heute im Vergleich zu den Untersuchungen aus den sechziger Jahren gelten
Abschlieszligend wird ein eigener Biegeschlankheitsnachweis entwickelt Er unterscheidet sich insbesondere dadurch dass wesentliche Einfluumlsse die bisher nicht in die Ermittlung der erforderlichen Nutzhoumlhe einflieszligen durch differenzierte Faktoren erfasst werden koumlnnen Der Nachweis eignet sich fuumlr eine schnelle und uumlberschlaumlgige Dimensionierung von Plattentragwerken unter Beruumlcksichtigung einer allgemeinen Verformungsgrenze von L250
92 Ausblick Die Untersuchungen haben gezeigt dass auch kleinere Abweichungen von Materialeigen-schaften oder Belastungen die Verformung nachhaltig beeinflussen koumlnnen Durch die Streuungen der Materialeigenschaften im Stahlbetonbau gibt eine Verformungsberechnung nur einen wahrscheinlichen Wert wieder In weiteren Entwicklungen sollten daher Verfor-mungsberechnungen auch stochastisch betrachtet werden erste Uumlberlegungen in dieser Richtung findet man beispielsweise bei [Hausmann ndash 07]
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf Plattentragwerken bzw Tragwerken mit niedriger Bauhoumlhe Davon unterscheidet sich das Rissbild bdquodickerldquo Bauteilen (Houmlhe gt 50 cm) da sich die meisten Risse nur im Bereich der Bewehrung entwickeln und nicht bis zur Dehnungs-nulllinie fortschreiten Hieraus ergibt sich ein deutlich guumlnstigerer Verformungswiderstand Die Berechnung ist allerdings stark von der Nichtlinearitaumlt der Spannungs- und Dehnungs-verlaumlufe des verbleibenden Betons an einem solchen Sekundaumlrriss gepraumlgt Hier sind Untersuchungen erforderlich die zum einen das Verhaumlltnis von durchgehenden Rissen zu Sekundaumlrrissen genau erfassen und zum anderen die dort entstehenden Betonspannungen und -dehnungen beschreiben
Forschungsbedarf besteht wie vor bei der genaueren Erfassung der Langzeiteinfluumlsse (vgl auch [Fricke ndash 01]) Bisher werden die Kruumlmmungen idR separat im Zustand I und II betrachtet und dann mit einem Verteilungsbeiwert der ausschlieszliglich aus der Lastbe-anspruchung ermittelt wird auf das gesamte Bauteil bezogen Ungeklaumlrt ist derzeit ob die Uumlbertragbarkeit auf das zeitabhaumlngige Verhalten ohne Einschraumlnkungen gegeben ist
Literaturverzeichnis
[Blessenohl ndash 90] Blessenohl B Zur numerischen Berechnung der Auswirkung des Kriechens und Schwindens auf Betonverbundtragwerke ndash Grundlagen und Algorithmen fuumlr die EDV Dissertation RWTH Aachen 1990 [BrandGlatz ndash 05] Brand B Glatz G Schaumlden an Tragwerken aus Stahlbeton In ZimmermannRuhnau (Hrsg) Schadenfreies Bauen Band 14 Fraunhofer IRB Verlag Stuttgart 2005 [Bronstein et al ndash 99] Bronstein IN Semendjajew KA Taschenbuch der Mathematik 4 Auflage 1999 [BS 8110 ndash 97] BS 8110 Beton im Hochbau Leitfaden zur Berechnung und Konstruktion Maumlrz 1997 [Castel et al ndash 06] Castel A Vidal T Francois R Effective tension active cross-section of reinforced concrete beams after cracking Materials and Structures 2006 [CEB ndash 85] CEB-Manual Design Manual on bdquoCracking and Deformationldquo Comiteacute Euro-International du Beacuteton (CEB) 1985 [CEBFIP ndash 91] CEB ndash FIP Model Code 1990 Comiteacute Euro-International du Beacuteton 1991 [CEB-H215 ndash 93] CEB Bulletin 215 Structural effects of time-depending behaviour of concrete Comiteacute Euro-International du Beacuteton (CEB) Bulletin 215 1993 [DAfStb-H400 ndash 89] Erlaumluterungen zur DIN 1045 Deutscher Ausschuss fuumlr Stahlbeton Heft 400 1989 [DAfStb-H525 ndash 03] Erlaumluterungen zur DIN 1045-1 Deutscher Ausschuss fuumlr Stahlbeton Heft 525 2003 [DIN 1045-1 ndash 08] DIN 1045-12008 Tragwerke aus Beton Stahlbeton und Spannbeton August 2008 [DIN 18530 ndash 87] DIN 185301987 Massive Deckenkonstruktionen fuumlr Daumlcher Planung und Ausfuumlhrung Maumlrz 1987 [DIN 4150-2 ndash 99] DIN 4150-21999 Erschuumltterungen im Bauwesen ndash Teil 2 Einwirkungen auf Menschen in Gebaumluden Juni 1999 [DIN 488 ndash 06] DIN 4882006 Betonstahl November 2006 [DIN EN 13747 ndash 07] DIN EN 137472007 Betonfertigteile ndash Deckenplatten mit Ortbetonergaumlnzung April 2007 [DIN EN 13978 ndash 05] DIN EN 13978-12005 Betonfertigteile - Betonfertiggaragen - Teil 1 Anforderungen an monolithische oder aus raumgroszligen Einzelteilen bestehende Stahlbetongaragen Juli 2005 [EiblHaumluszligler ndash 97] Eibl J Haumluszligler U Baudynamik In Betonkalender 1997 [EickschenSiebel ndash 98] Eickschen E Siebel E Einfluss der Ausgangsstoffe und der Betonzusammensetzung auf das Schwinden und Quellen von Straszligenbeton beton 48 H9 S 580-586 und H 10 S 641- 646 1998 [Eligehausen ndash 83] Eligehausen R et al Local Bond stress-slip relationship of deformed bars under generalized excitations Report No UCBEERC-8323 University of California Berkeley 1983 [EN 1992-1-1 ndash 04] EN 1992-1-12004 Eurocode 2 Planung von Stahlbeton- und Spannbetonbauwerken 2004
Literaturverzeichnis
[Fingerloos Litzner ndash 05] Fingerloos F Litzner H-U Erlaumluterung zur praktischen Anwendung der neuen DIN 1045-1 In Betonkalender 2005 Verlag Ernst amp Sohn 2005 [Fischer ndash 03] Fischer A et al Stahlbeton nach DIN 1045-1 Verlag Ernst und Sohn 2003 [Fricke ndash 01] Fricke K-L Baustatik- und Baudynamik-Praxis Bauwerk- Verlag 2001 [Goris ndash 01] Goris A Bemessung von Stahlbetonbauteilen In AvakGoris
Stahlbetonbau aktuell Praxishandbuch 2001 Bauwerk-Verlag 2001
[Goris ndash 08a] Goris A Stahlbeton-Praxis nach DIN 1045 neu Band 1 und 2 3 Auflage Bauwerk-Verlag Berlin 2008 [Goris ndash 08b] Goris A Bemessung von Stahlbetonbauteilen nach DIN 1045- 1 In AvakGoris Stahlbetonbau aktuell Praxishandbuch 2008 Bauwerk-Verlag Berlin 2008 [GrasserThielen ndash 75] Grasser E Kraumlmer U Thielen G Berechnung der Durchbiegung von biegebeanspruchten Stahlbetonbauteilen unter Gebrauchslast Beton- und Stahlbetonbau 41975 [GrasserThielen ndash 91] Grasser E Thielen G Hilfsmittel zur Berechnung der Schnittgroumlszligen und Formaumlnderung von Stahlbetontragwerken 3 uumlberarbeitete Auflage Deutscher Ausschuss fuumlr Stahlbeton Heft 240 1991 [Graubner ndash 89] Graubner C-A Schnittgroumlszligenermittlung in statisch unbestimmten Stahlbetonbalken unter Beruumlcksichtigung wirklichkeitsnaher Stoffgesetze Dissertation TU Muumlnchen 1989 [Grube ndash 03] Grube H Definitionen der verschiedenen Schwindarten Ursachen Groumlszlige der Verformungen und baupraktische Bedeutung beton 53 H 12 S 598-602 2003 [Hausmann ndash 07] Hausmann G Verformungsvorhersage vorgespannter Flachdecken unter Beruumlcksichtigung stochastischer Eigenschaften Dissertation TU Darmstadt 2007 [Jaccoud ndash 97] Jaccoud J-P Cracking under long term loads or imposed deformations In Comiteacute Euro-International du Beacuteton (Hrsg) Serviceability Models ndash Behaviour and modelling in serviceability limit states including repeated and sustained loads CEB-Bulletin drsquoInformation 1997 [JaccoudFavre ndash 82] Jaccaud J-P Favre R Flegraveche des structures en beacuteton armeacute Annales de lrsquoITBTP Seacuterie beacuteton 208 1982 [JCSS ndash 01] Joint Committee on Structural SafetyProbabillistic Model Code wwwjcssethzch 2001 [KerkhoffSiebel ndash 01] Kerkhoff B Siebel E Eigenschaften von Beton mit recyclierten Gesteinskoumlrnungen beton 51 H 1 S 47-50 und H 2 S 105-108 2001 [KoumlnigGerhardt ndash 86] Koumlnig G Gerhardt H-C Spannungs- und Schnittgroumlszligenumlagerung infolge Kriechen und Schwinden des Betons bei Stabtragwerken aus Stahlbeton und Spannbeton Mitteilungen aus dem Institut fuumlr Massivbau der Technischen Hochschule Darmstadt Heft 34 1986 [KoumlnigTue ndash 96] Koumlnig G Tue N V Grundlagen und Bemessungshilfen fuumlr die Rissbreitenbeschraumlnkung im Stahlbeton und Spannbeton Deutscher Ausschuss fuumlr Stahlbeton Heft 466 1996
Literaturverzeichnis
[KoumlnigTue ndash 08] Koumlnig G Tue NV Grundlagen des Stahlbetonbaus 3 Auflage Vieweg+Teubner 2008 [Kordina ndash 00] Kordina K et al Kriechen von Beton unter Zugbeanspruchung Deutscher Ausschuss fuumlr Stahlbeton Heft 498 2000 [Kreller ndash 90] Kreller H Zum nichtlinearen Trag- und Verformungsverhalten von Stahlbetonstabtragwerken unter Last- und Zwangeinwirkung Deutscher Ausschuss fuumlr Stahlbeton Heft 409 1990 [KruumlgerMertzsch ndash 03] Kruumlger W Mertzsch O Verformungsnachweise ndash Erweiterte Tafeln zur Begrenzung der Biegeschlankheit In AvakGoris Stahlbetonbau aktuell Jahrbuch 2003 Bauwerk-Verlag 2003 [KruumlgerMertzsch ndash 06] Kruumlger W Mertzsch O Zum Trag- und Verformungsverhalten bewehrter Betonquerschnitte im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit Deutscher Ausschuss fuumlr Stahlbeton Heft 533 2006 [Leonhardt ndash 78] Leonhardt F Vorlesungen uumlber Massivbau Vierter Teil Nachweis der Gebrauchstauglichkeit Zweite Auflage Springer- Verlag 1978 [Luumlcken ndash 85] Luumlcken A Beitrag zur Ermittlung von Spannungen und Verformungen bei teilweiser Vorspannung Dissertation RWTH Aachen 1985 [Malrsquocov ndash 68] Malacutecov K Karavaev A Abhaumlngigkeit der Festigkeit des Betons auf Zug bei Biegung und ausmittiger Belastung von den Querschnittsabmessungen Wiss Z d Techn Universitaumlt Dresden Heft 6 1968 [Mayer ndash 67] Mayer H Die Berechnung der Durchbiegung von Stahlbeton- Bauteilen Deutscher Ausschuss fuumlr Stahlbeton Heft 194 1967 [MayerRuumlsch ndash 67] Mayer H Ruumlsch H Bauschaumlden als Folge der Durchbiegung von Stajlbeton-Bauteilen Deutscher Ausschuss fuumlr Stahlbeton Heft 193 1967 [Mertzsch ndash 03] Mertzsch O Zum Einfluss zeitvarianter Materialgesetze auf die Verformungsvorhersage von biegebeanspruchten Betonbauteilen Rostocker Berichte aus dem Fachbereich Bauingenieurwesen Heft 10 2003 [MuumlllerKvitsel ndash 02] Muumlller H Kvitsel V Kriechen und Schwinden von Beton Grundlagen der neuen DIN 1045 und Ansaumltze fuumlr die Praxis Beton- und Stahlbetonbau 97 Heft 1 S 8-19 2002 [Noakowski ndash 88] Noakowski P Nachweisverfahren fuumlr Verankerung Verformung Zwangbeanspruchung und Rissbreite Deutscher Ausschuss fuumlr Stahlbeton Heft 394 1988 [OumlNORM B 4700 ndash 00] OumlNORM B 4700 Stahlbetontragwerke - EUROCODE-nahe Berechnung Bemessung und konstruktive Durchbildung Juni 2000 [Rao ndash 66] Rao P S Die Grundlagen zur Berechnung der bei statisch unbestimmten Stahlbetonkonstruktionen im plastischen Bereich auftretenden Umlagerungen der Schnittkraumlfte DAfStb Heft 177 1966
Literaturverzeichnis
[Rehm ndash 61] Rehm G Uumlber die Grundlagen des Verbundes zwischen Stahl und Beton Deutscher Ausschuss fuumlr Stahlbeton Heft 138 1961 [Reinhardt ndash 05] Reinhardt H-W Beton In Betonkalender 2005 Ernst und Sohn Verlag 2005 [Schmidt ndash 08] Schmidt M Baustoffe Beton und Baustahl In AvakGoris Stahlbetonbau aktuell Praxishandbuch 2008 Bauwerk-Verlag Berlin 2008 [Schneider ndash 08] Goris A (Hrsg) Schneider Bautabellen fuumlr Ingenieure 17 Auflage 2008 [SIA 260 ndash 03] SIA 260 Grundlagen der Projektierung von Tragwerken Januar 2003 [SIA 262 ndash 04] SIA 262 Allgemeine Bedingungen fuumlr Betonbau April 2004 [Trost ndash 87] Trost H Dischingers grundlegende Arbeiten und neuere Erkenntnisse uumlber die Auswirkungen des zeitabhaumlngigen Werkstoffverhaltens in vorgespannten und nicht-vorgespannten Stahlbetonkonstruktionen In Manfred Specht (Hrsg) Spannweite der Gedanken Springer-Verlag 1987 [Tue ndash 93] Tue NV Zur Spannungsumlagerung im Spannbetonbau bei der Rissbildung unter statischer und wiederholter Belastung DAfStb Heft 435 1993 [Voigt ndash 09] Voigt J Tragwerksplanung im Bestand In Bauen mit
Betonfertigteilen ndash Bauen im Bestand Tagungsband Universitaumlt Siegen 2009
[ZilchDonaubauer ndash 06] Zilch K Donaubauer U Rechnerische Untersuchung der Durchbiegung von Stahlbetonplatten unter Ansatz wirklichkeitsnaher Steifigkeiten und Lagerungsbedingungen und unter Beruumlcksichtigung zeitabhaumlngiger Verformungen Deutscher Ausschuss fuumlr Stahlbeton Heft 533 2006 [ZilchFritsche ndash 95] Zilch K Fritsche T Wirklichkeitsnahe Schnittgroumlszligenermittlung fuumlr die Nachweise im Stahlbetonbau Forschungsbericht V 347 DAfStb TU Muumlnchen 1995 [ZilchZehetmaier ndash 06] Zilch K Zehetmaier G Bemessung im konstruktiven Betonbau Springerverlag 2006
- Titelseite13
- Vorwort
- Zusammenfassung
- Inhalt
- 1 Einleitung
-
- 11 Motivation und Zielsetzung
- 12 Aufbau der Arbeit
-
- 2 Allgemeines
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- 21 Verformungen und ihre Folgen
- 22 Richtlinien zur Begrenzung von Verformungen
-
- 3 Stand der Technik
-
- 31 Konstruktionsregeln nach DIN 1045-1 und EN 1992-1-1
- 32 Berechnungsansaumltze nach EN 1992-1-1
- 33 Bemessungsansaumltze nach internationalen Normen
- 34 Konstruktionsregeln aus weiterfuumlhrender Literatur
- 35 Weitere rechnerische Nachweismoumlglichkeiten
- 36 Vergleichendes Beispiel
-
- 4 Materialverhalten
-
- 41 Beton
- 42 Betonstahl Spannstahl
- 43 Verbund
-
- 5 Grundlegendes Modell zur Verformungsberechnung
-
- 51 Zusammenhang zwischen Moment Kruumlmmung und Verformung
- 52 Einfluss des Schwindens
- 53 Einfluss des Kriechens
- 54 Mittragen des Betons zwischen den Rissen mittlere Stahldehnung
- 55 Gesamtkruumlmmungen aus Schwind- Kriech- und elastischen Dehnungen
-
- 6 Ergaumlnzte Querschnitte
-
- 61 Allgemeines
- 62 Berechnungen im Zustand I
- 63 Berechnungen im Zustand II
- 64 Besondere Fertigteilvarianten
- 65 Vergleichendes Beispiel
-
- 7 Verformungsberechnung
-
- 71 Allgemeines
- 72 Durchlauftraumlger
- 73 Beruumlcksichtigung des Mittragens des Betons zwischen den Rissen
-
- 8 Auswertung
-
- 81 Bewertung verschiedener Konstruktionsregeln
- 82 Zum Nachweis nach DIN 1045-1
- 83 Unguumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
- 84 Guumlnstige Veraumlnderungen bzw Einfluumlsse
- 85 Vergleich und Fazit
-
- 9 Zusammenfassung und Ausblick
-
- 91 Zusammenfassung
- 92 Ausblick
-