CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos CEFET-SP Uned Cubatão Curso: Curso Superior de Tecnologia em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos Turma: SAI – 171 Matéria: Geometria Analítica Aluno: Flávio Alves Monteiro Matrícula: 051017 Geometria Analítica Espacial 1
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CEFET-SP Uned Cubatão
Curso: Curso Superior de Tecnologia em Automação e
Controle de Processos Industriais Contínuos
Turma: SAI – 171
Matéria: Geometria Analítica
Aluno: Flávio Alves MonteiroMatrícula: 051017
Geometria Analítica Espacial 1
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GEOMETRIA ANALÍTICA
Conceito de vetor Definição 1
Um, segmento orientado é um par ordenado (A, B) de pontos do espaço. A é dito
origem, B extremidade do segmento orientado. Os segmentos orientados da forma
(A, A) são ditos nulos. Se A B, (A, B) é diferente de (B, A).
Definição 2
Dizemos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm o mesmo
comprimento se os segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo
comprimento.
Suponha (A, B) e (C, D) não nulos. Então dizemos que (A, B) e (C, D) têm
mesma direção se AB // CD (AB // CD inclui o caso em que as retas suportes
coincidem) . Nesse caso dizemos que (A, B) e (C, D) são paralelos.
.Suponha que (A, B) e (C, D) têm mesma direção.
a) Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesmo sentido
se a intersecção entre os segmentos AC e BD for vazia. Caso AB CD ,
dizemos que (A, B) e (C, D) têm sentido contrário.
b) Se as retas AB e CD coincidem, tome (A', B') tal que A' não pertença à reta AB e
(A', B') tenha mesma direção, e mesmo sentido que (A, B). Então dizemos que (A, B)
e (C, D) têm mesmo sentido se (A', B' ) e (C, D) têm mesmo sentido. Se não, dizemos
que (A, B) e (C, D) têm sentido contrario.
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Definição 3 .
Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes, e indica-se (A,B)
(C,D), se um dos casos seguintes ocorrer:
a) ambos são nulos;
b) nenhum é nulo, e têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido.
Proposição 1: A relação de equipolência goza das seguintes propriedades:
a) (A , B) (A , B) (reflexiva)
b) (A ,B) (C , D) (C,D) (A,B) (simétrica)
c) (A,B) (C,D) e (C,D) (E ,F) (A ,B)(E,F) (transitiva)
Observação: (Uma relação que goza das propriedades a), b) e c) se chama de relação
de equivalência.
Definição 4
Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados de E3. Se
(A,B) é um segmento orientado, o vetor correspondente (ou seja, o vetor cujo
representante é (A,B)) será indicado por . Usam-se também letras latinas
minúsculas encimadas por uma seta ( , , etc.), não se fazendo desse modo
referência ao representante.
Chamaremos vetor nulo ao vetor cujo representante é um segmento orientado
nulo (A,A) e indica-se o vetor nulo por .
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Os vetores e não-nulos são paralelos ( // ) se um representante de é
paralelo a um representante de (e portanto a todos). Se // , e têm mesmo
sentido se um representante de e um representante de têm mesmo sentido.
Consideramos o vetor nulo paralelo a qualquer vetor.
Chamaremos norma (ou módulo, ou comprimento) de um vetor ao comprimento
de qualquer um de seus representantes; indica-se a norma de por . Se = 1,
dizemos que o vetor é unitário.
Observação
O vetor é chamado vetor oposto do vetor e eles só diferem no sentido (se
AB), já que seus representantes (A,B) e (B,A) têm mesma direção, mesmo
comprimento e sentido contrário. O vetor oposto do vetor é indicado também por
- ; o vetor oposto de um vetor é indicado por - .
OPERAÇÕES COM VETORES
ADIÇÃO DE VETORES
Sejam os vetores e representados pelos segmentos orientados AB e BC.
Os pontos A e C determinam o vetor soma dos vetores e
Propriedades da adição
A1) PROPRIEDADE ASSOCIATIVA
( + ) + = + ( + ), , , V3
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A2) PROPRIEDADE COMUTATIVA
+ = + , V3
A3) ELEMENTO NEUTRO
Existe um só vetor nulo tal que para todo vetor se tem:
+ = + = , V3
+ = + = = .
A4) ELEMENTO OPOSTO
Dado um vetor qualquer, existe um vetor que somado a dá como resultado o
vetor nulo: trata-se do vetor oposto de , que se indica por - .
+ ( - ) = - + =
+ ( - ) = + = =
Diferença de vetores
Chama-se diferença de dois vetores e , e se representa por = - , ao vetor
+ ( - ) .
Dados dois vetores e , representados pelos segmentos orientados AB e AC,
respectivamente, e construído o paralelogramo ABCD verifica-se que a soma = +
é representada pelo segmento orientado AD (uma das diagonais) e pela diferença =
- é representada pelo segmento orientado CB (a outra diagonal)
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Multiplicação por um número real
Dado um vetor e um número real k 0, chama-se produto do número real k
pelo vetor o vetor = k , tal que:
a) módulo: = =
b) direção: a mesma de
c) sentido: o mesmo de se k 0 , e contrário ao de se k 0.
Observações:
a) Se k = 0 ou = , o produto é o vetor , isto é k = .
b) Dados dois vetores e , colineares, sempre existe k R tal que = k .
Exemplo: se = =
c) O versor de um vetor 0 é o vetor unitário = ou
= De fato, ele é unitário = = = 1
Daí, concluí-se que = isto é, o vetor é o produto de seu módulo pelo
vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de
Propriedades da multiplicação de número por vetor.
Se e são vetores quaisquer e e são números reais, temos:
M1) ( + ) = + , R , , V3 (distributiva em relação
à adição de vetores)
M2) ( + ) = + , , R , V3
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M3) 1 . = , V3
M4) ( ) = ( ) = ( ) , , R , V3
Observação
Se R e V3 , com 0 , significa
Soma de ponto com vetor
Cada ponto P E3 e cada vetor V3 associa um único ponto Q de E3 indicado
por P + e chamado soma de P com . Assim: P E3 , V3 : P + = Q
= donde P + = Q
Observação:
A notação P - indica a soma do ponto P com o vetor oposto do vetor Assim:
P - = P + ( )
Propriedades dessa operação:
P1 P + = P P E3
P + = P
P2 P + = P + +
Seja Q = P + = P + por def. decorre = e =
Logo =
P3 ( P + ) + = P + ( + ) , V3 P E3
Sejam A = P + e B = A + ( logo B = (P + ) + )
por def. decorre que = e = somando, temos:
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+ = + mas, + = , portanto temos = +
Pela definição de soma de ponto com vetor, temos: B = P ( + )
e portanto: (P + ) + = P + ( + )
P4 A + = B + A = B
A + = B + (A + ) - = (B + ) -
A + ( - ) = B + ( - ) A + = B + A = B
P5 ( P - ) + = P
( P - ) + = [P + ( - ) ] + P + [ - + ] = P + P
Dependência Linear
Dados n vetores , , ,....., chama-se combinação linear dos n vetores
a qualquer vetor da forma: a1 + a2 + ....+ an em que a1 , a2 , a3 ,......,an são
números reais.
Observe que os números a1 , a2 , a3 ,......, an que figuram na combinação linear podem
ser nulos ou não.
O vetor nulo é combinação linear de qualquer vetor pois: = 0 + 0 + +..... +
0 , onde p é qualquer número natural, maior do que zero.
Exemplo:
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No triângulo ABC, M é o ponto médio de BC. Escrever o vetor como
combinação linear de e
A
B M C
Solução:
Traçar pelo ponto M, paralelas aos lados AB e AC. Pelo teorema de Pitágoras P e
N são pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente.
A
P N
B M C
Como o quadrilátero APMN é um paralelogramo, temos:
= + e = e =
portanto: = +
Condições para que um vetor possa ser dado como combinação linear de outros
vetores.
Proposição 1 (para dois vetores)
Dados um vetor , não nulo, e um vetor , tais que // , então existe um único
número real m tal que = m
a) Se o vetor for nulo, basta fazer m = 0.
b) Se o vetor também também não for nulo, teremos:
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= m = m m = , sendo m 0 se e têm mesmo
sentido e m 0 se e têm sentidos contrários.
“Dois vetores são paralelos se e somente se um deles é igual ao outro multiplicado
por um número real” .
exemplo: Sejam dados os vetores e , paralelos e de sentidos contrários tais que
= 4 e = 7. Escreva em função de e em função de .
Solução: Como e têm sentidos contrários, o número que multiplicando um deles
dá o outro será um número negativo.
4 = 7
= e =
Quando a combinação linear existe, dando um vetor em função do outro,
dizemos que existe uma dependência linear entre eles e, o conjunto formado por
dois vetores paralelos é linearmente dependente. ( LD ).
Um vetor não nulo forma uma base para o conjunto de todos os vetores que
possuem a mesma direção de , isto é, todos os vetores paralelos a são múltiplos
de .
Proposição 2 ( para 3 vetores )
Dados os vetores e , LI, e o vetor tais que , e sejam coplanares, então
existem e são únicos os números n e m , tais que = m + n .
a) Se o vetor for nulo, basta fazer m = 0 e n = 0.
b) Se o vetor for paralelo a , basta fazer n = 0 e achar m conveniente.
c) Se o vetor for paralelo a , basta fazer m = 0 e achar n conveniente.
d) Se o vetor não for nulo e não for paralelo a nenhum dos dois vetores,
tomemos os três vetores aplicados em um mesmo ponto A e seja =
B P
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A C
Traçando-se por P paralelas a e a forma-se o quadrilátero ABPC
paralelogramo = +
Como // , existe um número real m tal que = m e como // ,
Existe um número real n tal que = n e, portanto: = m + n .
Pela definição da operação adição de dois vetores pode-se afirmar que “ = m +
n então , e são coplanares” pois , m e n possuem representantes que
são lados de um triângulo, sendo portanto coplanares e, conseqüentemente , e
também são coplanares.
“Três vetores são coplanares se e somente se um deles é igual a uma combinação
linear dos outros dois”.
Exemplo:
Dados os vetores , e , como na figura, e sendo = 2 , = 3 e = 6,
Obter como combinação linear de e .
= 600 C P
A B
Por P traça-se // a e a . Assim, ABPC é um paralelogramo sendo que o triângulo
ABP é eqüilátero.
= 3 e = 2 , logo:
= +
= 3 + 2
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Dados três vetores coplanares, sendo dois deles LI, o outro poderá ser expresso
como combinação linear dos dois primeiros.
Como essa combinação linear sempre existe, dando um vetor em função dos outros
dois pode-se dizer que existe uma dependência linear entre eles ou seja, o conjunto
formado por três vetores coplanares é LD.
O conjunto formado por três vetores não coplanares é LI.
Dois vetores LI formam uma base para o conjunto de todos os vetores coplanares
com eles isto é, todo vetor , coplanar com e , LI , pode ser sempre escrito como
combinação linear de e .
Proposição 3 ( para 4 vetores )
Dados , e , LI , e o vetor qualquer, então existem e são únicos os números
reais m , n e p tais que = m + n + p
a) Se o vetor for nulo, basta fazer m = 0 , n = 0 e p = 0.
b) Se o vetor for paralelo a , basta fazer n = 0 e p = 0 e encontrar o m
conveniente.
c) Se o vetor for paralelo a , basta fazer m = 0 e p = 0 e encontrar o n
conveniente.
d) Se o vetor for paralelo a , basta fazer m = 0 e n = 0 e encontrar o p
conveniente.
e) Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas
for coplanar a e , basta fazer p = 0 e encontrar m e n convenientes.
f) Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas
for coplanar a e , basta fazer m = 0 e encontrar n e p convenientes.
g) Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas
for coplanar a e , basta fazer n = 0 e encontrar m e p convenientes.
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h) Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, nem
coplanar com dois deles, tomemos os quatro vetores aplicados em um mesmo
ponto A .
Seja = . Traçando por P paralelas a , a e a obtemos, assim, um
paralelogramo.
Portanto: = + +
Como // existe um número real m tal que = m ; // existe um
número real n tal que = n ; // existe um número real p tal que = p
= m + n + p
E
P
A D
B C
“ Dados quatro vetores no espaço, sempre um deles é combinação linear dos outros
três” – Os vetores são LD.
Exemplo:
Dados os vetores , e , ortogonais dois a dois; sendo = 1; = 2; = 3;
= 6 e sabendo que forma ângulos iguais com , e , obter como
combinação linear de , e .
Solução:
E
P
A D
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B C
Tracemos por P, paralelas a , e .
Obtemos, assim, um cubo de aresta 6 logo:
= 6 = 3 = 2 portanto = 6 + 3 + 2
Base
Chama-se base de V3 a qualquer trinca ordenada de vetores LI. Assim, se ( , ,
) é uma base de V3 então qualquer vetor de V3 é gerado por , , , ou seja,
existem números reais m, n e p tais que = m + n + p . Como esses números são
únicos, associamos a cada vetor de V3 uma única trinca de números reais ( m, n, p).
Esses números são chamados de coordenadas de vetor em relação à base ( , , ) ;
os vetores m , n e p são componentes do vetor .
Exemplos:
Fixada uma base E = ( , , )
1) Verificar se são LI ou LD os vetores:
a) = (1, 2, 3) e = ( 2, 1, 1)
eles não são proporcionais ( , ) é LI
b) = (1, 7, 1) e = ( , , )
= = são proporcionais - fator de proporcionalidade: 2
= 2 ( , ) é LD
2) Verificar se são LI ou LD os vetores:
= (1, -1, 2) = ( 0, 1, 3) = ( 4, -3, 11)
1 -1 2
0 1 3 = 0
4 -3 11Geometria Analítica Espacial 15
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resulta que ( , , ) é LI
3) Sejam: = 2 -
= - + 2
= + 2
Mostre que ( , , ) é LI e portanto base de V3
Resolução:
Tem-se: = (2 , - 1 , 0 )
= (1, - 1, 2 )
= ( 1, 0, 2 ) 2 -1 0
1 -1 2 = -4 0 logo ( , , ) é LI
1 0 2
4) Calcule as coordenadas do vetor = ( 1, 1, 1 )E na base F do exercício anterior.
Resolução:
Sabemos que: = 2 -
= - + 2
= + 2
Resolvendo as equações acima com relação a , , temos:
= - = -
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= 2 - = 2 - ( - ) + - = 2
= - +
= + 2 - = 2 - ( - + ) =
= - +
= - +
= - + +
como = ( 1, 1, 1 )E , temos = + + e, portanto:
= - +
donde
= ( , - , ) isto é, as coordenadas de na base F são: , - ,
BASE
Chama-se base V3 a qualquer tripla ordenada E = ( , , ) LI de vetores de V3.
Se ( , , ) é uma base de V3, todo vetor de V3 é gerado por , e , isto
é, para todo V3, existem escalares , , , tais que
= + + .
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Essa tripla ( , , ) de escalares é única.
Escolhida uma base E de V3 fica associada univocamente a cada vetor uma tripla
ordenada de escalares ( , , ). Essa tripla é denominada tripla de coordenadas
do vetor em relação à base E. Observe que é importante a ordem dos escalares ,
, ; trata-se de uma tripla ordenada = + + . A notação
utilizada para indicar que , , são coordenadas (nessa ordem) do vetor em
relação à base E é
= ( , , )E ou = ( , , )
É conveniente que as operações entre vetores sejam feitas diretamente com
coordenadas, evitando perda de tempo.
a) Adição: Se = ( , , ) e = ( , , ) então
+ = ( + , + , + )
De fato:
= ( , , ) = + +
= ( , , ) = + +
Logo:
+ = ( + ) + ( + ) +( + )
ou seja:
+ = ( + , + , + )
Para o procedimento acima é essencial que e estejam referidos a uma mesma
base.
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b) Multiplicação por escalar: Se = ( , , ) e é um escalar, então
= ( , , )
De fato:
= ( , , ) = + + = ( + +
) =
= ( ) + ( ) + ( ) = ( , , )
Observação: = = ( 0, 0, 0 )
Vamos reexaminar em termos de coordenadas o conceito de dependência e
independência linear.
Proposição 1: Os vetores = ( , , ) e = ( , , ) são LD se e
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Exemplos:
1) Achar os ângulos diretores do vetor = -2 + 2 = (1, -2, 2)
Solução: cos = = arc cos 710
cos = = arc cos 1320
cos = = arc cos 480
2) Os ângulos diretores de um vetor são , 450 e 600. Determinar .
Solução:
Substituindo na igualdade: cos2 + cos2 + cos2 = 1
por 450 e por 600, temos:
cos2 + cos2 450 + cos2 600 = 1
cos2 + 2 + 2 = 1
cos2 = 1 - - cos2 = cos = cos =
logo: = 600 ou = 1200
Vetor – componente
Um problema de muita aplicação na Física Geral é o de achar o vetor-componente
ou vetor-projeção de um vetor dado em uma direção dada, ou ainda, a decomposição
de um vetor em dois vetores. Veja a figura a seguir:
- -
=
O vetor é chamado de vetor-componente ou vetor-projeção de na direção de
, não nulo.
Para encontrarmos o vetor , conhecidos e , basta observarmos que:
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( i ) // e ( ii ) -
De ( i ) , vem; existe m tal que = m
De ( ii ) , vem:
( - ) X = 0 ( - m ) X = 0 X - m ( X ) = 0
X = m ( X ) m = X = X . Temos assim o vetor
X 2
isto é, = X .
X
= ( X ) .
Exemplo: Decompor o vetor = ( 6, -3, 9 ) em dois vetores e , sendo paralelo a e ortogonal a , onde = ( 1, 2, 2).
Solução: Veja a figura Decompor um vetor é encontrar vetores que somados dão, como resultante o vetor Neste caso, = + sendo o vetor-componente de na direção de e o vetor
o vetor-diferença entre e , isto é: = - . Assim, temos:
Observações:( i ) Os vetores e , do exemplo acima, são as componentes ortogonais do vetor , tendo a direção de ( ii ) O módulo do vetor-componente ou vetor-projeção será dado por
= X que é o módulo da expressão que está dentro
dos colchetes, na segunda indicação da fórmula do vetor-componente .
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Projeção de um Vetor Sejam os vetores e , com 0 e 0, e o ângulo por eles formado. Deve-se calcular o vetor que representa a projeção de sobre .Observe a figura:
Como e têm a mesma direção, segue-se que: = k , k
Então: = k ou
k= = k = logo: =
Portanto, o vetor projeção de sobre ( proj. = ) é:
proj. = X
ou proj. =
Exemplos:1) Determinar o vetor projeção de = ( 2,3,4 ) sobre = ( 1, -1, 0 )
2) Dada a base ortonormal B = ( , , ), sejam = 2 -2 + e = 3 - 6a) Obtenha a projeção ortogonal de sobre b) Determine e tais que = + , sendo paralelo e ortogonal a
Solução:a) Em relação a B, = ( 2, -2, 1 ) e = ( 3, -6, 0 ).