MA3 (GEII - S3)C - SUITES ET SÉRIES
F. Morain-Nicolier
2014 - 2015 / URCA - IUT Troyes
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OUTLINE
1. INTRODUCTION
2. SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES
3. VARIATION DES SUITES
4. CONVERGENCE DES SÉRIES NUMÉRIQUES
5. SÉRIES DE FONCTIONS
6. SÉRIES ENTIÈRES
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1.1 EXEMPLES
DSF :
f (t) = a0 +∞
∑n=1
(an cos(nωt) + bn sin(nωt))
ou
f (t) =∞
∑n=−∞
cneinωt.
TZ :
X(z) =∞
∑n=−∞
fnz−n.
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1.2 GÉNÉRALISATION
Dans chacun de ces exemples, une quantité
S(x) =∞
∑n=0
un(x)
est calculée.
PROBLÈME À RÉSOUDRE : La quantité S(x) existe-t-elle ?
I S(x) est-elle finie ? Convergence ?I La réponse dépend évidemment de la valeur de x.
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1.3. OBJETS MATHÉMATIQUES EN JEU
Nous avons besoin de :
I suite (un) (signaux numériques, fonctions discrètes)I série {un} = ∑k un
I série de fonctions {un}(x) = ∑k un(x) (transformations) :
yk = {un}(k).
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OUTLINE
1. INTRODUCTION
2. SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES
3. VARIATION DES SUITES
4. CONVERGENCE DES SÉRIES NUMÉRIQUES
5. SÉRIES DE FONCTIONS
6. SÉRIES ENTIÈRES
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2.1 SUITE NUMÉRIQUE
DÉFINITION On appelle suite numérique toute application deN sur R :
u : N→ R
I Rappel : N est l’ensemble des entiers naturels (ie. positifs)I un est le terme général de la suite, un = u(n)I une suite peut être considérée comme une liste ordonnée
de nombres réelsI Elle peut éventuellement être définie sur une partie de N
de la forme I = {n ∈N, n ≥ n0} où n0 est un entier donné.I quelques exemples : suite nulle, constante, arithmétique,
géométrique, par récurrence, . . .
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2.1 SUITE NUMÉRIQUE
Que veut-on étudier sur les suites ?
Étant donné une suite (un)n∈N :
I Quelles sont ses variations ?I Que se passe-t’il lorsque n devient infiniment grand, ie.
limn→∞
un =?
⇒ étude de la convergence.
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2.1 SUITE NUMÉRIQUE
QUESTION 1 1 - La suite de terme général un = (−1)n est
1. convergente2. divergente3. indéterminée
1. http://lc.cx/mpk9 / 57
2.2 SUITES GÉOMÉTRIQUESLa suite géométrique est l’outil privilégié pour l’étude dephénomène à croissance (ou décroissance) exponentielle(exemple : carbone 14, populations).
Définitions :
Soit r ∈ R un réel donné,
I la suite géométrique de raison r est définie par le termegénéral un = u0rn
I la suite arithmétique de raison r est définie par le termegénéral un = u0 + rn
I ce sont des suites récurrentes (ie. un+1 = f (un)).
Somme d’une suite géométrique (r 6= 1) :n
∑k=0
uk = u0 + . . . + un = u0(1 + r + . . . + rn) = u01− rn+1
1− r10 / 57
2.3 SÉRIE NUMÉRIQUEConsidérons des sommes infinies telles que :
1 +12+
14+
18+ . . . +
12n + . . .
ou1 +
12+
13+
14+ . . . +
1n+ . . .
I Ce sont des sommes d’un nombre infini de termesI Que valent ces sommes ?I On construit (Sn), la suite des sommes partielles de
(un)n∈N
(DÉFINITION) On appelle série {un}n∈N de terme général un,la limite de la suite (Sn)n∈N des sommes partiellesSn = ∑n
i=1 ui :∞
∑i=1
ui = limn→∞
Sn
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2.3 SÉRIE NUMÉRIQUE
I La série de terme général un estI convergente si ∑∞
i=1 ui est finieI divergente si ∑∞
i=1 ui est infinie
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2.3. SÉRIE NUMÉRIQUE
QUESTION 2 2 - La série {(−1)n} est
1. convergente2. divergente3. indéterminée
2. http://lc.cx/mpk13 / 57
2.3. SÉRIE NUMÉRIQUE
(REMARQUE) Il existe des série indéterminées (sommepartielle non finie mais différente de ∞).
(REMARQUE) Une série à termes positifs ne peut êtreindéterminée.
I Exemple : X = 1 + 12 +
14 +
18 + . . .
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1. INTRODUCTION
2. SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES
3. VARIATION DES SUITES
4. CONVERGENCE DES SÉRIES NUMÉRIQUES
5. SÉRIES DE FONCTIONS
6. SÉRIES ENTIÈRES
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3.1 VARIATIONS D’UNE SUITE : MONOTONIE
SUITE CROISSANTE Soit (un)n∈N une suite numérique. Elle estcroissante si pour tout entier naturel n :
un ≤ un+1
I Suite strictement croissante⇔ un < un+1
I Comment montrer qu’une suite est croissante ?
SUITE DÉCROISSANTE Soit (un)n∈N une suite numérique. Elleest décroissante si pour tout entier naturel n :
un ≥ un+1
SUITE MONOTONE C’est une suite croissant ou décroissante
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3.2 VARIATIONS D’UNE SUITE :MAJORATION/MINORATION
(DÉFINITION) La suite (un)n∈N est majorée s’il existe un réelM tel que
un ≤ M, ∀n ∈N
M est alors un majorant de (un)n∈N.(DÉFINITION) La suite (un)n∈N est minorée s’il existe un réel m
tel queun ≥ m, ∀n ∈N
m est alors un minorant de (un)n∈N.(DÉFINITION) Un suite est bornée si et seulement si il existe un
réel A tel que|un| ≤ A.
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3.3 VARIATIONS D’UNE SUITE :MAJORATION/MINORATION
I Remarques :I une suite croissante est minoréeI une suite décroissante est majorée
I Exemples
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3.4 CONVERGENCE
(DÉFINITION) On dit que (un)n∈N est convergente silimn→∞ un existe et est fini.
Alors, le nombre l donné par
l = limn→∞
un
est un nombre réel appelé limite de la suite.
I une suite qui ne converge pas est divergente.I Il existe deux façon de diverger :
I soit limn→∞ un = ±∞I soit limn→∞ un n’existe pas.
I exemple : (un)n∈N avec un = an(a > 0).
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3.5 OPÉRATIONS
Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites convergentes. Si l et l′
sont les limites respectives de (un)n∈N et (vn)n∈N, alors
1. La suite somme (un + vn)n∈N converge vers l + l′
2. Pour tout réel α, la suite (αun)n∈N converge vers αl3. La suite produit (unvn)n∈N converge vers ll′.
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3.6 CRITÈRES DE CONVERGENCE
(Théorème fondamental)
I Toute suite décroissante et minorée est convergenteI Toute suite croissante et majorée est convergente.I exemple : (un)n∈N avec un = 1 + 1
n
Donc :
I Toute suite croissante non-majorée est divergente vers +∞I Toute suite décroissante non-minorée est divergente vers−∞
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3.6 CRITÈRES DE CONVERGENCE : THÉORÈME DES
GENDARMES
Si (un)n∈N, (vn)n∈N et (wn)n∈N sont trois suites telles que
un ≤ vn ≤ wn, ∀n ∈N
etl = lim
n→∞un = lim
n→∞wn
alorslimn→∞
vn = l
I variantes utiles.
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3.6 CRITÈRES DE CONVERGENCE : RELATIONS AVEC
LES FONCTIONS
I Soit (un)n∈N une suite numérique telle que un = f (n), alors
limn→∞
un = limx→∞
f (x).
- Soit (un)n∈N une suite numérique telle que un = g( 1n ),
alorslimn→∞
un = limx→0+
g(x).
I rappels sur les limites de fonction numériques : fractionsrationnelles, ex, ln(x) et xα.
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1. INTRODUCTION
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3. VARIATION DES SUITES
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6. SÉRIES ENTIÈRES
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4.1 CONDITION NÉCESSAIRE DE CONVERGENCE
(THÉORÈME) Pour que la série {un}n∈N soit convergente, ilfaut que
limn→∞
un = 0.
(REMARQUE) Dans la pratique, on utilise souvent :
limn→∞
un 6= 0⇒ {un} diverge
I Exemple : la série {n2}.I Attention : la condition est nécessaire mais non
suffisante.
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4.2 SCHÉMA D’ÉTUDE
(Théorèmes)
I Si (un) ne converge pas vers 0, {un} n’est pas convergente.I Si (un) ne converge pas vers 0 et un > 0 alors {un} diverge.
Schéma d’étude de ∑∞n=0 un
Étudier limn→∞ un. Deux cas possibles :
1. Si limn→∞ un = 0, chercher un critère de convergence selonle signe de un. La série peut converger, diverger ou êtreindéterminée.
2. Si limn→∞ un 6= 0 ou n’existe pas, alors la série diverge ouest indéterminée.
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4.3 EXEMPLES FONDAMENTAUX
SÉRIE GÉOMÉTRIQUE : un = an, a ∈ R.
S =∞
∑n=0
an = 1 + a + a2 + . . . + an + ...
SÉRIE HARMONIQUE : un = 1n .
S =∞
∑n=0
1n= 1 +
12+
13+ ...
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4.4 CRITÈRES DE CONVERGENCE
Ces critères ne donnent pas la somme de la série
(THÉORÈME) Si ∑∞n=0 ‖un‖ converge, alors ∑∞
n=0 un converge.
Les critères sont donc donnés pour des séries à termes positifs.
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4.4 CRITÈRE DE D’ALEMBERT
Soit un ≥ 0, si limn→∞un+1
un= l, alors
I l < 1⇒ {un} convergeI l > 1⇒ {un} divergeI l = 1⇒ le critère ne permet pas de décider
Exemple :
I un = 1n!
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4.4 CRITÈRE DE D’ALEMBERT
QUESTION 3 3 - La série { 1n} est
1. convergente2. divergente3. le critère de d’Alembert ne permet pas de décider
3. http://lc.cx/mpk30 / 57
4.4 CRITÈRE DE CAUCHY
Soit un ≥ 0, si limn→∞ n√
un = l, alors
I l < 1⇒ {un} convergeI l > 1⇒ {un} divergeI l = 1⇒ le critère ne permet pas de décider
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4.4 CRITÈRE DE CAUCHY
QUESTION 4 4 - La série { n2n } est
1. convergente2. divergente3. le critère de Cauchy ne permet pas de décider
4. http://lc.cx/mpk32 / 57
4.4 CRITÈRE DE MAJORATION
Soient {un} et {vn}, avec un ≥ 0 et vn ≥ 0, telles que
0 ≤ un ≤ vn.
I Si {vn} converge, alors {un} convergeI Si {un} diverge, alors {vn} diverge
Exemple :
I un = 1n2
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4.4 CRITÈRE DE MAJORATION (CONSÉQUENCE)
I Si il existe α > 1 tel que limn→∞ nαun < +∞ alors {un}converge.
I Si il existe 0 < α < 1 tel que limn→∞ nαun > 0 alors {un}diverge.
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4.4 COMPARAISON À UNE INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE
Si f (x) est une fonction continue, positive et décroissante sur[0, ∞[, alors S = ∑∞
n=0 f (n) et I =∫ ∞
0 f (x)dx ont le mêmecomportement.
(NOTE) La borne inférieure peut être changée (1 au lieu de0 par exemple).
(NOTE) On utilise souvent l’intégrale de référence
I =∫ ∞
a
1xα
dx
qui converge si α > 1 et diverge si α < 1.
Exemple : série de Riemann
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1. INTRODUCTION
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3. VARIATION DES SUITES
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5. SÉRIES DE FONCTIONS
6. SÉRIES ENTIÈRES
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(PAUSE) : L’HYPOTHÈSE DE RIEMANN
FIGURE : Bernhard Riemann (1826–1866)
La fonction ζ (zêta) de Riemann est définie par
ζ(s) =∞
∑n=1
1ns
pour s complexe.
HYPOTHÈSE DE RIEMANN Les zéros non-triviaux de ζ sont surla droite des réels 1
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(PAUSE) : L’HYPOTHÈSE DE RIEMANN
FIGURE : Représentation du module de la fonction zêta de Riemann(Wikipedia)
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(PAUSE) : L’HYPOTHÈSE DE RIEMANNI Prix Clay du millénaire : 1 million de dollars.I Hypothèse vérifiée pour dix mille milliards de zéros (1013).I La fonction permet de relier les nombres entiers et les
nombres premiers.
Euler a montré que :
ζ(s) = ∏p premier
11− p−s
I ζ est une série dont le terme général dépend de la variables
ζ(s) =∞
∑n=1
1ns
I C’est une série de fonctions : objet que nous allons étudier(en particulier les séries entières).
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5.1 SÉRIES DE FONCTIONS
(DÉFINITION) Une série de fonctions est une série dont leterme général dépend d’une variable : un(x) parexemple.
I La somme (des termes) est donc également une fonction dex :
S(x) =∞
∑n=0
un(x)
Exemples :
I { xn
n } est une série entière.
I { cos(nx)n } est une série de Fourier.
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5.2 DOMAINE DE CONVERGENCE
x étant considéré fixe, la série peut converger ou non.
(DÉFINITION) L’ensemble des x tels que S(x) existe est ledomaine de convergence D de la série
Exemple : {xn}
I Une nouvelle question : un(x) continue ?⇒ {un} continue ?
Exemple : {x2(1− x2)n}
I Plus généralement, quelles sont les propriétés de un(x)vérifiées également par {un(x)} et sous quelles conditions ?
I Il faut préciser la notion de convergence.
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5.3 CONVERGENCE SIMPLE /UNIFORME /NORMALE
(RAPPEL) La série {un(x)} converge simplement si
limn→∞
Sn(x) = S(x)
⇔ ∀ε > 0, ∃n > N(x)⇒ |Sn(x)− S(x)| < ε.
(DÉFINITION) La série {un(x)} converge uniformément si N,dans la définition précédente, ne dépend pas de x.
C.U.⇒ C.S.
(DÉFINITION) La série {un(x)} converge normalement sur[a, b] s’il existe une série numérique {vn} à termespositifs, convergente, telle que :
|un(x)| < vn, ∀x ∈ [a, b]
C.N.⇒ C.U.⇒ C.S.42 / 57
5.4 CONVERGENCE ET CONTINUITÉ
Si un(x) est continue sur [a, b] et si {un(x)} C.U. sur [a, b], alorsS(x) = ∑∞
n=0 un(x) est continue sur [a, b].
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5.4 CONVERGENCE ET INTÉGRATION
Il est possible d’intégrer terme à terme une série qui C.U. :∫S(x)dx = Cte +
∞
∑n=0
(∫un(x)dx
).
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5.4 CONVERGENCE ET DÉRIVATION
Il est possible de dériver terme à terme une série qui C.U. :
S′(x) =∞
∑n=0
u′n(x).
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6. SÉRIES ENTIÈRES
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5.1 DÉFINITION
Le terme général d’une série entière s’écrit un(x) = anxn où anest indépendant de x :
{un(x)} =∞
∑n=0
un(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn + . . .
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6.2 APPLICATION : CONVERGENCE D’UNE TZ
La TZ d’un signal xn est
X(z) =∞
∑n=−∞
xnz−n.
Montrons que la région de convergence de X(z) est un anneau,en la décomposant en deux séries :
X(z) =−1
∑n=−∞
xnz−n
︸ ︷︷ ︸X1(z)
+∞
∑n=0
xnz−n
︸ ︷︷ ︸X2(z)
.
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6.2 APPLICATION : CONVERGENCE D’UNE TZ
Ainsi une TZ converge si
0 ≤ Rx− < |z| < Rx+ ≤ ∞
TRANSIORMATIONIN/ 45
r R*- la limite
lim lr( & 1l 1/* = 4,-
série Xr(z) converge alors pour lzl >Rr_. Avec le changement de variable / = -k,peut montrer d'ure madère similaire que la série Xl (z) converge pour lzl (Â,+,R,a est la lirnite :
R,+ = 1/[ lim lx( -/)lt/t,- + -si, la série (2.1) converge en général dans un anneau du plan complexe des z donné
0 ( R,- ( lzl ( R,* ( +-i est illustré sur la figure 2. I . Les limites Rjr, et .R, + caractérisent le signal x ([ ).tt évident que si Àx- ) À,-} , la série (2.1) n'est pas convergente.
///l résiortr de convetzenî.e
(2.8)
(2.e)
(2.r 0)
Fig.2.l
4 ExempleSoit le signal :
x(&) = €(k)transformée en z est donnée par :
Xtzl- \1 7-k = ---_,-k=o l -z
pour lzl ) I
Ls ce cas, le calcul de la somme est simplifié par l'apparition d'une progression géo-rique complexe de raison z-r. En utilisant les retations (2.8) et (2.9), on trouve fa-ment que R).- = I et Rr1 = * æ.
5 ExempleSoit le signal :
x(k) = ak e@)
FIGURE : Domaine de convergence d’une TZ
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6.3 RAYON DE CONVERGENCE
(THÉORÈME) Il existe un réelR ≥ 0, nommé rayon deconvergence, tel que la série {anxn} est absolumentet uniformément convergente pour |x| < R, etdivergente pour |x| > R.
(NOTE) Il est nécessaire d’étudier spécifiquement laconvergence en ±R
(CONSÉQUENCE) Si un(x) est continue ∀x et {un(x)} C.U.∀|x| < R, alors la série {un(x)} est continue pour|x| < R.
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6.4 DÉTERMINATION DU RAYON DE CONVERGENCE
(Théorème) Pour x fixé,R est déterminé en appliquant le uncritère (d’Alembert ou Cauchy par exemple) à la série{|un(x)|}.
I Exemple : {xn}.I Exemple : { xn
nd!}.
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6.5 DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES ENTIÈRES
Si une fonction f (x) peut s’écrire sous la formes
f (x) =∞
∑n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn + . . .
alors le terme de droite est le développement en série entièrede la fonction.
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6.5 OPÉRATIONS SUR LES DSESomme et produit
Soient deux séries entières
f (x) =∞
∑n=0
anxn (Rf )
et
g(x) =∞
∑n=0
bnxn (Rg)
On montre que
f (x) + g(x) =∞
∑n=0
(an + bn)xn (R ≥ inf(Rf , Rg))
et
f (x)g(x) =∞
∑n=0
cnxn (R ≥ inf(Rf , Rg))
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6.5 OPÉRATIONS SUR LES DSEDérivation et intégration
(THÉORÈME) Toute série est dérivable et intégrable terme àterme en conservant son rayon de convergence.
S(x) =∞
∑n=0
anxn (R)
⇒ S′(x) =∞
∑n=1
anxn−1 (R)
et
⇒∫
S(x)dx = C +∞
∑n=0
an
n + 1xn+1 (R)
I Exemple important : dérivation de { xn
n! }54 / 57
6.6 ÉQUATION D’ANALYSE : QUELS SONT LES COEFFS
D’UN D.S.E. ?
(DÉFINITION) Soit f (x) admettant un D.S.E. de rayon deconvergenceR. Il est donné par (D.S.E. deMacLaurin) :
f (x) = f (0)+f ′(0)
1!x+
f ′′(0)2!
x2 + . . . +f (n)(0)
n!xn + . . .
I DémonstrationI DSE usuels :
ex, sin(x), cos(x), (1 + x)α, ax, ln(1 + x), ln(1− x), ...
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6.7. LIEN AVEC LES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉSSi f est une fonction dérivable en a, le théorème de Taylorindique que
f (x) = f (a) +f ′(a)
1!(x− a) +
f (2)(a)2!
(x− a)2
+... +f (n)(a)
n!(x− a)n + Rn(x)
où Rn est un reste.
Le lien avec les DSE est évident, en posant a = 0 :
f (x) = f (0) +f ′(0)
1!x +
f (2)(0)2!
x2 + ... +f (n)(0)
n!xn + Rn(x)
Le DSE de f étant
f (x) = f (0) +f ′(0)
1!x +
f ′′(0)2!
x2 + . . . +f (n)(0)
n!xn + . . .
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6.7. LIEN AVEC LES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS(THÉORÈME DE TAYLOR-YOUNG) Si f est une fonction
dérivable en a, le théorème de Taylor indique que
f (x) = f (a) +f ′(a)
1!(x− a) +
f (2)(a)2!
(x− a)2
+... +f (n)(a)
n!(x− a)n + Rn(x)
où Rn est un reste négligeable devant (x− a)n, c’est à dire
limx→a
Rn(x)(x− a)n = 0.
Ce qui est le cas si
Rn(x) =f (n+1)(0)(n + 1)!
(x− a)n+1 + ...
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