LEÍRÓ STATISZTIKA II.
Gazdaságstatisztika
3. előadás2013. szeptember 18.
Gazdaságstatisztika2013 ősz
A mennyiségi sorok grafikus ábrázolásának alapját a gyakorisági táblázat készítése jelenti.
1. Osztályba sorolás (folytonos adatok és nagyszámú diszkrét megfigyelés esetén);
2. gyakoriságok (fi) megállapítása;
3. relatív gyakoriságok (gi) megállapítása
4. összegzett (kumulált) gyakoriságok (fi’), illetve összegzett relatív gyakoriságok (gi’) megállapítása;
5. gyakorisági táblázat készítése (fi , gi , fi’ , gi’ adataiból);
6. gyakorisági (relatív gyakorisági), illetve összegzett gyakorisági (relatív gyakorisági) hisztogramok (folytonos adatok esetén a poligon és az ogiva) felvétele (tapasztalati eloszlások elkészítése);
7. grafikus ábrázolás2
Adatok csoportosítása, osztályozása
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Leállások száma
Gyakoriság (fi)
Relatív gyakoriság
(gi)
Kumulált gyakoriság
(fi’)
Kumulált relatív
gyakoriság(gi’)
0 3 0,125 (12,5%) 3 0,125 (12,5%)
1 5 0,208 (20,8%) 8 0,333 (33,3%)
2 5 0,208 (20,8%) 13 0,541 (54,1%)
3 4 0,168 (16,8%) 17 0,709 (70,9%)
4 3 0,125 (12,5%) 20 0,834 (83,4%)
5 2 0,083 (8,3%) 22 0,917 (91,7%)
6 2 0,083 (8,3%) 24 1,000 (100%)
összesen 24 1,000 (100%)3
Példa – kevés számú diszkrét adat (24 óra alatti gépleállások
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Adatok ábrázolása: PÁLCIKA DIAGRAM
gyakoriságokRelatív
gyakoriságok
Leállások száma
5
4
3
2
1
0,2
0,16
0,12
0,08
0,04
0 1 2 3 4 5 64
Példa – kevés számú diszkrét adat
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Kumulált relatív gyakoriság ábrázolása:
Kum
ulá
lt r
ela
tív g
yako
risá
gok
Leállások száma0 1 2 3 4 5 6
1
0,5
5
Példa – kevés számú diszkrét adat
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Példa – folytonos adat (Bux index)
6
No.
osztály
Osztály-köz
fi fi’ gi [%] gi’ [%]
Alsóhatár
Felsőhatár
1. -20% -15% -17,50% 2 2 2,02% 2,02%
2. -15% -10% -12,50% 9 11 9,09% 11,11%
3. -10% -5% -7,50% 9 20 9,09% 20,20%
4. -5% 0% -2,50% 23 43 23,23% 43,43%
5. 0% 5% 2,50% 32 75 32,32% 75,76%
6. 5% 10% 7,50% 15 90 15,15% 90,91%
7. 10% 15% 12,50% 8 98 8,08% 98,99%
8. 15% 20% 17,50% 1 99 1,01% 100,00%
összesen 99 100,00%
Gazdaságstatisztika2013 ősz
7
Példa – nagy számú folytonos adat
GYAKORISÁGI HISZTOGRAM(tapasztalati sűrűségfüggvény)
Gyakoriság vonaldiagramja
Gazdaságstatisztika2013 ősz
8
Példa – nagy számú folytonos adat
Gyakorisági görbe
Gazdaságstatisztika2013 ősz
9
Példa – nagy számú folytonos adat
KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁG VONALDIAGRAMJA (tapasztalati eloszlásfüggvény)
Ogiva
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Tapasztalati eloszlások jellegzetességei
Középérték-mutatók: helyzeti és számított
Ingadozásmutatók: abszolút és relatív
Alakmutatók Középértékek
Helyzeti Számított
MMóduszódusz
MMediánedián
Számtani átlagSzámtani átlag
Mértani átlag
Harmonikus átlag
Négyzetes átlagNégyzetes átlag
Középérték elvárások:1. Közepes helyzetűek2. Tipikusak3. Egyértelműen meghatározhatóak4. Lehetőleg könnyen
értelmezhetőek10
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Medián Helyzeti középérték – valódi középérték, a rangsor közepén található: az az érték,
amelynél az előforduló értékek fele kisebb, fele pedig nagyobb
Páratlan számú adatnál a középső
Páros számú adatnál a két középső érték számtani átlaga
Mindig meghatározható
Érzéketlen a szélsőértékekre, és nem függ a többi ismérvértéktől sem
Sok egyforma ismérvérték esetén azonban nem tanácsos használni
1 0 6 17 23 13 3 2 19
0 1 2 3 6 13 17 19 23
1 0 6 17 23 13 3 2
0 1 2 3 6 13 17 23
4,5 11
min1
N
ii AX MeA ha
Gazdaságstatisztika2013 ősz
12
Medián – diszkrét példa
Leállások száma
Gyakoriság (fi)
Relatív gyakoriság
(gi)
Kumulált gyakoriság
(fi’)
Kumulált relatív
gyakoriság(gi’)
0 3 0,125 (12,5%) 3 0,125 (12,5%)
1 5 0,208 (20,8%) 8 0,333 (33,3%)
2 5 0,208 (20,8%) 13 0,541 (54,1%)
3 4 0,168 (16,8%) 17 0,709 (70,9%)
4 3 0,125 (12,5%) 20 0,834 (83,4%)
5 2 0,083 (8,3%) 22 0,917 (91,7%)
6 2 0,083 (8,3%) 24 1,000 (100%)
összesen 24 1,000 (100%)
Páros számú adat esetén a rangsor két középső számának átlaga: a 12. és13. adat értéke is 2, így a medián értéke 2
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Medián – folytonos példa
13
-15,778% -10,216% -4,881% -2,950% -0,414% 1,152% 2,533% 4,021% 6,182% 10,053%
-15,731% -7,927% -4,857% -2,902% -0,402% 1,320% 2,808% 4,223% 6,280% 10,292%
-13,671% -7,188% -4,360% -2,616% -0,057% 1,698% 2,883% 4,480% 6,368% 10,699%
-12,454% -6,569% -3,817% -2,173% 0,111% 1,836% 2,963% 4,667% 6,599% 10,947%
-12,233% -6,192% -3,696% -2,072% 0,196% 1,946% 3,112% 4,917% 7,427% 11,520%
-11,464% -6,113% -3,634% -1,857% 0,222% 1,999% 3,185% 5,203% 7,997% 12,038%
-11,369% -6,110% -3,433% -1,713% 0,385% 2,072% 3,276% 5,398% 8,200% 13,104%
-11,159% -5,564% -3,304% -1,247% 0,606% 2,119% 3,343% 5,447% 8,234% 14,878%
-11,116% -5,170% -3,210% -0,669% 0,764% 2,161% 3,616% 5,612% 8,298% 15,066%
-10,735% -5,098% -2,963% -0,505% 1,132% 2,372% 3,986% 5,956% 8,558%
Páratlan számú adat esetén a rangsor középső tagja: ez a rangsor 50. tagja(ennél 49 kisebb és 49 nagyobb érték fordul elő)
Gazdaságstatisztika2013 ősz
14
Medián becslése
No.
osztály
Osztály-köz
fi fi’ gi [%] gi’ [%]
Alsóhatár
Felsőhatár
1. -20% -15% -17,50% 2 2 2,02% 2,02%
2. -15% -10% -12,50% 9 11 9,09% 11,11%
3. -10% -5% -7,50% 9 20 9,09% 20,20%
4. -5% 0% -2,50% 23 43 23,23% 43,43%
5. 0% 5% 2,50% 32 75 32,32% 75,76%
6. 5% 10% 7,50% 15 90 15,15% 90,91%
7. 10% 15% 12,50% 8 98 8,08% 98,99%
8. 15% 20% 17,50% 1 99 1,01% 100,00%
összesen 99 100,00%
meme
me
me hf
fN
XeM
'1
0,2ˆ
me annak a legelső osztályköznek a sorszáma, amelyre igaz, hogy
2' N
fme
A mediánt tartalmazó osztály bal végpontja.
A mediánt tartalmazó osztály hossza.
%0163,1)00,000,5(32
435,4900,02ˆ
'1
0,
meme
me
me hf
fN
XeM
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Módusz Helyzeti középérték – tipikus Diszkrét ismérv esetén a leggyakrabban előforduló
ismérvérték Folytonos ismérv esetén pedig a gyakorisági görbe
maximumhelye Nem mindig határozható meg egyértelműen, nem mindig
létezik Érzéketlen a szélsőértékekre, nem függ a többi
ismérvértéktől sem Becslése bizonytalan Nyers módusz
15
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Módusz – diszkrét példa
16
Leállások száma
Gyakoriság (fi)
Relatív gyakoriság
(gi)
Kumulált gyakoriság
(fi’)
Kumulált relatív
gyakoriság(gi’)
0 3 0,125 (12,5%) 3 0,125 (12,5%)
1 5 0,208 (20,8%) 8 0,333 (33,3%)
2 5 0,208 (20,8%) 13 0,541 (54,1%)
3 4 0,168 (16,8%) 17 0,709 (70,9%)
4 3 0,125 (12,5%) 20 0,834 (83,4%)
5 2 0,083 (8,3%) 22 0,917 (91,7%)
6 2 0,083 (8,3%) 24 1,000 (100%)
összesen 24 1,000 (100%)
Nem határozható meg egyértelműen, célszerű más középérték mutatót is számítani.
A gyakorisági sorban egynél több kiugró gyakoriság fordul elő.
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Módusz – folytonos példa
17
Folytonos esetben a legnagyobb gyakoriságú osztály tartalmazza.
Gazdaságstatisztika2013 ősz
18
Módusz becslése
No.
osztály
Osztály-köz
fi fi’ gi [%] gi’ [%]
Alsóhatár
Felsőhatár
1. -20% -15% -17,50% 2 2 2,02% 2,02%
2. -15% -10% -12,50% 9 11 9,09% 11,11%
3. -10% -5% -7,50% 9 20 9,09% 20,20%
4. -5% 0% -2,50% 23 43 23,23% 43,43%
5. 0% 5% 2,50% 32 75 32,32% 75,76%
6. 5% 10% 7,50% 15 90 15,15% 90,91%
7. 10% 15% 12,50% 8 98 8,08% 98,99%
8. 15% 20% 17,50% 1 99 1,01% 100,00%
összesen 99 100,00%
1 momof ffd1 momoa ffdmofa
amo h
dd
dXoM
0,ˆ
mo a legnagyobb gyakoriságú osztály(ok) sorszáma
%73077,1)00,000,5()1532()2332(
)2332(00,0ˆ 0,
mofa
amo h
dd
dXoM
A móduszt tartalmazó osztály bal
végpontja.
A móduszt tartalmazó osztály
hossza.
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Számtani átlag Az a szám, amellyel az átlagolandó számértékeket helyettesítve azok összege változatlan marad Leggyakrabban használt középérték Meghatározható gyakorisági sorból is a gyakoriságokkal súlyozva Számított középérték-mutató Bármely alapadathalmazból egyértelműen meghatározható Minden alapadatot felhasznál Érzékeny a szélsőértékekre
Nyesett átlag
19
N
X
N
X
N
XXXX
N
ii
N
121 ...
XXN
N
ii XX
1
0)(XXd ii
N
ii AX
1
2)(
r
iiir
ii
r
iii
Xgf
XfX
1
1
1
min. ,ha XA
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Számtani átlag –diszkrét példa
Leállások száma óránként
Előfordulások gyakorisága (fi)
Relatív gyakoriság (gi)
0 3 0,125
1 5 0,208
2 5 0,208
3 4 0,168
4 3 0,125
5 2 0,083
6 2 0,083
összesen 24 1,000
20
Gazdaságstatisztika2013 ősz
21
Számtani átlag – folytonos példa
-15,778% -10,216% -4,881% -2,950% -0,414% 1,152% 2,533% 4,021% 6,182% 10,053%
-15,731% -7,927% -4,857% -2,902% -0,402% 1,320% 2,808% 4,223% 6,280% 10,292%
-13,671% -7,188% -4,360% -2,616% -0,057% 1,698% 2,883% 4,480% 6,368% 10,699%
-12,454% -6,569% -3,817% -2,173% 0,111% 1,836% 2,963% 4,667% 6,599% 10,947%
-12,233% -6,192% -3,696% -2,072% 0,196% 1,946% 3,112% 4,917% 7,427% 11,520%
-11,464% -6,113% -3,634% -1,857% 0,222% 1,999% 3,185% 5,203% 7,997% 12,038%
-11,369% -6,110% -3,433% -1,713% 0,385% 2,072% 3,276% 5,398% 8,200% 13,104%
-11,159% -5,564% -3,304% -1,247% 0,606% 2,119% 3,343% 5,447% 8,234% 14,878%
-11,116% -5,170% -3,210% -0,669% 0,764% 2,161% 3,616% 5,612% 8,298% 15,066%
-10,735% -5,098% -2,963% -0,505% 1,132% 2,372% 3,986% 5,956% 8,558%
%372,099
870,36
99
066,15878,14104,13...)671,13()731,15(778,15
99
99
1
i
ixx
Gazdaságstatisztika2013 ősz
22
Számtani átlag – folytonos példa
No.
osztály
Osztály-köz
fi fi’ gi [%] gi’ [%]
Alsóhatár
Felsőhatár
1. -20% -15% -17,50% 2 2 2,02% 2,02%
2. -15% -10% -12,50% 9 11 9,09% 11,11%
3. -10% -5% -7,50% 9 20 9,09% 20,20%
4. -5% 0% -2,50% 23 43 23,23% 43,43%
5. 0% 5% 2,50% 32 75 32,32% 75,76%
6. 5% 10% 7,50% 15 90 15,15% 90,91%
7. 10% 15% 12,50% 8 98 8,08% 98,99%
8. 15% 20% 17,50% 1 99 1,01% 100,00%
összesen 99 100,00%
%37879,099
50,17150,12850,71550,232
99
)50,2(23)50,7(9)50,12(9)50,17(28
1
8
1
ii
iii
f
xfx
%37879,050,170101,050,120808,050,71515,050,23232,0
)50,2(2323,0)50,7(0909,0)50,12(0909,0)50,17(0202,08
1
iii xgx
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Harmonikus átlag A harmonikus átlag az a szám, amellyel az átlagolandó
értékeket helyettesítve azok reciprokainak összege változatlan marad.
23
r
i ii
r
ii
N
i i
h
Xf
f
X
NX
1
1
1
11
Mértani átlag A mértani átlag az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket
helyettesítve azok szorzata változatlan marad.
k
ri
if f
i
N
i
Ni
N
ig XXX 1
11
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Négyzetes átlag
Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve, azok négyzetösszege változatlan marad
Tipikus alkalmazási területe a szórásszámítás
n
xx
2i
q
24
Választás a középértékek között
maxmin XXXXXX qgh
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Választás a középértékek között
Módusz, medián, számtani átlag?
Melyiket használjuk?
Egyértelműen meghatározható-e?
Az összes rendelkezésre álló adattól függ-e vagy sem?
Mennyire érzékeny a szélsőségesen nagy vagy kicsi
értékekre?
Mekkora és milyen módon értelmezhető hibával képes
helyettesíteni az alapadatokat?
25
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Választás a középértékek között
Medián Egyértelműen meghatározható, mindig létezik Ha sok az egyforma ismérvérték, akkor nem tanácsos használni Nem függ sem az összes értéktől, sem a szélsőséges értékektől
Módusz Nem mindig határozható meg egyértelműen, nem is mindig létezik Becslése bizonytalan (függ az osztályok kialakításától) Nem függ sem az összes értéktől, sem a szélsőséges értékektől
Számtani átlag Bármely alapadathalmazból egyértelműen meghatározható, minden
alapadatot felhasznál, mindig létezik Érzékeny a szélsőséges értékekre nyesett átlag Nem feltétlen tipikus érték
26
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Kvantilisek Eddig egyenlő osztályköz-hosszúságú gyakorisági sorokat
képeztünk, amelyeknek eltért a relatív gyakorisága. A kvantilisek olyan „osztópontok”, amelynek segítségével a
növekvő sorrendbe állított adataink egyenlő gyakoriságú osztályokra bonthatóak
Jelölése: Xi/k
i-edik k-ad rendű kvantilis: az a szám, amelynél az összes előforduló ismérvérték i/k-ad része kisebb , (1-i/k)-ad része pedig nagyobb (i=1,..,k-1 és k>=2)
A rangsor si/k. tagja
Értéke
1/ Nk
is ki
27
Gazdaságstatisztika2013 ősz
)(/// 1//
kikiki sskiski XXsXX
Gazdaságstatisztika2013 ősz
A legfontosabb kvantilisek
k Elnevezés Általános jelölés
i lehetséges értéke
Lehetséges kvantilisek
2 Medián - 1 Me
4 Kvartilis Qi 1,2,3 Q1, Q2, Q3
5 Kvintilis Ki 1,2,3,4, K1, K2, K3, K4
10 Decilis Di 1,2,…,9 D1, D2, … D9
100 Percentilis Pi 1,2,…,99 P1, P2, …,P99
28
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Kvantilisek meghatározása – folytonos példa
29
1. -15,78% 21. -4,88% 41. -0,41% 61. 2,53% 81. 6,18%2. -15,73% 22. -4,86% 42. -0,40% 62. 2,81% 82. 6,28%3. -13,67% 23. -4,36% 43. -0,06% 63. 2,88% 83. 6,37%4. -12,45% 24. -3,82% 44. 0,11% 64. 2,96% 84. 6,60%5. -12,23% 25. -3,70% 45. 0,20% 65. 3,11% 85. 7,43%6. -11,46% 26. -3,63% 46. 0,22% 66. 3,19% 86. 8,00%7. -11,37% 27. -3,43% 47. 0,39% 67. 3,28% 87. 8,20%8. -11,16% 28. -3,30% 48. 0,61% 68. 3,34% 88. 8,23%9. -11,12% 29. -3,21% 49. 0,76% 69. 3,62% 89. 8,30%
10. -10,74% 30. -2,96% 50. 1,13% 70. 3,99% 90. 8,56%11. -10,22% 31. -2,95% 51. 1,15% 71. 4,02% 91. 10,05%12. -7,93% 32. -2,90% 52. 1,32% 72. 4,22% 92. 10,29%13. -7,19% 33. -2,62% 53. 1,70% 73. 4,48% 93. 10,70%14. -6,57% 34. -2,17% 54. 1,84% 74. 4,67% 94. 10,95%15. -6,19% 35. -2,07% 55. 1,95% 75. 4,92% 95. 11,52%16. -6,11% 36. -1,86% 56. 2,00% 76. 5,20% 96. 12,04%17. -6,11% 37. -1,71% 57. 2,07% 77. 5,40% 97. 13,10%18. -5,56% 38. -1,25% 58. 2,12% 78. 5,45% 98. 14,88%19. -5,17% 39. -0,67% 59. 2,16% 79. 5,61% 99. 15,07%20. -5,10% 40. -0,51% 60. 2,37% 80. 5,96%
25)991(4
14/1 s %70,31 Q
75)991(4
34/3 s
%92,43 Q
10)991(10
110/1 s
%74,101 D
90)991(10
910/9 s
%56,89 D
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Ingadozásmutatók
Osztályozásuk: Kitüntetett értéktől vett eltérés vagy egymástól vett eltérés
Abszolút vagy relatív
terjedelem
átlagos abszolút különbség
átlagos abszolút eltérés
szórás
relatív szórás
30
Gazdaságstatisztika2013 ősz
31
Terjedelemmutatók1. -15,78% 21. -4,88% 41. -0,41% 61. 2,53% 81. 6,18%2. -15,73% 22. -4,86% 42. -0,40% 62. 2,81% 82. 6,28%3. -13,67% 23. -4,36% 43. -0,06% 63. 2,88% 83. 6,37%4. -12,45% 24. -3,82% 44. 0,11% 64. 2,96% 84. 6,60%5. -12,23% 25. -3,70% 45. 0,20% 65. 3,11% 85. 7,43%6. -11,46% 26. -3,63% 46. 0,22% 66. 3,19% 86. 8,00%7. -11,37% 27. -3,43% 47. 0,39% 67. 3,28% 87. 8,20%8. -11,16% 28. -3,30% 48. 0,61% 68. 3,34% 88. 8,23%9. -11,12% 29. -3,21% 49. 0,76% 69. 3,62% 89. 8,30%
10. -10,74% 30. -2,96% 50. 1,13% 70. 3,99% 90. 8,56%11. -10,22% 31. -2,95% 51. 1,15% 71. 4,02% 91. 10,05%12. -7,93% 32. -2,90% 52. 1,32% 72. 4,22% 92. 10,29%13. -7,19% 33. -2,62% 53. 1,70% 73. 4,48% 93. 10,70%14. -6,57% 34. -2,17% 54. 1,84% 74. 4,67% 94. 10,95%15. -6,19% 35. -2,07% 55. 1,95% 75. 4,92% 95. 11,52%16. -6,11% 36. -1,86% 56. 2,00% 76. 5,20% 96. 12,04%17. -6,11% 37. -1,71% 57. 2,07% 77. 5,40% 97. 13,10%18. -5,56% 38. -1,25% 58. 2,12% 78. 5,45% 98. 14,88%19. -5,17% 39. -0,67% 59. 2,16% 79. 5,61% 99. 15,07%20. -5,10% 40. -0,51% 60. 2,37% 80. 5,96%
minmax XXR
%85,30)78,15(07,15 R
%70,31 Q
%92,43 Q
2,/1/)1(21
kXXR kkk
k
%62,8)70,3(92,4132/1 QQR
%74,101 D
%56,89 D %3,19)74,10(56,81910/8 DDR
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Átlagos abszolút különbség (G)
Az átlagos abszolút különbség a minden lehetséges módon párba állított ismérvértékek különbségeinek abszolút értékéből számított számtani átlag.
Azt mutatja meg, hogy az X ismérv értékei átlagosan mennyire különböznek egymástól.
Felhasználási területe: koncentrációelemzés
32
N
i
N
jji XX
NNG
1 1)1(
1
45 52 76 87 9245 0 7 31 42 4752 7 0 24 35 4076 31 24 0 11 1687 42 35 11 0 592 47 40 16 5 0
8,25)15(5
516
G
Az 5 hallgató zh-n elért pontja átlagosan 25,8 ponttal tér el egymástól.
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Átlagos abszolút eltérés (Δ) Az átlagos abszolút eltérés az egyes
ismérvértékek és a számtani átlag különbségeinek abszolút értékeiből számított számtani átlag.
Súlyozott formula:
33
n
dn
ii
1 XXd ii
r
ii
r
iii
f
df
1
1
leállások száma óránként
az előfordulások gyakorisága
0 31 52 53 44 35 26 2
összesen 24
50342,124
54,262...54,21554,203
A gépleállások átlagosan 1,503-al térnek el az átlagtól.
Gazdaságstatisztika2013 ősz
34
Átlagos abszolút eltérés (Δ)
No.
osztály
Osztály-köz
fi fi’ gi [%] gi’ [%]
Alsóhatár
Felsőhatár
1. -20% -15% -17,50% 2 2 2,02% 2,02%
2. -15% -10% -12,50% 9 11 9,09% 11,11%
3. -10% -5% -7,50% 9 20 9,09% 20,20%
4. -5% 0% -2,50% 23 43 23,23% 43,43%
5. 0% 5% 2,50% 32 75 32,32% 75,76%
6. 5% 10% 7,50% 15 90 15,15% 90,91%
7. 10% 15% 12,50% 8 98 8,08% 98,99%
8. 15% 20% 17,50% 1 99 1,01% 100,00%
összesen 99 100,00%
%213,699
379,050,171...379,050,129379,050,172
%379,0x
Az egyes hozamadatok átlagosan 6,213%-kal térnek el az átlagtól.
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Tapasztalati szórás abszolút érték helyett négyzetre emelés és gyökvonás A szórás az egyes Xi ismérvértékek átlagtól vett di eltéréseinek négyzetes átlaga. Azt mutatja, hogy az egyes értékek átlagosan mennyire térnek el a számtani átlagtól. Olyan átlagos hibaként is felfogható, amit akkor követünk el, ha minden adatot a számtani átlaggal helyettesítünk. Csak akkor 0, ha minden ismérvérték egyenlő. Érzékeny a kiugró értékekre.
35
r
i if
iX
iXif
s
Ni id
N
N
iX
iX
s
r
N
1
12)(
12
1
2
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Korrigált tapasztalati szórás
11
1
2
1
2
n
d
n
xxs
n
ii
n
ii
36
A szórás torzítatlan becsléssel a becslés a szóban forgó paraméterérték körül ingadozzék. a becslés (az illető statisztika) várható értéke éppen a
megfelelő paraméterérték legyen. a korrigált tapasztalati szórásnégyzet várható értéke az
elméleti varianciával egyenlő, a tapasztalati szórásnégyzet az elméleti variancia torzított becslése
Gazdaságstatisztika2013 ősz
37
Tapasztalati szórás
leállások száma óránként
az előfordulások gyakorisága
0 31 52 53 44 35 26 2
összesen 24
54,2x
779,124
)54,26(2...)54,21(5)54,20(3
1
12
222
7
7
i if
i idifs
Az óránkénti leállások száma 1,779 db-bal tér el az átlagtól.
Gazdaságstatisztika2013 ősz
38
Tapasztalati szórás1. -15,78% 21. -4,88% 41. -0,41% 61. 2,53% 81. 6,18%2. -15,73% 22. -4,86% 42. -0,40% 62. 2,81% 82. 6,28%3. -13,67% 23. -4,36% 43. -0,06% 63. 2,88% 83. 6,37%4. -12,45% 24. -3,82% 44. 0,11% 64. 2,96% 84. 6,60%5. -12,23% 25. -3,70% 45. 0,20% 65. 3,11% 85. 7,43%6. -11,46% 26. -3,63% 46. 0,22% 66. 3,19% 86. 8,00%7. -11,37% 27. -3,43% 47. 0,39% 67. 3,28% 87. 8,20%8. -11,16% 28. -3,30% 48. 0,61% 68. 3,34% 88. 8,23%9. -11,12% 29. -3,21% 49. 0,76% 69. 3,62% 89. 8,30%
10. -10,74% 30. -2,96% 50. 1,13% 70. 3,99% 90. 8,56%11. -10,22% 31. -2,95% 51. 1,15% 71. 4,02% 91. 10,05%12. -7,93% 32. -2,90% 52. 1,32% 72. 4,22% 92. 10,29%13. -7,19% 33. -2,62% 53. 1,70% 73. 4,48% 93. 10,70%14. -6,57% 34. -2,17% 54. 1,84% 74. 4,67% 94. 10,95%15. -6,19% 35. -2,07% 55. 1,95% 75. 4,92% 95. 11,52%16. -6,11% 36. -1,86% 56. 2,00% 76. 5,20% 96. 12,04%17. -6,11% 37. -1,71% 57. 2,07% 77. 5,40% 97. 13,10%18. -5,56% 38. -1,25% 58. 2,12% 78. 5,45% 98. 14,88%19. -5,17% 39. -0,67% 59. 2,16% 79. 5,61% 99. 15,07%20. -5,10% 40. -0,51% 60. 2,37% 80. 5,96%
%372,0x
%77,699
372,007,15...372,073,15372,078,15
99
99
1
2372,0222
ii
X
s
%806,698
372,007,15...372,073,15372,078,15
98
99
1
2372,0222
ii
X
s
Az egyes hozamadatok átlagosan 6,77%-kal, illetve 6,806%-kal térnek el az átlagtól.
Gazdaságstatisztika2013 ősz
39
Tapasztalati szórás
No.
osztály
Osztály-köz
fi fi’ gi [%] gi’ [%]
Alsóhatár
Felsőhatár
1. -20% -15% -17,50% 2 2 2,02% 2,02%
2. -15% -10% -12,50% 9 11 9,09% 11,11%
3. -10% -5% -7,50% 9 20 9,09% 20,20%
4. -5% 0% -2,50% 23 43 23,23% 43,43%
5. 0% 5% 2,50% 32 75 32,32% 75,76%
6. 5% 10% 7,50% 15 90 15,15% 90,91%
7. 10% 15% 12,50% 8 98 8,08% 98,99%
8. 15% 20% 17,50% 1 99 1,01% 100,00%
összesen 99 100,00%
%3,799
)379,050,17(1...)379,050,12(9)379,050,17(2
1
12
222
8
8
i if
i idifs
%379,0x
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Relatív szórás Különböző mértékegységű sorozatok szóródásának összehasonlítására pozitív értékű ismérvekre! az ismérvértékek átlagtól vett átlagos relatív eltérése Nincs mértékegysége! Minél kisebb az értéke, a számtani átlag annál jobb középérték
x
sV
40
leállások száma óránként
az előfordulások gyakorisága
0 31 52 53 44 35 26 2
összesen 24 %707,054,2
779,1V
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Alakmutatók
A gyakorisági eloszlás milyen mértékben tér el az ún. normális
eloszlástól
Eltérés lehet:
Bal ill. jobb oldali aszimmetria
Csúcsosság vagy lapultság41
Gazdaságstatisztika2013 ősz
Pearson-féle mutatószám
Csúcsossági mutató
42
Normális eloszlás esetén értéke 0,263.
Minél laposabb, annál nagyobb K értéke.
Negatív P esetén jobboldali az aszimmetria (átlag<medián).
s
MexP
)(3
283,077,6
)0173,137879,0(3
P
)(2 19
13
DD
QQK
223,0586,38
612,8
))735,10(558,8(2
)696,3(916,4
K