CAPITULO I
GUIA DE MECNICA ESTTICA
CAPITULO I
ESTATICA DEL CUERPO RIGIDO
La esttica es la parte de la mecnica que se encarga del estudio de los cuerpos slidos en reposo, para lo cual se estudiarn en este texto, los cuerpos asumiendo que ellos son perfectamente rgidos, aunque en la realidad se sabe que los elementos de mquinas y estructuras sufren deformaciones debido a las cargas a las que son sometidos. Estas deformaciones son habitualmente pequeas y no afectan de manera considerable las condiciones de equilibrio del cuerpo.
La mecnica se encarga de estudiar el movimiento y las interacciones que lo producen.
Mecnica de la partcula:
Cuando las dimensiones fsicas del cuerpo son despreciables al compararlas con su posicin. Por ejemplo, si el error con que se mide la posicin de un punto de un cuerpo, es de la magnitud de las dimensiones del cuerpo, no podramos distinguir un punto de otro punto del cuerpo. Se dir que el cuerpo es un punto material o partcula.
Este concepto de partcula es relativo; la luna con respecto a la tierra o el sol puede ser considerada como una partcula, pero no para los astronautas que desembarquen en ella.
Mecnica de los sistemas de partculas (Cuerpos):
Cuando se trata de un conjunto de puntos materiales. Este estudio se puede dividir en:
a) Mecnica de los cuerpos rgidos: cuando la distancia entre los puntos del sistema es constante
b) Mecnica de los cuerpos elsticos: cuando la distancia entre los puntos del sistema es variable con esfuerzos
c) Mecnica de los Fluidos: Cuando las distancias entre los puntos del sistema son variables sin esfuerzos
Tanto para la mecnica de una partcula como para la de los otros sistemas se analiza generalmente:
a) La cinemtica: que estudia el movimiento de los cuerpos sin importar las interacciones o los fenmenos que ocurren para que se genere ste.
b) La esttica: que estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos
c) La dinmica: que estudia las interacciones que producen los movimientos de los cuerpos.
FUERZA
La primera idea de fuerza la da la sensacin de esfuerzo muscular que tenemos que hacer para deformar cualquier objeto elstico, un resorte por ejemplo, para acelerar (o desacelerar) un objeto.
As tenemos la nocin de los efectos que pueden producir una fuerza aplicada a un cuerpo: efecto esttico o deformacin de un cuerpo (fig. 1) y efecto dinmico o aceleracin del cuerpo (fig. 2)
Ntese que una fuerza, es siempre producida por un cuerpo sobre otro cuerpo. Por esto, algunas veces se emplea la notacin FAB, para indicar la fuerza que el cuerpo A ejerce sobre el cuerpo B.
La deformacin o aceleracin de un cuerpo depende de la direccin y de la magnitud de la fuerza aplicada, lo cual implica que las fuerzas pueden ser representadas como vectores.
Como ya se sabe, las fuerzas pueden representarse por vectores, al ser de esta forma se puede reconocer la existencia de una lnea de accin de la fuerza, que representa la lnea imaginaria sobre la cual acta la fuerza en cuestin.
Sistemas de fuerzas:
Un sistema de fuerzas es simplemente un conjunto particular de fuerzas. Un sistema de fuerzas es coplanar o bidimensional si las lneas de accin de las fuerzas estn contenidas en un plano. De lo contrario, el sistema es tridimensional. Un sistema de fuerzas es concurrente si las lneas de accin de las fuerzas se encuentran en un punto.
Fuerzas Externas e Internas:
Se dice que un cuerpo est sometido a una fuerza externa, si sta es ejercida por un cuerpo diferente. Cuando una parte cualquiera de un cuerpo est sometida a una fuerza por otra parte del mismo cuerpo, est sometida a una fuerza interna
Fuerzas de Cuerpo y de superficie:
Una fuerza que acta sobre un cuerpo se denomina fuerza de cuerpo si acta sobre el volumen del cuerpo y fuerza de superficie si acta sobre su superficie.
Fuerza gravitatoria:
Cuando se levanta algo, se percibe la fuerza ejercida sobre un cuerpo por la gravedad de la Tierra. La fuerza gravitatoria o peso de un cuerpo al igual que todas las fuerzas, puede ser representada por un vector.
La magnitud del peso de un cuerpo se relaciona con su masa:
Fuerza de contacto:
Las fuerzas de contacto son las resultan del contacto entre cuerpos, por ejemplo al empujar una pared la superficie de la mano ejerce una fuerza sobre la superficie de la pared que se puede representar con un vector F, la pared ejerce una fuerza igual y opuesta F sobre la mano.
Figura 5
PRINCIPIOS DE LA ESTTICA:
Principio de transmisibilidad:
Establece que las condiciones de equilibrio o movimiento de un cuerpo rgido permanecern inmodificables si una fuerza acta sobre un punto dado de un cuerpo rgido, que es reemplazado por otra de la misma naturaleza, magnitud e igual direccin pero que acta en un lugar diferente con la condicin que ambas fuerzas tengan la misma lnea de accin.
Figura 6
Primera Ley de Newton:
Si la resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula, es igual a cero, el cuerpo permanecer en reposo, si estaba originalmente en reposo, o se mover con velocidad constante, si inicialmente estaba en movimiento.
Segunda Ley de Newton:
Si la resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula es distinta de cero, la partcula adquirir una aceleracin proporcional a su fuerza (magnitud) y en direccin de esa resultante.
Figura 7
Tercera Ley de Newton:
La fuerza de accin y reaccin entre cuerpos en contacto tiene la misma magnitud y direccin pero sentidos opuestos.
Figura 8
Ley de Gravitacin Universal:
Establece que dos partculas de masa m, que se encuentran a una distancia l, se atraern mutuamente con fuerzas invariables y opuestas.
APOYOS Y SUS REACCIONES
Para que los cuerpos se mantengan en su posicin es necesario que estos cuenten con apoyos o soportes, los que dependiendo de su naturaleza constructiva, podrn generar diferentes tipos de reacciones. Estas reacciones corresponden a las fuerzas y momentos ejercidos sobre un cuerpo por su soporte o apoyo.
Apoyo de pasador:
Una forma fcil de comprender el modo en que se genera la reaccin en un apoyo o soporte, es realizando una anlisis simple de las posibilidades de movimiento que tiene el cuerpo soportado con respecto a su apoyo; para este caso particular, es posible ver que el cuerpo no tiene la posibilidad de desplazarse ni en forma horizontal ni en forma vertical, en consecuencia generar reacciones en ambos sentidos, esto es una reaccin horizontal y una vertical.
Figura 9
Apoyo de Rodillo:
Siguiendo el mismo razonamiento del caso anterior, se pueden analizar los posibles movimientos que puede realizar el elemento soportado, en este caso, el rodillo tiene la posibilidad de desplazarse de modo horizontal, sin embargo no lo puede hacer de manera vertical, por lo que se tendr entonces, una reaccin en sentido vertical
Figura 10
Apoyo empotrado:
Para este caso la situacin se presenta completamente distinta, puesto que un cuerpo empotrado no puede realizar ningn tipo de movimiento, ni vertical, ni horizontal, ni de articulacin, por le se tendrn reacciones en ambos sentidos, esto implica una reaccin vertical y una reaccin horizontal, pero adems y debido a su imposibilidad de articularse, presentar un momento o par como t6ercera reaccin.
Figura 11
Apoyos comnmente usados:
APOYO
REACCIONES
Figura 12
APOYO
REACCIONES
Figura 13
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Este es una herramienta esencial de la mecnica y corresponde a un esquema que muestra las condiciones fsicas del problema en cuestin.
El dibujo de un diagrama de cuerpo libre consta de tres pasos:
1. Identificar el cuerpo o partcula por aislar.
2. Dibujar un croquis del cuerpo aislado de su entorno y mostrar las dimensiones y ngulos pertinentes.
3. Dibujar los vectores que representen todas las fuerzas externas que actan sobre el cuerpo aislado o partcula, y designarlos apropiadamente.
Habitualmente es necesario dibujar un sistema de coordenadas, con el objeto de representar apropiadamente las dimensiones y adems por que esto permite expresar las fuerzas que actan sobre el cuerpo aislado o partcula en funcin de sus componentes, en caso de ser necesario.
Ejercicios de aplicacin
N 1
Los cables A y B de la figura ejercen fuerzas FA y FB sobre el gancho. La magnitud de FA es de 100 N, la tensin en el cable B se ha ajustado para que la fuerza FA + FB sea perpendicular a la pared a la que est unido el gancho.
a) Cul es la magnitud de FB?
b) Cul es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cables sobre el gancho?
Figura 14
Diagrama de cuerpo libre (D.C.L)
FA + FB = R
Rx = FAx + FBx
Ry = FAy + FBy
Como la fuerza resultante debe ser perpendicular a la pared, entonces debe asumirse que Ry = 0
FAx = 100 lb * Cos50
FAx = 64,278 lb
FAy = 100 lb * Sen50
FAy = 76,604 lb
Ry = 0
Ry = FAy + FBy
76,604 lb + FB * Sen70 = 0
FB = 81,52 lb
FBx = 81,52 lb * Cos70
FBx = 27,881 lb
Por lo tanto:
R = Rx
R = FAx + FBx
R = 64,278 lb + 27,881 lb
R = 92,159 lb
N 2
Los cables AB y AC ayudan a soportar el techo en voladizo. Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son |FAB| = 100 kN y |FAC| = 60 kN. Determine la magnitud de la fuerza resultante.
Figura 15
D.C.L.
R = Rx + Ry
Rx = FABx + FAC
Ry = FABy
FABx = 100lb * Cos30FABy = 100lb * Sen30
FABx = 86,602 lb FABy = 50 lb
Rx = 86,602 lb + 60lbRy = 50 lb
Rx = 146,602 lb
R2 = Rx2 + Ry2
R2 = (146,602 lb)2 + (50lb)2
R = 154,893 lb
Fuerzas Concurrentes
Considrese una partcula sobre la cual actan varias fuerzas coplanares, como todas la fuerzas consideradas pasan por la partcula, se dice que son concurrentes. Los vectores que representan las fuerzas pueden sumarse por la ley del polgono. Puesto que la ley del polgono equivale a usar en forma repetida la ley de paralelogramo, el vector resultante representa la fuerza resultante de todas las fuerzas concurrentes que intervienen, es decir la fuerza que nica que produce el mismo efecto que todas las concurrentes. Importante es sealar que no importa el orden en que las fuerzas sean sumadas, ya se obtendr siempre el mismo resultado.
Figura 16
Descomposicin de una fuerza:
Como ya es sabido, dos o mas fuerzas que actan sobre una partcula pueden remplazarse por slo una fuerza que produce el mismo efecto que el conjunto de fuerzas; de igual modo si se tiene una fuerza actuando sobre una partcula, esta fuerza puede ser remplazada por dos o mas fuerzas que provocarn el mismo efecto que la fuerza original, a estas fuerzas se les llama componentes de la fuerza original F, y el proceso que se realiza para obtener estas componentes se llama descomposicin de la fuerza F en sus componentes.
Es importante sealar que para cada fuerza F existe un nmero infinito de componentes y posibilidades de obtener componentes.
Figura 17
Componentes rectangulares de una fuerza:
Al descomponer F en Fx en direccin del eje x, y Fy en direccin del eje y; a Fx y Fy se les llama componentes rectangulares
Figura 18
En consecuencia:
Fx = |F| * CosoFx = |F| * Sen
Fy = |F| * SenoFy = |F| * Cos
Obtencin de las componentes de una fuerza en funcin de dos puntos cualquiera de la lnea de accin de sta:
Vector Unitario:
Un vector unitario es aquel que tiene magnitud uno (1) o igual a la unidad, este vector especifica una direccin y permite expresar en forma conveniente yn vectoe que tiene una direccin particular.
En el plano cartesiano el vector unitario est definido por (i,,j). As si se incorpora el vector unitario a las componentes rectangulares de un vector se tiene:
Vector posicin:
Es aquel vector que queda definido por las coordenadas cartesianas de dos puntos que forman parte de dicho vector. Si se tienen dos puntos A y B de coordenadas (xA , yA) y (xB , yB) respectivamente, rAB representar el vector que especifica la posicin de B en relacin a A. De esta forma se define el vector que va de un punto A a un punto B.
Figura 19
Por lo tanto:
Dividiendo el vector posicin por el mdulo del mismo es posible obtener el vector unitario para ese vector; esto es:
Si se conoce el mdulo de la fuerza para el cual ya se conocen dos puntos cualquiera de la lnea de accin de sta, es posible obtener la fuerza escrita de manera vectorial.
Componentes en tres dimensiones:
Se puede separar el vector U en componentes vectoriales Ux, Uy y Uz paralelas a los ejes x, y y z respectivamente.
Figura 20
U = Ux + Uy + Uz
Si incorporamos vectores unitarios en direccin positiva de los ejes, se tiene:
U = Uxi + Uyj + Uzk
Figura 21
|U|2 = |Ux|2 + |Uy|2 + |Uz|2
As se tiene la magnitud del vector U en funcin de sus componentes:
Cosenos Directores:
Una manera de describir la direccin de un vector en tres dimensiones es especificar los ngulos (x, (y y (z entre el vector y los ejes coordenados positivos.
Figura 22
Las cantidades Cos(x, Cos(y y Cos(z; se llaman cosenos directores de U.
Introduciendo un vector unitario, se obtendr:
Si este vector unitario tiene la misma direccin que U, entonces:
Entonces, las relaciones entre las componentes de U y e son:
Por lo tanto:
Los cosenos directores de cualquier vector U son las componentes de un vector unitario que tiene la misma direccin que U. Por simple despeje se obtiene:
Vector posicin en funcin de sus componentes:
Se tiene un vector que pasa por dos puntos A y B de coordenadas A=(XA,YA,ZA) y B=(XB,YB,ZB), el vector posicin queda definido de igual manera que en el plano, es decir por el diferencial de coordenadas.
Figura 22
Dividiendo el vector posicin por el mdulo del mismo es posible obtener el vector unitario para ese vector; esto es:
Si se conoce el mdulo de la fuerza para el cual ya se conocen dos puntos cualquiera de la lnea de accin de sta, es posible obtener la fuerza escrita de manera vectorial.
EQUILIBRIO DE UN SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES:
Equilibrio significa estado invariable, es decir una situacin balanceada. En ocasiones las ecuaciones de equilibrio se usan para determinar fuerzas desconocidas que actan sobre un cuerpo una partcula en equilibrio.
Equilibrio de la partcula:
Cuando la resultante de todas las fuerzas que actan sobre una partcula es igual a cero, se dice que la partcula est en equilibrio.
Sistema bidimensional:
Sistema tridimensional:
Se obtienen de esta forma dos ecuaciones de equilibrio en el caso del sistema bidimensional y tres ecuaciones de equilibrio para el sistema tridimensional.
Sistema bidimensional:
Para problemas de equilibrio de una partcula en el plano, resulta simple plantear las ecuaciones de equilibrio en funcin de los ejes coordenados, es as como slo basta realizar sumatoria en cada uno de los dos ejes, teniendo en cuenta que si la partcula est en equilibro, la fuerza resultante en cada eje ser nula o igual a cero.
Ejemplo:
El motor est suspendido por un sistema de cables. La masa del motor es de 200 kg. Qu valores tienen las tensiones en los cables AB y AC?
Figura 23
D.C.L.
P = 200 kg * 9.8 m/s2
P = 1960 N
(F = 0((Fx = 0 ;(Fy = 0
(Fx = 0
TAC * Cos45 - TAB * Cos60 = 0
0,707TAC 0,5 TAB = 0
TAC = 0,5TAB
0,707
TAC = 0,707 TAB
(Fy = 0
TAC * Sen45 + TAB * Sen60 - P = 0
TAC * Sen45 + TAB * Sen60 = 1960 N
0,707TAC + 0,866TAB = 1960 N
Reemplazando:
0,707 * (0,707TAB) + 0,866TAB = 1960 N
0,499TAB + 0,866TAB = 1960 N
1,365TAB = 1960 N
TAB = 1435,89 N
Por lo tanto:
TAC = 0,707 * 1435,89
TAC = 1015,17 N
Ejemplo:
Un cilindro de 1000 lb pende de techo por un sistema de cables sostenidos en los puntos B, C y D. Cules son las tensiones en los cables AB, AC y AD?
Figura 24
rAB = (4-0)i + (0-(-4))j + (2-0)k
rAB = 4i + 4j + 2k
|rAB| = (42 + 42 + 22=6
eAB = 4i + 4j + 2k=0,6i + 0,6j + 0,3k
6
TAB = |TAB| * e
TAB = |TAB| * (0,6i + 0,6j + 0,3k)
TAB = 0,6 TAB i + 0,6 TAB j + 0,3 TAB k
rAC = (-2-0)i + (0-(-4))j + (-2-0)k
rAC = -2i + 4j - 2k
|rAC| = (-22 + 42 + (-2)2=4,89
eAC = -2i + 4j - 2k=-0,4i + 0,8j - 0,4k
4,89
TAC = |TAC| * e
TAC = |TAC| * (-0,4i + 0,8j - 0,4k)
TAC = -0,4 TAC i + 0,8 TAC j - 0,4 TAC k
rAD = (-3-0)i + (0-(-4))j + (3-0)k
rAD = -3i + 4j + 3k
|rAD| = (-32 + 42 + 32=5,83
eAD = -3i + 4j + 3k=-0,51i + 0,68j - 0,51k
5,83
TAD = |TAD| * e
TAD = |TAD| * (-0,51i + 0,68j - 0,51k)
TAD = -0,51 TAD i + 0,68 TAD j + 0,51 TAD k
(Fx = 0
0,6TAB 0,4TAC 0,51TAD = 0
(Fy = 0
0,6TAB + 0,8TAC + 0,68TAD 1000 = 0
(Fz = 0
0,3TAB 0,4TAC + 0,51TAD = 0
TAB = 0,4TAC + 0,51TAD
0,6
TAB = 0,66TAC + 0,85TAD
TAD = 0,4TAC - 0,3TAB
0,51
TAD = 0,78TAC - 0,58TAB
TAD = 0,78TAC - 0,58*(0,66TAC + 0,85TAD)
TDA + 0,49TAD = 0,4TAC
TAD = 0,27TAC
0,6*(0,66TAC + 0,85TAD) + 0,8TAC + 0,68*(0,27TAC) = 1000
0,4TAC + 0,51TAD + 0,8TAC + 0,18TAC = 1000
1,38TAC + 0,51* (0,27TAC) = 1000
1,38TAC + 0,14TAC = 1000
TAC = 657,89 lb
(TAD = 0,27 * 657,89 ( TAD = 177,63 lb
(TAB = (0,66 * 657,89) + (0,85 * 177,63) ( TAB = 585,19 lb
Momento de una fuerza respecto de un centro:
Considrese una fuerza de magnitud F y un punto O, en direccin perpendicular al plano que la contiene. La magnitud del momento de la fuerza respecto a o es r * F, donde r es la distancia perpendicular de o a la lnea de accin de la fuerza.
La fuerza tiende a provocar un giro alrededor del punto O.
Se considerarn momento positivos todos los que tienden a girar en un sentido y negativos los que tienden a girar al lado contrario.
Figura 25
Si la lnea de accin de F pasa por el punto, la distancia perpendicular r se hace igual a cero y el momento de F respecto de O es tambin igual a cero. En consecuencia a mayor distancia, mayor momento.
Momento Menor Momento Mayor
Figura 26
Ejemplo:
Determine el momento de la fuerza de 40kN respecto al punto A.
Figura 26
Solucin a:
Figura 27
r = 6 * Sen 30
r = 3 m
MA = 3m * 40 kN
MA = 120 kNm
Solucin b:
Figura 28
Fy = 40 kN * Sen 30 = 20 kN
Fx = 40 kN * Cos 30 = 34,64 kN
Como la lnea de accin de Fx pasa por el punto A, entonces el momento que provoca esta componente es nulo, pero como Fy es perpendicular a la barra, entonces:
MA = 6m * 20 kN
MA = 120 kNm
Vector Momento:
Para poder analizar u obtener momentos en funcin de vectores, es necesario antes conocer el producto vectorial o mejor conocido como producto cruz de vectores, lo que facilitar el entendimiento de esta materia.
Producto cruz o vectorial:
Considrense dos vectores U y V. El producto cruz o vectorial, (que se define as por que el resultado es un vector) de U y V, denotado por U x V, se define como:
El ngulo ( es el ngulo entre U y V cuando los vectores se colocan cola con cola. El vector e es un vector unitario definido como perpendicular a U y V. Como esto implica dos posibles sentidos para e, los vectores U, V y e se definen como un sistema derecho.
Figura 29
Regla de la mano derecha:
Para determinar la direccin de e, se procede de la siguiente forma: el pulgar apunta hacia e, cuando los cuatro dedos restantes que apuntan hacia el vector U (primer vector en el producto) se abaten hacia el vector V (segundo vector del producto cruz)
Figura 30
Las unidades del producto cruz, son el producto de las unidades de los dos vectores.
El producto cruz de dos vectores no nulos, es igual a cero si y solo si los dos vectores son paralelos.
Una propiedad del producto cruz reside en que no es conmutativo. La magnitud del vector U x V es igual en magnitud del vector V x U, pero la regla de la mano derecha indica que estos vectores son opuestos en direccin.
El producto cruz es asociativo con respecto a la multiplicacin escalar.
El producto cruz es distributivo con respecto a la adicin vectorial
Producto Cruz en funcin de sus componentes:
Para obtener una ecuacin para el producto cruz de dos vectores en funcin de sus componentes, debemos determinar los productos cruz formados con los vectores unitarios i, j y k. Como el ngulo entre dos vectores idnticos colocados cola con cola es igual a cero, entonces:
i x i = 0
j x j = 0
k x k = 0
Aplicando la regla de la mano derecha:
Figura 31
Se tiene:
i x i = 0
j x i = -k
k x i = j
i x j = k
j x j = 0
k x j = -i
i x k = -j
j x k = i
k x k = 0
Figura 32
Vector de Momento:
El momento de una fuerza respecto a un punto, es un vector.
Considrese un vector de fuerza F y un punto O. El momento de F respecto a O, es el vector:
Donde r es un vector posicin de o a cualquier punto sobre la lnea de accin de F.
Figura 33
Magnitud del momento:
Donde ( es el ngulo entre los vectores r y F cuando se colocan cola con cola.
La distancia perpendicular de O a la lnea de accin de F es D = r * Sen( (figura 33.c), por consiguiente:
Sentido del Momento:
Por definicin del producto cruz, al tener r x F, se observa que el momento es perpendicular a r y a F, esto significa que el momento es perpendicular tambin al plano que contiene a O y a F.
Para definier el sentido del Momento Mo, se emplea la ya estudiada regla de la mano derecha, teniendo presente que Mo = r x F
Figura 34
En resumen:
1. La magnitud del momento es igual al producto de la magnitud de F y la distancia perpendicular de o a la lnea de accin de F.
2. El momento es perpendicular al plano que contiene a O y a F.
3. La direccin de Mo indica el sentido del momento dado por la regla de la mano derecha.
Ejemplo: Obtngase el momento de F con respecto a P
Figura 35
Solucin:
|F| = (42 + 42 + 72
|F| = 9
r = (12 - 3)i + (6 - 4)j + (-5 1)k
r = 9i + 2j 6k
Mp = r x F
Mp = (9i + 2j 6k) x (4i + 4j + 7k)
Mp = 36k 63j 8k + 14i 24j + 24i
Mp = 38i 87j + 28k
|Mp| = (382 + (-87)2 + 282
|Mp| = 98,97 lb*pie
D = |Mp|
|F|
D = 98,97 lb*pie
9 lbD = 10,99 pie
Teorema de Varignon:
Sea F1, F2 . . . FN un sistema concurrente de fuerzas cuyas lneas de accin se interceptan en P. El momento del sistema respecto al punto O es:
Donde rOP es el vector de O a P. El teorema de Varignon se deriva de la propiedad distributiva del producto cruz.
Figura 36
Fuerzas Paralelas:
Un sistema de fuerzas paralelas cuya suma no sea cero (figura 37.a) se puede representar por una sola fuerza (figura 37.b)
Figura 37
Se puede determinar F de la condicin de que las sumas de las fuerzas de los dos sistemas deben ser iguales. Para que los dos sistemas sean equivalentes se debe escoger un punto de aplicacin P de manera que la suma de los momentos respecto a un punto sean iguales. Esta condicin permitir a conocer las coordenadas del punto P.
Ejemplo:
El sistema 1 consiste en fuerzas paralelas. Supngase que se quiere representar mediante una fuerza F (sistema 2). Qu valor tiene F y donde corta su lnea de accin el plano xz.
Sistema 1
Figura 38
Sistema 2
Figura 39
Solucin:
(F = 0
((F)2 = ((F)1 : F = 30j + 20j 10j = 40j lb
La suma de los momentos respecto a un punto arbitrario deben ser igual a cero, en este caso se considerar el origen O.
rO1 = (6-0)i + (0-0)j + (2-0)k
rO1 = 6i + 2k
Mo1 = (6i + 2k) x 30j
Mo1 = 180k 60i
rO2 = (2-0)i + (0-0)j + (4-0)k
rO2 = 2i + 4k
Mo2 = (2i + 4k) x -10j
Mo2 = -20k + 40i
rO3 = (-3-0)i + (0-0)j + (-2-0)k
rO3 = -3i - 2k
Mo3 = (-3i - 2k) x 20j
Mo3 = -60k + 40i
MoT = 180k 60i -20k + 40i -60k + 40i
MoT = 20i + 100k
MoT = r x FT
20i + 100k = r x 40j
(r = -0,5k + 2,5i
lo que significa que las coordenadas del punto P o el punto en que la lnea de accin de F corta al plano xz es:
x = 2,5 pie yz = -0,5 pie
Par de Fuerzas:
Un par de fuerzas es un sistema formado por dos fuerzas, de igual magnitud, con la misma direccin y en sentidos opuestos.
En la figura se puede ver un par de bueyes que dan vueltas sobre un eje. El efecto combinado (sumado) de la fuerza de ambos animales, se suma de tal forma que no se produce desplazamiento, solo movimiento circular.
Figura 40
Otro ejemplo cotidiano es cuando al andar en bicicleta se gira en una esquina, al mover el manubrio, se requiere por una lado empujar y por el otro tirar hacia la persona el manubrio. Lo mismo ocurre cuando se pedalea, pedalear es ejercer un par de fuerzas, con el que se convierte fuerza muscular en movimiento rectilneo.
Figura 41
Puesto que la resultante de las dos fuerzas que componen el par es igual a cero, el nico efecto que el par produce es un giro o una tendencia a la rotacin en la direccin especificada
Figura 42
El momento producido por un par, llamado momento de un par, equivale a la suma de los momentos de ambas fuerzas del par, determinados con respecto a cualquier punto arbitrario O en el espacio.
Considrese los vectores posicin rA y rB dirigidos desde O hacia los puntos A y B de las lneas de accin de F y F respectivamente.
Figura 43
El momento del par calculado con respecto al punto O es:
Por medio de la regla del tringulo de la adicin de vectores, rA + r = rB o, r = rB rA, tenemos que:
Este resultado indica que un momento de un par es un vector libre, es decir, que puede actuar en cualquier punto, puesto que M depende solamente del vector posicin dirigido entre las fuerzas y no de los vectores posicin rA y rB, dirigidos desde el punto O hacia las fuerzas.
Pares Equivalentes:
Figura 44
Se dice que dos pares son equivalentes si producen el mismo momento. Puesto que el momento producido por un par es siempre perpendicular al plano que contiene las fuerzas de ste par, es necesario por lo tanto que los pares de fuerzas iguales estn en el mismo plano o en planos que sean paralelos entre si. De esta forma, la direccin de cada momento del par ser el mismo, esto es, perpendicular a los planos paralelos. Por ejemplo los dos pares mostrados en la figura 44 son equivalentes. Un par es producido por un par de fuerzas de 100N separados por una distancia de 0,5 m, y el otro es producido por un par de fuerzas de 200N separadas una distancia de 0,25 m. Puesto que los planos en los que las fuerzas actan son paralelos al plano xy, el momento producido por cada uno de los pares de fuerza, puede expresarse como M = 50k (Nm).
Ejemplo:
Un par acta sobre los dientes del engranaje como se muestra. Reemplace este par por uno equivalente que tenga dos fuerzas que acten a travs de a) los puntos A y b, y b) los puntos D y E.
Figura 45
Solucin:
Magnitud del momento del par:
M = F * d
M = 40 N * 0,6 m
M = 24 Nm
Puesto que la rotacin se realiza en sentido antihorario, el momento resultante tiene su direccin saliendo de la hoja.
a)
M = F * d
24 Nm = F * 0,3m
F = 80N
a)
M = F * d
24 Nm = F * 0,2m
F = 120N
Equilibrio del cuerpo rgido:
Un cuerpo rgido no puede ser analizado de la misma forma en que se hace con una partcula aislada, pues este cuerpo est constituido por muchas partculas y por lo tanto el tamao tiene incidencia en los efectos que provoca una fuerza externa al actuar sobre l.
Se entiende por cuerpo rgido, aquel que no se deforma. Para que un cuerpo rgido se encuentre en equilibrio, debe cumplir con dos condiciones.
1. La suma de todas las fuerzas externas que actan sobre l debe ser igual a cero
Sistema bidimensional:
Sistema tridimensional:
2. La suma de los momentos con respecto a cualquier punto sea igual a cero.
En el anlisis de cuerpos rgidos que estn en equilibro, es importante tener en cuenta que deben considerarse cada uno de los apoyos sobre los cuales pueda eventualmente descansar estos cuerpos, puesto que estos apoyos inciden directamente en la determinacin de fuerzas desconocidas y a su ves en la determinacin de los momentos a que est afecto el cuerpo.
Ejemplo:
La viga de la figura tiene soportes de pasador y de rodillo y est sometida a una fuerza de 2 kN. Qu valor tienen las reacciones en los soportes?
Figura 46
Solucin:
Diagrama de cuerpo libre:
(Fx = 0
Ax B * Cos60 = 0
Ax = B * Cos60
Ax = 0,5B
(Fy = 0
Ay 2 kN + B * Sen60 = 0
Ay + 0,86B = 2 kN
(MA = 0
2kN * 3m (B * Sen60) kN * 5m= 0
4,33 * B = 6 kNm
B = 1,38 kN
Por lo tanto:
Ax = 0,5 * 1,38 kN (Ax = 0,69 kN
Ay = 2kN (0,866 * 1,38)kN(Ay = 0,80 kN
Ejemplo:
En la figura el cuerpo est empotrado y sometido a dos fuerzas y un par Qu valor tienen las reacciones en el empotramiento?
Figura 47
Solucin:
Diagrama de cuerpo libre:
(Fx = 0
Ax (100 * Cos30)lb = 0
Ax = -86,6 lb
(Fy = 0
Ay 200 lb + (100 * Sen30)lb = 0
Ay = 200 lb - (100 * Sen30)lb
Ay = 150 lb
(MA = 0
MA (200lb*2pie) + (100*Sen30lb*4pie) - (100*Cos30lb*2pie) + 300 = 0
MA = 73,2 lbpie
Fuerzas distribuidas:
Figura 48
La carga ejercida sobre una viga que soporta el piso de un edificio est distribuida sobre la longitud de la viga como se muestra en la figura. Este es una de muchas aplicaciones de ingeniera en que las cargas estn distribuidas en forma continua a lo largo de lneas.
Con un ejemplo sencillo se puede demostrar cmo se expresan analticamente tales cargas. Si se colocan sacos de arena sobre una viga, como se muestra,
Figura 49
la carga se distribuye sobre la viga, y su magnitud en una posicin x dada depende de lo alto que estn apilados los sacos en esa posicin. Para describir la carga, se define una funcin w tal que la fuerza hacia abajo sobre un elemento infinitesimal dx de la viga es w dx. Con esto se puede representar la magnitud variable de la carga ejercida por los sacos. Las flechas indican que la carga acta hacia abajo
Figura 50
Las cargas distribuidas en lneas, desde los casos mas simples como el del peso propio de una viga hasta los mas complicados como la fuerza de sustentacin distribuida a lo largo del ala de un avin se representan con w. Como el producto de w y dx es una fuerza, las dimensiones de w son (fuerza)/(longitud).
Supngase que se conoce la funcin w que describe una carga distribuida particular. La grfica de w se llama curva de carga.
Figura 51
Como la fuerza acta sobre un elemento dx de la lnea es wdx, podemos determinar la fuerza F ejercida por la carga distribuida integrando la curva de carga con respecto a x:
Se puede tambin determinar el momento respecto a un punto ejercido por la carga distribuida. Por ejemplo, el momento respecto al origen debido a la fuerza ejercida sobre el elemento dx es xwdx, y el momento total respecto al origen debido a la carga distribuida es:
Cuando slo interesan la fuerza total y el momento total ejercidos por una carga distribuida, sta se puede representar con una sola fuerza equivalente F.
Figura 52
Para que sea equivalente, la fuerza debe actuar en una posicin x sobre el eje x tal que el momento de F respecto al origen sea igual al momento de la carga distribuida respecto al origen:
Por consiguiente la fuerza F equivale a la carga distribuida si la colocamos en la posicin
Obsrvese que el trmino wdx es igual a un elemento de rea dA entre la curva de carga y el eje x.
Figura 53
As se tiene, que la fuerza total ejercida por la carga distribuida es igual al rea A entre la curva de carga y el eje x:
Sustituyendo wdx = dA, se obtiene:
ESTRUCTURAS:
En ingeniera, el trmino estructura se puede referir a cualquier objeto que tiene la capacidad de soportar y ejercer cargas. Se considerarn estructuras compuestas de partes interconectadas o miembros (barras o elementos). Para disear tal estructura, o para determinar si una ya construida es adecuada, se deben determinar las fuerzas y los pares que actan sobre ella en su totalidad as como en sus miembros individuales.
Figura 54
Armaduras:
Supngase que se conectan con pasadores los extremos de tres barras para formar un tringulo, si se agregan soportes, se obtiene una estructura que puede soportar cargas. Se puede construir estructuras mas elaboradas agregando mas tringulos.
Las barras son los miembros de las estructuras y los lugares en que las barras se unen entre si (articulaciones) son las juntas o nudos de la armadura
Figura 55Figura 56
Si estas estructuras estn soportadas y cargadas en sus juntas y se desprecian los pesos de las barras, cada uno de estos es un miembro de dos fuerzas. Tales estructuras se denominan armaduras.
Algunas Armaduras tpicas
Armadura de puente Howe:
Figura 57
Armadura de puente Pratt:
Figura 58
Armadura de techo Howe:
Figura 59
Armadura de techo Pratt:
Figura 60
Figura 61
Esta corresponde a una barra o miembro de una armadura. Como es un miembro de dos fuerzas, las fuerzas en los extremos, que son la suma de las fuerzas ejercidas sobre la barra en sus nudos, deben ser de igual magnitud, direccin opuesta y dirigidas a lo largo del eje axial de la barra.
Se llamar T a la fuerza axial en la barra. Cuando T es positiva en la direccin mostrada, la barra est trabajando a traccin; cuando se encuentra en sentido opuesto; (cuando se acerca una hacia la otra) se dice que el miembro trabaja a compresin.
Clculo de armaduras:
Mtodo de las juntas, nudos o nodos:
Figura 62
D.C.L.
Figura 63
Ejemplo:
La armadura Warren tiene barras de 2 metros de longitud y soporta cargas en B y D de 400N y 800N respectivamente. Se debe determinar el valor de la carga a que est sometida cada barra y adems el sentido de sta (compresin o traccin).
Figura 64
D.C.L.
Figura 65
(Fx = 0
Ax = 0
(Fy = 0
Ay + E 400N 800N = 0
Ay = 1200N E
(MA = 0
(400N * 1m) + (800N * 3m) (E * 4m) = 0
E = 700N
Por lo tanto:
Ay = 1200N 700N
Ay = 500N
Nodo A:
(Fx = 0
TAC TAB*Cos60 = 0
TAC = 0,5TAB
(Fy = 0
500N TAB*Sen60 = 0
TAB = 577N(La barra trabaja a traccin
( TAC = 289N(La barra trabaja a compresin
Nodo B:
(Fx = 0
577N*Cos60 TBC*Cos60 - TBD = 0
TBD = 289 0,5TBC
(Fy = 0
577N*Sen60 TBC*Sen60 - 400 = 0
TBC = -115N(La barra trabaja a traccin
( TBD = 346N(La barra trabaja a compresin
Nodo D:
(Fx = 0
346N + TDC*Cos60 + TDE*Cos60 = 0
TDC = -692 - TDE
(Fy = 0
TDC*Sen60 - 800N - TDE*Sen60 = 0
TDE = TDC - 800N
Reemplazando:
TDC = -692 (TDC - 800N)
TDC = 116N(La barra trabaja a compresin
( TDE = -808(La barra trabaja a compresin
Nodo E:
(Fx = 0
808N*Cos60 - TCE = 0
TCE = 404N(La barra trabaja a traccin
(Fy = 0
700N 808N*Sen60 = 0
700N 700N = 0
0 = 0
Mtodo de las secciones:
Este mtodo es til cuando slo se quiere conocer las fuerzas axiales en ciertas barras de una armadura.
Ejemplo:
Figura 66
D.C.L.
Figura 67
(Fx = 0
Ax = 0
(Fy = 0
Ay + E 400N 800N = 0
Ay = 1200N E
(MA = 0
(400N * 1m) + (800N * 3m) (E * 4m) = 0
E = 700N
Por lo tanto:
Ay = 1200N 700N
Ay = 500N
Se corta imaginariamente la estructura en las barras que se quieren determinar:
Figura 68
D.C.L de la seccin:
Figura 69
(Fx = 0
TBD + TBC*Cos60 + TAC = 0
TBD + 0,5TBC + TAC = 0(1)
(Fy = 0
500N 400N TBC*Sen60 = 0
TBC = 115N(La barra trabaja a compresin
(MB = 0
(500N * 1m) (TAC * 1,732m) = 0
TAC = 289N(La barra trabaja a compresin
En (1), se tiene:
TBD = -(0,5 * 115N) 288N
TBD = -346N(La barra trabaja a traccin
Rozamiento:
Es importante sealar que no existe ninguna superficie perfectamente lisa. Cuando dos superficies estn en contacto, el movimiento de una respecto a la otra produce fuerzas tangenciales llamadas fuerzas de rozamiento. Por otro lado, estas fuerzas de rozamiento tienen una magnitud limitada y no impiden el movimiento si se aplican fuerzas suficientemente grandes. Por lo tanto, la distincin entre superficies lisas y rugosas es una cuestin de grados.
Leyes de rozamiento:
Estas leyes pueden clarificarse con el siguiente ejemplo:
Figura 70 Figura 71
Un bloque de peso P se coloca sobre una superficie plana horizontal. Las fuerzas que actan sobre el bloque con su peso P genera la reaccin de la superficie que se denota por N. Supngase que se aplica sobre el bloque una fuerza horizontal F. Si F es pequea, el bloque no se mover; entonces debe existir otra fuerza horizontal que contrarreste a F, sta es la fuerza de rozamiento esttico f que en realidad es la resultante de un gran nmero de fuerzas que actan sobre toda la superficie de contacto entre el bloque y la superficie plana.
Si se incrementa la fuerza F, la fuerza de rozamiento f tambin crece oponindose a F hasta que su magnitud alcanza cierto valor mximo fm. Si F sigue incrementndose, la fuerza de rozamiento ya no ser capaz de contrarrestarla y el bloque comenzar a desplazarse. En cuanto el bloque comienza a moverse, la magnitud de f cambia de fm a un valor menor fk. Esto se debe a que cuando las superficies en contacto se mueven una con respecto otra, la interpenetracin de las irregularidades de las superficies es menor debido al movimiento. A partir de este instante el bloque contina desplazndose e incrementa su velocidad, mientras la fuerza de rozamiento fk llamada fuerza de rozamiento cintico permanece relativamente constante
Figura 72
La evidencia experimental muestra que el valor mximo fm de la fuerza de rozamiento esttico es proporcional a la componente normal N de la reaccin de la superficie:
Donde (s es una constante llamada coeficiente de rozamiento esttico. De igual modo se puede expresar la magnitud fk de la fuerza de rozamiento cintico como:
donde (k es una constante llamada coeficiente de rozamiento cintico. Los coeficientes (k y (s no dependen del rea de las superficies en contacto, sino que de la naturaleza de estas superficies.
Valores tpicos para coeficientes de rozamiento esttico:
Materiales en Contacto
(s
Metal sobre metal
0.15 0.60
Metal sobre madera
0.20 0.60
Metal sobre piedra
0.30 0.70
Metal sobre cuero
0.30 0.60
Madera sobre madera
0.35 0.50
Madera sobre cuero
0.25 0.50
Piedra sobre piedra
0.40 0.70
Tierra sobre tierra
0.20 1.00
Caucho sobre hormign
0.60 0.90
Angulo de Rozamiento:
En vez de que la reaccin ejercida en una superficie por su contacto se descomponga en una fuerza normal N y en una fuerza de friccin f, podemos expresarla en trminos de su magnitud R y del ngulo de friccin ( entre la fuerza y la normal a la superficie.
Figura 73
La fuerza normal y de friccin estn relacionadas con R y ( por:
El valor de ( cuando el deslizamiento es inminente se llama ngulo de friccin esttica (s, y su valor cuando las dos superficies estn en movimiento relativo se llama ngulo de friccin cintica (k. As se tiene:
Ejemplo:
El dispositivo ejerce una fuerza horizontal sobre la caja en reposo. La caja pesa 800 N y el coeficiente de friccin esttica entre el cajn y la rampa es (s 0.4.
a) si la cuerda ejerce una fuerza de 400 N sobre la caja, cul es la fuerza de friccin ejercida por la rampa sobre la caja?
b) Cul es la mxima fuerza que la cuerda puede ejercer sobre la caja sin que sta se deslice hacia arriba sobre la rampa?
Figura 74
Solucin:
a)
D.C.L.
Figura 74
(Fx = 0
f + (T * Cos20) (W * Sen20) = 0
f = - T * Cos20 + W * Sen20
f = -(400 * Cos20) + (800 * Sen20)
f = -102,3 N
El signo menos slo indica que la fuerza de friccin en realidad est dirigida hacia abajo a lo largo de la rampa.
b)
D.C.L.
Figura 75
(Fx = 0
T (N * Sen20) - ((s * N * Cos20) = 0
(Fy = 0
(N * Cos20) - ((s * N * Sen20) W = 0
N = 800
Cos20 - (0,4)*Sen20
N = 996,4 N
Luego se tiene :
T = (N * Sen20) + ((s * N * Cos20)
T = 996,4 * (sen20 + 0,4Cos20)
T = 715,3 N
Rozamiento de una rosca:
Figura 76
Considrese un eje con roscas cuadradas , la distancia axial p de una rosca a la siguiente se llama paso de la rosca, y el ngulo ( es su pendiente. Considrese slo el caso en que el eje tiene una sola rosca continua, en la cual la relacin entre el paso y la pendiente es:
donde r es el radio medio de la rosca
Supngase que el eje roscado est sujeto por un manguito fijo con ranura casante y sometido a una fuerza axial F. La aplicacin de un par M en la direccin mostrada ocasionar que el eje empiece a girar y se mueva en la direccin axial opuesta a F. El objetivo es poder determinar el par M necesario para que el eje empiece a girar.
Figura 77
En la figura se dibuja el diagrama de cuerpo libre de un elemento diferencial de la rosca de longitud dL, representando con la fuerza dR la reaccin ejercida por la ranura casante. Si el eje est a punto de girar, dR resiste el movimiento inminente y el ngulo de friccin es el ngulo de friccin esttica (s. La componente vertical de la reaccin sobre el elemento es dR Cos((s + (). Para determinar la fuerza vertical total sobre la rosca, debemos integrar esta expresin sobre la longitud L de la rosca. Por equilibrio, el resultado debe ser igual a la fuerza axial F que acta sobre el eje.
(1)
El momento respecto al centro del eje debido a la reaccin sobre el elemento es rdR Sen((s + (). El momento total debe ser igual al par M ejercido sobre el eje:
Dividiendo esta ecuacin entre la ecuacin (1), obtenemos el par M necesario para que el eje est a punto de girar y moverse en la direccin axial opuesta a F:
Sustituyendo el ngulo de friccin esttica (s en esta expresin por el ngulo de friccin cintica (k, obtenemos el par requerido para que el eje gire con velocidad constante
CENTROIDES
El peso de un cuerpo no acta en un solo punto sino que est distribuido sobre su volumen total, sin embargo el peso se puede representar con una sola fuerza equivalente actuando en u punto llamado centro de masa. Por ejemplo cada parte de un automvil tiene un peso propio, pero se puede representar su peso total con una sola fuerza que acta en su centro de masa.
Por lo tanto se puede decir que el centroide es un peso ponderado o peso promedio.
Se puede ejemplificar esta situacin con una seccin cuadrada que permite una fcil determinacin de este centro de masa, sin embargo es preciso sealar que cada figura geomtrica tiene sus ecuaciones propias para la determinacin de su centro de masa.
Figura 78
Tabla de coordenadas de Centroide:
Area Rectangular = b * h
Area Triangular = * b * h
Area Triangular = * b * h
Area Circular = ( * r2
Area Semicircular = (( * r2) / 2
Area un cuarto de Circunferencia = (( * r2) / 4
Area sector circular = ( * r2
Ejemplo:
Determinar el centro de gravedad de la siguiente seccin:
Figura 79
Solucin:
Es conveniente separa la seccin en secciones mas pequeas y trazar ejes coordenados que servirn como sistema de referencia
Figura 80
Como la figura es simtrica, entonces la coordenada en x del centro de gravedad estar ubicada en cero del sistema de referencia o dicho de otra forma al centro de la figura con respecto a la horizontal.
y = (A1 * CG1) + (A2 * CG2) + (A3 * CG3)
AT
y = (A1 * y1) + (A2 * y2) + (A3 * y3)
AT
y = (6cm)(4cm)(2cm) + (4cm)(14cm)(7cm) + (6cm)(4cm)(2cm)
(6cm)(4cm) + (4cm)(14cm) + (6cm)(4cm)
y = 4,7 cm
Esto significa que el centro de gravedad (C.G.) est situado a 4,7 cm por debajo del eje x y en el centro de la figura dada su simetra.
Momentos de Inercia:
Las cantidades llamadas momentos de inercia aparecen con frecuencia en los anlisis de problemas de ingeniera. Por ejemplo, los momentos de inercia de reas se utilizan en el estudio de las fuerzas distribuidas y en el clculo de deflexiones de vigas. El momento ejercido por la presin sobre una placa plana sumergida se puede expresar en trminos del momento de inercia del rea de la placa. En dinmica, los momentos de inercia de masa se usan para calcular los movimientos rotatorios de objetos.
Los momentos de inercia de un rea son integrales de forma similar a las usadas para determinar el centroide de un rea. Sea un rea A en el plano xy:
Figura 81Figura 82
Se definen cuatro momentos de inercia de A:
Momento de Inercia respecto al eje x:
donde y es la ordenada del elemento diferencial de rea dA
Momento de Inercia respecto al eje y:
donde x es la coordenada x del elemento diferencial de rea dA
Producto de Inercia:
Momento Polar de Inercia:
donde r es la distancia radial del origen O a dA
El momento polar de inercia corresponde a la suma de los momentos de inercia respecto a los ejes x e y.
Las dimensiones de los momentos de inercia de un rea son (longitud)4 y los radios de giro tienen dimensiones de longitud. Las definiciones de los momentos de inercia Ix, Iy y Jo y las de los radios de giro implican que ambos tienen valores positivos para cualquier rea; no pueden ser negativos ni nulos.
Tabla de Momentos de Inercia y Productos de Inercia:
Teorema de Steiner o de los ejes paralelos:
Normalmente se conocen los momentos de inercia de un rea respecto a un sistema coordenado cualquiera, pero a veces se requieren sus valores en trminos de un sistema de coordenadas diferente. Si los sistemas coordenados son paralelos, es posible obtener estos momentos de inercia.
Si se conocen los momentos de inercia de un rea A en trminos de un sistema coordenado xy con su origen en el centroide del rea, y se quieren determinar sus momentos de inercia con respecto a un sistema coordenado paralelo xy. Las coordenadas del centroide de A en el sistema coordenado xy se denota con (dx , dy) y d = ( dx2 + dy2 es la distancia del origen del sistema xy al centroide.
Figura 83Figura 84
Es necesario obtener dos resultados previos antes de deducir los teoremas de los ejes paralelos. Con respecto al sistema coordenado xy, las coordenadas del centroide de A son:
Pero el origen del sistema coordenado xyest localizado en el centroide de A, por lo que x = 0 y y = 0, por lo tanto:
(1)
Momento de inercia respecto al eje x. Con respecto al sistema coordenado xy, el momento de inercia de A respecto al eje x es:
donde y es la coordenada del elemento de rea dA relativa al sistema coordenado xy. En la figura 84 se observa que y = y + dy, donde y es la coordenada de dA relativa al sistema coordenado xy. Sustituyendo esta expresin en la ecuacin anterior se obtiene:
La primera integral a la derecha es el momento de inercia de A respecto al eje x. De acuerdo con la ecuacin (1), la segunda integral a la derecha es igual a cero. Por lo tanto:
Esta es la expresin del teorema de los ejes paralelos. Relaciona el momento de inercia de A respecto al eje centroidal x con el momento de inercia respecto al eje x paralelo.
Momento de Inercia respecto al eje y. En trminos del sistema coordenado xy, el momento de inercia de A respecto al eje y es:
Por la ecuacin (1), la segunda integral a la derecha es cero. As, el teorema que relaciona el momento de inercia de A respecto al eje y centroidal con el momento de inercia respecto al eje y paralelo es:
Producto de Inercia: El teorema de los ejes paralelos para el producto de inercia es:
Momento polar de inercia. El teorema de los ejes paralelos para el momento polar de inercia es:
Donde d es la distancia del origen del sistema coordenado xy al origen del sistema coordenado xy.
Teorema de Papus Guldinus:
Primer Teorema:
Sea una lnea L en el plano xy. Sean x, y las coordenadas del centroide de la lnea. Es posible generar una superficie haciendo girar la lnea alrededor del eje x. Como la lnea gira alrededor del eje x, su centroide se mueve en una trayectoria circular de radio y.
Figura 85Figura 86Figura 87
El primer teorema establece que el rea de la superficie de revolucin es igual al producto de la distancia que el centroide de la lnea recorre y la longitud de la lnea
Para demostrar este resultado, se observa que conforme la lnea gira alrededor del eje x, el rea dA generada por un elemento dL de la lnea es dA = 2(y dL, donde y es la ordenada del elemento dL. Por consiguiente, el rea total de la superficie de revolucin es:
Segundo Teorema:
Sea un rea A en el plano xy. Sean x, y las coordenadas del centroide del rea. Se puede generar un volumen haciendo girar el rea alrededor del eje x. Conforme el rea gira alrededor del eje x, su centroide recorre la trayectoria circular de longitud 2(y.
Figura 88 Figura 89 Figura 90
El segundo teorema establece que la magnitud V del volumen de revolucin generado es igual al producto de la distancia que recorre el centroide del rea y la magnitud del rea.
Al girar el rea alrededor del eje x, el volumen dV generado por un elemento dA del rea es dV = 2(y dA, donde y es la ordenada del elemento dA. Por consiguiente, el volumen total es:
INDICE
Captulo I. ESTATICA DEL CUERPO RIGIDO
1.1
Mecnica de la Partcula
Pg.
1
1.2
Mecnica de los sistemas de partculas
Pg.
1
1.3
Fuerza
Pg.
2
1.3.1 Sistema de fuerzas
Pg.
3
1.3.2 Fuerzas externas e internas
Pg.
3
1.3.3 Fuerzas de cuerpo y de superficie
Pg.
3
1.3.4 Fuerza gravitatoria
Pg.
3
1.3.5 Fuerza de contacto
Pg.
4
1.4
Principios de la esttica
Pg.
4
1.4.1 Principio de transmisibilidad
Pg.
4
1.4.2 Primera Ley de Newton
Pg.
4
1.4.3 Segunda Ley de Newton
Pg.
4
1.4.4 Tercera Ley de Newton
Pg.
5
1.4.5 Ley de Gravitacin universal
Pg.
5
1.5
Apoyo y sus reacciones
Pg.
5
1.5.1 Apoyo de pasador
Pg.
5
1.5.3 Apoyo de rodillo
Pg.
6
1.5.3 Apoyo empotrado
Pg.
6
1.6
Diagrama de cuerpo libre
Pg.
8
1.7
Fuerzas concurrentes
Pg.
12
1.8
Descomposicin de una fuerza
Pg.
12
1.9
Componentes rectangulares de una fuerza
Pg.
13
1.9.1 Vector unitario
Pg.
13
1.9.2 Vector posicin
Pg.
13
1.10
Componentes en tres dimensiones
Pg.
15
1.10.1 Cosenos directores
Pg.
16
1.10.2 Vector posicin en funcin de sus componentes
Pg.
17
1.11
Equilibrio de un sistema de fuerzas concurrentes
Pg.
18
1.11.1 Equilibrio de la partcula
Pg.
18
1.12
Momento de una fuerza respecto a un centro
Pg.
23
1.13
Vector momento (Concepto)
Pg.
25
1.14
Producto cruz o producto vectorial
Pg.
25
1.15
Regla de la mano derecha
Pg.
25
1.16
Producto cruz en funcin de sus componentes
Pg.
26
1.17
Vector momento
Pg.
27
1.17.1 Magnitud del momento
Pg.
27
1.17.2 Sentido del momento
Pg.
28
1.18
Teorema de Varignon
Pg.
30
1.19
Fuerzas paralelas
Pg.
30
1.20
Par de fuerzas
Pg.
33
1.20.1 Pares equivalentes
Pg.
35
1.21
Equilibrio del cuerpo rgido
Pg.
36
1.22
Fuerzas distribuidas
Pg.
40
1.23
Estructuras
Pg.
43
1.23.1 Armaduras
Pg.
43
1.23.2 Clculo de armaduras
Pg.
45
1.23.2.1 Mtodo de las juntas
Pg.
45
1.23.2.2 Mtodo de las secciones
Pg.
49
1.24
Rozamiento
Pg.
51
1.24.1 Leyes de rozamiento
Pg.
51
1.24.2 Angulo de rozamiento
Pg.
52
1.24.3 Rozamiento de una rosca
Pg.
55
1.25
Centroides
Pg.
57
1.25.1 Tabla de coordenadas de centroides
Pg.
57
1.26
Momento de inercia
Pg.
60
1.26.1 Tabla de momentos de inercia y productos de inercia
Pg.
62
1.27
Teorema de Steiner o de los ejes paralelos
Pg.
63
1.28
Teorema de Papus - Guldinus
Pg.
66
1.28.1 Primer teorema
Pg.
66
1.28.2 Segundo Teorema
Pg.
67
BIBLIOGRAFA
Fsica Fundamental
Valero, Michel
Editorial Norma, Bogot Colombia. 1986
Esttica. Mecnica para ingeniera
Bedford, Anthony Fowler, Wallace
Editorial Progreso, Mxico DF. 200
Dinmica. Mecnica para ingeniera
Bedford, Anthony Fowler, Wallace
Editorial Progreso, Mxico DF. 200
Fundamentos de Fsica
Tomo 1, Sexta edicin
Frederick J. Buecche David A. Jerde
McGraw Hill Interamericana Editores S.A.
Mxico. 1995
| e | = (exi2 + eyj2
(xB - xA)i
xA
e = exi + eyj
B
A
rAB
y
Fy
Fx
x
(yB - yA)j
|Uy +Uz|
z
y
x
|Ux|
y
x
|Uz|
|Uy|
|Uy +Uz|
F
y
x
|U|
z
y
x
( Mo = 0
(Fx = 0;(Fy = 0;(Fz = 0
(Fx = 0;(Fy = 0
( F = 0
x
y
z
0,5 m
0,25 m
M = 50k (Nm)
M = 50k (Nm)
100 N
100 N
200 N
200 N
M = r x F
M = (rB rA) x F
M = rA x (-F) + rB x F
B
A
O
rA
rB
Uz
r
-F
F
d
-F
F
O
z
y
x
P
F
O
z
y
x
(2, 0, 4) pie
(6, 0, 2) pie
(-3, 0, -2) pie
-10j lb
30j lb
20j lb
a
F3
F2
F1
b
F
rOP
P
O
FN
F3
F2
F1
rOP x F1 + rOP x F2 + . . . rOP x FN= rOP x (F1 + F2 + . . . FN)
r
z
y
x
P
F
(12,6,-5)pie
(3,4,1) pie
z
y
x
P
F = 4i + 4j + 7k (lb)
(12,6,-5)pie
(3,4,1) pie
Mo
F
r
|MO| = D * |F|
|MO| = |r|*|F|*Sen(
b)
r
F
O
c)
D
r
F
O
a)
F
O
MO = r x F
k
j
i
U x (V x W) = U x V + U x W
a(U x V) = (aU) x V = U x (aV)
U x V = -V x U
(
V
U
V
U
U x V = |U| |V| Sen(e
Fx
Fy
40 kN
6 m
A
30
40 kN
30
r
6 m
A
30
6 m
A
30
r1
W
O
r2
W
O
MO = r * F
r
F
O
F
O
60
45
P
TAB
TAC
y
x
(Fx = 0;(Fy = 0;(Fz = 0
(Fx = 0;(Fy = 0
( F = 0
F = |F| * eF
eAB = rAB
|rAB|
|rAB| = ((xB - xA)2 + (yB - yA)2 + (zB - zA)2
rAB = (xB - xA)i + (yB - yA)j + (zB - zA)k
(XB XA)i
(ZB ZA)k
z
y
x
B
(YB YA)j
A
A = (XA,YA,ZA)
z
y
x
B = (XB,YB,ZB)
rAB
Cos(x = Ux;Cos(y = Uy ;Cos(y = Uy
|U| |U| |U|
Cos(x = ex; Cos(y = ey; Cos(z = ez
Ux = |U| ex ; Uy = |U| ey ; Uz = |U| ez
U = |U| * e
Cos(x2 + Cos(y2 + Cos(z2 = 1
U = |U| Cos(xi+ |U| Cos(yj + |U| Cos(zk
Ux = |U| Cos(x ; Uy = |U| Cos(y ; Uz = |U| Cos(z
(z
(y
(x
z
y
x
|U| = (Ux2 + Uy2 + Uy2
z
F
F
F
R
Q
P
T
T
Q
P
FAC = 60 kN
30
FAB = 100 kN
Uy
Ux
U
j
k
i
y
x
F = |F| * eF
eAB = rAB
|rAB|
|rAB| = ((xB - xA)2 + (yB - yA)2
rAB = (xB - xA)i + (yB - yA)j
B
A
rAB
y
x
(xB , yB)
(xA , yA)
yB
yA
xB
FB
50
70
FA = 100 lb
y
x
40
20
Reaccin
Accin
Movimiento y aceleracin en direccin de FR
FR
F2
F1
F
F
Cuerpo rgido
Lnea de accin
P = m * g
Figura 4
FC
FB
FA
Figura 3
Fuerza
Lnea de accin
Figura 1
F
x
Figura 2
F
a
T
T
RA
RB
P
A
C
D
B
A
RA
D
P
C
B
RB
500N
TAC
TAB
TBD
TAB = 577N
TBC
400N
346N
TBC
TDE
800N
700N
TCE
TDE = 808N
P
A
B
N
P
A
B
N
F
f
Equilibrio
Movimiento
fm
fk
f
F
fm = (s * N
fk = (k * N
A
B
N
f
R
(
f = R * Sen(
N = R * Cos(
tan(s = (s
tan(k = (k
tan( = p
2(r
Cos((s + () (L dR = F
rSen((s + () (L dR = M
M = r F tan((s + ()
y
x
x
y
C.G.
x = A * x/2
AT
y = A * y/2
AT
C.G. = (x , y)
10 cm
4 cm
6 cm
4 cm
6 cm
y
x
1
2
3
Ix = (A y2 dA
Iy = (A x2 dA
Ixy = (A xy dA
Jo = (A r2 dA
y = (A y dA
(A dA
x = (A x dA
(A dA
(A y dA = 0
(A x dA = 0
Ix = (A y2 dA
Ix = (A (y + dy)2 dA = (A (y)2 dA + 2dy (A ydA + dy2 (A dA
Ix = Ix d2yA
Iy = (A (x + dx)2 dA = (A (x)2 dA + 2dx (A xdA + dx2 (A dA
Iy= Iy d2xA
Ixy = Ixy dxdyA
Jo = Jo + (d2x + d2y)A = Jo + d2 A
A = 2(yL
A = 2( (L y dL
V = 2(yA
V = 2( (A y dA