2019/Sem_02
NOTAS DE AULA
Geometria Analítica e
Álgebra Linear
Reta e Plano
Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Geometria Analítica e Álgebra Linear
ii
Índice 4 Estudo da Reta e do Plano ........................................................................................ 1
4.1 A Reta no Espaço .............................................................................................. 1 4.2 O Plano ........................................................................................................... 13
4.3 Distâncias ........................................................................................................ 22 4.4 Exercícios Propostos ....................................................................................... 27 4.5 Referências Bibliográficas .............................................................................. 29
Prof. Nunes 1
Geometria Analítica e Álgebra Linear
4 Estudo da Reta e do Plano
4.1 A Reta no Espaço
Trabalharemos sempre com uma base ortonormal dextrógira 𝐸 = (𝑖, 𝑗, �⃗⃗�) .
Dado um ponto P do espaço, podemos escrever 𝑃 − 𝑂 = 𝑥 ⋅ 𝑖 + 𝑦 ⋅ 𝑗 + 𝑧 ⋅ �⃗⃗�. Os números x, y,
z são chamados coordenadas de P no sistema onde O é a origem e E é a base.
Costuma-se indicar ( )zyxP ,, , ou, num abuso de notação indicamos ( )zyxP ,,= .
4.1.1 Equação vetorial da reta
Consideremos a reta r que passa pelo ponto A e é paralela ao vetor �⃗� ≠ 0⃗⃗.
Se um ponto rX , então 𝑋 − 𝐴 // �⃗�, isto é, 𝑋 − 𝐴 = 𝜆 ⋅ �⃗�.
Desta forma temos:
𝑋 − 𝐴 = 𝜆 ⋅ �⃗� ⇒ 𝑋 = 𝐴 + 𝜆 ⋅ �⃗�.
Esta última equação recebe o nome de equação vetorial da reta.
O vetor �⃗� ≠ 0⃗⃗ é chamado de vetor diretor da reta r.
4.1.2 Equações paramétricas da reta
Se no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço tivermos:
( )zyxX ,,= , ( )000 ,, zyxA = e �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐), então temos:
Prof. Nunes 2
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𝑋 = 𝐴 + 𝜆 ⋅ �⃗� ⇒ ( ) ( ) ( )+= cbazyxzyx ,,,,,, 000
( ) ( )czbyaxzyx +++= 000 ,,,,
+=
+=
+=
czz
byy
axx
0
0
0
Estas últimas equações recebem o nome de equações paramétricas da reta.
Exemplos:
1) Sendo ( )1,3,1 −=A e �⃗� = (1,1,5), escreva as equações paramétricas da reta que passa por A
e tem como �⃗�vetor diretor.
Resolução:
+=
+=
+=
czz
byy
axx
0
0
0
+−=
+=
+=
51
13
11
z
y
x
+−=
+=
+=
51
3
1
z
y
x
Esta resposta não é única. Podemos utilizar qualquer múltiplo de �⃗� como vetor diretor. Desta
forma se usarmos como vetor diretor 2 ⋅ �⃗�, temos também:
+−=
+=
+=
101
23
21
z
y
x
Resposta:
+−=
+=
+=
51
3
1
z
y
x
2) Escreva as equações paramétricas dos eixos coordenados.
Resolução:
Escolhendo ( )0,0,0=O e 𝑖 = (1,0,0) para o eixo das abscissas, temos:
+=
+=
+=
czz
byy
axx
0
0
0
+=
+=
+=
00
00
10
z
y
x
=
=
=
0
0
z
y
x
Analogamente, para o eixo das ordenadas e das cotas temos, respectivamente:
=
=
=
0
0
z
y
x
e
=
=
=
z
y
x
0
0
.
Resposta:
=
=
=
0
0:
z
y
x
Ox
=
=
=
0
0
:
z
y
x
Oy e
=
=
=
z
y
x
Oz 0
0
: .
3) Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A e B, sendo ( )2,1,4−=A e
( )3,1,1=B .
Resolução:
Para vetor diretor, temos �⃗� = 𝐵 − 𝐴. Logo �⃗� = 𝐵 − 𝐴 = ( )3,1,1 ( ) ( )1,0,52,1,4 =−− .
Assim, utilizando o ponto A, as equações pedidas são:
Prof. Nunes 3
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+=
+=
+=
czz
byy
axx
0
0
0
+=
+=
+−=
12
01
54
z
y
x
+=
=
+−=
2
1
54
z
y
x
Utilizando o ponto B, as equações pedidas são:
+=
+=
+=
czz
byy
axx
0
0
0
+=
+=
+=
13
01
51
z
y
x
+=
=
+=
3
1
51
z
y
x
Resposta:
+=
=
+=
3
1
51
z
y
x
4) Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A e pelo ponto médio do segmento
BC, sendo: ( )3,0,1=A , ( )8,7,1=B e ( )2,7,1−=C .
Resolução:
O ponto médio do segmento BC e calculado como:
( )( )5,0,1
2
28,
2
77,
2
11=
+−++=M .
Considere o vetor diretor ( ) ( ) ( )2,0,03,0,15,0,1 =−=−= AMv
. Assim, as equações pedidas
são:
+=
+=
+=
czz
byy
axx
0
0
0
+=
+=
+=
23
00
01
z
y
x
+=
=
=
23
0
1
z
y
x
Resposta:
+=
=
=
23
0
1
z
y
x
5) Considere as seguintes equações paramétricas da reta r:
−=
+−=
+=
10
21
32
z
y
x
a) Encontre dois pontos de r e um vetor diretor.
Resolução:
Fazendo 0= nas equações paramétricas, obtemos o ponto ( )10,1,2 −=A .
Fazendo 1= nas equações paramétricas, obtemos o ponto ( )9,1,5=B .
Um vetor diretor pode ser �⃗� = (3,2, −1).
Resposta: ( )10,1,2 −=A , ( )9,1,5=B e �⃗� = (3,2, −1)
b) Verifique se os pontos
=
2
19,0,
2
7P e ( )8,1,5=Q pertencem à reta r.
Resolução:
Prof. Nunes 4
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Substituindo o ponto
=
2
19,0,
2
7P nas equações
−=
+−=
+=
10
21
32
z
y
x
obtemos:
−=
+−=
+=
102
19
210
322
7
que são todas satisfeitas para 2
1= , logo rP .
Substituindo o ponto ( )8,1,5=Q nas equações
−=
+−=
+=
10
21
32
z
y
x
obtemos:
−=
+−=
+=
108
211
325
que não são todas satisfeitas simultaneamente para nenhum valor de , logo
rQ .
Resposta: rP e rQ .
6) Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A ( )4,5,1= e é paralela à reta de
equações paramétricas:
=
+=
−=
z
y
x
220
1
.
Resolução:
O vetor diretor será: �⃗� = (−1,2,1). Logo as equações pedidas são:
+=
+=
+=
czz
byy
axx
0
0
0
+=
+=
−=
4
25
1
z
y
x
Resposta:
+=
+=
−=
4
25
1
z
y
x
7) Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A ( )4,5,1= e é paralela à reta que
passa pelos pontos B e C, sendo ( )1,1,1=B e ( )1,1,0 −=C .
Resolução:
Para vetor diretor, temos �⃗� = 𝐶 − 𝐵. Logo �⃗� = 𝐶 − 𝐵 = ( )1,1,0 − ( ) ( )2,0,11,1,1 −−=− .
Assim, utilizando o ponto A, as equações pedidas são:
+=
+=
+=
czz
byy
axx
0
0
0 ( )
( )
−+=
+=
−+=
24
05
11
z
y
x
−=
=
−=
24
5
1
z
y
x
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Resposta:
−=
=
−=
24
5
1
z
y
x
8) A reta r tem equação vetorial ( ) ( )2,1,11,0,1 −+=X . Obter os pontos de r que distam 6
de A ( )1,0,1= .
Resolução:
( ) ( )2,1,11,0,1 −+=X
+=
+=
+=
czz
byy
axx
0
0
0
+=
+=
−=
21
0
1
z
y
x
+=
=
−=
21
1
z
y
x
‖𝑋 − 𝐴‖ = √6
( ) ( ) ( ) 6121011222=−++−+−− 1666 2 ===
Resposta: Logo os pontos são: ( )3,1,0=P e ( )1,1,2 −−=Q .
9) Dada a reta r tem equação vetorial ( ) ( )1,1,10,0,1 −−−+=X e os pontos ( )1,0,0=A e
( )1,1,1=B , obter o ponto de r equidistante de A e de B.
Resolução:
‖𝑋 − 𝐴‖ = ‖𝑋 − 𝐵‖
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222101011100001 −−+−−+−−=−−+−−+−−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222221111 −−+−−+−=−−+−+− 0= .
Resposta: Logo o ponto procurado é: ( )0,0,1=P .
4.1.3 Equações da reta na forma simétrica
Considere agora uma reta dada pelas equações paramétricas:
+=
+=
+=
czz
byy
axx
0
0
0
, sendo a, b, c não nulos. Temos:
a
xx 0−= ,
b
yy 0−= e
c
zz 0−= ou
=−
a
xx 0
b
yy 0−
c
zz 0−= , que são chamadas de equações da reta na forma simétrica.
Exemplo:
1) Dadas as equações =−
7
23x
4
1 y−
1
5+=
z, mostre que elas representam uma reta, dando um
ponto e um vetor diretor da mesma.
Resolução:
Prof. Nunes 6
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=−
7
23x
4
1 y−
1
5+=
z
( ) ( )1
5
4
1
7
3
23
−−=
−−=
−
zyx
( )1
5
4
1
3
73
2
−−=
−
−=
−zy
x
Assim temos um ponto rP que é
−= 5,1,
3
2P e um vetor diretor:
−= 1,4,
3
7v
.
Resposta:
−= 5,1,
3
2P e �⃗� = (
7
3, −4,1).
Retas paralelas aos planos coordenados e aos eixos coordenados
Quando apresentamos as equações simétricas de uma reta: =−
a
xx 0
b
yy 0−
c
zz 0−= ,
consideramos que as componentes do vetor diretor da mesma são todos diferentes de zero.
Assim, temos que a, b, c são não nulos. Agora estudaremos os casos em que uma ou duas destas
componentes são nulas.
a) Um dos componentes do vetor diretor �⃗⃗⃗� é nulo:
Neste caso, o vetor diretor �⃗� é ortogonal a um dos eixos coordenados e, portanto, a reta r é
paralela ao plano dos outros eixos. Assim,
(i) se a = 0, �⃗� = (0, 𝑏, 𝑐) ⊥ 𝑂𝑥 e yOzr // . Neste caso as equações de r ficam:
−=
−
=
c
zz
b
yy
xx
00
0
Neste caso, nas coordenadas ( )zyx ,, de um ponto genérico P da reta r, variam somente y e z,
conservando-se 0xx = constante. Isto significa que r se acha num plano paralelo ao plano
coordenado yOz .
(ii) se b = 0, �⃗� = (𝑎, 0, 𝑐) ⊥ 𝑂𝑦 e xOzr // . Neste caso as equações de r ficam:
−=
−
=
c
zz
a
xx
yy
00
0
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Neste caso, nas coordenadas ( )zyx ,, de um ponto genérico P da reta r, variam somente x e z,
conservando-se 0yy = constante. Isto significa que r se acha num plano paralelo ao plano
coordenado xOz .
(iii) se c = 0, �⃗� = (𝑎, 𝑏, 0) ⊥ 𝑂𝑧 e xOyr // . Neste caso as equações de r ficam:
−=
−
=
b
yy
a
xx
zz
00
0
Neste caso, nas coordenadas ( )zyx ,, de um ponto genérico P da reta r, variam somente x e y,
conservando-se 0zz = constante. Isto significa que r se acha num plano paralelo ao plano
coordenado xOy .
b) Dois dos componentes do vetor diretor �⃗⃗⃗� são nulos:
Neste caso, o vetor diretor �⃗� tem a direção de um dos vetores 𝑖 = (1,0,0) ou 𝑗 = (0,1,0) ou 𝑖 =
(1,0,0), e portanto, a reta r é paralela ao eixo que tem a direção de 𝑖, 𝑗 ou �⃗⃗�. Assim:
(i) se a = b= 0, �⃗� = (0,0, 𝑐)//�⃗⃗� e Ozr // . Neste caso as equações de r ficam:
=
=
0
0
yy
xx
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(ii) se a = c= 0, �⃗� = (0, 𝑏, 0)//𝑗 e Oyr // . Neste caso as equações de r ficam:
=
=
0
0
zz
xx
(iii) se b = c= 0, �⃗� = (𝑎, 0,0)//𝑖 e Oxr // . Neste caso as equações de r ficam:
=
=
0
0
zz
yy
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4.1.4 Condição de alinhamento de três pontos no espaço
A condição para que três pontos ( )1111 ,, zyxA , ( )2222 ,, zyxA e ( )3333 ,, zyxA estejam em linha
reta é que os vetores 1221 AAAA −= e 1331 AAAA −= sejam paralelos, isto é: 1221 AAAA −=
31AAm = , para algum m , ou: 13
12
13
12
13
12
zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−=
−
−=
−
−.
Exemplo:
1) Os pontos ( )6,2,51 −A , ( )3,4,12 −−−A e ( )7,4,73 −A estão em linha reta. De fato, substituindo
as coordenadas dos pontos nas equações anteriores, obtemos:
67
63
24
24
57
51
+−
+−=
−
−−=
−
−−.
4.1.5 Condição de paralelismo de duas retas
A condição de paralelismo das retas r e s é a mesma dos vetores �⃗⃗� = (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1) e �⃗� =
(𝑎2, 𝑏2, 𝑐2), que definem estas retas, isto é: �⃗⃗� = 𝑚 ⋅ �⃗� ou 2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a== .
4.1.6 Retas ortogonais e perpendiculares
Dadas as retas r e s, sendo �⃗⃗� e �⃗� seus vetores diretores, respectivamente. Então elas fazem
ângulo reto, se e somente se, �⃗⃗� ⊥ �⃗�. Indicamos por sr ⊥ .
Retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Caso sejam concorrentes são ditas
perpendiculares.
𝑟 ⊥ 𝑠 ⇔ �⃗⃗� ⋅ �⃗� = 0
Exemplos:
1) Dadas as retas r e s, verifique se elas são ortogonais.
r :
+=
=
−=
31
2
z
y
x
e s :
+=
=
=
3
110
2
z
y
x
Resolução:
Vetor diretor de r ⇒ �⃗⃗� = (−1,1,3)
Vetor diretor de s ⇒ �⃗� = (2,1,1
3)
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�⃗⃗� ⋅ �⃗� = (−1) ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + 3 ⋅1
3= 0
Resposta: Logo r e s são ortogonais.
2) Dadas as retas r e s, verifique se elas são ortogonais.
r :
=
=
−=
6
0
22
z
y
x
e s : zyx
==−
2
1
Resolução:
Vetor diretor de r ⇒ �⃗⃗� = (−2,0,6)
Vetor diretor de s ⇒ �⃗� = (2,1,1)
�⃗⃗� ⋅ �⃗� = (−2) ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 = 2 ≠ 0
Resposta: Logo r e s não são ortogonais.
3) Determine m de modo que sejam ortogonais as retas r e s:
r : zyx
−=−=−
232
12 e s :
−=
=
=
1
3
z
y
mx
Resolução:
r : 1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
3
2
2
12
232
12
−
−=
−
−=
−
−
−=
−
−=
−
−=−=− zy
xzy
x
zyx
Vetor diretor de r ⇒ �⃗⃗� = (1, −1, −1)
Vetor diretor de s ⇒ �⃗� = (𝑚, 0, −1)
�⃗⃗� ⋅ �⃗� = 0 ⇒ �⃗⃗� ⋅ �⃗� = 1 ⋅ 𝑚 + (−1) ⋅ 0 + (−1) ⋅ (−1) = 0 ⇒ 𝑚 = −1.
Resposta: Logo r e s são ortogonais se 1−=m .
4.1.7 Ângulo entre retas
Sejam r e s não ortogonais, sendo �⃗⃗� e �⃗� os vetores diretores de r e s, respectivamente. Então
cos 𝜃 =|�⃗⃗⃗�⋅�⃗⃗�|
‖�⃗⃗⃗�‖⋅‖�⃗⃗�‖, onde é o ângulo agudo entre r e s
20
.
( )−−= coscos
Exemplos:
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1) Calcule a medida do ângulo agudo entre as retas r e s, sendo:
r : 6
12
5
12
4
1 +=
+=
− zyx e s :
=
−=
−=
z
y
x
3
42
Resolução:
r : 6
2
12
5
2
12
4
1
6
12
5
12
4
1
−−
=
−−
=−
+
=+
=−
zyxzyx
3
2
1
2
5
2
1
4
1
−−
=
−−
=−
zyx
Vetor diretor de r ⇒ �⃗⃗� = (4,5
2, 3) ⇒ ‖�⃗⃗�‖ = √42 + (
5
2)
2
+ 32 =√125
2=
5√5
2
Vetor diretor de s ⇒ �⃗� = (−4, −1,1) ⇒ ‖�⃗�‖ = √(−4)2 + (−1)2 + 12 = √18 = 3√2
�⃗⃗� ⋅ �⃗� = 4 ⋅ (−4) +5
2⋅ (−1) + 3 ⋅ 1 = −
31
2
Logo: cos 𝜃 =|�⃗⃗⃗�⋅�⃗⃗�|
‖�⃗⃗⃗�‖⋅‖�⃗⃗�‖ 1015
31
232
55
2
31
cos =
−
=
Resposta: 1015
31cos = o2,49
2) Ache um ponto P da reta r de equações paramétricas:
=
=
−=
1
1
z
y
x
, tal que o cosseno do ângulo
entre as retas r e AP seja 3
2, sendo ( )0,0,1=A .
Resolução:
3
2cos =
�⃗⃗� = (−1,1,0)
Vetor diretor de AP�⃗� = 𝐴 − 𝑃 = (1 − (1 − 𝜆), 0 − (𝜆), 0 − (1))= ( )1,, −− .
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cos 𝜃 =|�⃗⃗⃗�⋅�⃗⃗�|
‖�⃗⃗⃗�‖⋅‖�⃗⃗�‖
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2222221011
1011
3
2
−+−+++−
−+−+−=
122
2
3
2
2 +
−=
1= .
Assim, se = 1 x = 0, y = 1 e z = 1.
se −= 1 x = 2, y = 1− e z = 1.
Resposta: ( )1,1,0 ou ( )1,1,2 − .
4.1.8 Intersecção de retas
Exemplos:
1) Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirmativo, ache o ponto de intersecção:
−=
+=
−=
z
y
x
r 42
21
: e
−=
=
+=
1
1
:
z
y
x
s
Resolução:
Fazendo
−=−
=+
+=−
1
42
121
Resolvendo, encontramos 3
1−= e
3
2= .
Resposta: Assim, o ponto de intersecção é P
3
1,
3
2,
3
5.
2) Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirmativo, ache o ponto de intersecção:
+=
−=
=
4
1
2
:
z
y
x
r e 64
2
1
1:
zyxs =
−=
−
Resolução:
Substituindo os valores de x, y e z de r em s, obtemos:
6
4
4
2112
+=
−−=−
−=−=+
=−=−
2
17
4
3
6
4
8
1
4
312
Resposta: Logo não existe ponto de intersecção entre r e s.
3) Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirmativo, ache o ponto de intersecção:
1
1
3
1
2
1:
−=
−=
− zyxr e zyxs ==:
Resolução:
Substituindo os valores de y e z de r por x, obtemos:
1
1
3
1
2
1 −=
−=
− xxxque é satisfeito apenas para x = 1.
Resposta: Logo temos x = y = z = 1 Assim, o ponto de intersecção é P ( )1,1,1 .
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4.2 O Plano
4.2.1 Equação vetorial do plano
Consideremos um plano que passa pelo ponto A e é paralelo aos vetores �⃗⃗� e �⃗�, não paralelos.
Se um ponto X , então 𝑋 − 𝐴 = 𝜆 ⋅ �⃗⃗� + 𝜇 ⋅ �⃗�.
Desta forma temos:
𝑋 − 𝐴 = 𝜆 ⋅ �⃗⃗� + 𝜇 ⋅ �⃗�𝑋 = 𝐴 + 𝜆 ⋅ �⃗⃗� + 𝜇 ⋅ �⃗�.
Esta última equação recebe o nome de equação vetorial do plano.
Os vetores �⃗⃗� e �⃗� são chamados de vetores diretores do plano .
4.2.2 Equações paramétricas do plano
Se no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço tivermos:
( )zyxX ,,= , ( )000 ,, zyxA = , �⃗⃗� = (𝑚, 𝑛, 𝑜)e �⃗� = (𝑝, 𝑞, 𝑟), então temos:
𝑋 = 𝐴 + 𝜆 ⋅ �⃗⃗� + 𝜇 ⋅ �⃗� ( ) ( ) ( ) ( )++= rqponmzyxzyx ,,,,,,,, 000
( ) ( )rozqnypmxzyx ++++++= 000 ,,,,
++=
++=
++=
rozz
qnyy
pmxx
0
0
0
Estas últimas equações recebem o nome de equações paramétricas do plano.
Exemplos:
1) Sendo ( )1,1,2 −=A , �⃗⃗� = (3,4,5) e �⃗� = (−1,0,4), escreva as equações paramétricas do plano
que passa por A e tem �⃗⃗� e 𝑣 ⃗⃗⃗ ⃗como vetores diretores.
Resolução:
++=
++=
++=
rozz
qnyy
pmxx
0
0
0 ( )
++−=
++=
−++=
451
041
132
z
y
x
++−=
+=
−+=
451
41
32
z
y
x
Resposta:
++−=
+=
−+=
451
41
32
z
y
x
Esta resposta não é única. Podemos utilizar qualquer múltiplo de �⃗⃗� e �⃗� como vetores diretores.
2) Escreva as equações paramétricas dos planos coordenados.
Resolução:
Escolhendo ( )0,0,0=O e 𝑖 = (1,0,0) e 𝑗 = (0,1,0) para vetores diretores do plano xOy, temos:
++=
++=
++=
rozz
qnyy
pmxx
0
0
0
++=
++=
++=
000
100
010
z
y
x
=
=
=
0z
y
x
Analogamente, para os planos coordenados xOz e yOz temos, respectivamente:
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=
=
=
z
y
x
0 e
=
=
=
z
y
x 0
.
Resposta:
=
=
=
0
:
z
y
x
xOy
=
=
=
z
y
x
yOz 0:
=
=
=
z
y
x
yOz
0
:
3) Escreva as equações paramétricas do plano que passa por ( )4,2,1=A e é paralelo ao plano
de equação vetorial ( ) ( ) ( )3,1,42,1,12,0,1 ++−=X .
Resolução:
O plano procurado tem os mesmos vetores diretores do plano dado, logo as equações pedidas
são:
++=
++=
++=
rozz
qnyy
pmxx
0
0
0
++=
++=
++=
324
112
411
z
y
x
++=
++=
++=
324
2
41
z
y
x
Resposta:
++=
++=
++=
324
2
41
z
y
x
4) Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelos pontos ( )2,1,1=A , ( )1,1,1 −−=B
e ( )4,2,2=C .
Resolução:
Tomando AB− e AC − para vetores diretores, temos:
�⃗⃗� = 𝐵 − 𝐴 = (−1,1, −1) − (1,1,2) = (−2,0, −3)
�⃗� = 𝐶 − 𝐴 = (2,2,4) − (1,1,2) = (1,1,2). Assim as equações paramétricas ficam:
++=
++=
++=
rozz
qnyy
pmxx
0
0
0 ( )
( )
+−+=
++=
+−+=
232
101
121
z
y
x
+−=
+=
+−=
232
1
21
z
y
x
Resposta:
+−=
+=
+−=
232
1
21
z
y
x
5) Obtenha as equações paramétricas do plano determinado pela reta
r: ( ) ( )1,1,20,1,1 +=X e pelo ponto ( )3,2,1=P .
Resolução:
Um vetor diretor pode ser �⃗⃗� = (2,1,1) e o outro obtido por �⃗� = 𝑃 − 𝐴, onde ( )0,1,1=A . Assim,
�⃗� = 𝑃 − 𝐴 = (1,2,3) − (1,1,0) = (0,1,3). Assim, as equações paramétricas pedidas são:
++=
++=
++=
rozz
qnyy
pmxx
0
0
0
++=
++=
++=
313
112
021
z
y
x
++=
++=
+=
33
2
21
z
y
x
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Resposta:
++=
++=
+=
33
2
21
z
y
x
4.2.3 Equação geral do plano
Sendo um plano, qualquer vetor não nulo ortogonal ao plano será chamado de vetor normal
a . Seja �⃗⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐) normal a e ( ) = 000 ,, zyxA , então X se e só se AX − é
ortogonal a �⃗⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐). Logo temos:
(𝑋 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗� = 0 ou ( ) ( ) 0,,,, 000 =−−− cbazzyyxx , ou seja:
( ) ( ) ( ) 0000 =−+−+− czzbyyaxx 0000 =−−−++ zcybxazcybxa
Fazendo 000 zcybxad −−−= , obtemos:
0=+++ dzcybxa que é chamada de equação geral do plano.
Observação: os parâmetros a, b, c não podem ser todos nulos simultaneamente, pois �⃗⃗� ≠ 0⃗⃗.
Exemplos:
1) Obtenha a equação geral do plano 1 que passa por ( )1,0,3−=A e tem �⃗⃗� = (−2,1,3) como
vetor normal.
Resolução:
1 : 0=+++ dzcybxa 0312 =+++− dzyx . Como ( ) 11,0,3 −=A , temos
( ) 0130132 =+++−− d 9−=d . Logo a equação geral de 1 é:
( ) 09312 =−+++− zyx 0932 =−++− zyx .
Resposta: 0932 =−++− zyx
2) Obtenha a equação geral do plano 2 que passa por ( )1,0,3−=A e tem �⃗⃗� = (2,1,3) e �⃗� =
(−1,0,1)como vetores diretores.
Resolução:
Primeiro necessitamos obter um vetor normal ao plano 2 .
O vetor �⃗⃗� ∧ �⃗� ≠ 0⃗⃗ é normal ao plano 2 , logo:
�⃗⃗� ∧ �⃗� = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗⃗�2 1 3
−1 0 1
] = 𝑖 − 5 ⋅ 𝑗 + �⃗⃗�. Assim,
2 : 0=+++ dzcybxa ( ) 0151 =++−+ dzyx . Como ( ) 21,0,3 −=A , temos
( ) 0110531 =++−− d 2=d . Logo a equação geral de 2 é: ( ) 02151 =++−+ zyx
025 =++− zyx .
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Resposta: 025 =++− zyx
3) São dadas as equações paramétricas de um plano:
Resolução:
+=
−+=
+−=
3
22
21
z
y
x
. Encontre uma equação geral.
++=
++=
++=
rozz
qnyy
pmxx
0
0
0
++=
−+=
+−=
013
212
121
z
y
x
. Isto os vetores �⃗⃗� = (−2,1,1) e �⃗� = (1, −2,0)
são vetores diretores do plano.
O vetor �⃗⃗� ∧ �⃗� ≠ 0⃗⃗ é normal ao plano, logo:
�⃗⃗� ∧ �⃗� = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗⃗�
−2 1 11 −2 0
] = 2 ⋅ 𝑖 + 1 ⋅ 𝑗 + 3 ⋅ �⃗⃗�.
Assim, 0=+++ dzcybxa 0312 =+++ dzyx .
Como ( ) = 3,2,1A , temos 0332112 =+++ d 13−=d . Logo a equação geral de
é: ( ) 013312 =−+++ zyx 01332 =−++ zyx .
Resposta: 01332 =−++ zyx
4) Um plano tem equação geral 02532 =−+− zyx . Obter as equações paramétricas
deste plano.
Resolução:
Fazendo =y e =z 02532 =−+− x
=
=
−+=
z
y
x2
5
2
31
Resposta:
=
=
−+=
z
y
x2
5
2
31
4.2.4 Planos perpendiculares
Sejam os planos 1 e 2 , sendo �⃗⃗�1 e �⃗⃗�2 os vetores normais a 1 e 2 , respectivamente. Então,
1 e 2 são perpendiculares, se e somente se, �⃗⃗�1 e �⃗⃗�2 são perpendiculares. Logo �⃗⃗�1 ⋅ �⃗⃗�2 = 0.
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Exemplo:
1) Verifique se os planos 1 e 2 são perpendiculares, nos seguintes casos:
a) 01104:1 =+−+ zyx e 023:2 =+− zyx Resposta: Sim.
b) 0:1 =− yx e
+−=
+=
=
1
:2
z
y
x
Resposta: Não.
4.2.5 Ângulo entre planos
O ângulo entre os planos 1 e 2 é o ângulo entre duas retas 1r e 2r , perpendiculares a 1 e
2 , respectivamente. Logo cos 𝜃 =|�⃗⃗�1⋅�⃗⃗�2|
‖�⃗⃗�1‖⋅‖�⃗⃗�2‖, sendo �⃗⃗�1 e �⃗⃗�2 os vetores diretores de 1r e 2r ,
respectivamente.
Exemplos:
1) Encontre o ângulo entre os planos 1 e 2 , sendo:
015114:1 =−+− zyx e 0:2 =+ zx
Resolução:
�⃗⃗�1 = (4, −11,5)
�⃗⃗�2 = (1,0,1)
�⃗⃗�1 ⋅ �⃗⃗�2 = (4, −11,5) ⋅ (1,0,1) = 4 ⋅ 1 + (−11) ⋅ 0 + 5 ⋅ 1 = 9
‖�⃗⃗�1‖ = √42 + (−11)2 + 52 = √162
‖�⃗⃗�2‖ = √12 + 02 + 12 = √2
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Logocos 𝜃 =|�⃗⃗�1⋅�⃗⃗�2|
‖�⃗⃗�1‖⋅‖�⃗⃗�2‖ 32
1
2162
9cos
==
=
Resposta: 3
=
2) Encontre o ângulo entre os planos 1 e 2 , sendo:
1:1 =++ zyx e 0:2 = z Resposta: 3
3cosarc=
4.2.6 Intersecção de planos
Sejam os planos 1 e 2 , sendo �⃗⃗�1 e �⃗⃗�2 os vetores normais a 1 e 2 , respectivamente. Se �⃗⃗�1
e �⃗⃗�2 não forem paralelos (o que equivale a dizer que �⃗⃗�1 ∧ �⃗⃗�2 ≠ 0⃗⃗), então 1 e 2 se intersectam
e a intersecção é uma reta r.
Temos ainda que �⃗⃗�1 ∧ �⃗⃗�2 é um vetor diretor da reta r. Um ponto de r pode ser obtido pelas
equações dos planos.
Exemplos:
1) Encontre as equações paramétricas da reta r, intersecção dos planos:
02:1 =−+ zyx e 012:2 =−+− zyx
Resolução:
�⃗⃗�1 = (2,1, −1)
�⃗⃗�2 = (1, −2,1)
�⃗⃗�1 ∧ �⃗⃗�2 = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗⃗�2 1 −11 −2 1
] = −1 ⋅ 𝑖 − 3 ⋅ 𝑗 − 5 ⋅ �⃗⃗�
Para obter um ponto de r, podemos fazer, por exemplo x = 0 nas equações dos planos. Neste
caso obtemos o sistema:
=−+−
=−
012
0
zy
zy cuja solução é y = z = 1− .
Assim, um ponto da reta procurada é ( )1,1,0 −−=P . Desta forma, as equações procuradas são:
+=
+=
+=
czz
byy
axx
0
0
0 ( )( )( )
−+−=
−+−=
−+=
51
31
10
z
y
x
−−=
−−=
−=
51
31
z
y
x
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Resposta:
−−=
−−=
−=
51
31
z
y
x
2) Encontre as equações paramétricas da reta r, intersecção dos planos:
0:1 =−+ zyx e 1:2 =++ zyx Resposta:
=
−=
=
2
1
22
1
2
z
y
x
4.2.7 Intersecção entre reta e plano
Exemplos:
1) Ache a intersecção da reta r com o plano , sendo:
r :
=
+=
−=
z
y
x
3
22
e 0642: =−+− zyx
Resolução:
Substituindo x, y e z da reta no plano, obtemos:
( ) ( ) ( ) 0634222 =−++−− 2−= .
Logo, temos que:
=
+=
−=
z
y
x
3
22 ( )( )
( )
−=
−+=
−−=
2
23
222
z
y
x
−=
=
=
2
1
6
z
y
x
Resposta: Então, o ponto procurado é ( )2,1,6 −=P .
2) Ache a intersecção da reta r com o plano , sendo:
r : é a intersecção dos planos 0:1 =+− zyx e 12:2 =−+ zyx e é dado pela equação
geral: 02 =+ yx .
Resolução:
O ponto procurado é a intersecção dos três planos, isto é, a solução do sistema:
=+
=−+
=+−
02
12
0
yx
zyx
zyx
Solução:
−−=
7
3,
7
1,
7
2P
Resposta:
−−=
7
3,
7
1,
7
2P
4.2.8 Equação segmentária do plano
A partir da equação geral do plano, podemos obter a equação segmentária do mesmo:
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→=−
+−
+−
→−=++→=+++ 10 zd
cy
d
bx
d
adzcybxadzcybxa
1=
−
+
−
+
−
z
c
d
cy
b
d
b
a
d
x.
Fazendo =−=−=−c
d
b
d
a
de, , obtemos 1=++
zyx, que é a equação
segmentária do plano.
4.2.9 Alguns planos especiais
Considere a equação geral do plano: 0=+++ dzcybxa .
Faça um esboço de cada um dos planos que seguem:
a) 02 =+− yx )0e0( = dc
b) 022 =−+ yx )0e0( = dc
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c) 0=− yx )0e0( == dc
d) 033 =−+ zy )0e0( = da
e) 052 =− zy )0e0( == da
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f) 0623 =−+ zx )0e0( = db
4.3 Distâncias
4.3.1 Distância entre pontos
Se ( )111 ,, zyxA = e ( )222 ,, zyxB= , então, a distância entre A e B é BA− . Como
( )212121 ,, zzyyxxBA −−−=− , então,
2
21
2
21
2
21 )()()(),( zzyyxxBABAd −+−+−=−=
Exemplo:
1) Se ( )1,0,1 −=A e ( )0,1,1−=B , então, a distância entre A e B.
Resolução:
=−+−+−= 2
21
2
21
2
21 )()()(),( zzyyxxBAd 6)0)1(()10())1(1( 222 =−−+−+−−
Resposta: 6
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4.3.2 Distância entre ponto e reta
A área do triângulo ABP pode ser calculada como:
𝑆𝛥𝐴𝐵𝑃 =1
2(𝑏𝑎𝑠𝑒) ⋅ ℎ =
1
2‖�⃗�‖ ⋅ ℎ (I)
Este mesmo valor pode ser obtido por:
𝑆𝛥𝐴𝐵𝑃 =1
2‖(𝑃 − 𝐴) ∧ �⃗�‖ (II)
Igualando (I) e (II), obtemos:
1
2(𝑏𝑎𝑠𝑒) ⋅ ℎ =
1
2‖�⃗�‖ ⋅ ℎ =
1
2‖(𝑃 − 𝐴) ∧ �⃗�‖ ⇒ ℎ = 𝑑(𝑃, 𝑟) =
‖(𝑃 − 𝐴) ∧ �⃗�‖
‖�⃗�‖
Exemplo:
1) Calcule a distância do ponto ( )1,0,1 −=P à reta de equações paramétricas:
=
+=
−=
2
3
2
:
z
y
x
r .
Resolução:
( ) rA = 0,3,2 e �⃗� = (−1,1,2) é um vetor diretor de r.
( ) ( ) ( )1,3,10,3,21,0,1 −−−=−−=− AP
(𝑃 − 𝐴) ∧ �⃗� = |𝑖 𝑗 𝑘
−1 −3 −1−1 1 2
| = −5𝑖 + 3𝑗 − 4𝑘 = (−5,3, −4)
‖(𝑃 − 𝐴) ∧ �⃗�‖ = √(−5)2 + (3)2 + (−4)2 = √50 = 5√2
‖�⃗�‖ = √(−1)2 + (1)2 + (2)2 = √6
Logo, 𝑑(𝑃, 𝑟) =‖(𝑃−𝐴)∧�⃗⃗�‖
‖�⃗⃗�‖=
5√2
√6=
5√3
3
Resposta: 3
35
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4.3.3 Distância entre ponto e plano
Se A e �⃗⃗� é um vetor normal ao plano , podemos observar que ),( Pd é a norma da
projeção ortogonal de AP − sobre �⃗⃗�.
Lembrar que: 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗��⃗� = (�⃗⃗�⋅�⃗⃗�
‖�⃗⃗�‖2) ⋅ �⃗⃗�
𝑑(𝑃, 𝜋) = ‖𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗�(𝑃 − 𝐴)‖ = ‖((𝑃 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗�
‖�⃗⃗⃗�‖2) ⋅ �⃗⃗�‖ = |(𝑃 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗�| ⋅
‖�⃗⃗⃗�‖
‖�⃗⃗⃗�‖2=
|(𝑃 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗�|
‖�⃗⃗⃗�‖
Assim,
𝑑(𝑃, 𝜋) =|(𝑃 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗�|
‖�⃗⃗�‖
Se ),,( 000 zyxP = e 0: =+++ dczbyax , então teremos �⃗⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐).
Seja = ),,( 111 zyxA , então:
),,()( 101010 zzyyxxAP −−−=−
(𝑃 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗� = 𝑎 ⋅ (𝑥0 − 𝑥1) + 𝑏 ⋅ (𝑦0 − 𝑦1) + 𝑐 ⋅ (𝑧0 − 𝑧1) =
)( 111000 czbyaxczbyax ++−++= .
Fazendo dczbyax −=++ 111 , obtemos:
(𝑃 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗� = 𝑎 ⋅ 𝑥0 + 𝑏 ⋅ 𝑦0 + 𝑐 ⋅ 𝑧0 + 𝑑.
Assim, 𝑑(𝑃, 𝜋) =|(𝑃−𝐴)⋅�⃗⃗�|
‖�⃗⃗�‖=
|𝑎⋅𝑥0+𝑏⋅𝑦0+𝑐⋅𝑧0+𝑑|
√𝑎2+𝑏2+𝑐2.
Exemplos:
1) Calcule a distância do ponto ( )3,4,1=P ao plano de equações paramétricas:
+=
=
+−−=
33
1
3
:
z
y
x
.
Resolução:
( ) −= 3,1,3A ( ) ( ) ( )0,3,43,1,33,4,1 =−−=− AP
(𝑃 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗� = 4 ⋅ 0 + 3 ⋅ 3 + 0 ⋅ 0 = 9
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�⃗⃗� = |𝑖 𝑗 𝑘
−1 0 01 0 3
| = 3𝑗 = (0,3,0) ⇒ ‖�⃗⃗�‖ = √(0)2 + (3)2 + (0)2 = 3
Assim,
𝑑(𝑃, 𝜋) =|(𝑃−𝐴)⋅�⃗⃗�|
‖�⃗⃗�‖=
9
3= 3
Resposta: 3
2) Calcule a distância do ponto ( )6,5,4=P ao plano de equação geral:
01422 =−−+ zyx .
Resolução:
4)2()2()1(
14625241),(
222222
000=
−++
−−+=
++
+++=
cba
dzcybxaPd
Resposta: 4
4.3.4 Distância entre retas
Dadas duas retas r e s, achar ),( srd , sendo �⃗⃗� e �⃗� os vetores diretores de r e s, respectivamente.
Caso 1: Se �⃗⃗� ∧ �⃗� = 0⃗⃗:
Neste caso, r e s são coincidentes ou paralelas.
Se as retas são coincidentes, então 0),( =srd .
Se r e s não são coincidentes, escolher um ponto em uma das retas e calcular a distância deste
ponto até a outra reta. Assim, se tivermos rP e sQ , temos que:
),(),(),( rQdsPdsrd == .
Caso 2: Se �⃗⃗� ∧ �⃗� ≠ 0⃗⃗:
Neste caso, r e s são concorrentes ou reversas.
Se as retas são concorrentes, então 0),( =srd .
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Se r e s são reversas, considere rP e sQ . Podemos observar que ),( srd é a norma da
projeção ortogonal de QP − sobre �⃗⃗� ∧ �⃗�.
Lembrar que: 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗��⃗� = (�⃗⃗�⋅�⃗⃗�
‖�⃗⃗�‖2) ⋅ �⃗⃗�
𝑑(𝑟, 𝑠) = ‖𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗⃗�∧�⃗⃗�(𝑃 − 𝑄)‖ = ‖((𝑃 − 𝑄) ⋅ �⃗⃗� ∧ �⃗�
‖�⃗⃗� ∧ �⃗�‖2 ) ⋅ �⃗⃗� ∧ �⃗�‖ =|(𝑃 − 𝑄) ⋅ �⃗⃗� ∧ �⃗�|
‖�⃗⃗� ∧ �⃗�‖2⋅ ‖�⃗⃗� ∧ �⃗�‖ =
=|(𝑃−𝑄)⋅�⃗⃗⃗�∧�⃗⃗�|
‖�⃗⃗⃗�∧�⃗⃗�‖.
Logo, 𝑑(𝑟, 𝑠) =|(𝑃−𝑄)⋅�⃗⃗⃗�∧�⃗⃗�|
‖�⃗⃗⃗�∧�⃗⃗�‖
Exemplos:
1) Calcule a distância entre as retas r e s, sendo:
=
=
−=
2
1
:
z
y
x
r e
=
−=
+=
0
2
2
:
z
y
x
s
.
Resolução:
Os vetores diretores de r e s são �⃗⃗� = (−1,1,2) e �⃗� = (1, −1,0), respectivamente.
�⃗⃗� ∧ �⃗� = |𝑖 𝑗 𝑘
−1 1 21 −1 0
| = 2𝑖 + 2𝑗 = (2,2,0) ≠ 0⃗⃗
( ) rP = 0,0,1 e ( ) sQ = 0,2,2 ( )0,2,1 −−=− QP
Assim, 𝑑(𝑟, 𝑠) =|(𝑃−𝑄)⋅�⃗⃗⃗�∧�⃗⃗�|
‖�⃗⃗⃗�∧�⃗⃗�‖=
|(−1,−2,0)⋅(2,2,0)|
‖(2,2,0)‖=
6
2√2=
3√2
2
Resposta: 2
23
2) Calcule a distância entre as retas r e s, sendo:
+=
+=
=
33
2
1
:
z
y
x
r e s é a intersecção dos planos:
05:1 =−+ zy e 06:2 =−++ zyx
Resolução:
O vetor diretor de r é �⃗⃗� = (0,1,3).
O vetor diretor �⃗� de s é: �⃗� = |𝑖 𝑗 𝑘0 1 11 1 1
| = 𝑗 − 𝑘 = (0,1, −1)
�⃗⃗� ∧ �⃗� = |𝑖 𝑗 𝑘0 1 30 1 −1
| = −4𝑖 = (−4,0,0) ≠ 0⃗⃗
Podemos obter: ( ) rP = 3,2,1 e ( ) sQ = 5,0,1 (para obter Q, podemos, por exemplo, fazer
0=y em s, obtendo 1=x e 5=z ).
Logo ( )2,2,0 −=−QP . Assim:
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𝑑(𝑟, 𝑠) =|(𝑃 − 𝑄) ⋅ �⃗⃗� ∧ �⃗�|
‖�⃗⃗� ∧ �⃗�‖=
|(0,2, −2) ⋅ (−4,0,0)|
‖(−4,0,0)‖=
0
4= 0
Como �⃗⃗� e �⃗� não são paralelos e 0),( =srd , concluímos que r e s são concorrentes.
Resposta: 0
4.4 Exercícios Propostos 1) Determine as equações simétricas da reta t que passa pelo ponto A=(−2, 1, 3) e é ortogonal
às retas 2= , 13
1- : e
3=
2+1=
2=
: yzx
s
z
y
x
r−
=−
−
−
. Resposta: 6
3
8
1
2
2 −=
−=
−
+ zyx
2) Qual deve ser o valor de m para que os pontos A=(3, m, 1); B=(1, 1, −1) e C=(−2, 10, −4)
pertençam a mesma reta? Resposta: 5−=m
3) A reta
−
3=
=
2+1=
:
z
y
x
r forma um ângulo de 60º com a reta determinada pelos pontos
A=(3, 1, -2) e B=(4, 0, m). Calcular o valor de m. Resposta: 4−=m
4) Seja o triângulo de vértices A=(1, 0, −2), B=(2, −1, −6) e C=(−4, 5, 2). Estabelecer as
equações paramétricas da reta suporte da mediana do triângulo ABC, relativa ao lado BC.
Resposta:
−
−
2=
2=
2+1=
z
y
x
5) Dados os pontos A=(1, 2, 5) e B=(0, 1, 0), determine P sobre a reta que passa por A e B
tal que o comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA.
Resposta:
4
15,
4
7,
4
3ou
2
15,
2
5,
2
3
6) Dados A(0, 2, 1), r : X=(0, 2, −2) + (1, −1, 2), ache os pontos de r que distam 3
de A . Com base neste resultado, diga se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou
igual a 3 e por quê. Resposta: 3=r
7) Determine m de modo que os planos 1 e 2 sejam perpendiculares, nos seguintes casos:
a) 0:1 =−+ zyxm e 01:2 =−+− zmymx Resposta: 0=m .
b) 013:1 =−−+ zyxm e 01:2 =+− ymxm Resposta: 0=m ou 1=m .
c) 0:1 =−++ mzyx e 0:2 =++− myx Resposta: m qualquer.
8) Determine o plano que contém o ponto A=(4, 1, 0) e é perpendicular aos planos
0=32++ : e 0=642 : 21 −−−− zyxzyx . Resposta: 0382 =+− zyx
9) Determine o plano que passa pelos pontos A=(1, −2, 2) e B=(−3, 1, −2) e é perpendicular
ao plano : 2x + y − z + 8 = 0. Resposta: 051012 =−−− zyx
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10) Determinar o valor de m para que seja de 30º o ângulo entre os planos
0.=23+5+4 : e 0=72++ : 21 −− zyxzymx Resposta: 1=m ou 7=m
11) O plano : x + y − z − 2 = 0 intersecta os eixos cartesianos nos pontos A, B, C. Calcular
a área do triângulo ABC. Resposta: 32=S
12) Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x + 2y − 4z − 12 = 0 e pelos planos
coordenados. Resposta: 12=V
13) Mostrar que o ponto )3,2,2(=P é equidistante dos pontos )2,4,1( −=A e )5,7,3(=B .
Resposta: 30),(),( == BPdAPd
14) Calcule a distância entre o ponto )0,2
3,
2
1(=P , à reta r, intersecção dos planos:
x −y − z = 1 e x + y = 0. Resposta: 6
302=V
15) Calcule a distância entre o ponto )1,1,1( −=P até cada um dos eixos coordenados.
Resposta: 2),(),(),( === OzPdOyPdOxPd
16) Calcule a distância do ponto ( )2,1,2 −=P ao plano de equações paramétricas:
−−=
=
=
z
y
x
: . Resposta: 3
17) Calcule a distância do ponto ( )3,0,1=P ao plano de equação geral:
0143 =−+ yx . Resposta: 5
2
18) Calcule a distância do ponto ( )7,5,2 −=P até cada um dos planos coordenados.
Respostas: 7),( =xOyPd , 5),( =xOzPd e 2),( =yOzPd
19) Calcule a distância entre as retas r e s, sendo:
+=
=
+=
2
1
:
z
y
x
r e
+=
+=
+=
30
31
32
:
z
y
x
s .
Resposta: 6
20) Calcule a distância entre as retas r e s, sendo que r é a intersecção dos planos:
01:1 =−+ yx e 02:2 =−+− zyx e s a intersecção entre os planos:
02:3 =− yx e 02:4 =−− zyx
Resposta: 59
5910
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4.5 Referências Bibliográficas
1. BARSOTTI, Leo. Geometria Analítica e Vetores. 3.a Edição. Curitiba: Artes Gráficas e
Editora Unificado, 1984.
2. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica – Um tratamento Vetorial.
São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1987.
3. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Introdução à Geometria Analítica no Espaço. São
Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1997.
4. STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-
Hill, 1987.
5. VENTURI, Jacir J. Sistemas de Coordenadas e Álgebra Vetorial. Curitiba: Artes Gráficas
e Editora Unificado, 1987.