GEOMETRIA ANALÍTICA
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GEOMETRIA ANALÍTICA
DefiniçãoA Geometria Analítica foi concebida por René Descartes. Aliando a Álgebra à Geometria, ela possibilita o estudo das figuras geométricas, associando-as a um sistema de coordenadas. Desse modo, as figuras podem ser representadas de pares ordenados, equações ou inequações.
• Engenharia
Aplicações• Tecnologia 3D
• GPS • Medicina
Conceitos Preliminares
x
y
O (0, 0)
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
eixo das abscissas
eixo das ordenadas
Origem
Plano cartesiano
P
x
y
O
4
3
P(3, 4)
Coordenadas no plano
3 é a abscissa de P;
4 é a ordenada de P;
3 e 4 são as coordenadas de P;
P(x, y)
Em geral:
Sinais no plano
x
y
+
+
++
–
–
– –
y = 0
O( 0, 0)
x = 0
Bissetrizes no plano
x
y
y = xy = –x
1ª bissetriz2ª bissetriz
Distância entre dois pontos no
plano
Obter a distância entre os pontos A(xA, yA)
e B(xB, yB) no plano xOy.
A
B
xA xB
yA
yB
x
y
C
Vamos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo ABC.
(AB)2 = (BC)2 + (AC)2
0(AB)2 = |xB – xA|2
BC = |xB – xA|
AC = |yB – yA|
+ |yB – yA|2
2AB
2AB yyxxAB )()(
Exemplo 1• Calcule o perímetro do triângulo de vértices A(2,
0), B(–2, –3) e C(–1, 4).
x
y
0–22
–3
4
A
B
C
Exemplo 2• Determinar o ponto da 2.ª bissetriz que é
eqüidistante de A(1, 2) e B(–4, –3).
A
B
–4
1
2
x
y
0–1
P(k,–k)
Se P é eqüidistante de A e B, deve ser
PA = PB
Ponto médio de um
segmento
Na reta real, marcamos os pontos A(–2) e
B(8). Se M(k) é ponto médio do segmento
AB, quanto vale k?
⇒
A BM
–2 8k
Se M é ponto médio, AM = MB, logo
k – (–2) = 8 – k
2k = 6⇒ k = 3
k + 2 = 8 – k
⇒
⇒ M(3)
Caso geral.
⇒
A BM
xA xBxM
M é ponto médio de AB ⇒ AM = MB
xM – xA = xB – xM
⇒
2 xM = xA + xB
• Na figura a seguir, M(xM) é ponto médio do segmento de extremos A(xA) e B(xB).
xM =xA + xB
2
Quando o segmento AB está contido no
plano xOy, o raciocínio é semelhante.
A
B
M
xA xM xB
yA
yM
yB
x
y Se M é ponto médio de AB,
• No eixo x, xM é ponto
médio do segmento de
extremos xA e xB.
• No eixo y, yM é ponto
médio do segmento de
etremos yA e yB.
xM =xA + xB
2yM =
yA + yB
2e
0
Exemplo 1• Achar o ponto médio do segmento de
extremos A(5, –4) e B(–3, 8).
xM =5 + (–3)
2
yM =–4 + 8
2
= 1
= 2
⇒ M( 1, 2)
Exemplo 2
• Encontrar o ponto simétrico de P(1, –1) em relação ao ponto Q(–2, 3).
P(1, –1)
Q(–2, 3)
R(a, b)
–2 =a + 1
2a + 1 = – 4
⇒ ⇒ a = – 5
3 =b – 1
2b – 1 = 6⇒ ⇒ b = 7
⇒ R (–5, 7)
Exemplo 3
• Obter o ponto P que divide o segmento AB com
A(1, 3) e B(8, 17) na razão
A(1, 3)
P(a, b)
B(8, 17)
APPB
25=
APPB
25
=
⇒xP – xA
xB – xP
25
= ⇒a – 18 – a
25
=
⇒5(a – 1) = 2(8 – a) ⇒ 5a – 5 = 16 – 2a
⇒ 7a = 21 a = 3⇒
Exemplo 4
• Obter o ponto P que divide o segmento AB com
A(1, 3) e B(8, 17) na razão
A(1, 3)
P(a, b)
B(8, 17)
APPB
25=
APPB
25
=
⇒yP – yA
yB – yP
25
= ⇒b – 317 – b
25
=
⇒5(b – 3) = 2(17 – b)⇒ 5b – 15 = 34 – 2b
⇒ 7b = 49 b = 7⇒
P(3, 7)
Área de um triângulo
Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1),
B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um
triângulo.
• Como podemos calcular a área desse triângulo, a partir das coordenadas de seus vértices?
x
y
4
1 A
B
C
2 6
3
5
Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1),
B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um
triângulo.
x
y
4
1 A
B
C
2 6
3
5
③
① ②
M
NP
AT = AMNP – (AT1 + AT2 + AT3)
AMNP = AM . AP= 4 . 4 = 16
AT1 = (CP . AP)/2= (4 . 2)/2 = 4
AT2 = (CN . BN)/2= (2 . 2)/2 = 2
AT3 = (AM . BM)/2= (4 . 2)/2 = 4
AT = 16 – (4 + 2 + 4)
AT = 6
Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1),
B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um
triângulo.
x
y
4
1 A
B
C
2 6
3
5
③
① ②
M
NP54154
36136
12112
+6
–12
D = – 28 + 40 = 12
+4
+30
–10
–6
Área = |D|
2
|12|
2= 6=
Área de um triângulo
• Se A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são os vértices de um triângulo, podemos calcular sua área assim: Calculamos o seguinte determinante, a partir
das coordenadas dos vértices.
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
D =
A área A do triângulo é metade do módulo desse determinante.
A = |D|
2
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